专题37 最值模型之瓜豆模型（原理）直线
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
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模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹） 1
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模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹）
瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同。
只要满足：
动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定点，连接AP，取AP中点Q，当点P在直线上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。
证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，
因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
模型2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ=为定值，当点P在直线BC上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。
证明：在BC上任取一点P1，作三角形△AP1Q1，且满足∠P1AQ1=，AQ1=AP1，连结Q1Q交BC于点N，
∵AP=AQ，AQ1=AP1，∠P1AQ1=∠PAQ=，，∴∠APP1=∠AQQ1，
∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ=，即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线．
当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。
1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；
2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。
3）确定动点轨迹的方法（重点）
①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）；
②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）；
③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；
④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；
注意：若动点轨迹用上述方法不好确定，则也可以将所求线段转化（常用中位线、全等、相似、对角线）为其他已知轨迹的线段求最值。
例1．（2024·山东泰安·校考一模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，
∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，
∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，
又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，
∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，
∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3，
∴CG的最小值＝，故选B．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键．
例2．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，是边长为2的等边三角形，点E为中线上的动点．连接，将绕点C顺时针旋转得到．连接，则 ，连接，则周长的最小值是 ．
【答案】
【分析】证明可得，得到点在射线上运动，如图所示，作点关于的对称点，连接，可得当三点共线时，取最小值，即，由得到，即得，进而由勾股定理得，据此即可求解．
【详解】解：∵为等边三角形，为高上的动点，，
∵将绕点顺时针旋转得到，，
，，，∴点在射线上运动，
如图所示，作点关于的对称点，连接，
设交于点，则，在中，，则，
当三点共线时，取最小值，即，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴周长的最小值为，故答案为：；．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
例3．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四边形为矩形，对角线与相交于点，点在边上，连接，过做，垂足为，连接，若，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，含直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，先根据面积法可计算的长为，根据三角形的三边关系可得：是一个定点，的轨迹为中垂线上的一部分，所以垂线段最短，可知的长是的最小值，最后由等边三角形三线合一的性质可得结论．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，，，
，，，，
，，
是一个定点，的轨迹为中垂线上的一部分，如下图所示，过点作于，过点作于，过点作于，所以垂线段最短，则的最小值为的值，
，，，中，，
，，，，
即的最小值为．故答案为：．
例4．（2023·安徽·合肥三模）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在BC，AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接BF交ED于点0，设EF与AC交于点G．根据菱形的性质可得点F在∠ABC的平分线上运动，从而得到当AF⊥BF时，AF的长最小．再证明△BEO∽△BAF，可得，再证明△AGE∽△ACB，，从而得到GF=1，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接BF交ED于点O，设EF与AC交于点G．
∵四边形BEFD是菱形，∴BF平分∠ABC，∴点F在∠ABC的平分线上运动，
∴当AF⊥BF时，AF的长最小．在菱形BEFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF∥BC，
∴EO∥AF，∴△BEO∽△BAF，∴，∴，
在中，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴BE=AE=2.5，
∵AF⊥BF，∴EF=2.5，∵EF∥BC，∴△AGE∽△ACB，
∴，∴，∴GF=EF-EG=1，
∵∠AGF=∠AGE=90°，∴．故选：A
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，准确得到点F在∠ABC的平分线上运动是解题的关键．
例5．（2024·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 .
【答案】//
【分析】如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论．
【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．
∵四边形是矩形，∴，∵都是等边三角形，
∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，
∵，，∴点Q在射线上运动，
∵，∴，∵，∴．据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射线上运动．
例6．（2024·重庆模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点逆时针旋转，得到点，连接，则最小值为______．
【答案】
【分析】设，作轴，作，作，根据可证明，由此可求，令，，可得在直线上运动，当时，的值最小，再由得，进而得出，即可得出答案．
【详解】设，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
∵，∴.
∵，∴.
∵，∴，∴，.
∵，∴，，∴，
令，，∴，
∴点在直线上运动，当时，的值最小.
在中，令，则，令，则，∴，，∴．
∵，∴，∴，
在中，令，则，∴，∴.
