人教版数学四年级上册：几何中的计数问题
一、基础练习
1．下面图形有几条线段？
2．（2015四上·台安月考）图中有（ ）条线段．
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
3．（2023二下·竞赛）数数，填填
（1） 共有 条线段。
（2） 共有 个三角形。
（3） 共有 个长方形。
（4） 共有 个正方形。
（5） 共有 个基本的小正方体组成。
4．（2024.7.19重庆市巴蜀中学小升初数学练习题）下图中一共有 个三角形。
二、进阶练习
5．（2018·河南竞赛）如图中共有 个三角形
6．（树八）下图中有 个三角形。
7．（2024.8.2·科学城八中）数一数，图中有 个直角三角形。
8．（2024.3.30·育才）如图，图中包含“★”的大、小三角形共有 个。
9．在下图中，包含“*”的长方形和正方形共有 个。
10．（2021四上·深圳竞赛）数数看：下图有（ ）个三角形。
A．15 B．16 C．17 D．18 E．19
11．（2023.7.9·树人八中）（组合图形的计数）数一数图中共有多少个三角形。
三、挑战提升
12．（2024.9.1·西大附中）如图，连接一个正六边形的各顶点，图中共有 个等腰三角形（包括等边三角形）．
13．（2021三下·竞赛）下图是由1×1的正方形组成的图案，一共可以找到1×2的小长方形 个。
14．（2021四上·深圳竞赛）如图所示，由8个正六边形以及它们顶点间的连线组成一只蝴蝶，那么该图形中共有（ ）个平行四边形。
A．9 B．10 C．11 D．12
E．以上都不是
15．（2021六上·深圳竞赛）如图所示，图中正六边形有（ ）个。
A．6 B．10 C．11 D．13 E．15
16．（2022六上·竞赛）图中可数出的三角形的个数为 。
答案解析部分
1．【答案】4+3+2+1=10(条)
【知识点】几何中的计数问题
2．【答案】C
【知识点】线段、直线、射线的认识及表示；几何中的计数问题
【解析】【解答】解：3+3+3+3﹣6=6（条）
答：图中有6条线段．
故选：C．
【分析】根据线段的定义：直线上两点之间的部分是线段，从图中可看出，上面顶点向对面的边引了3条线段，左下顶点引出了3条线段，右下顶点引出了有3条线段，中间顶点引出了3条线段，其中5条短边各多数了1次，底边长边多数了1次，共有3+3+3+3﹣6=6条线段．此题重点考查线段的数法，注意重复数的现象及多数的现象．
3．【答案】（1）8
（2）12
（3）7
（4）17
（5）12
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【解答】（1） 3+3+1+1=8（条）；
（2） 6+2+4=12（个）；
（3） 4+3=7（个）；
（4） 12+5=17（个）；
（5） 2+3+7=12（个）。
故答案为：（1）8；（2）12；（3）7；（4）17；（5）12。
【分析】（1）线段有两个端点，长度有限，不能向两端无限延长，数一数图中共有多少条线段；
（2）根据题意，先数单独的三角形，再数两个三角形组合的大三角形，然后数三个三角形组成的大三角形，最后相加即可；
（3）根据题意，先数单独的长方形，再数两个长方形组合的大长方形，然后数4个长方形组合的大长方形，最后将数量相加；
（4）根据题意，先数单独的正方形，再数组合的正方形，最后将个数相加；
（5）根据题意，从上往下，分别数出每层正方体的数量，然后相加即可。
4．【答案】13
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【解答】解：由图可知小三角形有9个，由4个小三角形组成的三角形有3个，由9个小三角形组成的三角形有1个，所以该图中三角形的个数是：9+3+1=13个。
故答案为：13。
【分析】三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段“首尾”顺次连接所组成的封闭图形。观察图形，即可算出。
5．【答案】35
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【解答】解：以五边形的一条边为底边，底边对应顶点和底边端点连线组成的一个大三角形分析，如图，这样的一个三角形中有7个三角形。五边形一共有5条边，每条边和对应顶点连线组成一个大三角形，一共有5个大三角形，每个大三角形中有7个三角形，则7个大三角形中一共有三角形个数：5×7=35（个）。但需要减去重复计算的五角星的5个角，再加上每条边与邻边组成的三角形也有5个，则这个图形中一共有三角形个数为：35-5+5=35（个）。
