专题39 最值模型之几何转化法求最值模型
（全等、相似、中位线、对角线性质等）
几何中最值问题是中考的常见题型，变幻无穷，试题设计新颖，形式活泼，涵盖知识面广，综合性强。在各地中考数学试卷中，几何最值问题也是重难点内容，在中考数学试卷中通常出现在压轴题的位置。
本专题我们所讲的几何转化法求几何最值是对前面八类几何最值模型的一个补充。虽然我们前面讲的几何最值模型涵盖了大部分的最值问题，但也有部分几何最值无法很好的解决。鉴于此我们补充几类几何转化法（主要利用全等、相似、或其他的几何性质（如：中位线、对角线、特殊的边角关系等）转化），希望对大家有所帮助！
1
模型1.几何转化模型-全等转化法 1
模型2.几何转化模型-相似转化法 3
模型3.几何转化模型-中位线转化法 4
模型4.几何转化模型-（特殊）平行四边形对角线转化法 5
模型5.几何转化模型-其他性质转化法 6
8
模型1.几何转化模型-全等转化法
条件：OA=OB，OA’=OB'，∠AOB=∠A'OB'；结论：，。
该类转化法求最值的模型，三角形OAB和OA’B’在图形中很难同时出现，需要我们通过辅助线构造出手拉手型的全等模型，从而将所求线段进行转化。
例1．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形中，，，P是边上一动点，连接，把线段绕点D逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为 ．
例2．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则的长的最小值为 ．
例3.（2024·四川内江·二模）如图，在中，，，P是的中点，若点D在直线上运动，连接，以为腰，向的右侧作等腰直角三角形，连接，则在点D的运动过程中，线段的最小值为 ．
例4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，点是的中点，以为直角边向作等腰，连接，当取得最大值时，的面积为 ．
模型2.几何转化模型-相似转化法
条件：OB=kOA，B'O=kOA’，∠AOB=∠A'OB'；结论：，。
该类转化法求最值的模型，三角形OAB和OA’B’在图形中很难同时出现，需要我们通过辅助线构造出手拉手型的相似模型，从而将所求线段进行转化。
例1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在四边形中，，则对角线的最小值为 ．
例2．（2024上·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，的直径长为16，点是半径的中点，过点作交于点，．点在上运动，点在线段上，且．则的最大能是 ．
例3．（23-24八年级下·云南曲靖·期中）如图，在矩形中，，，与交于点O，分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
模型3.几何转化模型-中位线转化法
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E，
结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。
证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴，
∵是的中位线，∴，∴，∴，
∴，又∵，∴四边形是平行四边形，
∴，，∴，；
∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。
例1．（2024·山东德州·二模）如图，在平行四边形中，，，，点M、N分别是边、上的动点（不与A、B、C重合）， 点E、F分别为、的中点， 连接， 则的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．
例2．（2024·广东肇庆·一模）如图，点在以为直径的半圆上，是半圆上不与点重合的动点．连接，是的中点，过点作于点．若，则的最大值是 ．
例3．（2023·四川成都·一模）已知矩形中，，点E、F分别是边的中点，点P为边上动点，过点P作与平行的直线交于点G，连接，点M是中点，连接，则的最小值＝ ．
模型4.几何转化模型-（特殊）平行四边形对角线转化法
该模型主要运用（特殊）平行四边形对角线的性质（如：平行四边形对角线互相平分、矩形的对角线相等）来将不易求得的某些线段转化为能易求的线段进行求解。
例1．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为 ．
例2．（23-24九年级上·广东茂名·期末）如图，P是的斜边（不与点A、C重合）上一动点，分别作于点M，于点N，O是的中点，若，，当点P在上运动时，的最小值是 ．
例3．（2024·河南周口·一模）如图，中，，，，点P为上一个动点，以为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
模型5.几何转化模型-其他性质转化法
图1 图2
如图1，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，则BC=AC.
如图2，等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，则BC=AC.
