专题38 最值模型之瓜豆模型（原理）曲线
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
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模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） 1
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模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）
“主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。
模型1、运动轨迹为圆弧
模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？
分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。
此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。
分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。
（1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）
如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。
（2） 定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。
例1.（2024·河南南阳·三模）如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形、三角形中位线定理、勾股定理，连接交于，连接，由题意得出是的中位线，则，从而得到当最小值，最小，即当运动到时，最小，此时也为最小，求出的长即可得出答案．
【详解】解：如图，连接交于，连接，
∵，，∴，，∴，
，
∵点是的中点，∴，∴是的中位线，∴，
∴当最小值，最小，∴当运动到时，最小，此时也为最小，
∵，∴的最小值为，故选：A．
例2．（2023·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则点C到直线的最小距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】先确定点的轨迹是，则C到直线的最小距离为，根据相似得到边长的数量关系，列方程直接求解即可．
【详解】解：连接，如图，
∵点C为弦的中点，∴，∴，∴点C在以为直径的圆上（点O、A除外），
以为直径作，过P点作直线于H，交于M、N，
当时，，则，当时，，解得，则，
∴，∴，∵的半径为2，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
即，解得，∴ ， ．
∴点C到直线的最小距离为．故选：C．
【点睛】此题考查圆与三角形的综合，解题关键是先确定点的轨迹是圆，则C到直线的最小距离为，根据相似列方程直接求解即可．
例3．（2023春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ．
【答案】/
【分析】连接、，将绕点B逆时针旋转得到，连接，通过证明，得出，从而得出点Q在以点为圆心，为半径的圆上运动；则当点O，，P三点在同一直线上时，取最大值，易证为等边三角形，求出，即可求出．
【详解】解：连接、，将绕点B逆时针旋转得到，连接，
∵绕点B逆时针旋转得到，∴，，
∵为等边三角形，∴，，
∴，即，
在和中，，∴，
∵，四边形为正方形，∴，则，
∴，∴点Q在以点为圆心，为半径的圆上运动；
∴当点O，，P三点在同一直线上时，取最大值，
在中，根据勾股定理可得：，
∵，， ∴为等边三角形，∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查看瓜豆模型——圆生圆模型，解题的关键是确定从动点Q的运动轨迹，以及熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．
例4．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是上一点，的半径为2，将绕O点顺时针方向旋转得，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】A
【分析】把绕O点顺时针方向旋转得，过点作轴于点，过点作轴于点，以点为圆心作，使的半径为2， 点B是上一点，则点是上一点，当点三点共线，即点在上时，最小．
【详解】解：如图，把绕O点顺时针方向旋转得，过点作轴于点，过点作轴于点，以点为圆心作，使的半径为2，
，，
，，，，
过作于点，，
在中，，
点B是上一点，则点是上一点，，
当点三点共线，即点在上时，最小，
，故线段的最小值为．故选：A．
【点睛】本题考查了圆的基本概念，动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，本题的关键是作出正确的辅助线，运用数形结合的思想方法．
例5．（2024·江苏南通·校考模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半，得到线段DF，连结AF，则AF的最小值是 ．
【答案】
【分析】通过证可得，由勾股定理可得，根据三角形三边关系求AF的最小值即可；
【详解】解：如图，取CD中点G，连接AE、GF、AG，
∵ED⊥DF，∴∠EDF=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠GDA=90°，
∵∠GDF+∠FDA=90°，∠FDA+∠ADE=90°，∴∠GDF=∠ADE，
∵，∴，∴，
又AE=1，解得，由勾股定理可得，，
由三边的关系可得，AF的最小值为：AG-GF=；故答案为：.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，掌握相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键.