故答案为：35。
【分析】首先求出以五边形一条边和对应顶点组成的三角形中有7个三角形，再根据五边形一共有5条边，每条边和对应顶点连线组成的三角形一共有5个，然后减去重复计算的五角星的5个角，再加上每条边与邻边组成的三角形的个数，即可解答。
6．【答案】50
【知识点】几何中的计数问题；三角形的特点
【解析】【解答】（5+4+3+2+1）×2+9+6+2+3=50
故答案为：50。
【分析】
（1）有（5+4+3+2+1）×2=30个
（2）有9个
（3）有2+6+3=11个
总共30+9+11=50个三角形。
7．【答案】16
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【解答】解：据图计算即可得出有16个直角三角形
故答案为：16
【分析】直角三角形是一种内角之一为90度的三角形，根据图中的矩形可以计算出一共有16个三角形
8．【答案】10
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【解答】解：(1)由一个三角形组成的有1个；
(2)由二个三角形组成的有2个；
(3)由三个三角形组成的有1个；
(4)由四个三角形组成的有2个；
(5)由五个以上三角形组成的有4个；共有1十2十1十2+4=10(个)
故答案为：10.
【分析】把包含“★”的三角形按三角形的个数进行分类计数即可.
9．【答案】39
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【解答】解：1+4+4+7+2+6+4+3+2+4+2=39（个）
故答案为：39
【分析】包含1个小正方形的有1个；包含2个小正方形的有4个；包含3个小正方形的有4个；包含4个小正方形的有7个；包含5个小正方形的有2个；包含6个小正方形的有6个；包含8个小正方形的有4个；包含9个小正方形的有3个；包含10个小正方形的有2个；包含12个小正方形的有4个；包含15个小正方形的有2个。最后求和即可。
10．【答案】E
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【解答】解：13+5+1=19（个）
答：图有19个三角形。
故答案为：E。
【分析】 单个的三角形有13个，四部分组成的有5个，九部分组成的有1个，然后把个数相加即可。
11．【答案】解：一个三角形：16个
两个三角形组成：16个
四个三角形组成：8个
八个三角形组成：4个
16+16+8+4=44（个）
答： 共有44个三角形.
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【分析】 根据方类数图形的计数原理和方法，按照一定顺序数出，由一个小三角形组成的有16个；由两个小三角形组成的有16个；由四个小三角形组成的有8个；由八个小三角形组成的有4个。有几部分组成的一共多少个；由此解答．
12．【答案】38
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【解答】解：如下图所示：
(1)先考虑其中的等边三角形：图①中，六边形的每1个顶点是某个小号等边三角形的顶点，而且每个小号等边三角形有且仅有一个顶点是六边形的一个顶点，既然六边形有6个顶点，所以图中有6个小号等边三角形；
图②中，六边形的每一条边是某个中号等边三角形的一条边，而且每个中号等边三角形有且仅有一条边是六边形的一条边，既然六边形有6条边，所以图中有6个中号等边三角形；
图③中，大号等边三角形有2个。
(2)再考虑其中非等边的等腰三角形：图中非等边的等腰三角形，按照面积大小分类有3种类型图④中小号的等腰三角形有6个，因为这类三角形均以六边形的一条边为其边长，并且六边形的每一条边只唯一对应一个小号等腰三角形，而正六边形有6条边，所以有6个小号等腰三角形；
中号的等腰三角形有12个，因为每个中号等腰三角形的长边都是六边形的一条非直径的弦，并且，以非直径的弦为长边的三角形有2个，如图⑤，这样的弦共有6条，所以有12个中号的等腰三角形；
大号的等腰三角形有6个，因为每个大号等腰三角形的长边都是六边形的一条直径，每条直径上都对应有2个大号三角形，如图⑥共有3条直径，所以有6个大号等腰三角形。