例1．（23-24九年级上·广西柳州·期末）如图，正方形，边长，对角线、相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
例2．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，P为边上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转至，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2024·江苏无锡·三模）如图，在四边形中，，对角线、交于点O，且．若，则的最小值为（ ）
A．16 B．4 C．9 D．2
例4．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，，，点E、F分别是、边上的两个动点，连接，，若平分，则的最大值为 （结果保留根号）
1．（23-24九年级上·山西临汾·期中）如图，在中，，，点D，E分别是边上的动点，连结，F，M分别是的中点，则的最小值为（ ）
A．12 B．10 C．9.6 D．4.8
2．（2023·浙江杭州·二模）如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙两人有如下判断：甲：：乙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的的是（ ）
A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误
3．（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，已知正方形的边长为4，点是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①且；②；③一定是等腰三角形；④四边形的周长为；⑤的最小值为；⑥．其中结论正确的是（ ）
A．①③④⑤ B．②③④⑥ C．①④⑤⑥ D．①②⑤⑥
4．（2024·江苏扬州·三模）如图，正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧，为弧上动点，连，取中点，连，则最小值为 ．
5．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，若中，，，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
6．（2023九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，，现以为边在的下方作正方形并连接，则的最大值为（ ）
A． B．6 C． D．
7．（23-24八年级下·辽宁阜新·期中）如图，边长为20的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接，则在点M运动的过程中，线段长度的最小值是（ ）
A．3 B．10 C．5 D．6
8．（2023·广东湛江·二模）如图，在上有顶点C和动点P，位于直径的两侧，过点C作的垂线与的延长线交于点Q．已知的直径为10，，则最大值为（ ）
A．5 B． C． D．
9．（23-24九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，在矩形中，，，与交于点，分别过点，作，的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·浙江绍兴·模拟预测）如图，在中，已知为平面上一点，且为上一点，且，则的最小值为 ．
11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，连接，，，是边上一动点，连接，以为边向左侧作等边，连接，则的最小值是 ．
12．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，P是的高上一个动点，以B点为旋转中心把线段逆时针旋转得到，连接，则的最小值是 ．
13．（2023·内蒙古呼和浩特·一模）如图在菱形中，为对角线与的交点，点为边上的任一点（不与、重合），过点分别作，，、为垂足，则可以判断四边形的形状为 ．若菱形的边长为，，则的最小值为 ．（用含的式子表示）
14．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，中，，，P是边上的一个动点，以为对角线作平行四边形，则的最小值为 ．
15．（2024·山东泰安·二模）小明学习了四边形后，对有特殊性质的四边形的探究产生了兴趣，发现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形，如图：已知四边形中，，垂足为，对角线，，设，则的最小值等于 ．
16．（2024·江苏徐州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B的坐标是，长为2的线段在y轴上移动，则的最小值是 ．
17．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，菱形的边长为4，，点E在线段上，以为边在左侧构造菱形，使G在的延长线上，连接，分别取的中点H，O，连接，则 ；当点E在边上运动（不含A，D）时，的最小值为 ．
18．（2024·山东济南·二模）在菱形中，为菱形内部一点，且，连接，点F为中点，连接，点G是中点，连接，则的最大值为 ．
19．（2023·辽宁铁岭·模拟预测）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接，将绕点顺时针旋转．若，则在旋转过程中，则线段的最大值为 ．
20．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是 ．
21．（23-24九年级上·贵州遵义·期末）如图，正方形，边长，对角线相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与交于E、F两点，当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为 ．
23．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，点B、M、C三点在同一直线上，四边形是菱形，是边长为4的等边三角形，把绕点M逆时针旋转，当（即）与交于一点E，（即）同时与交于一点F时，点E、F和点A构成，则的周长的最小值是 ．
24．（23-24八年级下·广东深圳·期中）（1）发现：如图1，点A为线段外一动点，且．
填空：线段的长最大值为 (用含a，b的式子表示)