∵，即，解得，所以的最小值为.故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象及性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，确定点的运动轨迹是解题的关键．
例7．（2024·广东·九年级校考期中）如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（ ）
A．2 B．2.5 C． D．
【答案】B
【分析】取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答．
【详解】解：取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H，∴，
∵，，，∴，
∵点D是的中点，∴，∴，
由旋转得：，，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，
当时，即当点E和点H重合时，有最小值，且最小值为2.5，
∴长的最小值是2.5，故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
1．（2024·河南周口·一模）如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（ ）.
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识．取的中点．连接，，，作交的延长线于．利用全等三角形的性质证明，点的运动轨迹是射线，由“”可证，可得，推出，求出即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点．连接，，，作交的延长线于，
，，，点是的中点，，，
，是等边三角形，，，
，，，，
，，点的运动轨迹是射线，
，，，，，，
在中，，，，，，
在中，，，的最小值为，故选：C．
2．（2024·湖南长沙·一模）如图，矩形中，，F是上一点，E为上一点，且，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，，设交于J．证明，根据垂线段最短计算即可．
【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，，设交于J．
∵四边形是矩形，，，，
∴，，，，∴，
∵，∴，
在和中，∵，∴∴，
∴点G的在射线上运动，∴当时，的值最小，
∵，∴，
∴四边形是矩形，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握相应的知识是解题的关键．
3．（2023·江苏宿迁·三模）如图，在矩形中，，，点为矩形对角线上一动点，连接，以为边向上作正方形，对角线交于点，连接，则线段的最小值为
【答案】
【分析】作于点则由正方形的性质得所以 取的中点连接以点为圆心为半径作则点、点都在上, 所以可知点在过点且与直线所交成的锐角为的直线上运动，则当时，线段的值最小，此时由矩形的性质得，则由得所以于是得到问题的答案．
【详解】如图，作于点，则∵四边形是正方形，
∴且
取的中点连接以点为圆心为半径作，
∴点、 点都在上，
∴点在过点且与直线所交成的锐角为的直线上运动，
∴当时，线段的值最小，如图，则
∵点、点都在以为直径的圆上，，，
∵四边形是矩形，，
，
∴的最小值为故答案为：．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、正方形的性质、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
4．（2023上·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，已知，B为上一点，于A，四边形为正方形，P为射线上一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得，连接，若，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等以及垂线段最短进行解答．连接，依据构造全等三角形，即，将的长转化为的长，再依据垂线段最短得到当最短时，亦最短，根据，，即可求得的长的最小值．
【详解】解：如图，连接，
由题意可得，∴ ，
在和中，， ∴，∴，
当时，最短，此时也最短，
∵， ，∴，∴ ∴，
∴当时， ，∴的最小值为．故答案为：．
5．（2023上·陕西渭南·九年级统考期中）如图，在矩形中，，点为边的中点，连接．点是边上一动点，点为边的中点，连接．当时，的最小值是 ．
【答案】
【分析】取的中点，连接，作于点，根据四边形为矩形，得，根据点为边的中点，点为的中点，得，，可得，根据得四边形为平行四边形，则，根据得与的交点为的中点，根据为的中点，得过点，即点在线段上随点运动而运动，当时有最小值，则即为所求，根据勾股定理得，根据得，根据得，则，进行计算即可得．
【详解】解：如图所示，取的中点H，连接，作于点，
∵四边形为矩形，，∴，∵点为边的中点，点H为的中点，
∴，，∴，
∵，∴四边形为平行四边形，∴，
∵，∴与的交点为的中点，∵G为的中点，
∴过点G，即点G在线段上随点F运动而运动，当时有最小值，则即为所求，
∵，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了线段最小值，矩形的性质，垂线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线．
6．（2023上·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点C是y轴上一动点，设其坐标为，线段绕点C逆时针旋转至线段，则点B的坐标为 ，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形变化一旋转，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型．
设，过点作轴，垂足为点，证明，推出，可得点的坐标为，推出点的运动轨迹是直线，根据垂线段最短解决问题即可．
【详解】设，过点作轴，垂足为点，
∵线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，
∵点，点，∴点的坐标为，∴点的运动轨迹是直线，
∵直线交轴于，交轴于，
过点作于．则，
根据垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为，故答案为：；．
7．（2024·山东校考一模）如图，正方形中，，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】上截取，过点作交的延长线于点，证明，是等腰直角三角形，进而根据垂线段最短即可求解．
