甘肃省白银市第八中学2024-2025学年高三上学期1月月考试题 数学（含答案）

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白银市第八中学2025届高三1月阶段性考试试卷
科目：数学、
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 已知，，则的值为（）
A. B. C. D.
3. 已知a，b，c成等差数列，直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（）
A. 1 B. 3 C. 4 D.
4. 已知关于x函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）
A B. C. D.
5. 已知，，，则（）
A. B. C. D.
6. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（）
A. B.
C. D. 向量与的夹角是
7. 设，，，则，，的大小关系为（）
A. B. C. D.
8. 过椭圆上的点M作圆的两条切线，切点分别为P，Q.若直线PQ在轴、轴上的截距分别为，若，则椭圆离心率为（）
A. B. C. D.
二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 下列说法命题正确的是（）
A. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则三点共线
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 已知，，则在上的投影向量为
D. 已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则
10. 下图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（）
A.
B. 将图象向右平移后得到函数的图象
C. 在区间上单调递增
D. 若，则
11. 已知为坐标原点，抛物线上有异于原点的，两点，为抛物线的焦点，以为切点的抛物线的切线分别记为，，则（）
A. 若，则三点共线 B. 若，则三点共线
C. 若，则三点共线 D. 若，则三点共线
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知，抛物线的焦点为F，为上一点，若，则______．
13. 二项式的展开式中，项的系数为______.
14. 已知正实数满足则当取得最小值时，______
四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.）
15. 在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求证：；
（2）若，且，求的面积．
16. 记为数列的前项和，已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列，求的最大值．
17. 如图（1），在平面四边形中，，，过点作，垂足为．如图（2），把沿折起，使得点A到达点处，且．
（1）证明：．
（2）若点为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计
年龄不超过45岁的市民 40 10 50
年龄超过45岁的市民 20 30 50
合计 60 40 100
（1）试根据的独立性检验，分析社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？
（2）M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率；
（3）用频率估计概率，现从M社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜市民人数为随机变量，并记随机变量，求、的期望和方差.
参考公式：，其中.
0.1 0.05 001 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7879 10.828
参考公式及数据：，其中.
19. 已知，分别是椭圆的左、右顶点，P（异于点A，B）是C上的一个动点，面积的最大值为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）记直线PA，PB的斜率分别为，，求的值；
（3）直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B两点），直线AM，AN的斜率分别为，，且，证明：直线MN过定点．
白银市第八中学2025届高三1月阶段性考试试卷
科目：数学
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.
【答案】B
2.
【答案】D
3.
【答案】C
4.
【答案】A
5.
【答案】B
6.
【答案】D
7.
【答案】D
8.
【答案】A
二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9.
【答案】CD
10.
【答案】AC
11.
【答案】BC
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.
【答案】5
13.
【答案】80
14.
【答案】
四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.）
15.
【解】
【小问1详解】
由可得，
根据正弦定理可得.
【小问2详解】
由可得，
整理可得，即；
解得或；
当时，由，可得，与矛盾，舍去；
可得，代入，可得，
解得，所以；
由可得，即；
所以的面积为
16.
【解】
【分析】（1）利用与的关系结合等差数列的定义即可证明.
（2）利用等差数列的通项公式与等比中项的性质求出，从而得到，再借助单调性及等差数列前项和公式求得答案.
【小问1详解】
数列中，由，得，
当时，，
两式相减得，即，
因此，所以是等差数列.
【小问2详解】
由（1）知数列的公差为，
由成等比数列，得，解得，
于是，由，得，
数列是首项为正，公差为负的递减等差数列，前9项为正，第10项为0，从第11项起为负，
所以数列前9项或前10项和最大，的最大值为.
17.
【解】
【小问1详解】
依题意，，而，平面，
则平面，又平面，则，
由，，得，，
连接，则，而，平面PCE，
因此平面，又平面，
所以．
【小问2详解】
由（1）知两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18.
【解】
【分析】（1）由独立性检验相关知识可得答案；
（2）由题结合全概率公式可得答案；
（3）由题可得，后由期望与方差性质可得答案.
【小问1详解】
假设：M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关.
由给定的列联表，得：.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为是否喜欢网上买菜与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于.
【小问2详解】
设表示周在A平台买菜，表示周在B平台买菜，
由题可得，
由全概率公式，小张周二选择平台买菜的概率为：
；
【小问3详解】
依题意，喜欢网上买菜的概率为：.
从M社区随机抽取20名市民，其中喜欢网上买菜的市民人数服从二项分布：，所以，.
又，所以，.
19.
【解】
【分析】（1）根据条件可知当点在椭圆上、下顶点处时，面积的最大，由此可计算椭圆标准方程.
（2）设，表示，利用点在椭圆上可求结果.
（3）设l的方程为，与椭圆方程联立，利用可计算出的值，即可证明结论.
【小问1详解】
由题意得，.
当点在椭圆上、下顶点处时，面积的最大，此时面积为，
∴，∴椭圆C的方程为．
【小问2详解】
设，则，即，
∴．
【小问3详解】
由题意知直线l的斜率不为0，设l的方程为，，．
由得，
，
∴，，
∴，，
∵，∴，即，
∴，
解得或（舍）．
当时，满足，此时MN的方程为，故直线MN过定点．