例6．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ．
【答案】/
【分析】作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，点在半径为1的上，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作，使得，，则，，，
，，，，，
，即（定长），点是定点，是定长，点在半径为1的上，
，的最大值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
例7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，圆的确定，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，取的中点，连接，，证明在以为圆心，为半径的圆上，即可得到答案．
【详解】解：如图，取的中点，连接，，
∵为的中点，，∴，∴在以为圆心，为半径的圆上，
当C，Q，G三点共线时，最大，，
∵，，，∴，∴，
∴，即的最大值为．故选A
例8．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形与图形给出如下定义：为图形上任意一点，将图形绕点顺时针旋转得到，将所有组成的图形记作，称是图形关于图形的“关联图形”．(1)已知，，，其中．若，请在图中画出点关于线段的“关联图形”；若点关于线段的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出的取值范围；(2)对于平面上一条长度为的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形”上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出的取值范围（用含和的式子表示）．
【答案】(1)①见详解；②或(2)
【分析】（）根据新定义找出关键点的旋转后连接即可；同上理分情况讨论即可；
（）画出分析图，如图所示，线段的长度为，圆的半径为，易得且相似比为，再移动图形即可求出；本题考查了旋转的性质，圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示：线段即为所求；
如图：当 时，点关于线段的“关联图形”与轴恰有公共点，
∴时，点关于线段的“关联图形”与轴有公共点；
当 时，点关于线段的“关联图形”与轴恰有公共点，
∴时，点关于线段的“关联图形”与轴有公共点；
综上所述：或；
（2）如图，画出分析图，如图所示，线段的长度为，圆的半径为，
点分别绕点顺时针旋转得到，分析可知且相似比为，
可得圆的半径均为，随意转动图，可得．
1．（2024·安徽淮北·三模）如图，线段，点为的中点，动点到点的距离是1，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最大值是（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】以为斜边向上作等腰直角，连接，．利用相似三角形的性质证明，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，根据，可得结论．
【详解】解：以为斜边向上作等腰直角，连接，．
，，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
∴，同理，，，
，，，，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
，，故线段长度的最大值为．故选：D．
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，点与圆的位置关系，三角形三边关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了解直角三角形，根据阿氏圆的定义，分别固定，分别确定A点的运动轨迹为阿氏圆O，C点的运动轨迹为阿氏圆，，由此可知，当最最小时，的值最大，进行求解即可.
【详解】解：固定，则，∴A点的运动轨迹为阿氏圆O，
设，则，，则，
∵，，∴C点的运动轨迹为阿氏圆，∴，
∴，∴当最小时，的值最大，
，∴，故选：D．
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】作的外接圆，连接，取的中点Q，连接，证明是等边三角形，求出，得到点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出，当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值，根据等边三角形的性质及勾股定理即可求解．
【详解】解：作的外接圆，连接，取的中点Q，连接，
∵，，∴是等边三角形，∵，∴，
∵，，∴，∴点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出，
当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值，
∵是等边三角形，，∴，
∵，，∴．∴的最小值是，故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形，点到圆上的距离，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线构造三角形外接圆是解题的关键．
4．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）等边的边长为，是上一点，，把绕点旋转一周，点的对应点为，连接，的中点为，连接．则长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形中位线的性质及三边关系，取中点，连接，利用等边三角形的性质和勾股定理求出，根据三角形中位线定理得到，再利用三角形三边关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：∵，把统点旋转一周，∴ ，
等边的边长为，点是中点，∴，， ∴，
∵点是的中点，∴，又∵，∴，
在中，，∴的最小值为，故选：．
5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，圆的确定，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，取的中点，连接，，证明在以为圆心，为半径的圆上，即可得到答案．
【详解】解：如图，取的中点，连接，，
∵为的中点，，∴，∴在以为圆心，为半径的圆上，
