专题09 三角形中的重要模型之垂美四边形与378、578模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！
2
模型1.垂美四边形模型 2
模型2.378和578模型 33
42
模型1.垂美四边形模型
垂美四边形的定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形。
图1 图2 图3 图4
条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD；
结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半，即S四边形ABCD=AC BD。
证明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，，，
∴；∵AC⊥BD，∴S△ABC=AC BO ，S△ADC=AC DO
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=AC BO+AC DO=AC BD。
条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP； 结论：DP2+BP2=AP2+PC2
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADP＝∠BCP＝90°，AD=BC，
由勾股定理得，，，∴，∴。
条件：如图3（或图4），在矩形ABCD中，P为矩形内部（外部）任意一点，连接AP、BP，CP，DP；
结论：AP2+PC2=DP2+BP2
证明：过点作的垂线，交于点，交于点，则四边形和为矩形，
，由勾股定理得：则
，，
，．（图4的证明和图3证明相同）
用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。
例1．（23-24八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
例2．（23-24九年级上·天津·期末）如图，四边形两条对角线互相垂直，且．设，
(1)用含的式子表示：_____________；(2)当四边形的面积为时，求的长；
例3．（2023·江苏盐城·一模）如图，四边形的对角线和互相垂直，，则四边形面积最大值为 ．
例4．（2024·陕西·一模）已知矩形ABCD中有一点P，满足PA＝1，PB＝2，PC＝3，则PD＝ ．
例5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．
了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：；
性质应用：（1）如图1，四边形是垂美四边形，若，，，则 ；
性质变式：（2）如图2，图3，P是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图3为例将重要结论证明出来．
应用变式：（3）①如图4，在矩形中，O为对角线交点，P为中点，则；（写出证明过程）；②如图5，在中，，，D是内一点，且，，则的最小值是 ．
例6．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．经探究发现垂美四边形ABCD的两组对边AB2，CD2和AD2，BC2有一定的数量关系，请你猜想有何种数量关系？并证明．
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
例7．（2024·山东德州·一模）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，是的中线，，垂足为．则称为“中垂三角形”．设．
(1)①如图1，当，时，______．______．
②如图2，当时，求和的值．
(2)请猜想、和三者之间的数量关系，并结合图3写出证明过程．
(3)如图4，在边长为3的菱形中，为对角线、的交点，分别为线段的中点，连接并延长交于点分别交于点，求的值．
模型2.378和578模型
378和578模型：边长为3、7、8或5、7、8的三角形（如图1）。
当我们遇到两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8的等边三角形。
图1 图2 图3 图4
条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时；
结论：①这两个三角形的面积分别为、；②3、8与5、8夹角都是60；③将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形。
证明：如图2，过点C作CM⊥AB于点M，设BM=x 则AM=3+x，∴∠CMB=90°，
在Rt ACM中：CM2 =AC2 - AM2，在Rt BCM中：CM2 =BC2 - BM2，
∴AC2 - AM2 = BC2 - BM2，即82 -（3+x）2 = 72 - x2，解得x=1，∴CM =4，∴CM =，
∴S ABC=AB CM = 3 =，∵CM =4，AC=8，∠ACM=30°，∠CAM=60°。
如图3，过点F作FN⊥DE于点N，设DN=x 则NE=5-x，∴∠FND=90°，
在Rt DNF中：NF2 =DF2 - DN2， 在Rt ENF中：NF2 =EF2 - NE2，
∴DF2-DN2 =EF2-NE2，即72-x2 =82 -（5-x）2 ，解得x=1，NE=4，∴NF = ，
∴S DEF= DE NF = 5 =，∵NE =4，EF=8，∠EFN=30°，∠FEN=60°。
∴CM =NF = ，∠CMB=∠FND=90°，∵CB =DF=7，∴Rt BCM ≌Rt DNF，∴∠CBM=∠FDN，
∵∠CBM+∠ABC=180°，∴∠FDN+∠ABC=180°，∵AC =EF =8。
∴将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形（如图4）。
例1．（2023·浙江温州·九年级校考期末）边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（ ）．
A．90° B．150° C．135° D．120°
例2．（2023·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（ ）．
A．45° B．37° C．60° D．90°
例3．（2023·绵阳市·八年级专题练习）如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC边上的高．
例4．（2023八年级上·江苏·专题练习）已知在中，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
例5．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，，则的长为 ．
