北师大版八下1.1.2等腰三角形（2） 课件

(共29张PPT)
第一章 三角形的证明
1.1.2等腰三角形（2）
北师大版 数学 八年级 下册
学习目标
1.探索等腰三角形的轴对称性及相关性质；
2.类比等腰三角形的性质，得出等边三角形的相关性质；
3.应用等腰或等边三角形的性质解决相关数学问题。
情景导入
知识点1　
等腰三角形的两底角相等. 简称为等边对等角.
知识点2　
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及
底边上的高线互相重合.
通常称为：等腰三角形“三线合一”.
情景导入
在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形.
思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？等腰三角形中有哪些相等的线段？
核心知识点一：
等腰三角形的重要线段的性质
上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”，即顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线.
试猜想等腰三角形的两底角的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢？
探索新知
画一画：在纸上画一个等腰三角形。
它们在数量上有何关系？你能证明吗？
在等腰三角形中作出两底角的平分线。
探索新知
证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD 和CE 是△ABC的角平分线.
求证：BD = CE.
A
B
C
D
E
1
2
探索新知
A
B
C
D
E
1
2
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB (等边对等角）.
∵BD，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，
∴ ∠1＝∠2.
在△BDC 和△CEB 中，
∠ ACB＝∠ ABC，BC=CB，∠1＝∠2，
∴△BDC ≌ △CEB (ASA).
∴BD ＝CE (全等三角形的对应边相等）.
证明：
探索新知
归纳总结
等腰三角形两腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们，并与同伴交流.
等腰三角形两底角的平分线相等.
探索新知
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两腰上的中线. 求证：BD=CE.
A
B
C
D
E
证明： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC= ∠ACB
∵ BD和CE是△ABC两腰上的中线，
∴CD= AC，BE= AB，∴CD= BE.
在△BDC和△CEB 中，
BC=CB，∠ACB=∠ABC，CD= BE ，
∴ △BDC≌△CEB（SAS）.
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
探索新知
A
C
B
D
E
A
C
B
E
F
A
C
B
P
Q
结论总结：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等．
归纳总结
探索新知
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两腰上的高. 求证：BD=CE.
证明： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC= ∠ACB.
∵ BD和CE是△ABC两腰上的高，
∴ ∠BDC= 90°，∠BEC= 90° .
在△BDC 和△CEB 中，
∠ACB= ∠ABC， BC=CB， ∠BDC=∠BEC，
∴ △BDC≌△CEB（AAS）.
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
A
B
C
D
E
探索新知
归纳总结
如果把等腰三角形两底角的平分线（二等分线）换成三等分线、四等分线，你能得到一个什么结论？
把“等腰三角形两腰上的中线相等”改为“等腰三角形两腰上的三等分线（或四等分线）相等”是否也成立呢？
过底边的端点且与底边夹角相等的两对应线段相等.
两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.
探索新知
核心知识点二：
等边三角形的性质
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
定理 ：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
思考： 怎样证明这一定理？
可以利用等腰三角形的性质进行证明.
探索新知
已知：如图, 在△ABC中，AB= AC=BC.
求证：∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
证明：∵AB = AC，
∴∠ B = ∠ C (等边对等角).
又∵AC = BC，
∴∠A= ∠ B (等边对等角).
∴∠A= ∠ B = ∠ C.
在△ABC中，∠A+∠ B+∠ C = 180°.
∴∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
A
B
C
探索新知
（1）等边三角形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
（2）等边三角形还有哪些特征？
类比拓展：
探索新知
等边三角形的性质：
1.等边三角形是轴对称图形。
2.等边三角形的各角都相等，都等于60°
3.等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。等边三角形共有三条对称轴。
归纳总结
探索新知
当堂检测
1.如图,△ABC是等边三角形,则∠1+∠2= ( )
A.30° B.90° C.120° D.180°
C
当堂检测
2.如图,在等边△ABC中,AF是它的角平分线,若AC=8,则BF=( )
A.4 B.3 C.2 D.1
A
当堂检测
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,AD是中线,BE是角平分线,AD与BE交于点O,则∠AOB的度数为( )
A.130° B.125°
C.120° D.115°
D
当堂检测
4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,
DE=5 cm,则BF=( )
A.8 cm B.10 cm
C.12 cm D.14 cm
B
当堂检测
5.如图所示,△ABC是等边三角形,AD∥BC,△ACD是直角三角形,则∠D=________.
　30°　
当堂检测
5.如图，在等边三角形ABC中，在边BC，AC上取BD＝CE，连接AD，BE交于点F.
求证：(1)△ABD≌△BCE；
证明：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°.
在△ABD和△BCE中，

∴△ABD≌△BCE(SAS).
证明：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°.
在△ABD和△BCE中，

∴△ABD≌△BCE(SAS).
当堂检测
求证：(2)∠AFE＝60°.
证明：(2)由(1)，得△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°.
∴∠AFE＝∠ABE＋∠BAD＝∠ABE＋∠CBE＝∠ABC＝60°.
证明：(2)由(1)，得△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°.
∴∠AFE＝∠ABE＋∠BAD＝∠ABE＋∠CBE＝∠ABC＝60°.
5.如图，在等边三角形ABC中，在边BC，AC上取BD＝CE，连接AD，BE交于点F.
当堂检测
6.如图，△ABC和△ADE都是等边三角形.求证：BD＝CE.
证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°.
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
∴△BAD≌△CAE.
∴BD＝CE.
证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°.
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
∴△BAD≌△CAE.
∴BD＝CE.
当堂检测
7. 如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到点E，使CE＝
CD.
(1)若AB＝10，求BE的长；
解：(1)∵△ABC是等边三角形，BD是中线，AB＝10，
∴AD＝CD＝ AC＝ AB＝5.
∵CE＝CD，
∴CE＝5.
∴BE＝BC＋CE＝15.
解：(1)∵△ABC是等边三角形，BD是中线，AB＝10，
∴AD＝CD＝ AC＝ AB＝5.
∵CE＝CD，
∴CE＝5.
∴BE＝BC＋CE＝15.
当堂检测
(2)求∠E的度数.
解：(2)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°.
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E.
∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，
∴∠E＋∠CDE＝2∠E＝60°.
∴∠E＝30°.
解：(2)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°.
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E.
∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，
∴∠E＋∠CDE＝2∠E＝60°.
∴∠E＝30°.
7. 如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到点E，使CE＝
CD.
等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
等腰三角形重要线段的性质
底角的两条角平分线相等
两条腰上的高相等
两条腰上的中线相等
感谢收看