（2）应用：点A为线段外一动点，且，如图2所示，分别以为边，作等边三角形和等边三角形， 连接．①求证：；②直接写出线段长的最大值．
（3）拓展：如图3，已知，点D是平面内的一点，，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接，请直接写出线段长的最大值以及此时的长．
25．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）（1）【方法尝试】如图1，矩形是矩形以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，分别是它们的对角线．则与数量关系_______，位置关系________；
（2）【类比迁移】如图2，在和中，
．将绕点A在平面内逆时针旋转，设旋转角为α（），连接．请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】如图3，在中，，过点A作，在射线上取一点D，连接，使得，请求线段的最大值和最小值．
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（全等、相似、中位线、对角线性质等）
几何中最值问题是中考的常见题型，变幻无穷，试题设计新颖，形式活泼，涵盖知识面广，综合性强。在各地中考数学试卷中，几何最值问题也是重难点内容，在中考数学试卷中通常出现在压轴题的位置。
本专题我们所讲的几何转化法求几何最值是对前面八类几何最值模型的一个补充。虽然我们前面讲的几何最值模型涵盖了大部分的最值问题，但也有部分几何最值无法很好的解决。鉴于此我们补充几类几何转化法（主要利用全等、相似、或其他的几何性质（如：中位线、对角线、特殊的边角关系等）转化），希望对大家有所帮助！
1
模型1.几何转化模型-全等转化法 1
模型2.几何转化模型-相似转化法 6
模型3.几何转化模型-中位线转化法 9
模型4.几何转化模型-对角线转化法 11
模型5.几何转化模型-其他性质转化法 14
18
模型1.几何转化模型-全等转化法
条件：OA=OB，OA’=OB'，∠AOB=∠A'OB'；结论：，。
该类转化法求最值的模型，三角形OAB和OA’B’在图形中很难同时出现，需要我们通过辅助线构造出手拉手型的全等模型，从而将所求线段进行转化。
例1．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形中，，，P是边上一动点，连接，把线段绕点D逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】在上截取，过点E作于点F，通过证明可得，根据垂线段最短可得当点P和点F重合时，，此时取最小值时，即可求解．
【详解】解：在上截取，过点E作于点F，∵，∴，
∵线段绕点D逆时针旋转到线段，∴，，
∴，即，
在和中，，∴，∴，
当取最小值时，也取得最小值，当点P和点F重合时，，此时取最小值时，
∵四边形为矩形，，，∴，，，
∴，∴，∴的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，含角的直角三角形，角所对的边是斜边的一半，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形．
例2．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则的长的最小值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了轴对称―最短路线问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
以为边作等边三角形，连接，过点作于，由“”可证，可得，则当有最小值时，有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于，
点的坐标为，点为的中点，
是等边三角形，，，，，
在和中，，
当有最小值时，有最小值，即轴时，有最小值，
的最小值为，∴的最小值为，故答案为：．
例3.（2024·四川内江·二模）如图，在中，，，P是的中点，若点D在直线上运动，连接，以为腰，向的右侧作等腰直角三角形，连接，则在点D的运动过程中，线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】取的中点，连接，先证得，得出，根据点到直线的距离可知当时，最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得时的值，即可求得线段PF的最小值．
【详解】解：如图，取的中点，连接，
∵为等腰直角三角形，，∴，，∴，
∵，P为中点，Q是的中点，∴，
在和中，，∴，∴，
∵点D在直线上运动，∴当时，最小，∵，，∴，
∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴，
∴线段的最小值是为1．故答案为：1．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短问题，通过分析条件添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
例4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，点是的中点，以为直角边向作等腰，连接，当取得最大值时，的面积为 ．
【答案】
【详解】解：过点作，使，连接，，，如图所示：
则，为等腰直角三角形，，点为的中点，，
由勾股定理得：，
在中，，，点是的中点，，
等腰是以直角边的等腰三角形，，，
，，，
在和中，，≌，，
根据“两点之间线段最短”得：，即，，的最大值为，
此时点，，在同一条直线上，过点作交的延长线于，如图所示：
为等腰直角三角形，，，，
又，，，
≌，，，
为等腰直角三角形，，由勾股定理得：，
即，，．
模型2.几何转化模型-相似转化法
条件：OB=kOA，B'O=kOA’，∠AOB=∠A'OB'；结论：，。
该类转化法求最值的模型，三角形OAB和OA’B’在图形中很难同时出现，需要我们通过辅助线构造出手拉手型的相似模型，从而将所求线段进行转化。
例1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在四边形中，，则对角线的最小值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形三边的关系等知识，准确构造出相似三角形对线段进行转化是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作，且
设则
当最小时，最小
最小为最小为故答案为：1．
