北师大版八下1.1.3等腰三角形（3） 课件

(共26张PPT)
第一章 三角形的证明
1.1.3等腰三角形（3）
北师大版 数学 八年级 下册
学习目标
1.探索等腰三角形判定定理．
2.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．
3.了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。
情景导入
1.等腰三角形的两底角相等．
（简写成“等边对等角”）
A
B
C
∵AB=AC(已知)
∴∠B=∠C(等边对等角)
等腰三角形有哪些性质？
文字语言
符号语言
2.等腰三角形是轴对称图形
情景导入
3.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合．（简称“三线合一”）
A
B
C
D
①∵AB=AC，BD=CD
∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC
②∵AB=AC，∠BAD=∠CAD
∴BD=CD，AD⊥BC
③∵AB=AC，AD⊥BC
∴ BD=CD，∠BAD=∠CAD
文字语言
符号语言
①②③中
知一得二
核心知识点一：
等腰三角形的判定
我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么他们所对的角相等。反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
A
B
C
探索新知
猜想：若∠B= ∠C,则AB=AC
做一做：如图，在△ABC中，如果∠B
=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？
3cm
3cm
测量后发现AB与AC相等.
探索新知
分析：如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明 AB=AC，
只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC 成为对应边就可以了.
证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
已知：如图，在△ABC 中， ∠B= ∠C.
求证：AB=AC .
探索新知
证明： 作AD⊥BC于点D，
∴ ∠ADB= ∠ADC=90°.
又∵ ∠B= ∠C ， AD=AD，
∴ △ABD≌△ACD.
∴ AB=AC.
证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
已知：如图，在△ABC 中， ∠B= ∠C.
求证：AB=AC .
D
探索新知
归纳总结
1．判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形．
(简称等角对等边)
应用格式：在△ABC中，∵∠B＝∠C,
∴AB＝AC.
A
C
B
探索新知
归纳总结
A
C
B
2．等腰三角形的判定与性质的异同
相同点：都是在一个三角形中；
区别：判定是由角到边，性质是由边到角．
即： ．
探索新知
例： 已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.
求证：△AED是等腰三角形.
证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,
∴△ABD≌△DCA(SSS),
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）,
∴AE=DE(等角对等边）,
∴ △AED是等腰三角形.
探索新知
核心知识点二：
反证法
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，即在△ABC 中， 如果 ∠B≠∠C，那么AB≠AC.你认为这个结论成立吗？如果成立，请证明.
探索新知
C
A
B
如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,
此时, AB与AC要么相等,要么不相等.
假设AB=AC, 那么根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C,
但已知条件是 ∠B≠∠C，“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.
小明是这样想的:
你能理解他的推理过程吗
利用了“反证法”
探索新知
归纳总结
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
探索新知
归纳总结
用反证法证题的一般步骤
1. 假设: 先假设命题的结论不成立;
2. 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与
定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;
3. 结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题
的结论正确.
探索新知
例： 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC.
求证： ∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角.
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，
不妨设∠A和∠B是 直角，即 ∠A= 90°，∠B = 90°.
于是 ∠A＋∠B＋∠C = 90°＋ 90°＋ ∠C > 180°.
这与三角形内角和定理相矛盾，
因此“∠A和∠B是 直角”的假设不成立.
所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
探索新知
适宜用反证法证明的命题：
反证法主要用于直接证明比较困难的命题，例如下面几种常见类型的命题就适宜用反证法：
(1)结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能有两个钝角；
(2)唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；
(3)命题的结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个凸多边形中至多有3个锐角．
归纳总结
探索新知
当堂检测
1.如图是一个自带支架的平板保护壳及其简易图，若∠ACB＝∠ABC，AB＝12 cm，则AC的长为(　B　)
A. 11 cm B. 12 cm C. 13 cm D. 14 cm
B
当堂检测
2.已知一个三角形中有两个角度数如下,其中不能构成等腰三角形的是( )
A.40°,70° B.50°,80°
C.60°,90° D.40°,100°
3.假设命题a>0不成立,那么a与0的大小关系只能是( )
A.a≠0 B.a≤0
C.a=0 D.a<0
C
B
当堂检测
4.如图，上午9时，一条船从A处出发，以20海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝35°，∠NBC＝70°，那么从B处到灯塔C的距离是 海里.
40
当堂检测
5.在一次自助夏令营活动中,小明同学从营地A出发,要到A地北偏东60°方向的C处,他先沿正东方向走了200 m到达B地,再沿北偏东30°方向走,恰能到达目的地C(如图),那么,由此可知,B,C两地相距_________m.
　200　
当堂检测
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为CA延长线上的一点，且DE⊥BC交AB于点F.
(1)求证：△ADF是等腰三角形；
(1)证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEB＝90°.
∴∠B＋∠BFE＝90°，∠C＋∠D＝90°.
∴∠D＝∠BFE.
∵∠BFE＝∠AFD，
∴∠D＝∠AFD.
∴AD＝AF.
∴△ADF是等腰三角形.
当堂检测
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为CA延长线上的一点，且DE⊥BC交AB于点F.
(2)若AC＝10，BE＝3，点F为AB的中点，求DF的长.
解：(2)如图，过点A作AG⊥DE，垂足为点G.
解：(2)如图，过点A作AG⊥DE，垂足为点G.
∵AB＝AC，AC＝10，
∴AB＝10.
∵点F为AB的中点，
∴AF＝BF＝ AB＝5.
当堂检测
在Rt△BFE中，BE＝3，
∴EF＝ ＝ ＝4.
∵∠AGF＝∠BEF＝90°，∠AFG＝∠BFE，
∴△AFG≌△BFE.
∴GF＝EF＝4.
∵AD＝AF，AG⊥DF，
∴DF＝2GF＝8.
在Rt△BFE中，BE＝3，
∴EF＝ ＝ ＝4.
∵∠AGF＝∠BEF＝90°，∠AFG＝∠BFE，
∴△AFG≌△BFE.
∴GF＝EF＝4.
∵AD＝AF，AG⊥DF，
∴DF＝2GF＝8.
等腰三角形的判定
等角对等边
有两个角相等的三角形是等腰三角形
反证法
先假设结论不成立，然后推导与已知定理相矛盾的结果，从而证明原命题成立.
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