所以图中等腰三角形共有：
6+6+2+6+12+6=38(个)；
故答案为：38。
【分析】如解答图，分类讨论等边三角形和等腰非等边三角形个数，然后类类相加即可求解等腰三角形的个数。
13．【答案】36
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【解答】解：一共可以找到1×2的小长方形36个。
故答案为：36。
【分析】3个连在一起的小正方形可以找到1×2的小长方形2个，5个连在一起的小正方形可以找到1×2的小长方形4个，据此解答。
14．【答案】C
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【解答】 解：相邻两个正六边形重合部分为平行四边形，这样的平行四边形有7个，如下图：
正六边形可以看作由三个完全相同的平行四边形拼成，其余两部分已计算，那第3部分也要计算，这样有平行四边形有2个，如下图：
平行四边形的一组对边延长相等的长度，再组成的四边形是平行四边形，这样的平行四边形有2个，如下图：
所以，该图形中平行四边形有：
7+2+2=11（个）
故答案为：C。
【分析】 相邻两个正六边形重合部分为平行四边形，一个正六边形可以看作由三个完全相同的平行四边形拼成，平行四边形的一组对边延长相等的长度再组成的四边形是平行四边形，据此计数。
15．【答案】C
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【解答】 解：①如图这样的图形有6个
②如图这样的图形有3个
③如图这样的图形有1个
④如图这样的六边形有1个
一共有6+3+1+1=11（个）
故答案为：C．
【分析】根据题意，分别统计出不同的正六边形的个数，再求和即可．
16．【答案】72
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【解答】解：如图所示
线段AB、AC、DE、FG任取两条可以构成三角形的个数都是6，
共有 (个)
考虑到对称性，整个图形共有：
36×2=72 (个)
答：三角形的个数为72个。
故答案为：72
【分析】先算出从线段AB、AC、DE、FG中任取两条可以构成三角形的个数，根据组合原理，可求出组合图形一半的三角形个数，然后再根据其对称性，即可求出所有三角形的个数。
1 / 1人教版数学四年级上册：几何中的计数问题
一、基础练习
1．下面图形有几条线段？
【答案】4+3+2+1=10(条)
【知识点】几何中的计数问题
2．（2015四上·台安月考）图中有（ ）条线段．
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
【答案】C
【知识点】线段、直线、射线的认识及表示；几何中的计数问题
【解析】【解答】解：3+3+3+3﹣6=6（条）
答：图中有6条线段．
故选：C．
【分析】根据线段的定义：直线上两点之间的部分是线段，从图中可看出，上面顶点向对面的边引了3条线段，左下顶点引出了3条线段，右下顶点引出了有3条线段，中间顶点引出了3条线段，其中5条短边各多数了1次，底边长边多数了1次，共有3+3+3+3﹣6=6条线段．此题重点考查线段的数法，注意重复数的现象及多数的现象．
3．（2023二下·竞赛）数数，填填
（1） 共有 条线段。
（2） 共有 个三角形。
（3） 共有 个长方形。
（4） 共有 个正方形。
（5） 共有 个基本的小正方体组成。
【答案】（1）8
（2）12
（3）7
（4）17
（5）12
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【解答】（1） 3+3+1+1=8（条）；
（2） 6+2+4=12（个）；
（3） 4+3=7（个）；
（4） 12+5=17（个）；
（5） 2+3+7=12（个）。
故答案为：（1）8；（2）12；（3）7；（4）17；（5）12。
【分析】（1）线段有两个端点，长度有限，不能向两端无限延长，数一数图中共有多少条线段；
（2）根据题意，先数单独的三角形，再数两个三角形组合的大三角形，然后数三个三角形组成的大三角形，最后相加即可；
（3）根据题意，先数单独的长方形，再数两个长方形组合的大长方形，然后数4个长方形组合的大长方形，最后将数量相加；
（4）根据题意，先数单独的正方形，再数组合的正方形，最后将个数相加；