例2．（2024上·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，的直径长为16，点是半径的中点，过点作交于点，．点在上运动，点在线段上，且．则的最大能是 ．
【答案】
【分析】延长到 ，使得 ，连接 ， ， ， ．首先证明 ，解直角三角形求出 ，求出 的最大值即可解决问题．
【详解】解：延长 到 ，使得 ，连接 ， ， ， ．
∵∴∵∴∵
∴则∵∴∽则
又∵，，∴
在中，∴
∵∴则的最大值为
∴的最大值为 故答案为
【点睛】本题考查垂径定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
例3．（23-24八年级下·云南曲靖·期中）如图，在矩形中，，，与交于点O，分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判定四边形为菱形，找出当垂直于菱形的一边时，有最小值．过D点作于M，过G点作与P，则，利用平行四边形的面积求解的长，再利用相似三角形的判定和性质可求解的长，进而可求解．
【详解】解：∵四边形为矩形，，∴．
∵，，∴四边形为萎形．∵点G是的中点，点P是四边形边上的动点，
∴当垂直于萎形的一边时，有最小值．
如图，过D点作于M，过G点作与P，则，
∵，，∴，．
∵，∴，即，解得．
∵，G为的中点，∴，
∴，∴，∴， 故的最小值为．故选：D．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．正确确定当垂直于萎形的一边时，有最小值和正确作出辅助线是解题关键．
模型3.几何转化模型-中位线转化法
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E，
结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。
证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴，
∵是的中位线，∴，∴，∴，
∴，又∵，∴四边形是平行四边形，
∴，，∴，；
∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。
例1．（2024·山东德州·二模）如图，在平行四边形中，，，，点M、N分别是边、上的动点（不与A、B、C重合）， 点E、F分别为、的中点， 连接， 则的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，利用三角形中位线定理得出，则当时，最小，则最小，利用勾股定理求出，然后利用等面积法求出的最小值，即可求解．
【详解】解：连接，
∵点分别为的中点，∴，当时，最小，则最小，
∵，∴，
设中边上高为h，则，∴，
∴，∴最小值为，则最小值为，故选：A．
例2．（2024·广东肇庆·一模）如图，点在以为直径的半圆上，是半圆上不与点重合的动点．连接，是的中点，过点作于点．若，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆的性质、三角形中位线定理，延长至，使，连接，结合题意得出即点在圆上，由三角形中位线定理得出，则当经过原点时，有最大值为，此时有最大值，即可得解．
【详解】解：如图，延长至，使，连接，
，
，点、关于直线对称，即点在圆上，是的中点，，
当经过原点时，有最大值为，此时有最大值，为，故答案为：．
例3．（2023·四川成都·一模）已知矩形中，，点E、F分别是边的中点，点P为边上动点，过点P作与平行的直线交于点G，连接，点M是中点，连接，则的最小值＝ ．
【答案】
【分析】连接交与点N，连接，证明，求最小值即可．
【详解】解：∵，点E、F分别是边的中点，
∴，，，∴，连接交与点N，连接，
∵，∴，；∴，
∵，∴，∵点M是中点，∴，
当时，最小，也最小；，，；故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和解直角三角形，解题关键是恰当作辅助线，得出，求最小值．
模型4.几何转化模型-（特殊）平行四边形对角线转化法
该模型主要运用（特殊）平行四边形对角线的性质（如：平行四边形对角线互相平分、矩形的对角线相等）来将不易求得的某些线段转化为能易求的线段进行求解。
例1．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为 ．
【答案】4.8//
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，掌握矩形的判定与性质是解题的关键．连接，首先根据勾股定理解得的值，证明四边形是矩形，可得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长，即可获得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形为矩形，，，∴，，，
∴∵，，∴，
∵四边形是矩形，∴，当时，最小，则最小，
此时，即，解得，
∴的最小值为4.8．故答案为：4.8．
例2．（23-24九年级上·广东茂名·期末）如图，P是的斜边（不与点A、C重合）上一动点，分别作于点M，于点N，O是的中点，若，，当点P在上运动时，的最小值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等知识．连接，证四边形是矩形，得．再根据当时，最小，然后由面积法求出的最小值，即可解决问题．
【详解】解：连接，如图，
∵，，∴．
∵，，，∴四边形是矩形，∴，与互相平分．
∵点O是的中点，∴点O在上，．∵当时，最小，
又∵此时，∴，∴，∴．故答案为：．
例3．（2024·河南周口·一模）如图，中，，，，点P为上一个动点，以为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，垂线段最短，设交于O，过点O作于H，由平行四边形的性质得到，则由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，最小，最小值为的值，即此时最小，最小值为的值的2倍，利用勾股定理求出，再解直角三角形得到，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，设交于O，过点O作于H，
∵四边形是平行四边形，∴，∴当最小时，最小，
由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，最小，最小值为的值，即此时最小，最小值为的值的2倍，在中，，，，
∴，∴，
∴，∴，∴最小值为，故选：C．
模型5.几何转化模型-其他性质转化法
图1 图2
如图1，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，则BC=AC.
