专题14 三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型
等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。中考数学的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的三类重要模型作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。
2
模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） 2
模型2.等边截等长模型（定角模型） 3
模型3.等边内接等边 4
8
模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）
帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。
条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。
证明：如图，过点D作交于H，则，，
∵，∴，∴，∴，∵，∴，
在和中,，∴，∴；
∵，∴，∵，，∴，
∴，∴．
例1．（23-24八年级上·广东中山·期末）如图，中， ， ， 点P从点B出发沿线段移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿的延长线移动，并与点 P同时停止． 已知点 P，Q移动的速度相同，连接与线段 相交于点D(不考虑点 P与点A，B重合时的情况)．
(1)求证: ；(2)求证: ；(3)如图，过点P作于点E，在点P，Q移动的过程中，线段的长度是否变化 如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由．
例2．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与探究
问题情境：在中，，在射线上截取线段，在射线上截取线段，连结，所在直线交直线于点M．
猜想判断：（1）当点D在边的延长线上，点E在边上时，过点E作交于点F，如图①．若，则线段、的大小关系为_______．
深入探究：（2）当点D在边的延长线上，点E在边的延长线上时，如图②．若，判断线段、的大小关系，并加以证明．
拓展应用：（3）当点D在边上（点D不与、重合），点E在边的延长线上时，如图③．若，，，求的长．
例3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，过边长为6的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，连PQ交AC边于D，当PA＝CQ时，DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例4．（2024·河南·校考一模）问题背景：已知在中，边AB上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，同时点E由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点，求的值．
（1）初步尝试：如图①，若是等边三角形，，且点D E的运动速度相等，小王同学发现可以过点D作交AC于点G，先证，再证，从而求得的值为________；
（2）类比探究：如图②，若中，，且点D，E的运动速度之比是，求的值；
（3）延伸拓展：如图③，若在中，，记，且点D E的运动速度相等，试用含m的代数式表示的值(直接写出结果，不必写解答过程)．
模型2.等边截等长模型（定角模型）
条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。
证明：在等边三角形中，，，
在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE；
．
，，∴BQ=2PQ．
例1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：．
例2．（2024八年级·重庆·培优）如图，为等边三角形，且与相交于点，则（ ）．
A．等于 B．等于 C．等于 D．大小不确定
例3．（23-24八年级·广东中山·期中）如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点．(1)求证：；(2)若，求的长．
例4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在等边三角形的，边上各取一点，（均不与端点重合），且，，相交于点，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．若，，则 D．若，，则
模型3.等边内接等边
图1 图2
1）等边内接等边（截取型）
条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF；
结论：三角形DEF也是等边三角形。
证明：∵是等边三角形，∴，．
∵，∴．
在和中，∴（），
∴．同理，∴，∴是等边三角形．
2）等边内接等边（垂线型）
条件：如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。
证明：是等边三角形，，
，，，，
，，是等边三角形，
例1．（2024七年级下·成都·专题练习）如图，过等边三角形的顶点、、依次作、、的垂线、，三条垂线围成，若，则的周长为（ ）
A．12 B．18 C．20 D．24
例2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知等边三角形，点，，分别为边上的黄金分割点（，，），连接，，，我们称为的“内含黄金三角形”，若在中任意取点，则该点落在“内含黄金三角形”中的概率是 ．
例3．（23-24八年级下·广东云浮·期中）如图，点P，M，N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．
例4．（2023·广西·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．(1)求证：；(2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化．
1．（23-24九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，是等边三角形，点D，E分别在，上，且，，与相交于点F，则下列结论：①，②，③．其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
2．（2024广东九年级二模）如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O．下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OP AQ；④若AB=3，则OC的最小值为，其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
3．（2024·广西·一模）如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，在点D从点B运动到点C的过程中，图中阴影部分的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接并延长交的延长线于点，连接，且，过点作于点交于点，过点作交的延长线于点，以下四个结论中：