当C，Q，G三点共线时，最大，，
∵，，，∴，∴，
∴，即的最大值为．故选A
6．（2024·河南郑州·三模）如图，点M是等边三角形边的中点，P是三角形内一点，连接，将线段以A为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、圆的有关定义以及和性质等知识，得到点Q的运动路线是解答的关键．连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，，由旋转性质可推导，是等边三角形，则，，根据圆的定义可得点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动，进而可知当M、Q、H共线时，最小，最小值为，根据等边三角形的性质求得值即可求解．
【详解】解：连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，，
由旋转性质得，，，即，
∴，是等边三角形，∴，，
则点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动，
∵，∴当M、Q、H共线时，最小，最小值为，
∵点M是等边三角形边的中点，，∴，，
∴，即，∴的最小值为，故答案为：．
7．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解．
【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，
的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，
如图，当、、三点共线时，的值最小，
四边形是正方形，，，
是的中点，，，
由旋转得：，，
，的值最小为．故答案：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．
8．（2024年成都市树德实验中学西区中考数学诊断试题）如图，，，点是线段上一个动点，连接，将线段沿直线进行翻折，点落在点处，连接，以为斜边在直线的左侧或者下方构造等腰直角三角形，则点从运动到的过程中，线段的最小值是 ，当从点运动到点时，点的运动总路径长是 ．
【答案】
【分析】由，可得在以为圆心，为半径的圆上运动从运动到，当、、共线时，最小；连接，，可证明∽，从而得出，故点在以为圆心，为半径的圆上运动，当点从点运动到点时，点运动，进一步求得结果．
【详解】解：如图，连接，而，，
∴，由折叠得：，
点在以为圆心，为半径的圆上运动从运动到，
当、、共线时，最小，，连接，
，，，同理：，
，，，
，∽，，，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图，
当点从点运动到点时，点运动，
，点运动的路径长为：，故答案为：，．
【点睛】本题考查了轴对称性质，等腰直角三角形性质，相似三角形判定和性质，确定圆的条件，圆的周长公式等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
9.（2023·深圳外国语学校中考模拟预测）如图，已知正方形的边长为4，以点A为圆心，2为半径作圆，E是上的任意一点，将线段绕点D顺时针方向旋转并缩短到原来的一半，得到线段，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】通过证可得，由勾股定理可得，根据三角形三边关系求的最小值即可；
【详解】解：如图，取中点T，连接，
∵四边形是正方形，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴的最小值为
10．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，，，是矩形左侧一点，连接、，且，连接，为的中点，连接，则的最大值为 ．
【答案】3
【分析】延长至F，使，连接，点O为的中点，以点O为圆心，为直径作圆，连接，延长线交于点，交于点G，连接；由且点Q在矩形的左侧知，点Q是在上运动，由题意及辅助线作法知，为的中位线，则，当F、O、Q三点共线时，最长，最大值为的长度；利用相似三角形的性质可求得的长，从而求得，最后求出的长，从而可求得的最大值．
【详解】如图，延长至F，使，连接，点O为的中点，以点O为圆心，为直径作圆，连接，延长线交于点，交于点G，连接，
∵，∴点Q是在以点O为圆心，为直径的圆上运动，
∵Q是矩形左侧一点，∴点Q是在上运动，
∵，∴点C为的中点，∵点E为的中点，∴为的中位线，∴，
∵，∴当F、O、Q三点共线时，最长，此时的最大值为的长度，
∵，∴，∵四边形为矩形，，，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
设，则，∴，解得：，∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，∴，∴．故答案为：3．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆的基本知识，确定出点Q的运动路径、求的最大值转化为求的最大值是解题的关键与难点．
11．（2024·四川泸州·二模）如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最大值问题．连接，证明，得到，点在以为圆心，2为半径的上，当在对角线延长线上时，最大，再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最大值．
【详解】解：连接，∵正方形，∴，，
∵将绕点逆时针旋转得到，∴，，∴，
∴，∴，∴点在以为圆心，2为半径的上，
如图，当在对角线延长线上时，最大，
在中，，∴，
即长度的最大值为，故答案为：．
12.（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，是上任意一点，点在外，已知，是等边三角形，则的面积的最大值为
【答案】
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形面积的计算，找出点的位置变换是解题的关键．
如图所示，以为边作等边，连接，可证，可得，点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值，根据等边三角形，含角的直角三角形的性质可求出，的值，根据三角形的面积即可求解．
【详解】解：如图所示，以为边作等边，连接，
∵是等边三角形，∴，
∵是等边三角形，∴，
∴，且，，∴，∴，
∴点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值，
∴在中，，，，∴，
∴，且，∴，
∴，故答案为：．