如图2，等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，则BC=AC.
例1．（23-24九年级上·广西柳州·期末）如图，正方形，边长，对角线、相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】证明，得到，要使有最小值，即求的最小值，当时，有最小值，由等腰三角形的性质可求出．
【详解】解：正方形，，
，，，
，，故要使有最小值，即求的最小值，
当时，有最小值，，
，线段的最小值为．故选：C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
例2．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，P为边上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转至，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点A作于D，根据旋转的性质得到，，进而得到当最短时，最短，当时，最短，然后利用含角直角三角形的性质得到，，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作于D，
由旋转可得，，，∴，，
当最短时，最短，∵P为边上一动点，∴当时，最短，
∵，，∴，∴当时，，
∴∴∴．故选：B．
【点睛】此题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
例3．（2024·江苏无锡·三模）如图，在四边形中，，对角线、交于点O，且．若，则的最小值为（ ）
A．16 B．4 C．9 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线将条件集中在同一个三角形中求解．作交的的延长线于，作于，设，表示出，解斜三角形，进而求得结果．
【详解】解：如图，作交的的延长线于，作于，
∵，，∵，四边形是平行四边形，
，，，设，则，
在中，，，，，
，在中，，
当时，，即．故选：D．
例4．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，，，点E、F分别是、边上的两个动点，连接，，若平分，则的最大值为 （结果保留根号）
【答案】
【分析】此题考查了菱形的性质，利用三角函数求边长，过点B作于点G，由菱形的性质易得，，求出．根据菱形的性质及角平分线得到，推出．由可知，当最小时，最大，从而得到的最大值．
【详解】过点B作于点G，由菱形的性质易得，，则．
∵，∴．∵平分，
∴，则，∴．
∵，∴，∴的最大值为．
1．（23-24九年级上·山西临汾·期中）如图，在中，，，点D，E分别是边上的动点，连结，F，M分别是的中点，则的最小值为（ ）
A．12 B．10 C．9.6 D．4.8
【答案】D
【分析】本题考查等腰三角形三线合一的性质，三角形的面积，三角形中位线定理，正确得出的值是解题的关键．过点B作于H，当取最小值时，的值最小，由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质求出的长，进而利用三角形等面积法求解即可．
【详解】过点B作于H，
∵F，M分别是的中点，∴，当取最小值时，的值最小，
由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，
在中，，，∴，∴，
∴，∴，∴，故选：D．
2．（2023·浙江杭州·二模）如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙两人有如下判断：甲：：乙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的的是（ ）
A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误
【答案】A
【分析】此题主要考查了三角形的内心，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键正确的作出辅助线构造全等三角形，难点是在解答的周长最小时，将三角形的各边都用表示，并根据垂线段最短来判断．连接，过点作于，于，依据“”判定和全等，从而得出，然后再根据四边形的内角和等于即可对甲的说法进行判断；过点作于点，则，根据得，进而得，据此得的周长为，只有当最小时，的周长为最小，然后根据“垂线段最短”可对乙的说法进行判断．
【详解】解：连接，过点作于，于，
点为的内心，是的平分线，又，，，
在和中，，，，
在四边形中，，，
又，，即：，
，即：，故甲的说法正确；
过点作于点，，
是的平分线，，，
又甲的说法正确；，，
在中，，，
，的周长为：，
当最小时，的周长为最小，根据“垂线段最短”可知：当时，的周长为最小，
，与一定不垂直，不是最小，
的周长不是最小，故乙的说法不正确．故选：A．
3．（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，已知正方形的边长为4，点是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①且；②；③一定是等腰三角形；④四边形的周长为；⑤的最小值为；⑥．其中结论正确的是（ ）
A．①③④⑤ B．②③④⑥ C．①④⑤⑥ D．①②⑤⑥
【答案】D
【详解】①连接，延长交于点，， ，，
正方形中，，， 四边形是矩形，，
由正方形的对称性知，，；，，
和中，，，；正确；
②，，，，
，； 正确；
③，，＜，＞，
只有当时，或时，才是等腰三角形，除此之外都不是等腰三角形；不正确；
④，，，，
，，；不正确；
⑤连接，设与交点为，则，，
，，，，的最小值为；正确；
⑥ ，，，