1．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，四边形的两条对角线互相垂直，AC、BD是方程的两个解，则四边形的面积是（ ）
A．60 B．30 C．16 D．32
2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）点P是矩形内一点，且满足，，，则的值为（ ）
A．3 B．5 C． D．
3．（2024·天津和平·二模）如图，四边形的两条对角线，相交于点，点在线段上，且，若．有下列结论：①的取值范围是；②的长有两个不同的值满足四边形的面积为12；③四边形面积最大值为．其中，正确结论的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（2023·山东八年级课时练习）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（ ）．
A．45° B．37° C．60° D．90°
5．（2024·四川广元·二模）如图，在四边形中，，对角线 AC，BD互相垂直，，，则 的值是
6．（2022·山东枣庄·模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=3，BC=5，则 ．
7．（23-24九年级上·广东梅州·期中）四边形的对角线互相垂直且长分别为8和12，则面积为 ．
8．（23-24八年级·浙江·期末）当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是 ．
9．（23-24八年级下·河北石家庄·阶段练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．
（1）若，，，则 ；（2）若，，则 ；
（3）若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是 ．
10．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知三角形一边上的中线，与三角形三边有如下数量关系：三角形两边的平方和等于第三边一半的平方与第三边中线平方之和的2倍．即：如图，在中，是边上的中线，则有．请运用上述结论，解答下面问题．如图，点为矩形外部一点，已知，若，则的取值范围为 ．
11．（2022·湖北·一模）如图，P是矩形ABCD外一点，有以下结论：①S△PAB+S△PCD=S矩形ABCD②S△PBC=S△PAC+S△PCD③PA2+PC2=PB2+PD2；④若PD⊥PB，则P、A、B、C、D在同一个圆上其中正确的序号是
12．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，四边形的两条对角线互相垂直，且，则四边形面积的最大值为 ．
13．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为奇妙四边形．如图1，四边形中，若，，则称四边形为奇妙四边形．根据奇妙四边形对角线互相垂直的特征可得奇妙四边形的一个重要性质：奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：
(1)矩形________奇妙四边形（填“是”或“不是”）；(2)如图2，已知的内接四边形是奇妙四边形，若的半径为8，．求奇妙四边形的面积；(3)如图3，已知的内接四边形是奇妙四边形．请猜测和的位置关系，并证明你的结论．
14．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”
(1)试猜想筝形的对角线有什么位置关系，然后用全等三角形的知识证明你的猜想；
(2)已知筝形的对角线的长度为整数值，且满足．设的长为x，四边形的面积为S，试求x为多少时，S有最大值，最大值是多少？
15．（2024·山西晋城·三模）请阅读列材料，并完成相应的任务：
三角形中线定理
三角形中线定理又称阿波罗尼奥斯定理，是一种平面几何的定理之一，指三角形三边和中线长度关系．
阿波罗尼奥斯（约公元前262-190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大前期的三大数学家．
中线定理：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在中，点D为BC的中点，根据“阿波罗尼奥斯”，可得．下面是该定理的证明过程（部分）：
证明：过点A作于点E，如图2，在中，，
同理可得：，，
证明的方便，不妨设，，
…
任务：(1)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
(2)如图3，在中，点为的中点，，，，则的长为______；
(3)如图4，已知平行四边形中，和相交于点，设，，请直接用含，的代数式表示的值；(4)如图5，已知平行四边形内接于，点为内一点，若，，，，请直接写出的长．
16．（24-25九年级上·广东深圳·月考）垂美四边形定义如下：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
(1)如图1，四边形是“垂美四边形”，猜想与之间的数量关系：______，并说明理由．
(2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，若，求的长．
(3)如图3，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为垂美四边形，请直接写出的长．
17．（2024·山东德州·一模）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为．则称为“中垂三角形”．设，，．
(1)①如图1，当，时，____________．
②如图2，当，时，求和的值．
(2)请猜想、和三者之间的数量关系，并结合图3写出证明过程．
(3)如图4，在边长为3的菱形中，为对角线，的交点，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，求的值．
18．（2023·山东青岛·二模）如果一个三角形有两条互相垂直的中线，我们就把这样的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为P，称这样的三角形为“中垂三角形”，设，，．
(1)如图1，当，时，______，______；
如图2，当，时，______，．
归纳证明
(2)请你观察（1）中的计算结果，用等式表示对，，三者之间关系的猜想，并利用图3证明，，三者之间的关系．
19．（2024·浙江·模拟预测）定义：若一个四边形的对角线互相垂直，且较长对角线的长度是较短对角线长度的2倍，则称这个四边形为“倍垂四边形”．
（1）如图①，在菱形中，对角线与相交于点O，，试判断菱形是否为“倍垂四边形”，并说明理由；
（2）如图②，在中，，作于点O，问在射线上是否存在着一点D，使得四边形是“倍垂四边形”．若存在，请求出此时线段的长；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，在中，，且，分别以的斜边和直角边为边向外作和，且，连接，当四边形是“倍垂四边形”时，求的长．