13．（2024·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以点B为圆心，BD长为半径作圆，点E为上的动点，连结EC，作FC⊥CE，垂足为C，点F在直线BC的上方，且满足，连结BF．当点E与点D重合时，BF的值为 ．点E在上运动过程中，BF存在最大值为 ．
【答案】 /
【分析】根据题意可知当点E与点D重合时，点F在AC上，且可求出的长，从而可求出CF的长，即在中，利用勾股定理求出BF的长即可；连接AF、BE，由题意即可求出．再根据，，可得出，即证明，得出．从而可求出AF的长，即说明点F在以点A为圆心，半径为1的圆上运动．则可知当点F在BA的延长线上时BF最大，最大值为．在中，利用勾股定理求出AB的值，即得出答案．
【详解】根据题意可知，当点E与点D重合时，点F在AC上，如图，
∵，∴．
∴在中，；如图，连接AF、BE
∵，，∴．
∵，，∴，
∴，∴．
∵，∴，即AF的长为定值．∴点F在以点A为圆心，半径为1的圆上运动．
∴当点F在BA的延长线上时BF最大，且值为．
在中，，∴．故答案为：，．
【点睛】本题考查勾股定理，三角形相似的判定和性质，较难．利用数形结合的思想是解答本题的关键．在解决第二个空时，证明出点F在以点A为圆心，半径为1的圆上运动是关键．
14．（23-24九年级·重庆·阶段练习）如图，，为的中点，的半径为1，点是上一动点，以为直角边的等腰直角三角形（点、、按逆时针方向排列），则线段的长的取值范围为 ．
【答案】
【解答】解：如图，作，在上截取，连接、、、．
，，，，
是等腰直角三角形，，，
，，，，
，点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆，，
的最大值为，的最小值，．
15．（2024·浙江·一模）如图，在矩形中，，是线段上一动点，点，绕点逆时针旋转得到点，，若在运动过程中的度数最大值恰好为，则的长度为 ．
【答案】
【分析】根据点与圆的位置关系，由，得到，根据，得到，结合，得到，由旋转的性质可得，根据可以取最大值3，即可求解，
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，点与圆的位置关系，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是：根据的最大值，得到的最大值．
【详解】解：作中点，中点，分别以、为圆心画圆，连接、，，
由旋转的性质，矩形的性质，可得：，，
在旋转的过程中当时，，
∵，∴，即：，
∵点在线段上，∴，∴，即，
由旋转的性质可得：，∴，
∴当可以取到最大值3时，的度数最大值恰好为，
当，时，即点与点重合时，，
在中，，故答案为：．
16．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）问题提出：如图①，在矩形中，，，是上一动点，则的最小值为_________
（2）问题探究：如图②，在正方形中，，点是平面上一点，且，连接，在上方作正方形，求的最大值．
（3）问题解决：为迎接2021年9月在西安举办的第14届全运会，打造体育历史文化名城，某小区对一正方形区域进行设计改造，方使大家锻炼运动．如图③，在正方形内设计等腰直角为健身运动区域，直角顶点E设计在草坪区域扇形的弧上．设计铺设和这两条不同造价鹅卵石路，已知米，米，，，若铺设路段造价为每米200元，铺设路段的造价为每米100元，请求出铺设和两条路段的总费用的最小值．
【答案】（1）（2）的最大值是（3）铺设两条路段总费用的最小值为10000元
【分析】（1）以为斜边构造的直角三角形，则，求的值即可；
（2）根据题意确定E点的运动轨迹，进而得出最大时点E的位置，求出即可；
（3）根据费用的关系可求出线段的最小值即可．
【详解】解：（1）以为斜边构造的直角，且，
此时，则，则当P、B、E在同一直线上时有最小值为，如下图：
即的最小值为如图所示的长度，，，
，，，，
又四边形为矩形，，，
，；
（2）为动点且，点E的运动轨迹为以C为圆心，半径为1的圆，
四边形为正方形，，即当最大时有最大值，
由图②知：当E在延长线上时的位置时，有最大值，
此时，，故的最大值是；
（3）由题意得：的费用为，
求费用最小值即为求的最小值，连接，，在上截取，
四边形时正方形，是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，，
，，，点F在以A为圆心，为半径的弧上，
，，，，即，
，当C、F、D三点共线时，有最小值，
在中，，
铺设和两条路段总费用的最小值为：（元），
即铺设和两条路段总费用的最小值为：（元）．
【点睛】本题考查两点之间线段最短、正方形性质、圆的性质等知识点，熟练掌握这些知识点是解题关键．
17．（2024·吉林长春·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程：
证明：延长至点，使，连接．
1°当点在直线外时，
证明过程缺失
2°当点在直线上时，易知．
综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接．
（1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________．
（2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________．
【答案】问题解决：证明过程见解析；结论应用：（1）；（2）
【分析】问题解决：延长至点，使，连接．当点在直线外时，证明得出；当点在直线上时，则，即可得解；
结论应用：（1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆，由此计算即可得出答案：（2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小；当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大；分别求出的值即可得解．
【详解】问题解决：证明：延长至点，使，连接．
1°当点在直线外时，
在和中，，∴，∴；
2°当点在直线上时，则．
综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆；
结论应用：（1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆，
∴点的运动路径长为；
（2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆，
如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小，由题意得：，，，，
， ，