；；当时，；．正确的有（ ）个．
A． B． C． D．
5．（2023·福建莆田·一模）如图，和都是等边三角形，将先向右平移得到，再绕顶点逆时针旋转使得点，分别在边和上．现给出以下两个结论：①仅已知的周长，就可求五边形的周长；②仅已知的面积，就可求五边形的面积．下列说法正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②均正确 D．①②均错误
6．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①； ②；③；④若，则
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
7．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，是等边三角形，点分别在边上，且与相交于点．若，则的边长等于（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，过等边的顶点A，B，C依次作的垂线三条垂线围成，已知，则的周长是 ．
9．（23-24天津九年级上期中）如图，点分别在正三角形的三边上，且也是正三角形.若的边长为，的边长为，则的内切圆半径为 ．
10．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，在等腰直角中，为的中点，为上一点，连接并延长，交的延长线于点，若，则的长为 ．
11．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，过边长为a的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ．
12．（2023浙江中考一模）如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于点O．若BO=6，PO=2，则AP的长，AO的长分别为 ．
13．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在等边的，上各取一点D，E，使，，相交于点M，过点B作直线的垂线，垂足为H．若，则的长为 ．
14．（2023·辽宁鞍山·一模）如图，在三角形中，，，，与相交于点F，若，则E到的距离为 ．
15．（23-24九年级下·河南商丘·阶段练习）【问题提出】
数学课上，老师给出了这样一道题目：如图1，在等边三角形中，点，分别在，边上，，交于点，且．
（1）线段，的数量关系为______，的度数为______．
【类比探究】老师继续提出问题，若改变的形状，（1）中的结论是否仍然成立呢？
同学们根据老师的提问画出图形，如图2，是等腰直角三角形，，点，分别在，边上，，交于点，同学们发现，想要类比（1）中的探究过程得出结论，还需要确定线段，的数量关系．
（2）请先将条件补充完整：线段，的数量关系为______；再根据图2写出线段，的数量关系和的度数，并说明理由．
【拓展探究】（3）如图3，是等腰直角三角形，，若点沿边上一动点，点是射线上一动点，直线，交于点，在（2）的条件下，当动点沿边从点移动到点（与点重合）时，请直接写出运动过程中长的最大值和最小值．
16．（2023·浙江杭州·二模）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连结，交于点．(1)求证：；(2)连接，若时，①求的值；
②设的面积为，四边形的面积为，求的值．
17．（23-24九年级下·上海宝山·阶段练习）如图（1），已知是等边三角形，点D、E、F分别在边、、上，且．(1)试说明是等边三角形的理由．
(2)分别连接与相交于O点（如图（2）），求的大小．
(3)将绕F点顺时针方向旋转得到图（3），与平行吗？说明理由．
18．（23-24八年级下·辽宁沈阳·开学考试）中，点D是边中点，过点D的直线交边于点M，交边的延长线于点N，且．(1)如图①，当时，求证：；
(2)如图②，当时，请直接写出线段的数量关系．
19．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，是边长为2的等边三角形，点D，E，F分别在边上运动，满足．(1)求证：；(2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化．
20．（23-24山东八年级上期中）问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图（1），在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图（2），在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．
然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图（3），在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．
任务要求：（1）请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索；
①在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立（不要求证明）；
②如图（4），在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
21．（23-24九年级·四川绵阳·期末）小明在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究：
【习题回顾】：如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q使，AQ，BP相交于点O，求的度数．请你解答该习题．
【拓展延伸】：（1）如图1，在等腰的边上各取一点P，Q，使，平分，，，求的长．小明的思路：过点A作交延长线于点G，证明，…
（2）如图2，在的边上各取一点P、Q，使，平分，，，求的数量关系，请你解答小明提出的问题．
22．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）如图：是边长为的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与点、不重合），点同时以点相同的速度，由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点．
(1)若设的长为，则______，______；
(2)当时，求的长；(3)点，在运动过程中，线段的长是否发生变化？请说明理由．
23．（2023·河南开封·一模）教材呈现：如下为华师版八年级上册数学教材第65页的部分类容．
做一做：如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗 此时，符合条件的角形有多少种？
(1)【操作发现】如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形__________全等．（填“一定”或“不一定”）
(2)【探究证明】已知：如图2，在和中，，，．
求证：．证明：在上取一点，使．请补全完整证明过程：
(3)【拓展应用】在中，，点在射线上，点在的延长线上，且，连接，与边所在的直线交于点．过点作交直线于点，若，，则_________．（直接写出答案）
24．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知，如图1，在等腰中，，点E是射线上的动点，点D是边上的动点，且，射线交射线于点F．
