人教版九年级数学下册 27.3 位似 同步练习（含详解）

27.3 位似
一、单选题
1．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（　　）

A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（―1，2）
B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18）
D．（―1，2）或（1，―2）
3．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到．已知点，，则与的面积比是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A． B．2 C．4 D．
5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（　　）
A．（8，2） B．（9，1） C．（9，0） D．（10，0）
6．如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是（ ）
A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
7．如图，正方形和正方形是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点，点，则它们位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，两个正方形的面积之比为1：2，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（ ）
A．（，0） B．（，） C．（，） D．（2，2）
9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的异侧画，使与成位似图形，且相似比为，则线段DF的长度为（ ）
A． B．2 C． D．4
10．如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的周长为15，则的周长为（ ）

A．10 B．6 C．5 D．4
11．如图，四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是坐标原点O．若点，点，则与周长的比值是 ．
14．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD=2，则点B的坐标为 ．
15．如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心的坐标为 ．
16．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是 ．
17．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为 ．
18．如图，菱形ABCD与菱形A'BC'D'是位似图形，若AD＝6，A'D'＝4，则菱形A'BC'D'与菱形ABCD的位似比为 ．
19．如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，则与的面积比为 ．
三、解答题
20．如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．

(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．

(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；
(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
22．如图，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．
(1)求证：△ADP∽△BCP；
(2)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形；
(3)若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．
23．如图，是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．
(1)以点O为位似中心，画出的位似图形，使它与的相似比为2∶1．
(2)在线段上找出所有的点M，将线段DF分为两部分．
24．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．
(1)在图①中的线段上找一点D，线段上找一点E，连接，使是的中位线，并直接写出线段的长．
(2)在图②中，以点A为位似中心，作的位似，使与的面积比为．
答案
一、单选题
1．B
【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可．
【详解】解：∵以点O为位似中心，位似比为，
而A （4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）．
故选：B．
2．D
【详解】解：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似
∴△ ABO∽△A′B′O且＝
.∴＝＝
∴A′E＝AD＝2
OE＝OD＝1
∴A′（-1,2）
同理可得A′′（1,-2）
方法二：∵点A（-3，6）且相似比为
∴点A的对应点A′的坐标是（-3×，6×），
∴A′（-1,2）
∵点A′′和点A′（-1,2）关于原点O对称
∴A′′（1,-2）
故选：D．
3．A
【分析】根据题意求得位似比，根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵，将放大后得到．点，，
∴与的相似比为
则与的面积比是
故选A
4．D
【分析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．
【详解】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF＝=，
故选：D．
5．C
【分析】延长EB、DA交于点P，根据位似图形的对应点的连线相交于一点解答即可．
【详解】解：延长EB、DA交于点P，
则点P即为位似中心，位似中心的坐标为（9，0），
故选：C．
6．D
【分析】直接利用对应边的比等于相似比求解即可．
【详解】解：由B、D两点坐标可知：OB=1，OD=3；
△OAB 与△OCD的相似比等于；
故选D．
7．A
【分析】根据两个位似图形对应顶点所在的直线相交于一点，交点就是位似中心，可得连接DG并延长，其与x轴交点即为位似中心，用待定系数法求出直线DG解析式，即可求解．
【详解】解；连接DG并延长交x轴于M，
∵点D与点G是一对对应点，
则可知两个位似图形在位似中心的同旁，位似中心就是点M，
设直线DG解析式为； ，
将，代入得：
，
解得： ，
∴直线DG解析式为 ，
令y=0，可得： ，
即位似中心的坐标是．
故选A．
8．C
【分析】根据相似多边形的性质得到两个正方形的相似比为，根据正方形的性质求出点的坐标，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：正方形与正方形是位似图形，
正方形正方形，
两个正方形的面积之比为，
两个正方形的相似比为，
点的坐标为，四边形为正方形，
点的坐标为，
正方形与正方形是位似图形，为位似中心，
点的坐标为，，
故选：C．
9．A
【分析】根据勾股定理求出AC，再根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵A（2，2），B（4，2），C（4，4），
∴AB＝2，BC＝2，
由勾股定理得：AC＝＝，
∵以原点为位似中心，在原点的异侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，相似比为1：2，
∴线段DF的长度为AC＝，
故选：A．
10．B
【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为：，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案．
【详解】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形
∴
的周长为15，
故选B．
11.B
【分析】根据面积比是相似比的平方直接求解即可．
【详解】解：四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形， ，
则四边形与四边形的相似比为：，面积比为；
故选：B．
12.A
【分析】连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．继而求得答案．
【详解】解：∵如图，连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．
∴它们的位似中心是．
故选：A．
二、填空题
13.2
【分析】根据位似的定义，即可得出位似比=OA：OC，而与周长的比值等于位似比，即可得出答案．
【详解】∵与位似，位似中心是坐标原点O，点，点
∴OA=4，OC=2
∴与的位似比为：4：2=2：1
∴与周长的比值为：2：1
故答案为：2．
14.
【分析】根据位似比可得，由勾股定理得，求出的值，得到的值，进而可得答案．
【详解】解：∵与的位似比为，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
故答案为：．
15.
【分析】根据位似图形的对应顶点的连线交于一点并结合网格图中的格点特征确定位似中心．
【详解】解：连接DB，OA并延长，交于点M，点M即为位似中心
∴M点坐标为
故答案为：．
16.
【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论．
【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，
，
，
，
，
根据与的周长比等于相似比可得，
故答案为：．
17.
【分析】根据正方形ABCD的面积为4，求出，根据位似比求出，周长即可得出；
【详解】解：正方形ABCD的面积为4，
，
，
，
，
所求周长；
故答案为：．
18.23/
【分析】根据位似图形的位似比等于对应边的比，即可得出结论．
【详解】解：菱形ABCD与菱形A'BC'D'是位似图形
菱形A'BC'D'与菱形ABCD的位似比=
故答案为：23．
19.
【分析】先求出相似比为，再根据位似图形的性质即可得．
【详解】解：，
，
与是位似图形，
与的相似比为，
，
即与的面积比为，
故答案为：．
三、解答题
20.（1）如图，为所作．
（2）如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）．
21.（1）解：令，则
∴点A的坐标为，
将点代入得：
解得：
∴
将点代入得：
解得：
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N，
22.（1）证明：∵∠DAP＝∠CBP，∠DPA＝∠CPB，
∴ △ADP∽△BCP．
（2）解：△ADP与△BCP不是位似图形．
理由是：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．△ADP与△BCP的对应点的连线交于一个点，
∴ △ADP与△BCP不是位似图形．
（3）解：∵△ADP∽△BCP，
∴，
∵∠APB＝∠DPC，
∴△APB∽△DPC，
∴，
∴，
解得AP＝6．
23.（1）如图，即为所作，
（2）如图，点M即为所作，
24.（1）解：如图可知，A到的距离为4个单位，将A向下移动2个单位得到点F，过点F作的平行线，分别交于，连接，为所求．
作图如下，
，
是的中位线，
，
故线段的长为2 ；
（2）如图，将A向下移动2个单位得到点D，向下移动5个单位得到点E，
连接，
与的面积比为，
与的相似比为，
过点D分别作的平行线，
分别交于，
连接，
则，，
故为所求．