【详解】如图，上截取，过点作交的延长线于点，
正方形中，，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，
是等腰直角三角形,
在射线上运动，
则是等腰直角三角形，与点重合时，取得最小值，等于
即的最小值为故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，求得的轨迹是解题的关键．
8．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，在矩形中，，，点为边上的动点，连接，过点作，且，连接，则线段长度的最小值为______．
【答案】
【分析】如图：在取一点T使得，连接，在上取一点K，使得
，连接，利用全等三角形的性质证明，由矩形的性可得、，进而推出点F在射线上运动，当时值最小．
【详解】解：如图：在取一点T使得，连接，在上取一点K，使得
，连接
∵∴，∴，
∵，，∴，
∵，∴∴,
∵矩形中，，∴，
∵,∴，∴,
点F在射线上运动，当时，的值最小，最小值为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形并确定是解答本题的关键．
9．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点在直线上，于点，，点在直线上运动，以为边作等边，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短，以为边作等边，连接，证明，由全等三角形的性质得出，过点作于点，则的最小值为，再直角三角形的性质求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，以为边作等边，连接，∴，，
∵为等边三角形，∴，，∴，∴，
∴， ∴最小时，有最小值，∵为直线上的动点，过点作于点，
∴的最小值为，∵，∴，∴，∴，
∴ 的最小值为， 故答案为：．
10．（2024·四川达州·三模）如图，在等腰中，，，点是边上一动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接， ，则的最小值是 ．
【答案】/
【分析】在上取一点，连接，使,在上截取，连接， 作直线, 因为, ,所以，，，求得，可证明，得， 可知点在经过上的定点且与相交成的锐角等于的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接、、， 则，，则，， 可证明，所以点在的延长线上，，作于点，则 ，， 所以，求得，由得，则的最小值，于是得到问题的答案．
【详解】解：在上取一点，连接，使，在上截取，连接，作直线，
∵，，∴，，
，∴，
∵由旋转得，，∴，
在和中，，∴，∴，
∴点在经过上的定点且与相交成的锐角等于的直线上运动，
作点关于直线的对称点，连接交于点，连接、、，
∵垂直平分，是等边三角形，∴，，，，
∴，，∴，
∴，连接，则，
∵，∴，∴点在的延长线上，∴，
作于点，则，，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴的最小值是，故答案为：．
【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
11．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形中，，点，为直线上的两个动点，且，将线段关于翻折得线段，连接．当线段的长度最小时，的度数为 度．
【答案】75
【分析】将线段绕点B顺时针旋转后点A落在点E，连接，得到，再由当时，有最小值，可得与均为30°、60°、90°直角三角形，再证明为等腰直角三角形，是等边三角形，进而得到，最后当于H时，有最小值，由此可以求出．
【详解】解：将线段绕点B顺时针旋转后点A落在点E，连接，设交于G点，如下图所示：在矩形中，，，根据折叠可知，，，
∴，，∴，
∵，，∴，∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴点在上，
∵垂线段最短，∴当时，有最小值，∴与均为、、直角三角形，
设，，则，，，
∴，∵，∴，∴，
∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，
∵，，∴是等边三角形，∴，
∴，∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法、矩形的性质、旋转的性质、轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，属于四边形的综合题，难度较大，熟练掌握各图形的性质是解题的关键．
12．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，连接，则的最小值为 ．
【答案】9
【分析】连接，根据等腰三角形的三线合一得到点F在的平分线上，根据含角的直角三角形的性质、勾股定理计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
∵为等边三角形，F是的中点， ∴，平分，即点F在的平分线上，
如图，当，点D在上时，最小，
在中，， 则，
由勾股定理得：，
∵平分，， ∴， ∴，
∴， ∴， ∴， 故答案为：9．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短，得出，点D在上时，最小是解题的关键．
13．（2024九年级下·江苏·专题练习）等边边长为6，D是中点，E在上运动，连接，在下方作等边，则周长的最小值为 ．
【答案】/
【分析】连接，由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明，从而可以得出，作点D关于的对称点G，连接，则，依据当B，F，G在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小．
【详解】解：如图，连接，
∵都是等边三角形，∴，，
，
∴，∴，∴，
∴，如图，作点D关于的对称点G，连接，则，，
∴当B，F，G在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小，
∴，∴．
∴周长：．故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解直角三角形，轴对称的性质，垂线段最短等知识．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
14．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）在等腰△ABC中，AC＝AB，D是BC延长线上一点，E是线段AB上一点，连接DE交AC于点F．
