北师大九下1.4解直角三角形 课件
图片预览
文档简介
(共29张PPT)
第一章直角三角形的边角关系
1.4解直角三角形
北师大版 数学 九年级 下册
学习目标
1．使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；
2．渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯.
情景导入
两锐角的关系:
三边的关系:.
边与角的关系:
直角三角的边角关系
c2
900
a2+b2=
∠A+∠B=
锐角三角函数
b
A
B
C
a
┌
c
sinA=cosB
cosA=sinB
tanA=
a
c
=
b
c
=
a
b
=
1
tanB
情景导入
特殊角的三角函数值：
60°
45°
30°
tanα
cosα
sinα
三角函数值
角α
三角函数
1
2
2
3
1
2
2
2
2
1
情景导入
生活中,我们常常遇到与直角三角形有关的问题.
为了解决这些问题,
往往需要确定直角三角形的边和角
核心知识点一：
解直角三角形
直角三角形中有三条边三个角6个元素,除其中一个固定的直角外，还有两个锐角和三条边。
b
A
B
C
a
c
至少知道几个元素,就可以求出其他的元素呢
∟
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫做解直角三角形．
探索新知
只知道直角三角形一个锐角的大小,
可以求出直角三角形中其它元素吗
无法求出直角三角形的三边
结论：
∟
∟
∟
∟
探索新知
∟
知道直角三角形任意一边的长
可以求出直角三角形中其它元素吗
已知线段a，
以a为一条直角边的
直角三角形有几个
如果以a为斜边呢？
a
探索新知
都无法完全求
知道直角三角形
任意一边的长,
∟
结论：
出直角三角形
中其它元素。
a
探索新知
在一个直角三角形中，已知一条边和一锐角，或者已知两条边两个元素，才能求出其他元素。
A
B
a
b
c
C
一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素
（其中必须有一个元素是边），则这样的直角三角形可解.
探索新知
在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？
类型1 已知两边解直角三角形
(1)三边之间的关系；
(2)两锐角之间的关系；
(3)边角之间的关系：sin A＝ ＝cos B，
cos A＝ ＝sin B，
tan A＝
探索新知
应用勾股定理求斜边，
应用角的正切值求出
一锐角，再利用直角
三角形的两锐角互余，求出另一锐角．一般不用正弦或余弦值求锐角，因为斜边是一个中间量，如果是近似值，会影响结果的精确度．
已知斜边和直角边：先利用勾股定理求出另一直角边，再求一锐角的正弦和余弦值，即可求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．
已知两直角边：
已知斜边和直角边：
解直角三角形
探索新知
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且 ,求这个直角三角形的其他元素.
解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2,
A
B
C
在Rt△ABC中，
探索新知
例2 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且c＝5，b＝4，求这个三角形的其他元素．(角度精确到1′)
由c＝5，b＝4，得sin B＝ ＝0.8，
∴∠B≈53°8′.
∴∠A＝90°－∠B≈36°52′.
由勾股定理得
解：
探索新知
归纳总结
“已知两边”怎样解直解三角形？
A
B
a
b
c
C
(1)已知a，b，怎么求∠A的度数？
(2)已知a，c，怎么求∠A的度数？
(3)已知b，c，怎么求∠A的度数？
由
由
由
探索新知
已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角形时，若已知一直角边a和一锐角A： ① ∠B=90 °- ∠ A；②c=
若已知斜边c和一个锐角A： ① ∠ B=90°- ∠ A；
②a=c·sin A ; ③b=c·cos A.
类型2 已知一边及一锐角解直角三角形
探索新知
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠B＝35°，b=20,求这个直角三角形的其他元素(结果保留小数点后一位).
A
B
C
b
20
c
a
35°
解：
探索新知
1、数形结合有利于分析问题；
2、选择关系式时，尽量使用原始数据，以防“累积误差”和“一错再错”；
3、解直角三角形时，应求出所有未知元素。
注意事项：
解直角三角形的原则：
（1）有角先求角，无角先求边
（2）有斜用弦, 无斜用切；
宁乘毋除, 取原避中。
A
B
C
5
50
﹖
探索新知
核心知识点一：
构造直角三角形解决问题
例4 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.
D
A
B
C
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= .