20．（23-24九年级上·浙江金华·期中）【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）如图1，已知在垂等四边形中，对角线与交于点，若，，，求的长度．
【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李与同学讨论出了如下方法：如图2，在中，已知是的弦，只需作、，分别交于点和点，即可得到垂等四边形，请你写出证明过程．
【问题解决】（3）如图3，已知A是上一定点，为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（A、不重合且A、、三点不共线），对角线与交于点，的半径为，当点到的距离为时，求弦的长度．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题09 三角形中的重要模型之垂美四边形与378、578模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！
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模型1.垂美四边形模型 2
模型2.378和578模型 33
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模型1.垂美四边形模型
垂美四边形的定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形。
图1 图2 图3 图4
条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD；
结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半，即S四边形ABCD=AC BD。
证明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，，，
∴；∵AC⊥BD，∴S△ABC=AC BO ，S△ADC=AC DO
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=AC BO+AC DO=AC BD。
条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP； 结论：DP2+BP2=AP2+PC2
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADP＝∠BCP＝90°，AD=BC，
由勾股定理得，，，
∴，∴。
条件：如图3（或图4），在矩形ABCD中，P为矩形内部（外部）任意一点，连接AP、BP，CP，DP；
结论：AP2+PC2=DP2+BP2
证明：过点作的垂线，交于点，交于点，则四边形和为矩形，
，由勾股定理得：则
，，
，．（图4的证明和图3证明相同）
用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。
例1．（23-24八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即，
∴在中，，在中，，
∴，
在中，，在中，，
∴，∴，故选：．
例2．（23-24九年级上·天津·期末）如图，四边形两条对角线互相垂直，且．设，
(1)用含的式子表示：_____________；(2)当四边形的面积为时，求的长；
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据进行求解即可；
（2）根据（1）所求，代入进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，设交于点O，
∵，， ∴，∵四边形两条对角线互相垂直，
∴，故答案为；；
（2）解：由题意得，∴，解得或（舍去）
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形面积，一元二次方程的应用，正确列出四边形的面积关系式是解题的关键．
例3．（2023·江苏盐城·一模）如图，四边形的对角线和互相垂直，，则四边形面积最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数最值以及四边形面积求法．直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出，再利用配方法求出二次函数最值．
【详解】解：设，四边形的面积为S，∵，∴，
∵四边形的对角线和互相垂直，∴，
∴当时，S取得最大值，最大值为，即四边形面积最大值为．故答案为：．
例4．（2024·陕西·一模）已知矩形ABCD中有一点P，满足PA＝1，PB＝2，PC＝3，则PD＝ ．
【答案】
【分析】由ABCD是矩形，过P作GHBC交AB、CD于点G、H，过P作EFAB交AD、BC于点E、F，在所形成的直角三角形中，由勾股定理得出AP2+CP2=BP2+DP2，从而求出DP．
【详解】解：过点P作GHBC交AB、CD于点G、H，过点P作EFAB交AD、BC于点E、F，
设AE=BF=c，AG=DH=a，GB=HC=b，ED=FC=d
，，，
PA＝1，PB＝2，PC＝3，
即（负值已舍去）故答案为：．
【点睛】本题考查了四边形的综合题，矩形的性质，勾股定理，关键是利用勾股定理列方程组．
例5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．
了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：；
性质应用：（1）如图1，四边形是垂美四边形，若，，，则 ；
性质变式：（2）如图2，图3，P是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图3为例将重要结论证明出来．
应用变式：（3）①如图4，在矩形中，O为对角线交点，P为中点，则；（写出证明过程）；②如图5，在中，，，D是内一点，且，，则的最小值是 ．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②
【分析】本题是四边形综合题，考查了新定义“垂美”四边形、直角三角形的性质、勾股定理等知识；
（1）由勾股定理可得出答案；（2）过作于，交的延长线于，由（1）性质可知：，由勾股定理可得出答案；（3）以、为边作矩形，连接、，由矩形的性质得出，由题意得，求出，当、、三点共线时，最小，得出的最小值的最小值．
【详解】（1）解：如图1，四边形是垂美四边形，，
，，，，．故答案为：；
（2）证明：过作于，交的延长线于，
由（1）性质可知：，
即：，
又由勾股定理可知：，
，即；
（3）解：①设，则，由（2）可得，
，；
②以、为边作矩形，连接、，如图所示：
则，由题意得：，即，解得：，
当、、三点共线时，最小，的最小值的最小值；故答案为：．
