北师大九下1.5三角函数的应用 课件
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文档简介
(共36张PPT)
第一章直角三角形的边角关系
1.5三角函数的应用
北师大版 数学 九年级 下册
学习目标
1.正确理解方位角、仰角和坡角的概念；
2.三角函数在航海、测量、改造工程等方面的应用
情景导入
情景导入
情景导入
核心知识点一：
与方位角有关的实际问题
方向角：
如图，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
探索新知
东
北
A
B
C
25°
例：如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.
一货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55 的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25 的C处.之后，货轮继续向东航行.
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？
55°
探索新知
A
B
55°
C
25°
你是怎样想的？与同伴进行交流.
20海里
D
x
Rt△ABD中,
Rt△ACD中,
∴BC=BD－CD=x·tan55°－x·tan25°
∴x= ≈20.79 海里
∴货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
探索新知
例：如图, 一艘海轮位于灯塔P的 北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，B处距离灯塔 P有多远（结果取整数)？
A
P
C
B
北
65°
34°
探索新知
A
P
C
B
北
65°
34°
解：如图，在Rt△APC中，
PC =PA cos(90°-65°)
=80 × cos 25°
≈72. 505.
在 Rt△BPC 中， ∠B = 34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向
时，它距离灯塔P大约 130 n mile.
探索新知
归纳总结
利用解直角三角形解决简单问题的一般解题步骤：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
探索新知
核心知识点二：
仰角和俯角问题
仰角和俯角：
如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做_________，视线在水平线下方的叫做________．
仰角
俯角
视线
铅垂线
水平线
视线
仰角
俯角
探索新知
例：欣赏完图片后，如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30 ,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60 ,那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计,结果精确到1m).
D
A
B
C
┌
50m
30
60
探索新知
D
A
B
C
┌
50m
30
60
答:该塔约有43m高.
解:如图,根据题意可知,∠A=30 ,
∠DBC=60 ,AB=50m. 设CD=x,
则∠ADC=60 ,∠BDC=30 ,
探索新知
例 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°.Rt△ABD中，
α=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
A
B
C
D
α
β
仰角
水平线
俯角
探索新知
解：如图，α = 30°,β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为277.1m.
A
B
C
D
α
β
探索新知
归纳总结
常见的俯角仰角问题的基本图形
45°
30°
450
β
α
A
B
O
P
A
B
O
P
30°
45°
450
探索新知
45°
30°
200米
P
O
B
D
45°
30°
P
A
200米
C
B
O
60°
45°
200
200
45°
30°
归纳总结
常见的俯角仰角问题的基本图形
探索新知
核心知识点三：
利用坡角解决实际问题
坡度和坡角：
如图，通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫_______，用字母i表示，把坡面与水平面的夹角叫做_______，记做α，于是i＝____＝tanα，显然，坡度越大，α角越大，坡面就越陡．
坡角
坡度
l
h
α
α为坡角
坡度和坡角有什么区别？
探索新知
例：某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少 楼梯多占多长一段地面 (结果精确到0.01m).
40°
35°
A
B
C
D
∟
AC-AB
=CD-BD
CB
AD=
AB·
sin40°
AC=
AD
sin35°
探索新知
如图,∠ADB=90°,
40°
35°
A
B
C
∟
D
求(1)AC-AB.
AB=4m.
∠ABD=40°,
∠C=35°,
解：∵sin40°
AB
AD
=
∴AD=
AB·
sin40°
∵sin35°
AC
AD
=
∴AC=
AD
sin35°
=
AB·
sin40°
sin35°
=
4×
0.643
0.574
≈4.48
(m)
答:调整后的楼梯会加长约0.48m.
AC-AB=
4.48-4
≈0.48
(m)
探索新知
如图,∠ADB=90°,
40°
35°
A
B
C
∟
D
求CB
AB=4m.
∠ABD=40°,
∠C=35°,
(AD=
sin40°)
AB
解：∵tan40°
BD
AD
=
tan40°
∴BD=
AD
∵tan35°
CD
AD
=
tan35°
∴CD=
AD
∴CB=
CD-BD
tan35°
=
AD
tan40°
-
AD
tan35°
1
tan40°
-
1
=AD(
)
=4×
0.643(
0.700
1
0.839
-
1
)
≈0.61
(m)
答:楼梯多占约0.61m长的一段地面.