， 即；正确．故正确的有①②⑤⑥故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形，矩形，全等三角形，轴对称，等腰三角形，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握正方形性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形判定和性质，勾股定理解直角三角形．
4．（2024·江苏扬州·三模）如图，正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧，为弧上动点，连，取中点，连，则最小值为 ．
【答案】
【分析】在上截取，证明和全等，得到，则，由此得出最小值．本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是将转化为，根据三角形三边关系，得出最小值．
【详解】解：在上截取，连接，，
∵正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧，
∵是中点，，在和中，，
，，，
，，，的最小值为，故答案为：．
5．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，若中，，，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等，找出点和点重合时，最小，最小值为的长度是解本题的关键．
取的中点，可得，连接，过点作于，由旋转的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则当（点和点重合）时，最小，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，取的中点，连接，过点E作于F，
在中，，，∴，
∴，由旋转知，，，
∴，即有：
∴，∴，∴，
要使最小，则有最小，而点是定点，点是上的动点，
∴当（点和点重合）时，最小，即点与点重合，最小，最小值为，
在中，，∴，故线段长度的最小值是，故选：C．
6．（2023九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，，现以为边在的下方作正方形并连接，则的最大值为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】B
【分析】将绕点逆时针旋转得，连接，则是等腰直角三角形，，再利用三角形三边关系可得答案．
【详解】解：将绕点逆时针旋转得，连接，
则是等腰直角三角形，，，
在中，，的最大值为，即的最大值为6，故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形三边关系等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
7．（23-24八年级下·辽宁阜新·期中）如图，边长为20的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接，则在点M运动的过程中，线段长度的最小值是（ ）
A．3 B．10 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．取的中点G，连接，，据等边三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后证明，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可．
【详解】解：如图，取的中点G，连接，
∵是等边三角形， ∴
∵旋转角为，∴，又∵，∴，
∵M是高所在直线上的一个动点，，∴，∴，
又∵线段绕点B逆时针旋转得到，∴，
在和中，，∴，∴，
根据垂线段最短，时，最短，即最短，
此时， ∴，∴线段度的最小值是5，故选：C．
8．（2023·广东湛江·二模）如图，在上有顶点C和动点P，位于直径的两侧，过点C作的垂线与的延长线交于点Q．已知的直径为10，，则最大值为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆周角定理和解直角三角形相关知识，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．由，是直径，易得，又由，易得当是直径，最大，进而求得答案．
【详解】解：，是直径，，
，，，，，
当是直径，即时，最大，最大值为：．故选：B．
9．（23-24九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，在矩形中，，，与交于点，分别过点，作，的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定和性质等知识．先判定四边形为菱形，找出当垂直于菱形的一边时，有最小值．过点作于，过点作与，则，利用平行四边形的面积求解的长，再利用相似三角形的判定和性质可求解的长，进而可求解．
【详解】解：四边形为矩形，，，
∵， ，四边形为菱形，
点是的中点，点是四边形边上的动点，
当垂直于菱形的一边时，有最小值．
过点作于，过点作与，则，
∵，，∴，，，解得，
∵，为的中点，∴，∴，
∴，故的最小值为．故选：D．
10．（2023·浙江绍兴·模拟预测）如图，在中，已知为平面上一点，且为上一点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，平行线所分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，过作交于N，连接，由，得到再证明由性质可得由勾股定理求出再由三边关系即可求解，掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解： 如图，过作交于N，连接，
∵，∴又∵，∴
∵，∴，∴
又∵，∴ ∴，
∵∴在中， 由勾股定理可得：
∵在中， ∴当三点共线时， 有：
此时取得最小值，∴，
∴的最小值为，故答案为：．
11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，连接，，，是边上一动点，连接，以为边向左侧作等边，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质．由“”可证，可得，当时，有最小值为的长，即可求解．