例6．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．经探究发现垂美四边形ABCD的两组对边AB2，CD2和AD2，BC2有一定的数量关系，请你猜想有何种数量关系？并证明．
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形，证明见解析；（2）AD2+BC2＝AB2+CD2，证明见解析；（3）GE＝
【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．
【详解】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．证明：连接BD、AC
∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）猜想：AD2+BC2＝AB2+CD2
证明：∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）连接CG、BE， ∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，∴GE．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关键．
例7．（2024·山东德州·一模）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，是的中线，，垂足为．则称为“中垂三角形”．设．
(1)①如图1，当，时，______．______．
②如图2，当时，求和的值．
(2)请猜想、和三者之间的数量关系，并结合图3写出证明过程．
(3)如图4，在边长为3的菱形中，为对角线、的交点，分别为线段的中点，连接并延长交于点分别交于点，求的值．
【答案】(1)①；②(2)关系为：，见解析证明(3)15
【分析】本题为四边形综合题，考查了三角形相似、中位线等知识，其中（3），直接利用（2）的结论是本题的新颖点和突破点．（1）在图1中，，即可求解；同理可得：；
（2），则，即可求解；（3）证明：，则，即可求解．
【详解】（1）解：如图1、2、3、4，连接，
∵是的中线，∴是的中位线，
∴，，∴，
∵，则在图1中，，
由此得：，；
在图2中，，，
由此得：，，
，，则；
（2）关系为：，
证明：如图3，设：，则：，
由（1）得：，
，，
，
则；
（3）根据题意可得，∴，∴，，
∵分别为线段的中点，∴是的中位线，
∴，则，∴，
∴，∴，∴，∴分别是中点，
，，，
，，，
∵分别是中点，∴是的中线，∴是“中垂三角形”，
由（2）得，即，则．
模型2.378和578模型
378和578模型：边长为3、7、8或5、7、8的三角形（如图1）。
当我们遇到两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8的等边三角形。
图1 图2 图3 图4
条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时；
结论：①这两个三角形的面积分别为、；②3、8与5、8夹角都是60；③将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形。
证明：如图2，过点C作CM⊥AB于点M，设BM=x 则AM=3+x，∴∠CMB=90°，
在Rt ACM中：CM2 =AC2 - AM2，在Rt BCM中：CM2 =BC2 - BM2，
∴AC2 - AM2 = BC2 - BM2，即82 -（3+x）2 = 72 - x2，解得x=1，∴CM =4，∴CM =，
∴S ABC=AB CM = 3 =，∵CM =4，AC=8，∠ACM=30°，∠CAM=60°。
如图3，过点F作FN⊥DE于点N，设DN=x 则NE=5-x，∴∠FND=90°，
在Rt DNF中：NF2 =DF2 - DN2， 在Rt ENF中：NF2 =EF2 - NE2，
∴DF2-DN2 =EF2-NE2，即72-x2 =82 -（5-x）2 ，解得x=1，NE=4，∴NF = ，
∴S DEF= DE NF = 5 =，∵NE =4，EF=8，∠EFN=30°，∠FEN=60°。
∴CM =NF = ，∠CMB=∠FND=90°，∵CB =DF=7，∴Rt BCM ≌Rt DNF，∴∠CBM=∠FDN，
∵∠CBM+∠ABC=180°，∴∠FDN+∠ABC=180°，∵AC =EF =8。
∴将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形（如图4）。
例1．（2023·浙江温州·九年级校考期末）边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（ ）．
A．90° B．150° C．135° D．120°
【答案】D
【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，分别在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用勾股定理求得AD，从而可建立方程，求得x的值，可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和．
【详解】法1：∵△ABC的边长为5，7，8，
∴其可以和边长为3，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，
又由三角形中大边对大角，可知边长为7 的边所对的角为 60°，
所以最大角和最小角的和是 120°.故选D.
法2：设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，如图 设BD=x，则CD=8-x
在Rt△ADB中，由勾股定理得：；在Rt△ADC中，由勾股定理得： 则得方程： 解得： 即
∵，AD⊥BC∴∠BAD=30゜∴∠ABD=90゜-∠BAD=60゜∴∠BAC+∠C=180゜-∠ABD=120゜
∵BC>AC>AB∴∠BAC>∠ABD>∠C故最大角与最小角的和为120゜故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，解一元一次方程，大角对大边等知识，关键是作最大边上的高，从而为勾股定理的使用创造了条件．
例2．（2023·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（ ）．
A．45° B．37° C．60° D．90°
【答案】C
【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：过点A作 交BC延长线于点D，设CD=x，则BC=3+x，在和中，利用勾股定理求出 ，可求出CD的长，从而得到BD的长，然后利用直角三角形的性质即可求解．
【详解】法1：∵△ABC的边长为3，7，8，
∴其可以和边长为5，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，
如图，观察图形可知∠B为等边三角形的一个内角，所以∠B=60°.故选 C.