（5）根据题意，从上往下，分别数出每层正方体的数量，然后相加即可。
4．（2024.7.19重庆市巴蜀中学小升初数学练习题）下图中一共有 个三角形。
【答案】13
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【解答】解：由图可知小三角形有9个，由4个小三角形组成的三角形有3个，由9个小三角形组成的三角形有1个，所以该图中三角形的个数是：9+3+1=13个。
故答案为：13。
【分析】三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段“首尾”顺次连接所组成的封闭图形。观察图形，即可算出。
二、进阶练习
5．（2018·河南竞赛）如图中共有 个三角形
【答案】35
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【解答】解：以五边形的一条边为底边，底边对应顶点和底边端点连线组成的一个大三角形分析，如图，这样的一个三角形中有7个三角形。五边形一共有5条边，每条边和对应顶点连线组成一个大三角形，一共有5个大三角形，每个大三角形中有7个三角形，则7个大三角形中一共有三角形个数：5×7=35（个）。但需要减去重复计算的五角星的5个角，再加上每条边与邻边组成的三角形也有5个，则这个图形中一共有三角形个数为：35-5+5=35（个）。
故答案为：35。
【分析】首先求出以五边形一条边和对应顶点组成的三角形中有7个三角形，再根据五边形一共有5条边，每条边和对应顶点连线组成的三角形一共有5个，然后减去重复计算的五角星的5个角，再加上每条边与邻边组成的三角形的个数，即可解答。
6．（树八）下图中有 个三角形。
【答案】50
【知识点】几何中的计数问题；三角形的特点
【解析】【解答】（5+4+3+2+1）×2+9+6+2+3=50
故答案为：50。
【分析】
（1）有（5+4+3+2+1）×2=30个
（2）有9个
（3）有2+6+3=11个
总共30+9+11=50个三角形。
7．（2024.8.2·科学城八中）数一数，图中有 个直角三角形。
【答案】16
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【解答】解：据图计算即可得出有16个直角三角形
故答案为：16
【分析】直角三角形是一种内角之一为90度的三角形，根据图中的矩形可以计算出一共有16个三角形
8．（2024.3.30·育才）如图，图中包含“★”的大、小三角形共有 个。
【答案】10
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【解答】解：(1)由一个三角形组成的有1个；
(2)由二个三角形组成的有2个；
(3)由三个三角形组成的有1个；
(4)由四个三角形组成的有2个；
(5)由五个以上三角形组成的有4个；共有1十2十1十2+4=10(个)
故答案为：10.
【分析】把包含“★”的三角形按三角形的个数进行分类计数即可.
9．在下图中，包含“*”的长方形和正方形共有 个。
【答案】39
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【解答】解：1+4+4+7+2+6+4+3+2+4+2=39（个）
故答案为：39
【分析】包含1个小正方形的有1个；包含2个小正方形的有4个；包含3个小正方形的有4个；包含4个小正方形的有7个；包含5个小正方形的有2个；包含6个小正方形的有6个；包含8个小正方形的有4个；包含9个小正方形的有3个；包含10个小正方形的有2个；包含12个小正方形的有4个；包含15个小正方形的有2个。最后求和即可。
10．（2021四上·深圳竞赛）数数看：下图有（ ）个三角形。
A．15 B．16 C．17 D．18 E．19
【答案】E
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【解答】解：13+5+1=19（个）
答：图有19个三角形。
故答案为：E。
【分析】 单个的三角形有13个，四部分组成的有5个，九部分组成的有1个，然后把个数相加即可。
11．（2023.7.9·树人八中）（组合图形的计数）数一数图中共有多少个三角形。
【答案】解：一个三角形：16个
两个三角形组成：16个
四个三角形组成：8个
八个三角形组成：4个
16+16+8+4=44（个）
答： 共有44个三角形.