探索新知
例 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽（精确到0.1米, ）.
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
探索新知
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
DE＝CF＝4（米），
CD＝EF＝12（米）．
在Rt△ADE中，
在Rt△BCF中，同理可得
因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93（米）．
答： 路基下底的宽约为22.93米．
45°
30°
4米
12米
A
B
C
E
F
D
探索新知
当堂检测
2.如图,小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发,他们的速度分别是3 m/s和4 m/s,则20 s后他们之间的距离为( )
A.70 m B.80 m
C.90 m D.100 m
D
当堂检测
1. 如图，在A岛周围20海里水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东64°的方向且与轮船相距52海里.若该轮船不改变航向，为航行安全，需要计算A到OB的距离AC. 下列算法正确的是（ A ）
A. AC＝52 cos 64° B. AC＝
C. AC＝52 sin 64° D. AC＝52tan 64°
A
当堂检测
3.如图,某海域中有A,B,C三个小岛,其中A在B的南偏西40°方向,C在B的南偏东35°方向,且B,C到A的距离相等,则小岛C相对于小岛A的方向是( )
A.北偏东70° B.北偏东75°
C.南偏西70° D.南偏西20°
A
当堂检测
4.如图要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,点P位于点A正北方向,点C位于点A的西北方向,若测得PC=50米,则小河宽PA为________米.
50
当堂检测
5.一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向,渔船向正东方向航行12海里到达点B处,测得灯塔C在它的北偏东45°方向,若渔船继续向正东方向航行,则渔船与灯塔C的最短距离是_____________海里.
(6+6)
当堂检测
6.五一假期期间，小明和小亮相约去游乐
场游玩，经勘测，激流勇进项目B 在游乐场
大门A 的南偏东30°方向400米处方向，过
山车项目C 在游乐场大门A 的北偏东45°方
向， 摩天轮项目D 在激流勇进项目B 的正东方
向，在过山车项目C 的南偏东31°方向.
当堂检测
（1）求游乐场大门A 与过山车项目C 的距离（结果保留根号）；
解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E.
由题意，得∠ACE＝45°，
∠ABC＝30°，AB＝400米.
在Rt△ABE中，
AE＝AB· sin ∠ABE＝400· sin 30°＝200（米）.
在Rt△ACE中，
AC＝ ＝ ＝200 （米），
∴游乐场大门A与过山车项目C的距离为200 米.
当堂检测
（2）小明和小亮在游乐场门口A 汇合后，经商议，小明沿路线A→B→D到激流勇进项目B游玩，小亮沿路线A→C→D到过山车项目C游玩，最后两人在摩天轮项目D集合，小明步行的速度是60米/分，在激流勇进排队和乘坐项目用时27分钟，小亮步行的速度是70米/分，在过山车排队和乘坐项目用时30分钟，请问小明和小亮谁先到达摩天轮项目D？（参考数据： sin31°≈0.52， cos 1°≈0.86，tan 31°≈0.60， ≈1.41， ≈1.73，结果精确到0.1）
当堂检测
解：（2）在Rt△ABE中，
BE＝AB· cos ∠ABE＝400· cos
30°＝200 （米），
在Rt△ACE中，CE＝ ＝
＝200（米），
∴BC＝CE＋BE＝米.
当堂检测
在Rt△BCD中，BD＝BC·tan∠BCD＝（200＋200 ）·tan 31°≈327.6（米），CD＝ ≈ ≈634.9（米），
∴小明到达摩天轮项目D所需的时间约为 ＋27
≈39.1（分钟），小亮到达摩天轮项目D
所需的时间约为 ＋30≈43.1（分钟）.
∵39.1＜43.1，∴小明先到达摩天轮项目D.