(1)如图1，求证：；(2)如图2，若∠A＝90°，DF＝EF，DF：AE＝5：3，DF＝2，求CD的长；
(3)如图3，若∠1＝60°，BC＝2CD＝6，E在直线AB上运动，以DE为斜边向上构造直角△DTE，且∠E＝30°，请直接写出CT的最小值是 ．
【答案】(1)证明见解析(2)CD的长为(3)
【分析】（1）如图1，作，与交于，可得，，证明，有，进而可证；
（2）如图2，作，与交于，由（1）可知，由题意知是等腰直角三角形，为中点，有为的中位线，根据，，求解，在中，由勾股定理得，求的，设，则，根据可得，求解的值，进而可得到的值；
（3）如图3，分别为中点，连接，作与重合时的，证明，均为等边三角形，分别为中点，可知为的中位线，有，，可说明、、三点共线，得中点的运动轨迹为过的一条平行于直线的直线，即，证明，，可知，的运动轨迹为过的一条平行于直线的直线，即，进而可知的最小值即为与两平行线之间的距离，根据，计算求解的值即可．
【详解】（1）证明：如图1，作，与交于，
∵∴∵∴∴∴
∵，∴∴∴．
（2）解：如图2，作，与交于，
由（1）可知，∵，∴是等腰直角三角形
∵，为中点∴为的中位线∴∵，∴
在中，由勾股定理得设，则
∵∴即解得∴∴，
∴∴∴的长为．
（3）解：如图3，分别为中点，连接，作与重合时的，
∵，∴，
∴是等边三角形 同理也是等边三角形
∵分别为中点∴为的中位线∴
∵∴∴、、三点共线
∴中点的运动轨迹为过的一条平行于直线的直线，即
∵，∴
在和中∵∴
∴∴
∴的运动轨迹为过的一条平行于直线的直线，即
∴的最小值即为与两平行线之间的距离 ∵∴∴，
∵∴解得故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，中位线，含30°的直角三角形，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的灵活运用．
15．（2023·山东临沂·二模）如图，矩形中，，，点E在线段上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．
(1)当点E在上时，作，垂足为M，求证：；(2)连接，点E从点B运动到点C的过程中，试探究是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)存在，
【分析】（1）利用旋转的性质，证明，即可得出结论；
（2）过点作于点，于交点为，根据全等和勾股定理，得出，点在射线上运动，当点与点重合时，有最小值，证明，得出，，进而得到，再证明，求出的长，即可得到的最小值．
【详解】（1）证明：由旋转的性质可知，，，，
在和中，，，
（2）解：存在，理由如下：如图，过点作于点，于交点为，
在矩形中，，，，，
，，，
，点在射线上运动，当点与点重合时，有最小值，
，，，，，
，，，
，，，，
，即的最小值为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，最短线段等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
16．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点．(1)如图，若，，求点与点之间的距离；(2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值；(3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______．
【答案】(1)或；(2)；(3)．
【分析】（）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为，解方程即可；（）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为然后由二次函数的性质求解即可；（）连接，由四边形是正方形，得，即点对角线所在直线上运动，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：设，则，∵四边形、是正方形，
∴，，，
∴，，
∵，∴，∴,∴，
∴，即，则，解得：或，∴或；
（2）设，则，∵四边形、是正方形，
∴，，，
∴，，
∵，∴，∴，∴，
∴，即，∴，
当时，有最大，最大值为；
（3）连接，∵四边形是正方形，∴，即点在对角线所在直线上运动，
如图，作关于的对称点，连接，过作于点，
∴，四边形为矩形，则点三点共线，，
∴，∴，
∵，点是的中点，∴，∴，
∴当三点共线时，有最小值，
∴在中，由勾股定理得：，
∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解一元二次方程，二次函数的最值，两点之间线段最短等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
17．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）【问题初探】数学课上张老师在讲完正方形的性质之后提出了一个问题：四边形是边长为3的正方形，点E是边上的一动点，连接，以为一边作正方形（点C，E，F，G按顺时针方向排列），连接，．
(1)如图1，求点G到的距离，请写出解答过程；
【类比分析】爱动脑的数学兴趣小组在研讨的过程中，也提出了一个问题：
(2)如图2，当经过点D时，求的长，请写出解答过程；
【学以致用】看到同学们兴致勃勃的样子，张老师说：“角相等可以是三角形全等的条件，也能推导出相似”，于是给同学们留了一道思考题：
(3)求代数式的最小值．经过小组研讨，组长小明进行了整理，给出了部分解题思路；
解题思路：如图3，作等腰直角，使，连接，，，则点C，D，三点共线，
由，，可得，
由，，可得，……请完成“……”部分的解答过程．
【答案】(1)3(2)(3)
【分析】（1）如图1，作于H，可证得，从而；
（2）作，交的延长线于点X，作于H，可证得，从而，可得出，从而，进而，进而得出，进一步即可解答；
（3）由题意可得从而，点F在过且与夹角为 的直线上运动，从而得出，延长至V，使，连接，则的最小值为的长，作，交的延长线于点Z，得等腰直角三角形，可求得，进而完成解答．
【详解】（1）解：如图1：作于H，∴，
∵四边形和四边形是正方形，∴，
∴，
∴，∴，∴．
（2）解：如图2：作，交的延长线于点X，作于H，
同理（1）可知：，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，∴，
∴，∴．
（3）解：如图3，∴，
∴，点F在过且与夹角为 的直线上运动，∴，
延长至V，使，连接，则的最小值为的长，作，交的延长线于点Z，可得等腰直角三角形，∴，