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【分析】 根据方类数图形的计数原理和方法，按照一定顺序数出，由一个小三角形组成的有16个；由两个小三角形组成的有16个；由四个小三角形组成的有8个；由八个小三角形组成的有4个。有几部分组成的一共多少个；由此解答．
三、挑战提升
12．（2024.9.1·西大附中）如图，连接一个正六边形的各顶点，图中共有 个等腰三角形（包括等边三角形）．
【答案】38
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【解答】解：如下图所示：
(1)先考虑其中的等边三角形：图①中，六边形的每1个顶点是某个小号等边三角形的顶点，而且每个小号等边三角形有且仅有一个顶点是六边形的一个顶点，既然六边形有6个顶点，所以图中有6个小号等边三角形；
图②中，六边形的每一条边是某个中号等边三角形的一条边，而且每个中号等边三角形有且仅有一条边是六边形的一条边，既然六边形有6条边，所以图中有6个中号等边三角形；
图③中，大号等边三角形有2个。
(2)再考虑其中非等边的等腰三角形：图中非等边的等腰三角形，按照面积大小分类有3种类型图④中小号的等腰三角形有6个，因为这类三角形均以六边形的一条边为其边长，并且六边形的每一条边只唯一对应一个小号等腰三角形，而正六边形有6条边，所以有6个小号等腰三角形；
中号的等腰三角形有12个，因为每个中号等腰三角形的长边都是六边形的一条非直径的弦，并且，以非直径的弦为长边的三角形有2个，如图⑤，这样的弦共有6条，所以有12个中号的等腰三角形；
大号的等腰三角形有6个，因为每个大号等腰三角形的长边都是六边形的一条直径，每条直径上都对应有2个大号三角形，如图⑥共有3条直径，所以有6个大号等腰三角形。
所以图中等腰三角形共有：
6+6+2+6+12+6=38(个)；
故答案为：38。
【分析】如解答图，分类讨论等边三角形和等腰非等边三角形个数，然后类类相加即可求解等腰三角形的个数。
13．（2021三下·竞赛）下图是由1×1的正方形组成的图案，一共可以找到1×2的小长方形 个。
【答案】36
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【解答】解：一共可以找到1×2的小长方形36个。
故答案为：36。
【分析】3个连在一起的小正方形可以找到1×2的小长方形2个，5个连在一起的小正方形可以找到1×2的小长方形4个，据此解答。
14．（2021四上·深圳竞赛）如图所示，由8个正六边形以及它们顶点间的连线组成一只蝴蝶，那么该图形中共有（ ）个平行四边形。
A．9 B．10 C．11 D．12
E．以上都不是
【答案】C
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【解答】 解：相邻两个正六边形重合部分为平行四边形，这样的平行四边形有7个，如下图：
正六边形可以看作由三个完全相同的平行四边形拼成，其余两部分已计算，那第3部分也要计算，这样有平行四边形有2个，如下图：
平行四边形的一组对边延长相等的长度，再组成的四边形是平行四边形，这样的平行四边形有2个，如下图：
所以，该图形中平行四边形有：
7+2+2=11（个）
故答案为：C。
【分析】 相邻两个正六边形重合部分为平行四边形，一个正六边形可以看作由三个完全相同的平行四边形拼成，平行四边形的一组对边延长相等的长度再组成的四边形是平行四边形，据此计数。
15．（2021六上·深圳竞赛）如图所示，图中正六边形有（ ）个。
A．6 B．10 C．11 D．13 E．15
【答案】C
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【解答】 解：①如图这样的图形有6个
②如图这样的图形有3个
③如图这样的图形有1个
④如图这样的六边形有1个
一共有6+3+1+1=11（个）
故答案为：C．
【分析】根据题意，分别统计出不同的正六边形的个数，再求和即可．
16．（2022六上·竞赛）图中可数出的三角形的个数为 。
【答案】72
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【解答】解：如图所示
线段AB、AC、DE、FG任取两条可以构成三角形的个数都是6，
共有 (个)
考虑到对称性，整个图形共有：
36×2=72 (个)
答：三角形的个数为72个。
故答案为：72
【分析】先算出从线段AB、AC、DE、FG中任取两条可以构成三角形的个数，根据组合原理，可求出组合图形一半的三角形个数，然后再根据其对称性，即可求出所有三角形的个数。
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