法2：如图，过点A作 交BC延长线于点D，
∵在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，可设CD=x，则BC=3+x，
在 中， ，在中， ，
∴，解得： ，∴BC=3+x=4，
∴在中， ，∴ ，∴ ．故选 C．
【定睛】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于 是解题的关键．
例3．（2023·绵阳市·八年级专题练习）如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC边上的高．
解：作AD⊥BC于D，
由勾股定理得，AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即82﹣（5﹣CD）2＝72﹣CD2，解得，CD＝1，
则BC边上的高AD＝＝4．
另解：可以和三边长为 3，7，8 的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。
例4．（2023八年级上·江苏·专题练习）已知在中，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，在和中根据勾股定理表示出和，列出方程求出，代入求出的值，再根据三角形的面积公式求出面积即可．
【详解】解：如图，过作，垂足为．设，则，
∵在和中，，
，解得，．
．故选：C．
另解：可以和三边长为 3，7，8 的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。
【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形的面积公式，熟练掌握利用勾股定理表示相应线段之间的关系是解题的关键．
例5．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，，则的长为 ．
【答案】5或3
【分析】分当是锐角三角形时，当是钝角三角形时两种情况，过点A作于D，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理分别求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，当是锐角三角形时，过点A作于D，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴；
如图所示，当是钝角三角形时，过点A作于D，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴；
综上所述，的长为5或3，故答案为：5或3．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
1．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，四边形的两条对角线互相垂直，AC、BD是方程的两个解，则四边形的面积是（ ）
A．60 B．30 C．16 D．32
【答案】B
【分析】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，二次方程的两根乘积可以利用韦达定理快速求解即可．
【详解】由题意可知：四边形的面积
∵AC、BD是方程的两个解，
∴，四边形的面积， 故答案为：B．
【点睛】本题考查对角线互相垂直的四边形的面积计算及二次方程根与系数的关系，知道利用对角线的成绩计算面积是解题关键．
2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）点P是矩形内一点，且满足，，，则的值为（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键．
过点向矩形的四边分别作垂线，垂直分别为，根据题意，设，则有勾股定理，分别求得，根据已知数据以及，进而即可求得的长．
【详解】过点向矩形的四边分别作垂线，垂直分别为，如图，四边形是矩形，
，四边形是矩形，
，
设，则，
，，，，．故选：D．
3．（2024·天津和平·二模）如图，四边形的两条对角线，相交于点，点在线段上，且，若．有下列结论：①的取值范围是；②的长有两个不同的值满足四边形的面积为12；③四边形面积最大值为．其中，正确结论的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解一元二次方程，二次函数的性质等知识点，利用三角形的三边关系可判定①，先表示出，再利用二次函数的性质可判定③，解的方程，可判定②，进而可得答案，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【详解】∵ 在中，，∴，∴，
当时，，此时是直角三角形且点C在线段上，不符合题目是四边形，∴或，故①错误，不符合题意；
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴当时，四边形面积有最大值为，故③正确，符合题意；
当时，解方程得：或，
∵当时，不符合题目是四边形，
∴的长有1个值满足四边形的面积为12，故②错误，不符合题意；故选：B．
4．（2023·山东八年级课时练习）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（ ）．
A．45° B．37° C．60° D．90°
【答案】C
【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝BC CD＝5 x，由勾股定理得72 （5 x）2＝82 x2，得出CD＝4，则CD＝AC，再证∠CAD＝30°．
【详解】法1：∵△ABC的边长为5，7，8，
∴其可以和边长为3，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，
如图，观察图形可知∠C为等边三角形的一个内角，所以∠C=60°.故选 C.
法2：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
设CD＝x，则BD＝BC CD＝5 x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2 BD2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2 CD2，
∴AB2 BD2＝AC2 CD2，即：72 （5 x）2＝82 x2，解得：x＝4，∴CD＝4，
∴CD＝AC，∴∠CAD＝30°，∴∠C＝90° 30°＝60°，故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形内角和定理等知识；熟练掌握勾股定理，证出∠CAD＝30°是解题的关键．
5．（2024·四川广元·二模）如图，在四边形中，，对角线 AC，BD互相垂直，，，则 的值是
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理运用，平行四边形的判定与性质，作辅助线构造直角三角形、运用平行四边形性质及勾股定理是解题的关键．过点作交延长线于，作于，将转化为，对运用勾股定理求解．
【详解】解：如图，过点作交延长线于，作于，
，，，四边形是平行四边形，，
，，在中，，
，∴，故答案为：．
6．（2022·山东枣庄·模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=3，BC=5，则 ．
【答案】34
【分析】在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，进一步得BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，再根据AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，最后求得AB2+CD2=34．
【详解】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，
在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得，BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，∴BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，
∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，∴AB2+CD2=34；故答案为：34．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
7．（23-24九年级上·广东梅州·期中）四边形的对角线互相垂直且长分别为8和12，则面积为 ．
【答案】48
【分析】本题考查四边形面积问题，画出图形，四边形，于，，，利用三角形面积公式可得，从而可以得到答案．解题的关键是掌握“对角线互相垂直的四边形，面积等于对角线乘积的一半”．
【详解】解：四边形，于，，，如图：
∵，∴，，
∴，
∵，，∴．故答案为：48．
8．（23-24八年级·浙江·期末）当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是 ．
解：∵边长为3，7，8的三角形，可以和边长为5，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，
如图，∴拼成的等边三角形的高为 4，∴这两个三角形的面积之和为×8×4=16.