在△ABD中，∠B=30°，
∴BD=
∴BC=CD+BD= +
探索新知
C
A
B
D
A
B
C
E
求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适当的辅助线，将其转换为直角三角形来解.
提示
D
归纳总结
探索新知
探索新知
1.如图,斜坡AB长20米,其水平宽度AC为10米,则斜坡AB的坡角为( )
A.30° B. 60° C. 1∶ D. 1∶2
A
当堂检测
2.如图,AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tan C=2,则边AB的长为 ( )
A.3 B.3 C.3 D.6
D
当堂检测
3.将一副直角三角板拼成如图1所示的四边形ABCD，一边重合.若∠CAB＝45°，∠CAD＝30°，连接BD，则tan∠DBC＝ .
当堂检测
4. 在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据已知条件解直角三角形：
（1）a＝12，∠A＝60°；
解：（1）∵∠A＝60°，
∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，
∴c＝ ＝8 ，b＝ ＝4 .
当堂检测
4. 在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据已知条件解直角三角形：
（2）a＝6，b＝2 .
解：（2）c＝ ＝ ＝4 .
∵tan A＝ ＝ ，∴∠A＝60°，
∴∠B＝90°－∠A＝30°.
当堂检测
5. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D为BC边上
一点，且满足∠DAB＝∠C.
（1）求证：BA2＝BD·BC.
（1）证明：∵∠B＝∠B，
∠DAB＝∠C，
∴△ABD∽△CBA，
∴ ＝ ，
∴BA2＝BD·BC.
当堂检测
（2）若AB＝3，BC＝4，求tan∠DAC的值.
（2）解：如图，过点D作DH⊥AC于点H.
∵BA2＝BD·BC，AB＝3，BC＝4，
∴32＝4BD，∴BD＝ ，
∴CD＝BC－BD＝4－ ＝ .
∵AC＝ ＝5，
∴ sin C＝ ＝ ，即 ＝ ，∴HD＝ .
即 ＝ ，∴CH＝ ，
∴AH＝AC－CH＝5－ ＝ ，∴tan∠DAC＝ ＝ .
解直角三角形
依据
解法:只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素
勾股定理
两锐角互余
锐角的三角函数
感谢收看
第一章直角三角形的边角关系
1.4解直角三角形
北师大版 数学 九年级 下册
学习目标
1．使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；
2．渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯.
情景导入
两锐角的关系:
三边的关系:.
边与角的关系:
直角三角的边角关系
c2
900
a2+b2=
∠A+∠B=
锐角三角函数
b
A
B
C
a
┌
c
sinA=cosB
cosA=sinB
tanA=
a
c
=
b
c
=
a
b
=
1
tanB
情景导入
特殊角的三角函数值：
60°
45°
30°
tanα
cosα
sinα
三角函数值
角α
三角函数
1
2
2
3
1
2
2
2
2
1
情景导入
生活中,我们常常遇到与直角三角形有关的问题.
为了解决这些问题,
往往需要确定直角三角形的边和角
核心知识点一：
解直角三角形
直角三角形中有三条边三个角6个元素,除其中一个固定的直角外，还有两个锐角和三条边。
b
A
B
C
a
c
至少知道几个元素,就可以求出其他的元素呢
∟
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫做解直角三角形．
探索新知
只知道直角三角形一个锐角的大小,
可以求出直角三角形中其它元素吗
无法求出直角三角形的三边
结论：
∟
∟
∟
∟
探索新知
∟
知道直角三角形任意一边的长
可以求出直角三角形中其它元素吗
已知线段a，
以a为一条直角边的
直角三角形有几个
如果以a为斜边呢？
a
探索新知
都无法完全求
知道直角三角形
任意一边的长,
∟
结论：
出直角三角形
中其它元素。
a
探索新知
在一个直角三角形中，已知一条边和一锐角，或者已知两条边两个元素，才能求出其他元素。
A
B
a
b
c
C
一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素
（其中必须有一个元素是边），则这样的直角三角形可解.