(1)求证：；(2)连接，如果是以为腰的等腰三角形，求线段的长；
(3)如图2，当点E在边上时，连接，若，线段的长为 ．
25．（2024·陕西渭南·一模）【问题提出】（1）如图1，，A、D在上，B、C在上，，若，则的长为__________；
【问题探究】（2）如图2，已知是等边三角形，D、E分别为上的点，且，连接．求证：；
【问题解决】（3）如图3是某公园一块四边形空地，其中，米，米，，P、Q分别在上，且，是平行于的一条绿化带，E、F是线段上的两个动点（点E在点F的左侧），米，M在线段上运动（不含端点），且保持，管理人员计划沿铺设两条笔直的水管，为了节省费用，公园负责人要求这两条水管的长度之和（即的值）最小，求这两条水管的长度之和的最小值．（绿化带、水管宽度均忽略不计）
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等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。中考数学的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的三类重要模型作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。
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模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） 2
模型2.等边截等长模型（定角模型） 8
模型3.等边内接等边 12
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模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）
帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。
条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。
证明：如图，过点D作交于H，则，，
∵，∴，∴，∴，∵，∴，
在和中,，∴，∴；
∵，∴，∵，，∴，
∴，∴．
例1．（23-24八年级上·广东中山·期末）如图，中， ， ， 点P从点B出发沿线段移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿的延长线移动，并与点 P同时停止． 已知点 P，Q移动的速度相同，连接与线段 相交于点D(不考虑点 P与点A，B重合时的情况)．
(1)求证: ；(2)求证: ；(3)如图，过点P作于点E，在点P，Q移动的过程中，线段的长度是否变化 如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)为定值5，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的和差，准确作出辅助线找出全等三角形是解题关键．
（1）利用、的移动速度相同，得到，利用线段间的关系即可推出；（2）过点P作，交于点F，利用等边对等角结合已知可证，即可得出结论；
（3）过点P作，交于点F，由（2）得，可知为等腰三角形，结合，可得出即可得出为定值．
【详解】（1）证明：、的移动速度相同，，
，；
（2）如图，过点P作，交于点F，
，，
，，，，由（1）得，，
在与中，，，；
（3）解：为定值5，理由如下：如图，过点P作，交于点F，
由（2）得：，为等腰三角形，
，，由（2）得，，
，为定值5．
例2．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与探究
问题情境：在中，，在射线上截取线段，在射线上截取线段，连结，所在直线交直线于点M．
猜想判断：（1）当点D在边的延长线上，点E在边上时，过点E作交于点F，如图①．若，则线段、的大小关系为_______．
深入探究：（2）当点D在边的延长线上，点E在边的延长线上时，如图②．若，判断线段、的大小关系，并加以证明．
拓展应用：（3）当点D在边上（点D不与、重合），点E在边的延长线上时，如图③．若，，，求的长．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）过点E作交于点F，证明即可得解；
（2）过点E作交的延长线于点F，证明即可得解；
（3）过点E作交的延长线于点F，证明，由相似三角形的性质即可得解．
【详解】（1）解：，理由如下：过点E作交于点F，
∵，，∵，，，
，∵，∴，
在和中，，∴，∴；
（2）解：
理由如下：如图，过点E作交的延长线于点F，
∵，，，
在和中，，∴，；
（3）解：如图，过点E作交的延长线于点F
∵，
，，，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
例3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，过边长为6的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，连PQ交AC边于D，当PA＝CQ时，DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题意过P作BC的平行线，交AC于M；则△APM也是等边三角形，在等边三角形APM中，PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE＝EM；易证得△PMD≌△QCD，则DM＝CD；此时发现DE的长正好是AC的一半，由此得解．
【详解】解：过P作PM∥BC，交AC于M，
∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC，∴△APM是等边三角形；
又∵PE⊥AM，∴AE＝EM＝AM；（等边三角形三线合一）
∵PM∥CQ，∴∠PMD＝∠QCD，∠MPD＝∠Q；
又∵PA＝PM＝CQ，在△PMD和△QCD中，，
∴△PMD≌△QCD（AAS）；∴CD＝DM＝CM；
∴DE＝DM+ME＝（AM+MC）＝AC＝3．故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；能够正确的构建出等边三角形△APM是解答此题的关键．
例4．（2024·河南·校考一模）问题背景：已知在中，边AB上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，同时点E由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点，求的值．
（1）初步尝试：如图①，若是等边三角形，，且点D E的运动速度相等，小王同学发现可以过点D作交AC于点G，先证，再证，从而求得的值为________；
（2）类比探究：如图②，若中，，且点D，E的运动速度之比是，求的值；
（3）延伸拓展：如图③，若在中，，记，且点D E的运动速度相等，试用含m的代数式表示的值(直接写出结果，不必写解答过程)．
【答案】（1）2；（2）2；（3）
【详解】解：（1）2；
【解法提示】如解图①，过点D作交AC于点G，
图①图② 图③
∵△ABC是等边三角形，∴△AGD是等边三角形，
∴，由题意知，∴，
∵，∴，
在与中，，∴，∴，
∵，∴，∴，，∴；
（2）如解图②，过点D作交AC于点G，则，
∵，∴，，
，∴△DGH为等边三角形，∴，．
由题意可知，．∴．∵，∴．
在与中，，∴，∴．
，即，∴，即；