∴由勾股定理得：，∴线段长度的最小值为；
如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大，由题意得：，，
∵，∴，∴，，
∵，∴、、在同一直线上，∴，
∴，∴线段长度的最大值为，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、求弧长、圆的相关知识点、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键．
18．（2024·吉林·二模）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图，已知 半径是，点 是上的一个动点，点 是平面内一点，，求证：线段 的最大值为．
【问题解决】经过分析，如图，小明将延长交 于点，并猜想此时 最大，为了验证这个猜想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分．
证明 如图， 在上任意取一点点 不与点 重合， 连结 、，
证明过程缺失
则，则此时， 最大， 最大值为．
【问题延申】如图， 在中，， ， ， 点 是边 上的一个动点， 连结， 过点 作 于点， 连结， 则线段 的最小值是 ．
【拓展提升】如图，某景区有一片油菜花地，形状由 和以 为直径的半圆两部分构成， 已知米，， ， 为了方便游客游览， 该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点 ，沿 修建小路，并在 中点 处修建一个凉亭，沿 修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高、为了控制成本，景区要求仿古长廊 的长度尽可能短，若不考虑其他因素，则仿古长廊 最短为 米．(结果保留根号)
【答案】[问题解决]见解析；[问题延申]；[拓展提升]
【分析】[问题解决]根据两点直接线段最短，可得，进而即可求解；
[问题延申] 根据可得点F在以为直径的半圆上，设的中点为E，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值；[拓展提升]连接，，取中点为M，中点为N，连接，，，证明，推出点F在以为直径的左侧半圆上，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值．
【详解】[问题解决]证明：∴，即 ∴线段 的最大值为．
[问题解决]证明 如图， 在上任意取一点点 不与点 重合， 连结 、，
∵ 半径是，点 是上的一个动点，∴,
∵则 ，则此时， 最大， 最大值为．
[问题延申] ，，点F在以为直径的半圆上，
如图，设的中点为E，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值．
，中点为E，，又，，
，，
即的最小值为．故答案为：．
（3），，，，
，．
如图，连接，，取中点为M，中点为N，连接，，，
点E在以为直径的半圆上，，中点为M，中点为F，中点为N，
为的中位线，为的中位线，为的中位线，
，，，，，，
，，点F在以为直径的左侧半圆上，
取中点为O，作于点K，得矩形，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值．，中点为O，，中点为N，
，，，，
，在中，，
，又，，
的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查圆外一点到圆上点距离的最值，圆周角定理，中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质等，第三问有一定难度，通过作辅助线判断出点F的运动轨迹是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题38 最值模型之瓜豆模型（原理）曲线
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
1
模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） 1
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模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）
“主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。
模型1、运动轨迹为圆弧
模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？
分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。
此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。
分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。
（1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）
如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。
（2） 定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。
例1.（2024·河南南阳·三模）如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
例2．（2023·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则点C到直线的最小距离为（ ）
A．1 B． C． D．
例3．（2023春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ．
例4．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是上一点，的半径为2，将绕O点顺时针方向旋转得，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．6
例5．（2024·江苏南通·校考模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半，得到线段DF，连结AF，则AF的最小值是 ．
例6．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ．
例7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（ ）