9．（23-24八年级下·河北石家庄·阶段练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．
（1）若，，，则 ；（2）若，，则 ；
（3）若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是 ．
【答案】
【分析】（1）根据题意和勾股定理即可求出．（2）利用勾股定理，进行等量代换，可以得到的值．（3）由（2）得求解过程可以得到，进行替换即可．
【详解】（1）， ，
，．故答案为．
（2）由（1）得：，，，，，
，，．故答案为．
（3）由（2）得：，．故答案为．
【点睛】本题考查勾股定理的应用问题，熟练利用勾股定理和等量代换是解题的关键．
10．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知三角形一边上的中线，与三角形三边有如下数量关系：三角形两边的平方和等于第三边一半的平方与第三边中线平方之和的2倍．即：如图，在中，是边上的中线，则有．请运用上述结论，解答下面问题．如图，点为矩形外部一点，已知，若，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的三边关系，勾股定理，理解新定义，并运用是本题的关键．连接交于O，连接，由矩形的性质可得，，由三角形中线与三角形三边关系，可求的长，由三角形的三边关系可以求出，即，再根据当点P在矩形的边上时，求出，然后根据点P在矩形外部，求出即可．
【详解】解：如图，连接交于O，连接，
∵四边形是矩形，∴，，
∵是的中线，也是的中线，∴，，
∴，∴，∴，
在中，，∴，
当点P在矩形的边上时，如图所示：
∵在矩形中，，，，∴，
∵，∴，
∵点P在矩形外，，∴．故答案为：．
11．（2022·湖北·一模）如图，P是矩形ABCD外一点，有以下结论：①S△PAB+S△PCD=S矩形ABCD②S△PBC=S△PAC+S△PCD③PA2+PC2=PB2+PD2；④若PD⊥PB，则P、A、B、C、D在同一个圆上其中正确的序号是
【答案】①②③④
【分析】过点P作PE⊥AB交AB延长线于点E，交CD延长线于点F，根据矩形的性质可得四边形BCFE是矩形，从而得到AD=BC=EF，再由，可得①正确；再根据，可得②S△PBC=S△PAC+S△PCD，故②正确；再根据勾股定理可得③正确；然后根据直径所对的圆周角是直角可得④正确，即可求解．
【详解】解：如图，过点P作PE⊥AB交AB延长线于点E，交CD延长线于点F，
在矩形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∠ABC=90°，
∴PE⊥CD，
∴∠E=∠F=∠ABC=90°，
∴四边形BCFE是矩形，
∴AD=BC=EF，
∴，故①正确；
∵，
∴S△PBC=S△PAC+S△PCD，故②正确；
∵，
∴，
∵AE=DF，BE=CF，
∴PA2+PC =PB +PD ，故③正确；
在矩形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
∴点A、B、C、D在同一个圆上，且圆心位于矩形对角线的交点处，
∵PD⊥PB，
∴∠BPD=90°，
∴点P位于以BD为直径的圆上，
∴P、A、B、C、D在同一个圆上，故④正确；
故答案为：①②③④
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，圆的基本性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
12．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，四边形的两条对角线互相垂直，且，则四边形面积的最大值为 ．
【答案】8
【分析】设BD=x，则AC=8－x，而四边形的面积为S=，根据二次函数的性质即可求得面积的最大值．
【详解】如图，设AC、BD交于点O
设BD=x，则AC=8－x，其中0∵
∴
∵
∴当x=4时，S有最大值8
故答案为：8
【点睛】本题考查了二次函数的性质，四边形的面积，当四边形的两条对角线垂直时，其面积与菱形面积一样，等于两条对角线乘积的一半．把面积最大值转化为函数问题是关键．
13．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为奇妙四边形．如图1，四边形中，若，，则称四边形为奇妙四边形．根据奇妙四边形对角线互相垂直的特征可得奇妙四边形的一个重要性质：奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：
(1)矩形________奇妙四边形（填“是”或“不是”）；(2)如图2，已知的内接四边形是奇妙四边形，若的半径为8，．求奇妙四边形的面积；(3)如图3，已知的内接四边形是奇妙四边形．请猜测和的位置关系，并证明你的结论．
【答案】(1)不是(2)96(3)平行，见解析
【分析】（1）根据矩形的对角线的性质判断即可．（2）如图2中，连接、，作于，则．解直角三角形求出，再根据奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半计算即可．
（3）依据同圆中等弧所对的圆周角都相等推导出，进而得到推导出，，，进而得到，．
【详解】（1）解：∵矩形的对角线不一定相互垂直，∴矩形不是“奇妙四边形”，故答案为：不是；
（2）如图2中，连接、，作于，则．
∵，∴，
在中，∵，∴，∴，
∵，∵四边形是奇妙四边形，
∴，∴“奇妙四边形”的面积；
（3）结论：．证明如下：如图3，
∵的内接四边形是奇妙四边形，
∴，，则，∴，∴，
又∵，∴，∴，
∴，∴，∴，∴，∴．
【点睛】本题考查圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，“奇妙四边形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找等量关系解决问题．
14．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”