（3）．如解图③，过点D作交AC于点G，
易得，，．
在中，∵，，
∴，，，∴，
∵，∴．
∴，∴．由可得．
∵，∴．∴．
∴，即．∴．
模型2.等边截等长模型（定角模型）
条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。
证明：在等边三角形中，，，
在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE；
．
，，∴BQ=2PQ．
例1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出，，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明∶∵是等边三角形，∴，，
又，∴，∴．
例2．（2024八年级·重庆·培优）如图，为等边三角形，且与相交于点，则（ ）．
A．等于 B．等于 C．等于 D．大小不确定
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，先证明，得到，在三角形外角性质求解即可．
【详解】∵等边，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，故选B．
例3．（23-24八年级·广东中山·期中）如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点．(1)求证：；(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)8
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）证明即可得证；
（2）求出，再根据含角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，∴，
在和中，∴，∴．
（2）解：∵，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，又∵，∴．
例4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在等边三角形的，边上各取一点，（均不与端点重合），且，，相交于点，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【分析】先根据等边三角形的性质得，，据此可判定和全等，从而得，然后根据三角形的外角定理可求出，由此可求出的度数，进而可对结论进行判定；由和全等可得出，据此可判定和相似，进而根据相似的性质可对结论B进行判定；过作于点，根据等边三角形的性质，，然后分别用勾股定理求出，进而再求出，最后可求出，由此可对结论C进行判定；设，，则，，，，先由结论A正确得出，过点作于点，则，然后在中利用勾股定理求出，最后在中再利用勾股定理可求出，之间的关系，从而可对结论D进行判定．
【详解】解：为等边，，，
在与中，，，，
，
，因此结论A正确；，即：，
又，，，
，因此结论B正确；过作于点，
为等边，，，，，
在中，，，由勾股定理得：，
在中，，，由勾股定理得：，
，因此结论C正确；设，，则，，
，，
，，过点作于点， ，
在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理得：，即：，
，
将代入上式得：，
整理得：，因此结论D不正确．故选D．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用等，解答此题的关键是熟练掌握似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，难点是灵活运用勾股定理进行相关的计算．
模型3.等边内接等边
图1 图2
1）等边内接等边（截取型）
条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF；
结论：三角形DEF也是等边三角形。
证明：∵是等边三角形，∴，．
∵，∴．
在和中，∴（），
∴．同理，∴，∴是等边三角形．
2）等边内接等边（垂线型）
条件：如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。
证明：是等边三角形，，
，，，，
，，是等边三角形，
例1．（2024七年级下·成都·专题练习）如图，过等边三角形的顶点、、依次作、、的垂线、，三条垂线围成，若，则的周长为（ ）
A．12 B．18 C．20 D．24
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，先证明是等边三角形．得出．根据直角三角形的性质求出，证明，得出，求出，最后求出结果即可．
【详解】解：∵，∴，
∵是等边三角形，∴，∴，
∴，同理：，∴是等边三角形．∴．
在中，，∴，∴，∵，∴，
在与中，，∴
∴，∴，∴的周长为．故选：B．
例2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知等边三角形，点，，分别为边上的黄金分割点（，，），连接，，，我们称为的“内含黄金三角形”，若在中任意取点，则该点落在“内含黄金三角形”中的概率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，概率的计算方法，
根据题意，设，可得等边的面积，根据黄金分割点可得，，可证，可得，根据图形面积可得，再根据概率的计算方法即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，∴，设，
如图所示，过点作于点，
∴在中，，
∴，，∴，
∵点分别是的黄金分割点，∴，
∴，∴，
∴，则，
如图所示，过点作于点，∴在中，，
∴，∴，
∴，
∴，
∴，故答案为：．
例3．（23-24八年级下·广东云浮·期中）如图，点P，M，N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）先求得．得．则，再求得．即可得到结论；
（2）由得到．由得到，则．由得到．即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴．
∵，∴．
∴．
∴．∴是等边三角形．
（2）解：∵是等边三角形，∴．
在和中，，∴．∴．
∵，∴．∴．
∵，∴．∴．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键．
例4．（2023·广西·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．(1)求证：；(2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化．
【答案】(1)见详解(2)
(3)当时，的面积随的增大而增大，当时，的面积随的增大而减小
【分析】（1）由题意易得，，然后根据“”可进行求证；
（2）分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，根据题意可得，，然后可得，由（1）易得，则有，进而问题可求解；（3）由（2）和二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：∵是边长为4的等边三角形，
∴，，∵，∴，
在和中，，∴；
（2）解：分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，如图所示：
在等边中，，，
∴，∴，
设的长为x，则，，
∴，∴，
同理（1）可知，∴，
∵的面积为y，∴；