解直角三角形的简单应用
一般解题步骤
1. 将实际问题抽象为数学问题
2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形
3. 得到数学问题的答案
4. 得到实际问题的答案
感谢收看
第一章直角三角形的边角关系
1.5三角函数的应用
北师大版 数学 九年级 下册
学习目标
1.正确理解方位角、仰角和坡角的概念；
2.三角函数在航海、测量、改造工程等方面的应用
情景导入
情景导入
情景导入
核心知识点一：
与方位角有关的实际问题
方向角：
如图，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
探索新知
东
北
A
B
C
25°
例：如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.
一货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55 的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25 的C处.之后，货轮继续向东航行.
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？
55°
探索新知
A
B
55°
C
25°
你是怎样想的？与同伴进行交流.
20海里
D
x
Rt△ABD中,
Rt△ACD中,
∴BC=BD－CD=x·tan55°－x·tan25°
∴x= ≈20.79 海里
∴货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
探索新知
例：如图, 一艘海轮位于灯塔P的 北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，B处距离灯塔 P有多远（结果取整数)？
A
P
C
B
北
65°
34°
探索新知
A
P
C
B
北
65°
34°
解：如图，在Rt△APC中，
PC =PA cos(90°-65°)
=80 × cos 25°
≈72. 505.
在 Rt△BPC 中， ∠B = 34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向
时，它距离灯塔P大约 130 n mile.
探索新知
归纳总结
利用解直角三角形解决简单问题的一般解题步骤：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
探索新知
核心知识点二：
仰角和俯角问题
仰角和俯角：
如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做_________，视线在水平线下方的叫做________．
仰角
俯角
视线
铅垂线
水平线
视线
仰角
俯角
探索新知
例：欣赏完图片后，如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30 ,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60 ,那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计,结果精确到1m).
D
A
B
C
┌
50m
30
60
探索新知
D
A
B
C
┌
50m
30
60
答:该塔约有43m高.
解:如图,根据题意可知,∠A=30 ,
∠DBC=60 ,AB=50m. 设CD=x,
则∠ADC=60 ,∠BDC=30 ,
探索新知
例 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°.Rt△ABD中，
α=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
A
B
C
D
α
β
仰角
水平线
俯角
探索新知
解：如图，α = 30°,β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为277.1m.
A
B
C
D
α
β
探索新知
归纳总结
常见的俯角仰角问题的基本图形
45°
30°
450
β
α
A
B
O
P
A
B
O
P
30°
45°
450
探索新知
45°
30°
200米
P
O
B
D
45°
30°
P
A
200米
C
B
O
60°
45°
200
200
45°
30°
归纳总结
常见的俯角仰角问题的基本图形
探索新知
核心知识点三：
利用坡角解决实际问题
坡度和坡角：
如图，通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫_______，用字母i表示，把坡面与水平面的夹角叫做_______，记做α，于是i＝____＝tanα，显然，坡度越大，α角越大，坡面就越陡．
坡角
坡度
l
h
α
α为坡角
坡度和坡角有什么区别？
探索新知
例：某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少 楼梯多占多长一段地面 (结果精确到0.01m).
40°
35°
A
B
C
D
∟
AC-AB
=CD-BD
CB
AD=
AB·
sin40°
AC=
AD
sin35°
探索新知
如图,∠ADB=90°,
40°
35°
A
B
C
∟
D
求(1)AC-AB.
AB=4m.
∠ABD=40°,
∠C=35°,
解：∵sin40°
AB
AD
=
∴AD=
AB·
sin40°
∵sin35°
AC
AD
=
∴AC=
AD
sin35°
=
AB·
sin40°
sin35°
=
4×
0.643
0.574
≈4.48
(m)
答:调整后的楼梯会加长约0.48m.
AC-AB=
4.48-4
≈0.48
(m)
探索新知
如图,∠ADB=90°,
40°
35°
A
B
C
∟
D
求CB
AB=4m.
∠ABD=40°,
∠C=35°,
(AD=
sin40°)
AB
解：∵tan40°
BD
AD
=
tan40°
∴BD=
AD
∵tan35°
CD
AD
=
tan35°
∴CD=
AD
∴CB=
CD-BD
tan35°
=
AD
tan40°
-
AD
tan35°
1
tan40°
-
1
=AD(
)
=4×
0.643(
0.700
1
0.839
-
1
)
≈0.61
(m)
答:楼梯多占约0.61m长的一段地面.