(1)试猜想筝形的对角线有什么位置关系，然后用全等三角形的知识证明你的猜想；
(2)已知筝形的对角线的长度为整数值，且满足．设的长为x，四边形的面积为S，试求x为多少时，S有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)垂直，理由见解析；(2)当时，有最大值，最大值为
【分析】（1）证可得，再证即可得，故可求证；（2）根据即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，，,∴∴，
，，∴，∴，
，∴，∴
（2）解：，
∵，的长为x∴
∴∴当时，有最大值，最大值为
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、二次函数的实际应用等．掌握相关知识是解题关键．
15．（2024·山西晋城·三模）请阅读列材料，并完成相应的任务：
三角形中线定理
三角形中线定理又称阿波罗尼奥斯定理，是一种平面几何的定理之一，指三角形三边和中线长度关系．
阿波罗尼奥斯（约公元前262-190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大前期的三大数学家．
中线定理：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在中，点D为BC的中点，根据“阿波罗尼奥斯”，可得．下面是该定理的证明过程（部分）：
证明：过点A作于点E，如图2，在中，，
同理可得：，，
证明的方便，不妨设，，
…
任务：
(1)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
(2)如图3，在中，点为的中点，，，，则的长为______；
(3)如图4，已知平行四边形中，和相交于点，设，，请直接用含，的代数式表示的值；
(4)如图5，已知平行四边形内接于，点为内一点，若，，，，请直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理，平行四边形的性质，矩形的性质；
（1）用线段的和差关系以及等量代换即可证明．
（2）直接利用阿波罗尼奥斯定理，即可求解．
（3）根据平行四边形的性质以及阿波罗尼奥斯定理，即可求解；
（4）根据题意得出是矩形，进而根据阿波罗尼奥斯定理，即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：∵在中，点为的中点，，，，
∴，
根据“阿波罗尼奥斯”，可得
∴
解得：；
（3）∵四边形是平行四边形，
∴
∵，，
∴
在中，是中线，
根据“阿波罗尼奥斯”，可得
∴
∴；
（4）∵平行四边形内接于，是直径，
∴
∴四边形是矩形，，
∴
∴
在中，根据“阿波罗尼奥斯”，可得
∴,
解得：．
16．（24-25九年级上·广东深圳·月考）垂美四边形定义如下：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
(1)如图1，四边形是“垂美四边形”，猜想与之间的数量关系：______，并说明理由．
(2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，若，求的长．
(3)如图3，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为垂美四边形，请直接写出的长．
【答案】(1)，理由见详解
(2)
(3)或
【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）分别对运用勾股定理，再根据等式的性质即可求证；
（2）先证明，得到四边形为“垂美四边形”，则，再运用勾股定理求得，，代入即可求解；
（3）①当时，对中，由勾股定理求得，，过点P作延长线的垂线，垂足为点D，可证明，则，，在中，由勾股定理得；②当时，同上．
【详解】（1）解：数量关系为：
记交于点O，
∵，
∴在中，
由勾股定理得：，
∴，
同理可得：，
∴；
（2）解：如图，
∵四边形是正方形，为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为“垂美四边形”，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
同理可求,
∴，
解得：；
（3）解：①当时，
则，
在中，，
∴由勾股定理得，
∴，
解得：（舍负），
∴，
过点P作延长线的垂线，垂足为点D，
由题意得，，
∴，
∴，
而，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
②当时，
同上可求此时，
过点P作于点D，
同上可证：，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理求得，
综上：或．
17．（2024·山东德州·一模）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为．则称为“中垂三角形”．设，，．
(1)①如图1，当，时，____________．
②如图2，当，时，求和的值．
(2)请猜想、和三者之间的数量关系，并结合图3写出证明过程．
(3)如图4，在边长为3的菱形中，为对角线，的交点，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，求的值．
【答案】(1)①；②，
(2)，见解析
(3)
【分析】（1）①先由三角形中位线定理得出，，证明为等腰直角三角形，从而得出也为等腰直角三角形，即可得出答案；②连接，根据含角的直角三角形的性质结合勾股定理得出，，由三角形中位线定理得出，，求出，，再由勾股定理得出、的长，即可得解；
（2）设，，表示出线段、，最后由勾股定理即可得出答案；
（3）证出，，利用（2）的结论可得，进而由，即可求解．
【详解】（1）解：①如图所示，连接，
，，是的中线，
是的中位线，
，，
，，
为等腰直角三角形，
，
也是等腰直角三角形，
，
故答案为：；
②如图，连接，
，，，，
，，
，是的中线，
是的中位线，
，，
，
，，
，
，，
，；