∴，∴，∴的最小值为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，利用相似三角形的性质转化线段是解决问题的关键．
18．（2024·山东济南·一模）【问题情境】：（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______．
【类比探究】：（2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接．判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由：
【拓展提升】：（3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．
【答案】（1）；（2）判断：，理由见解析；（3）
【分析】（1）由正方形的性质得，，，，则有，即可证明，有成立；（2）由矩形的性质得，，结合题意可证得，则有，故；（3）过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，结合矩形的性质证得，有，即可证得，得到，得，则点G的运动轨迹是直线，作点D关于直线的对称点，则，得到的值最小为，将，利用勾股定理即可求得．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，∴，，
∵四边形是正方形，∴，，∴，
则，那么，，故答案为：；
（2）判断：，理由如下：∵四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，∴，
∵，，∴
∴，∴，∴；故答案为：；
（3）如图，过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，
则，∵四边形是矩形，∴，，，
∵，∴，∵，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴点G的运动轨迹是直线，
作点D关于直线的对称点，则，
∴当点B，G，三点同一直线时，的值最小，即为，由（2）得 ，∴，
∴，∴的最小值为的最小值，即，
∵，，∴，
∴∴，∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和线段之间的转化及最短距离的求解．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题37 最值模型之瓜豆模型（原理）直线
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
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模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹） 1
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模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹）
瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同。
只要满足：
动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定点，连接AP，取AP中点Q，当点P在直线上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。
证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，
因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
模型2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ=为定值，当点P在直线BC上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。
证明：在BC上任取一点P1，作三角形△AP1Q1，且满足∠P1AQ1=，AQ1=AP1，连结Q1Q交BC于点N，
∵AP=AQ，AQ1=AP1，∠P1AQ1=∠PAQ=，，∴∠APP1=∠AQQ1，
∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ=，即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线．
当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。
1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；
2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。
3）确定动点轨迹的方法（重点）
①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）；
②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）；
③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；
④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；
注意：若动点轨迹用上述方法不好确定，则也可以将所求线段转化（常用中位线、全等、相似、对角线）为其他已知轨迹的线段求最值。
例1．（2024·山东泰安·校考一模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
例2．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，是边长为2的等边三角形，点E为中线上的动点．连接，将绕点C顺时针旋转得到．连接，则 ，连接，则周长的最小值是 ．
例3．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四边形为矩形，对角线与相交于点，点在边上，连接，过做，垂足为，连接，若，，则的最小值为 ．
例4．（2023·安徽·合肥三模）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在BC，AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2024·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 .