探索新知
在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？
类型1 已知两边解直角三角形
(1)三边之间的关系；
(2)两锐角之间的关系；
(3)边角之间的关系：sin A＝ ＝cos B，
cos A＝ ＝sin B，
tan A＝
探索新知
应用勾股定理求斜边，
应用角的正切值求出
一锐角，再利用直角
三角形的两锐角互余，求出另一锐角．一般不用正弦或余弦值求锐角，因为斜边是一个中间量，如果是近似值，会影响结果的精确度．
已知斜边和直角边：先利用勾股定理求出另一直角边，再求一锐角的正弦和余弦值，即可求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．
已知两直角边：
已知斜边和直角边：
解直角三角形
探索新知
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且 ,求这个直角三角形的其他元素.
解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2,
A
B
C
在Rt△ABC中，
探索新知
例2 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且c＝5，b＝4，求这个三角形的其他元素．(角度精确到1′)
由c＝5，b＝4，得sin B＝ ＝0.8，
∴∠B≈53°8′.
∴∠A＝90°－∠B≈36°52′.
由勾股定理得
解：
探索新知
归纳总结
“已知两边”怎样解直解三角形？
A
B
a
b
c
C
(1)已知a，b，怎么求∠A的度数？
(2)已知a，c，怎么求∠A的度数？
(3)已知b，c，怎么求∠A的度数？
由
由
由
探索新知
已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角形时，若已知一直角边a和一锐角A： ① ∠B=90 °- ∠ A；②c=
若已知斜边c和一个锐角A： ① ∠ B=90°- ∠ A；
②a=c·sin A ; ③b=c·cos A.
类型2 已知一边及一锐角解直角三角形
探索新知
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠B＝35°，b=20,求这个直角三角形的其他元素(结果保留小数点后一位).
A
B
C
b
20
c
a
35°
解：
探索新知
1、数形结合有利于分析问题；
2、选择关系式时，尽量使用原始数据，以防“累积误差”和“一错再错”；
3、解直角三角形时，应求出所有未知元素。
注意事项：
解直角三角形的原则：
（1）有角先求角，无角先求边
（2）有斜用弦, 无斜用切；
宁乘毋除, 取原避中。
A
B
C
5
50
﹖
探索新知
核心知识点一：
构造直角三角形解决问题
例4 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.
D
A
B
C
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= .
在△ABD中，∠B=30°，
∴BD=
∴BC=CD+BD= +
探索新知
C
A
B
D
A
B
C
E
求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适当的辅助线，将其转换为直角三角形来解.
提示
D
归纳总结
探索新知
探索新知
1.如图,斜坡AB长20米,其水平宽度AC为10米,则斜坡AB的坡角为( )
A.30° B. 60° C. 1∶ D. 1∶2
A
当堂检测
2.如图,AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tan C=2,则边AB的长为 ( )
A.3 B.3 C.3 D.6
D
当堂检测
3.将一副直角三角板拼成如图1所示的四边形ABCD，一边重合.若∠CAB＝45°，∠CAD＝30°，连接BD，则tan∠DBC＝ .
当堂检测
4. 在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据已知条件解直角三角形：
（1）a＝12，∠A＝60°；
解：（1）∵∠A＝60°，
∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，
∴c＝ ＝8 ，b＝ ＝4 .
当堂检测
4. 在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据已知条件解直角三角形：
（2）a＝6，b＝2 .
解：（2）c＝ ＝ ＝4 .
∵tan A＝ ＝ ，∴∠A＝60°，
∴∠B＝90°－∠A＝30°.
当堂检测
5. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D为BC边上
一点，且满足∠DAB＝∠C.
（1）求证：BA2＝BD·BC.
（1）证明：∵∠B＝∠B，
∠DAB＝∠C，
∴△ABD∽△CBA，
∴ ＝ ，
∴BA2＝BD·BC.
当堂检测
（2）若AB＝3，BC＝4，求tan∠DAC的值.
（2）解：如图，过点D作DH⊥AC于点H.
∵BA2＝BD·BC，AB＝3，BC＝4，
∴32＝4BD，∴BD＝ ，
∴CD＝BC－BD＝4－ ＝ .
∵AC＝ ＝5，
∴ sin C＝ ＝ ，即 ＝ ，∴HD＝ .
即 ＝ ，∴CH＝ ，
∴AH＝AC－CH＝5－ ＝ ，∴tan∠DAC＝ ＝ .
解直角三角形
依据
解法:只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素
勾股定理
两锐角互余
锐角的三角函数
感谢收看