【详解】解：如图，延长至，使，连接，过点作于，连接，
，，，，，，
是等边三角形，，，，
，，当有最小值时，有最小值，
点，点分别是直线，直线上一点，当时，有最小值为的长，
的最小值为，故答案为：．
12．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，P是的高上一个动点，以B点为旋转中心把线段逆时针旋转得到，连接，则的最小值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识点，在上截取，连接，构造，推出，根据垂线段最短，可知当时，有最小值，即有最小值．正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，在上截取，连接，
中，，，，
，，，
，．
以B点为旋转中心把线段逆时针旋转得到，
，，，，
在和中，，，，
当时，有最小值，即有最小值，
，，是等腰直角三角形，
，的最小值是．故答案为：．
13．（2023·内蒙古呼和浩特·一模）如图在菱形中，为对角线与的交点，点为边上的任一点（不与、重合），过点分别作，，、为垂足，则可以判断四边形的形状为 ．若菱形的边长为，，则的最小值为 ．（用含的式子表示）
【答案】 矩形 /
【分析】根据菱形的性质即可得到，根据，即可得到，根据矩形的判定方法即可判断出四边形是矩形；根据菱形的边长为，即可求出，，的长度，根据四边形是矩形即可得到，即可判断出当时，取得最小值，也取得最小值，根
据三角形的面积计算方法，即可求出的最小值，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接
∵四边形是菱形，∴，∵，，
∴，∴四边形是矩形；
∵菱形的边长为，，∴，，
∴是等边三角形．∴，∴，∴，
∵四边形是矩形，∴，
∴当时，取得最小值，也取得最小值，此时，
∴，∴的最小值为，故答案为：矩形，．
【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、垂线段最短以及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
14．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，中，，，P是边上的一个动点，以为对角线作平行四边形，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】题目主要考查平行四边形的性质，勾股定理及三角形等面积法、等腰三角形的性质，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．
根据平行四边形的性质得出当时，最小，然后连接，利用等腰三角形的性质得出，再由勾股定理及三角形等面积法即可求解．
【详解】解：∵平行四边形，∴，∵P是边上的一个动点，∴当时，最小，
∵与是对角线，交于点O，，∴，连接.
∵，∴，∴，∴，
∴即，解得，∴，故答案为：
15．（2024·山东泰安·二模）小明学习了四边形后，对有特殊性质的四边形的探究产生了兴趣，发现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形，如图：已知四边形中，，垂足为，对角线，，设，则的最小值等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了多边形，平行四边形的性质和勾股定理，以边，为邻边作平行四边形，连接，则，，根据，可知的最小值为的长，根据勾股定理即可求出答案，解题的关键是构造平行四边形和直角三角形．
【详解】如图，
以边，为邻边作平行四边形，连接，则，，∴，
当三点共线时，最小，∴的最小值为的长，∵，，∴
在中， 由勾股定理得，，
∴的最小值等于，故答案为：．
16．（2024·江苏徐州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B的坐标是，长为2的线段在y轴上移动，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查平移的性质，勾股定理；将把向下平移2个单位长度得到线段，连接，则，进而得出的最小值为长，即可求解答案．
【详解】解：如图，把向下平移2个单位长度得到线段，连接，则，
∴，∵，∴的最小值为．故答案为：．
17．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，菱形的边长为4，，点E在线段上，以为边在左侧构造菱形，使G在的延长线上，连接，分别取的中点H，O，连接，则 ；当点E在边上运动（不含A，D）时，的最小值为 ．
【答案】 2
【分析】分别取的中点，连接，由菱形的性质得到点为的中点，结合点为的中点，推出是的中位线，得到，；即，易证四边形是平行四边形，证明是等边三角形，则为定角，推出点在上运动，当时，有最小值，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：分别取的中点，连接，
四边形是菱形，四边形是菱形，，
∵O点为的中点，点为的中点，点为的中点，是的中位线，
，，即，四边形是平行四边形，，
，，，，
点是的中点，，是等边三角形，
点在上运动，当时，有最小值，利用勾股定理即可求解．
此时，；故答案为：2，．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
18．（2024·山东济南·二模）在菱形中，为菱形内部一点，且，连接，点F为中点，连接，点G是中点，连接，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】先根据题目条件中的中点可联想中位线的性质，构造中位线将和的长度先求出来，再利用三角形的三边关系判断，当时最大．
【详解】解∶如图所示∶连接交于点，连接，取的中点，连接和，
