1.1.2锐角三角函数（2） 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
第一章直角三角形的边角关系
1.1.2锐角三角函数（2）
北师大版 数学 九年级 下册
学习目标
1.能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系.
2.能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算.
情景导入
在直角三角形中锐角的大小和它的对边与邻边的比值有密切关系：在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A,
即
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
斜边
tan A=
∠A的对边
∠A的邻边
情景导入
如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,你能找出哪些边之间的比值也确定吗
结论：在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比, ∠A的邻边与斜边的比也随之确定.
B
┌
斜边
A
C
∠A的对边
∠A的邻边
核心知识点一：
正弦、余弦的定义
（2） 和 有什么关系？ 和 呢？
想一想：如图.
（1）直角三角形A1B1C1和直角三角形A1B2C2有什么关系？
（3）如果改变B2在梯子A1B1上的位置呢？由此你可得出什么结论？
（4）如果改变梯子A1B1的倾斜角的大小呢？由此你可得出什么结论？
C1
C2
A1
B1
B2
探索新知
C1
C2
A1
B1
B2
（1）Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2.
（2）相等
∵ Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2，
探索新知
（3）由于B2是梯子A1B1上任意一点，所以，如果改变B2在梯子A1B1上的位置，上述结论仍成立.
C1
C2
A1
B1
B2
倾斜角确定，
倾斜角的对边与斜边的比值，
倾斜角的邻边与斜边的比值
也随之确定.
探索新知
（4）改变梯子A1B1的倾斜角，也就是改变虚线的位置，可知：
C1
C2
A1
B1
B2
当倾斜角变大时，对边与斜边的比会变大；
邻边与斜边的比会变小；
当倾斜角变小时，对边与斜边的比会变小；
邻边与斜边的比会变大
探索新知
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即
sin A＝
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即
cos A＝
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.
探索新知
定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦 (习惯省去“∠”号).
3.sinA,cosA 是一个比值，是直角边与斜边之比.注意比的顺序.04.sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
6.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.
探索新知
A
A
梯子的倾斜程度三角函数的关系：
梯子越陡，倾斜角越大，sin越大，cos越小，tan越大
梯子越缓，倾斜角越小，sin越小，cos越大，tan越小
探索新知
例1、如图，在Rt△ABC中,∠B=90°, AC=200，sin A=0.6 . 求BC的长.
请你求出cosA , tanA , sinC , cosC和tanC的值.你敢应战吗
A
C
B
┌
解：在Rt△ABC中,
cosA= ，
tanA= ，
sinC= ，
cosC= ，
tanC= .
探索新知
核心知识点二：
正弦、余弦和正切的相互转化
例2.如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10, 求AB,sinB.
你发现了什么？
在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦.
A
B
C
探索新知
归纳总结
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
若∠A+∠B=90°；一个锐角的正弦等于它余角的余弦，sinA=cosB；一个锐角的余弦等于它余角的正弦；cosA=sinB.
探索新知
锐角三角函数之间的关系:
(1)同一个角:①商的关系:tanA= ；②平方关系:sin2A+cos2A=1.
(2)互余两角:若∠A+∠B=90°,则sinA=cosB
=cos(90°－A),cosA=sinB=sin(90°－A).
tanA·tanB=1
探索新知
当堂检测
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=40,sin ∠ABC=.则AB= ( )
A.20 B.30 C.40 D.60
D
当堂检测
2.如图,架在消防车上的云梯AB长为15 m,BD∥CE,∠ABD=α,云梯底部离地面的距离BC为2 m.则云梯的顶端离地面的距离AE的长为 ( )
A.(2+15sin α) m B.(2+15tan α) m
C.17tan α m D.17sin α m
A
当堂检测
3.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,下列结论正确
的是 ( )
A.sin C= B.sin C= C.sin C= D.sin C=
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,则cos A的值是 ( )
A. B. C. D.
C
A
当堂检测
5. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4，3），那么 cos α的值是（　D　）
A. B. C. D.
D
当堂检测
6. 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AB ＝2 BC ，现给出下列
结论：① sin A ＝ ；② cos B ＝ ；③tan A ＝ ；④tan
B ＝ ，其中正确的结论是 .（只需填上正
确结论的序号）
7. 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AB ＝10， BC ＝8，则 sin
B ＝ 　 　， cos B ＝ 　 　， sin 2 B ＋ cos 2 B ＝ .
②③④　
　
　
1　
当堂检测
8. 在△ ABC 中，∠ C ＝90°， BC ＝3， AB ＝5，求 sinA ， cos A ，
tan A 的值.
解：在Rt△ ABC 中，根据勾股定理，得
AC ＝ ＝ ＝4，
∴ sin A ＝ ＝ ，
cos A ＝ ＝ ，
tan A ＝ ＝ .
当堂检测
9. 如图所示，在△ ABC 中，∠ C ＝90°，点 D 在 BC 上，
BD ＝4， AD ＝ BC ， cos ∠ ADC ＝ ，求 CD 的长.
解：∵在Rt△ ACD 中，
cos ∠ ADC ＝ ＝ ，
∴设 CD ＝3 k ， AD ＝5 k .
又∵ AD ＝ BC ，∴3 k ＋4＝5 k ，
∴ k ＝2，∴ CD ＝3 k ＝6.
当堂检测
14. 如图， AB 是斜靠在墙上的长梯， AB 与地面的夹角
为α.当梯顶 A 下滑1m至A'时，梯脚 B 滑至B'，A'B'与地面
的夹角为β，若tanα＝ ， sin β＝ ，求梯子 AB 的长度.
解：由tanα＝ 设 AC ＝4 x ，
则 BC ＝3 x ， AB ＝5 x ＝A'B'，∴A'C＝4 x －1，
∵ sin β＝ .
∴ ＝ .
∴ x ＝1，∴ AB ＝5m.
正弦和余弦
正弦
B
A
C
c
a
b
斜边
对边
∠A的对边
斜边
sin A = =
c
a
余弦
B
A
C
c
a
b
斜边
邻边
∠A的邻边
斜边
cos A = =
c
b
锐角三角函数
感谢收看