人教版九年级数学下册 28.1 锐角三角函数 同步练习（含含详解）

28.1 锐角三角函数
一、单选题
1．已知在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ）
A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定
3．如图，在中，，则（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，在中，，若，则的长为（ ）
A．8 B．12 C． D．
二、填空题
9．在中，，，如果，那么 ．
10．如果等腰三角形的腰与底边的比是，那么底角的余弦值等于 ．
11．如图矩形在平面直角坐标系中，若顶点A、B、D在坐标轴上，，，则点D的坐标 ．

12．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知BF＝6cm，且tan∠BAF＝，则折痕AE长是 ．
13．如图，在边长为1的正方形网格中，点在格点上，以为直径的圆过两点，则的值为 ．
14．如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的长为 ．
15．如图，在的外接圆中，，，点E为的中点，则的直径为 ．
16．如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则 ．

17．如图，矩形中，点G，E分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F．若，则 ．
三、解答题
18．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
19．如图，在平行四边形中，于点，于点，平行四边形的周长为28，面积为40，．求：
(1)的长；
(2)的值．
20．如图，直线与轴交于点，与直线交于点．求：
(1)点的坐标；
(2)的值．
21．如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使．
（1）若，求的周长；
（2）若，求的值．
22．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4，以A为圆心，AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．
(1)求BD的长；
(2)连接AD，求∠DAC的余弦值．
23．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．
(1)求证：△CEF≌△ADF；
(2)求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．
答案
一、单选题
1．A
【分析】根据正弦定义解答，正弦定义是在中，，∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．
【详解】解：∵中，，，，
∴,
故选A．
2．C
【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解．
【详解】解：∵∠C＝90°，
∴sinA＝∠A的对边与斜边的比，
∵△ABC的三边都缩小5倍，
∴∠A的对边与斜边的比不变，
∴sinA的值不变．
故选：C．
3．B
【分析】根据锐角三角函数正弦的定义即可得到答案．
【详解】解：，
故选：B．
4．C
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边求解即可．
【详解】解：如图，
∴
故选C．
5．B
【分析】连接（图先详解），构造直角三角形，利用直接求出的值．
【详解】解：如图，连接，
由网格可得出，
则，，
故．
故选：B．
6.D
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴，
∴．
故选：D．
7．D
【分析】过点A作于点D，在中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
【详解】解：如图，过点A作于点D，则，
∴，
∴，
故选：D．
8．C
【分析】利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC.
【详解】解：∵sinB==0.5，
∴AB=2AC，
∵AC=6，
∴AB=12，
∴BC==，
故选C.
二、填空题
9.
【分析】根据余弦定义求得，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
10.
【分析】如图，中，根据等腰三角形的腰与底边的比是，设腰长为，底边长，作于E，则，在中，根据，即可解决问题．
【详解】解：如图，中，
∵等腰三角形的腰与底边的比是，
设腰长为，底边长，
作于E，
∴，
在中，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】由矩形的性质可知，再利用，解直角三角形得，，进而可得，即可求得点的坐标．
【详解】解：∵四边形是矩形
∴
∵，，
∴，，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
12.
【分析】由折叠的性质得AF＝AD，EF＝DE，由矩形的性质得AF＝AD＝BC，DC＝AB，∠B＝∠C＝∠D＝90°，再由解得AB的值，由勾股定理得AF，知AD，CF的值，设EF＝DE＝xcm，则CE＝AB﹣DE＝（8﹣x）cm，然后在Rt△EFC中，由勾股定理求出x的值，在Rt△ADE中，由勾股定理得，计算求解即可．
【详解】解：由折叠的性质得：AF＝AD，EF＝DE
∵四边形ABCD为矩形
∴AF＝AD＝BC，DC＝AB，∠B＝∠C＝∠D＝90°
∵
∴
由勾股定理得（cm）
∴AD＝BC＝10（cm）
∴CF＝BC﹣BF＝4（cm）
设EF＝DE＝xcm，则CE＝（8﹣x）cm
在Rt△EFC中，由勾股定理得x2＝42+（8﹣x）2
解得：x＝5
∴DE＝5cm
在Rt△ADE中，由勾股定理得（cm）
故答案为：cm．
13.
【分析】根据圆周角定理得出∠BCD=∠BAD，在网格中利用勾股定理可得AB，利用等角的正弦值相同即可得出结果．
【详解】解：由图可得∠BCD=∠BAD，
在 ABD中，AD=4，BD=3，
∴AB=，
∴，
故答案为：．
14．3
【分析】在中，由正弦定义解得，再由勾股定理解得DE的长，根据同角的余角相等，得到，最后根据正弦定义解得CD的长即可解题．
【详解】解：在中，
在矩形中，
故答案为：3．
15．
【分析】连接，根据等腰三角形的性质得到，，根据正弦函数可求得半径，即可求解．
【详解】解：连接，则，
∵点E为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的直径为．
故答案为：．
16．5
【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得，，可得，，设，则，利用勾股定理可得，进而可得结果．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
根据折叠可知，可知，，
则，在中，，则，
∴，则，
设，则，
在中，，即：，
解得：，
即：，
故答案为：5．
17．
【分析】根据折叠的性质结合勾股定理求得GE，BC=AD=8，证得Rt△EGFRt△EAG，求得，再利用勾股定理得到DE的长，即可求解．
【详解】矩形中，GC=4，CE =3，∠C=90，
∴GE=，
根据折叠的性质：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE =∠C=90，
∴BG=GF=GC=4，
∴BC=AD=8，
∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180，
∴∠AGE=90，
∴Rt△EGFRt△EAG，
∴，即，
∴，
∴DE=，
∴，
故答案为：．
三、解答题
18.解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴．
．
19.（1）解：∵平行四边形中，，，平行四边形的周长为28，
∴，
又∵，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：∵在四边形中，，，，
∴，
又∵在平行四边形中，，
∴，
在中，，
∴．
20.（1）解：依题意，联立
解得
∴点的坐标为．
（2）如图，过点作轴于点，则，．
由，解得．
则．
∴．
∴．
∴，
∴，
即．
21.解：(1)如图，连接，设垂直平分线交于点F，
∵为垂直平分线，
∴，
∵，
∴．
(2)设，∴，
又∵，∴，
在中，．
∴．
22.（1）过点A作AH⊥BD于H，如图1所示：
∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4，
∴AB＝＝＝2，
∵AB AC＝BC AH，
∴AH＝＝＝，
∴BH＝＝＝，
∵AH⊥BD，
∴BH＝HD＝，
∴BD＝；
（2）过点D作DM⊥AC于M，如图2所示：
由（1）得：AH＝，BD＝，AB＝2，
∴AD＝AB＝2，CD＝BC﹣BD＝6﹣＝，
∵AH CD＝DM AC，
∴DM＝＝＝，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM＝＝＝，
∴cos∠DAC＝＝＝．
23.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，
根据折叠的性质得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，
∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，
在△CEF与△ADF中，
，
∴△CEF≌△ADF（AAS）；
（2）解：设DF＝a，则CF＝8﹣a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝x，
∴∠DCA＝∠BAC，
根据折叠的性质得：∠EAC＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠EAC，
∴AF＝CF＝8﹣a，
在Rt△ADF中，
∵AD2+DF2＝AF2，
∴x2+a2＝（8﹣a）2，
∴a＝，
∴tan∠DAF＝＝．