（2）解：，理由如下：
如图，连接，
，
设，，
，
在中，，
，是的中线，
是的中位线，
，，
，，
，，
，，
；
（3）解：如图，连接，
，四边形是菱形，
，，，
分别为线段，的中点，
，
，
，
，
，
同理可得：，
分别为线段，的中点，
是的中位线，
，，
，即，
四边形是菱形，
，，
，
，
分别为线段、的中点，，，
，
由（2）得，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线的呢隔离、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
18．（2023·山东青岛·二模）如果一个三角形有两条互相垂直的中线，我们就把这样的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为P，称这样的三角形为“中垂三角形”，设，，．
(1)如图1，当，时，______，______；
如图2，当，时，______，．
归纳证明
(2)请你观察（1）中的计算结果，用等式表示对，，三者之间关系的猜想，并利用图3证明，，三者之间的关系．
【答案】(1)，；，
(2)，见详解．
【分析】（1）先判断是等腰直角三角形，再得到也是等腰直角三角形，最后计算即可，连接，则是的中位线．根据三角形中位线定理可得的值，根据含角的直角三角形的性质求出，，，，最后利用勾股定理即可求解；
（2）先设，，表示出线段，，最后利用勾股定理即可．
【详解】（1）解：如图1，∵，是的中线，
则是的中位线，
所以，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
故答案为：，；，；
（2）解：，如图3，证明如下：
设，，
则，
∵，，
∴，，
则，，
∴，，
∴．
即．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理是解本题的关键．
19．（2024·浙江·模拟预测）定义：若一个四边形的对角线互相垂直，且较长对角线的长度是较短对角线长度的2倍，则称这个四边形为“倍垂四边形”．
（1）如图①，在菱形中，对角线与相交于点O，，试判断菱形是否为“倍垂四边形”，并说明理由；
（2）如图②，在中，，作于点O，问在射线上是否存在着一点D，使得四边形是“倍垂四边形”．若存在，请求出此时线段的长；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，在中，，且，分别以的斜边和直角边为边向外作和，且，连接，当四边形是“倍垂四边形”时，求的长．
【答案】（1）是，见解析；（2）存在，0.5或11；理由见详解（3）或．
【分析】（1）根据题意易得，然后由勾股定理可得，进而由题目所给定义可求解；
（2）设，则，由勾股定理及题意得，进而求解x的值，最后利用线段的和差倍分关系求解即可；
（3）连接交于点F，交于点G，由题意易得，根据四边形是“倍垂四边形”及题意得，，从而得到，则根据相似三角形的性质可求的值，然后进行分类求解即可．
【详解】解：（1）在菱形中，与垂直且互相平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形是“倍垂四边形”；
（2）设，则，
∵，
∴在中，，
在中，，
∴，
解得：，即，
∴，
∴当时，，
当时，；
∴或11；
（3）连接交于点F，交于点G，如图1所示，
图1
∵，且，
∴，
∵四边形是“倍垂四边形”，
∴，
∵和，
∴，
∴，∴，
∵，，
∴，
∴，
∴或，
即或，
（Ⅰ）如图1，∵，
∴，
∵，
∴，
即，得，
∴；
（Ⅱ）如图2，∵，
∴，
同理可得，
得，
∴．
图2
【点睛】本题主要考查菱形的性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理，关键是根据题目所给的定义进行分析，然后利用相似三角形的性质及勾股定理列出关系式进行求解即可．
20．（23-24九年级上·浙江金华·期中）【概念认识】
定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）如图1，已知在垂等四边形中，对角线与交于点，若，，，求的长度．
【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李与同学讨论出了如下方法：如图2，在中，已知是的弦，只需作、，分别交于点和点，即可得到垂等四边形，请你写出证明过程．
【问题解决】
（3）如图3，已知A是上一定点，为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（A、不重合且A、、三点不共线），对角线与交于点，的半径为，当点到的距离为时，求弦的长度．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或
【分析】（1）根据垂等四边形的定义和勾股定理可求出答案；
（2）连结、，、相交于点．证明，得到，由得到，结论得证；
（3）连接，和是等腰直角三角形，则，得到，则，过点作于点，由勾股定理得到，则，解得，，则或6，得到或4，由即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是垂等四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图2，连结、，、相交于点．
∵，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴四边形是垂等四边形；
（3）连接，
∵四边形是垂等四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
过点作于点，
∴，
∴，
，
∴
设，则，
∵，
∴，
整理得，
∴，，
∴或6，
∵，
∴或4，
∵，
∴或
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定和性质等知识，准确理解和证明垂等四边形是解题的关键．
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