例6．（2024·重庆模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点逆时针旋转，得到点，连接，则最小值为______．
例7．（2024·广东·九年级校考期中）如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（ ）
A．2 B．2.5 C． D．
1．（2024·河南周口·一模）如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（ ）.
A．4 B． C． D．
2．（2024·湖南长沙·一模）如图，矩形中，，F是上一点，E为上一点，且，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，则的最小值为 ．
3．（2023·江苏宿迁·三模）如图，在矩形中，，，点为矩形对角线上一动点，连接，以为边向上作正方形，对角线交于点，连接，则线段的最小值为
4．（2023上·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，已知，B为上一点，于A，四边形为正方形，P为射线上一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得，连接，若，则的最小值为 ．
5．（2023上·陕西渭南·九年级统考期中）如图，在矩形中，，点为边的中点，连接．点是边上一动点，点为边的中点，连接．当时，的最小值是 ．
6．（2023上·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点C是y轴上一动点，设其坐标为，线段绕点C逆时针旋转至线段，则点B的坐标为 ，连接，则的最小值是 ．
7．（2024·山东校考一模）如图，正方形中，，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，则的最小值为__________．
8．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，在矩形中，，，点为边上的动点，连接，过点作，且，连接，则线段长度的最小值为______．
9．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点在直线上，于点，，点在直线上运动，以为边作等边，连接，则的最小值为 ．
10．（2024·四川达州·三模）如图，在等腰中，，，点是边上一动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接， ，则的最小值是 ．
11．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形中，，点，为直线上的两个动点，且，将线段关于翻折得线段，连接．当线段的长度最小时，的度数为 度．
12．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，连接，则的最小值为 ．
13．（2024九年级下·江苏·专题练习）等边边长为6，D是中点，E在上运动，连接，在下方作等边，则周长的最小值为 ．
14．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）在等腰△ABC中，AC＝AB，D是BC延长线上一点，E是线段AB上一点，连接DE交AC于点F．
(1)如图1，求证：；(2)如图2，若∠A＝90°，DF＝EF，DF：AE＝5：3，DF＝2，求CD的长；
(3)如图3，若∠1＝60°，BC＝2CD＝6，E在直线AB上运动，以DE为斜边向上构造直角△DTE，且∠E＝30°，请直接写出CT的最小值是 ．
15．（2023·山东临沂·二模）如图，矩形中，，，点E在线段上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．
(1)当点E在上时，作，垂足为M，求证：；(2)连接，点E从点B运动到点C的过程中，试探究是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
16．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点．(1)如图，若，，求点与点之间的距离；(2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值；(3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______．
17．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）【问题初探】数学课上张老师在讲完正方形的性质之后提出了一个问题：四边形是边长为3的正方形，点E是边上的一动点，连接，以为一边作正方形（点C，E，F，G按顺时针方向排列），连接，．
(1)如图1，求点G到的距离，请写出解答过程；
【类比分析】爱动脑的数学兴趣小组在研讨的过程中，也提出了一个问题：
(2)如图2，当经过点D时，求的长，请写出解答过程；
【学以致用】看到同学们兴致勃勃的样子，张老师说：“角相等可以是三角形全等的条件，也能推导出相似”，于是给同学们留了一道思考题：
(3)求代数式的最小值．经过小组研讨，组长小明进行了整理，给出了部分解题思路；
解题思路：如图3，作等腰直角，使，连接，，，则点C，D，三点共线，
由，，可得，
由，，可得，……请完成“……”部分的解答过程．
18．（2024·山东济南·一模）【问题情境】：（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______．
【类比探究】：（2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接．判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由：
【拓展提升】：（3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