∵在菱形中，为中点，为中点，，∴，
当、、、共线时，也为，∵为中点、为中点，∴
∵在菱形中，且，，
∴，，，∴，
∴．∴，∴，
∵．∴，∴的最大值为．故答案为∶．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题难点在于辅助线的添加，要根据菱形的性质和题目条件中的中点构造中位线，然后借助三角形的三边关系可判断出当、、三点共线时最大．
19．（2023·辽宁铁岭·模拟预测）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接，将绕点顺时针旋转．若，则在旋转过程中，则线段的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形中位线定理，等边三角形的性质，勾股定理．由三角形中位线定理可得，由勾股定理可求的长，由三角形的三边关系可求解．
【详解】解：如图，取的中点，连接，，
，，点是的中点，点是的中点，
，，，
在中，，当点在的延长线上时，有最大值为，故答案为：．
20．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当三点共线时， 有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， 求出，在中， 由勾股定理得，则的最小值为．
【详解】∵四边形是正方形，∴，，
∵，∴，∴，
∴，
∵点是的中点，∴，如图所示，在延长线上截取，连接，
∴，，，∴，
∴，∴，
∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，
∵，，∴，∴，
在中，由勾股定理得，∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
21．（23-24九年级上·贵州遵义·期末）如图，正方形，边长，对角线相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与交于E、F两点，当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：正方形，，
，，
，，，
故要使有最小值，即求的最小值，当时，有最小值，，
，，线段的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
23．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，点B、M、C三点在同一直线上，四边形是菱形，是边长为4的等边三角形，把绕点M逆时针旋转，当（即）与交于一点E，（即）同时与交于一点F时，点E、F和点A构成，则的周长的最小值是 ．
【答案】/
【详解】解：如图，连接，过点D作于点P，过点A作于点Q，则，
∵四边形是菱形，∴，，
∴四边形是平行四边形，∴，∵是边长为4的等边三角形，
∴，，
∵，∴，∴，
∴是等边三角形，∴，
∴，∴，∴，
∴， ∴，
由旋转的性质得：是等边三角形，∴，∴是等边三角形，
∴，∴的周长为，
∵当时，最小，最小值等于的长，此时的周长最小，最小值为，
∵是边长为4的等边三角形，∴，∴，
∴，∴的周长的最小值为．故答案为：
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理图形的旋转等，熟练掌握边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理图形的旋转的性质是解题的关键．
24．（23-24八年级下·广东深圳·期中）（1）发现：如图1，点A为线段外一动点，且．
填空：线段的长最大值为 (用含a，b的式子表示)
（2）应用：点A为线段外一动点，且，如图2所示，分别以为边，作等边三角形和等边三角形， 连接．①求证：；②直接写出线段长的最大值．
（3）拓展：如图3，已知，点D是平面内的一点，，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接，请直接写出线段长的最大值以及此时的长．
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②3；（3）的最大值为
【详解】解：（1）∵，∴当点B在上时，有最大值，最大值为，
故答案为：；
（2）①∵都是等边三角形，∴，，
∴，∴， ∴，∴；
②由（1）可得的最大值为，且，∴的最大值为3；
（3）如图3所示，把绕点D顺时针旋转得到，连接，
由旋转的性质可得，
∴，∴，∴，∴，
在中，由勾股定理得，由（1）得当点A在上时，有最大值，最大值为，∴的最大值为
如下图所示，设交于F，∵，∴，
又∵，∴，∴．
25．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）（1）【方法尝试】如图1，矩形是矩形以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，分别是它们的对角线．则与数量关系_______，位置关系________；
（2）【类比迁移】如图2，在和中，
．将绕点A在平面内逆时针旋转，设旋转角为α（），连接．请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】如图3，在中，，过点A作，在射线上取一点D，连接，使得，请求线段的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2），，理由见解析；（3）最大值为，最小值为．
【详解】解：（1）如图，延长交于点H．由旋转的性质可得：，．
又∵，∴，即．故答案为：，；
（2），，理由如下，延长交于点Q，交于点O，如图2．
∵，∴．
∵，∴，∴，
∴，．∵，∴，∴，；
（3）如图，过点A作，使得，取的中点R，连接．
∵，∴．∴．
∵，∴，∴，∴，∴．
∵点R为中点，，∴．∵，∴．
∵，∴，
∵，∴，∴最大值为，最小值为．
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