探索新知
例 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽（精确到0.1米, ）.
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
探索新知
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
DE＝CF＝4（米），
CD＝EF＝12（米）．
在Rt△ADE中，
在Rt△BCF中，同理可得
因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93（米）．
答： 路基下底的宽约为22.93米．
45°
30°
4米
12米
A
B
C
E
F
D
探索新知
当堂检测
2.如图,小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发,他们的速度分别是3 m/s和4 m/s,则20 s后他们之间的距离为( )
A.70 m B.80 m
C.90 m D.100 m
D
当堂检测
1. 如图，在A岛周围20海里水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东64°的方向且与轮船相距52海里.若该轮船不改变航向，为航行安全，需要计算A到OB的距离AC. 下列算法正确的是（ A ）
A. AC＝52 cos 64° B. AC＝
C. AC＝52 sin 64° D. AC＝52tan 64°
A
当堂检测
3.如图,某海域中有A,B,C三个小岛,其中A在B的南偏西40°方向,C在B的南偏东35°方向,且B,C到A的距离相等,则小岛C相对于小岛A的方向是( )
A.北偏东70° B.北偏东75°
C.南偏西70° D.南偏西20°
A
当堂检测
4.如图要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,点P位于点A正北方向,点C位于点A的西北方向,若测得PC=50米,则小河宽PA为________米.
50
当堂检测
5.一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向,渔船向正东方向航行12海里到达点B处,测得灯塔C在它的北偏东45°方向,若渔船继续向正东方向航行,则渔船与灯塔C的最短距离是_____________海里.
(6+6)
当堂检测
6.五一假期期间，小明和小亮相约去游乐
场游玩，经勘测，激流勇进项目B 在游乐场
大门A 的南偏东30°方向400米处方向，过
山车项目C 在游乐场大门A 的北偏东45°方
向， 摩天轮项目D 在激流勇进项目B 的正东方
向，在过山车项目C 的南偏东31°方向.
当堂检测
（1）求游乐场大门A 与过山车项目C 的距离（结果保留根号）；
解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E.
由题意，得∠ACE＝45°，
∠ABC＝30°，AB＝400米.
在Rt△ABE中，
AE＝AB· sin ∠ABE＝400· sin 30°＝200（米）.
在Rt△ACE中，
AC＝ ＝ ＝200 （米），
∴游乐场大门A与过山车项目C的距离为200 米.
当堂检测
（2）小明和小亮在游乐场门口A 汇合后，经商议，小明沿路线A→B→D到激流勇进项目B游玩，小亮沿路线A→C→D到过山车项目C游玩，最后两人在摩天轮项目D集合，小明步行的速度是60米/分，在激流勇进排队和乘坐项目用时27分钟，小亮步行的速度是70米/分，在过山车排队和乘坐项目用时30分钟，请问小明和小亮谁先到达摩天轮项目D？（参考数据： sin31°≈0.52， cos 1°≈0.86，tan 31°≈0.60， ≈1.41， ≈1.73，结果精确到0.1）
当堂检测
解：（2）在Rt△ABE中，
BE＝AB· cos ∠ABE＝400· cos
30°＝200 （米），
在Rt△ACE中，CE＝ ＝
＝200（米），
∴BC＝CE＋BE＝米.
当堂检测
在Rt△BCD中，BD＝BC·tan∠BCD＝（200＋200 ）·tan 31°≈327.6（米），CD＝ ≈ ≈634.9（米），
∴小明到达摩天轮项目D所需的时间约为 ＋27
≈39.1（分钟），小亮到达摩天轮项目D
所需的时间约为 ＋30≈43.1（分钟）.
∵39.1＜43.1，∴小明先到达摩天轮项目D.
解直角三角形的简单应用
一般解题步骤
1. 将实际问题抽象为数学问题
2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形
3. 得到数学问题的答案
4. 得到实际问题的答案
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