A．3 B．4 C． D．5
例8．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形与图形给出如下定义：为图形上任意一点，将图形绕点顺时针旋转得到，将所有组成的图形记作，称是图形关于图形的“关联图形”．(1)已知，，，其中．若，请在图中画出点关于线段的“关联图形”；若点关于线段的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出的取值范围；(2)对于平面上一条长度为的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形”上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出的取值范围（用含和的式子表示）．
1．（2024·安徽淮北·三模）如图，线段，点为的中点，动点到点的距离是1，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最大值是（ ）
A．3 B．4 C． D．
2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
4．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）等边的边长为，是上一点，，把绕点旋转一周，点的对应点为，连接，的中点为，连接．则长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（ ）
A．3 B．4 C． D．5
6．（2024·河南郑州·三模）如图，点M是等边三角形边的中点，P是三角形内一点，连接，将线段以A为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．
7．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．
8．（2024年成都市树德实验中学西区中考数学诊断试题）如图，，，点是线段上一个动点，连接，将线段沿直线进行翻折，点落在点处，连接，以为斜边在直线的左侧或者下方构造等腰直角三角形，则点从运动到的过程中，线段的最小值是 ，当从点运动到点时，点的运动总路径长是 ．
9.（2023·深圳外国语学校中考模拟预测）如图，已知正方形的边长为4，以点A为圆心，2为半径作圆，E是上的任意一点，将线段绕点D顺时针方向旋转并缩短到原来的一半，得到线段，连接，则的最小值是 ．
10．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，，，是矩形左侧一点，连接、，且，连接，为的中点，连接，则的最大值为 ．
11．（2024·四川泸州·二模）如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是 ．
12.（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，是上任意一点，点在外，已知，是等边三角形，则的面积的最大值为
13．（2024·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以点B为圆心，BD长为半径作圆，点E为上的动点，连结EC，作FC⊥CE，垂足为C，点F在直线BC的上方，且满足，连结BF．当点E与点D重合时，BF的值为 ．点E在上运动过程中，BF存在最大值为 ．
14．（23-24九年级·重庆·阶段练习）如图，，为的中点，的半径为1，点是上一动点，以为直角边的等腰直角三角形（点、、按逆时针方向排列），则线段的长的取值范围为 ．
15．（2024·浙江·一模）如图，在矩形中，，是线段上一动点，点，绕点逆时针旋转得到点，，若在运动过程中的度数最大值恰好为，则的长度为 ．
16．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）问题提出：如图①，在矩形中，，，是上一动点，则的最小值为_________
（2）问题探究：如图②，在正方形中，，点是平面上一点，且，连接，在上方作正方形，求的最大值．
（3）问题解决：为迎接2021年9月在西安举办的第14届全运会，打造体育历史文化名城，某小区对一正方形区域进行设计改造，方使大家锻炼运动．如图③，在正方形内设计等腰直角为健身运动区域，直角顶点E设计在草坪区域扇形的弧上．设计铺设和这两条不同造价鹅卵石路，已知米，米，，，若铺设路段造价为每米200元，铺设路段的造价为每米100元，请求出铺设和两条路段的总费用的最小值．
17．（2024·吉林长春·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程：
证明：延长至点，使，连接．
1°当点在直线外时，
证明过程缺失
2°当点在直线上时，易知．
综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接．
（1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________．
（2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________．
18．（2024·吉林·二模）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图，已知 半径是，点 是上的一个动点，点 是平面内一点，，求证：线段 的最大值为．
【问题解决】经过分析，如图，小明将延长交 于点，并猜想此时 最大，为了验证这个猜想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分．
证明 如图， 在上任意取一点点 不与点 重合， 连结 、，
证明过程缺失
则，则此时， 最大， 最大值为．
【问题延申】如图， 在中，， ， ， 点 是边 上的一个动点， 连结， 过点 作 于点， 连结， 则线段 的最小值是 ．
【拓展提升】如图，某景区有一片油菜花地，形状由 和以 为直径的半圆两部分构成， 已知米，， ， 为了方便游客游览， 该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点 ，沿 修建小路，并在 中点 处修建一个凉亭，沿 修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高、为了控制成本，景区要求仿古长廊 的长度尽可能短，若不考虑其他因素，则仿古长廊 最短为 米．(结果保留根号)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