（3）解：由（2）可知：，∴，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
即当时，的面积随的增大而增大，当时，的面积随的增大而减小．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质是解题的关键．
1．（23-24九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，是等边三角形，点D，E分别在，上，且，，与相交于点F，则下列结论：①，②，③．其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【分析】由是等边三角形，求得，证明，得到，即可求得，故①正确；由，证明，即可得到，故②正确；由，，证明，即可求得，故③正确；
【详解】∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，且，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴①正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴②正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴③正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键
2．（2024广东九年级二模）如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O．下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OP AQ；④若AB=3，则OC的最小值为，其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质得到AC=BC，根据线段的和差得到CP=BQ，过P作PD∥BC交AQ于D，根据相似三角形的性质得到①正确；过B作BE⊥AC于E，解直角三角形得到②错误；在根据全等三角形的性质得到∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，根据相似三角形的性质得到③正确；以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，证明点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，设CM于圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，根据30度角的直角三角形即可求出结果．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，
∵AP=CQ，∴CP=BQ，∵PC=2AP，∴BQ=2CQ，
如图，过P作PD∥BC交AQ于D，
∴△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，∴，，
∴CQ=3PD，∴BQ=6PD，∴BO=6OP；故①正确；
过B作BE⊥AC于E，则CE=AC=4，∵∠C=60°，∴BE=4，
∴PE==1，∴PC=4+1=5，或PC=4-1=3，故②错误；
在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在△ABP与△CAQ中，，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，
∵∠APO=∠BPA，∴△APO∽△BPA，∴，
∴AP2=OP PB，∴AP2=OP AQ．故③正确；
以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，∴∠NAB=∠NBA=60°，NA=NB，
∵∠PBA=∠QAC，∴∠NAO+∠NBO=∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA
=60°+∠BAQ+60°+∠QAC=120°+∠BAC=180°，
∴点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，
设CM于圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，
∵NA=NB，CA=CB，∴CN垂直平分AB，∴∠MAD=∠ACM=30°，
∴∠MAC=∠MAD+∠BAC=90°，在Rt△MAC中，AC=3，
∴MA=AC tan∠ACM=，CM=2AM=2，∴MO′=MA=，
即CO的最小值为，故④正确．综上：正确的有①③④．故选：A．
【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，四点共圆，锐角三角函数，最短路径问题，综合掌握以上知识并正确的作出辅助线是解题的关键．
3．（2024·广西·一模）如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，在点D从点B运动到点C的过程中，图中阴影部分的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆的有关性质等知识．首先证明，推出点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动，连接交于，当点与重合时，阴影部分的面积的值最小．
【详解】解：如图，是等边三角形，
，，
，，，，
∴，又，，
，，点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动，
连接交于，当点与重合时，的面积最大，则阴影部分的面积的值最小，
此时点是等边的中心，∴阴影部分的面积的最小值为，故选：B．
4．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接并延长交的延长线于点，连接，且，过点作于点交于点，过点作交的延长线于点，以下四个结论中：
；；当时，；．正确的有（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，证明 可知正确；先证明，则 ，过作 ，交于，证明，可得结论；由已知得是等腰直角三角形，得，计算，可作判断；由作判断，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，故正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过作，交于，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确；
当时，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
由 () 知：，
∴，
∴，
∵不一定是的中点，
∴与不一定相等，故不正确；
由 () 知：，
∴，故正确，
综上正确，共个，
故选：．
5．（2023·福建莆田·一模）如图，和都是等边三角形，将先向右平移得到，再绕顶点逆时针旋转使得点，分别在边和上．现给出以下两个结论：①仅已知的周长，就可求五边形的周长；②仅已知的面积，就可求五边形的面积．下列说法正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②均正确 D．①②均错误
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．由“”可证，，可得，，，由线段的和差关系和面积和差关系可求解．
【详解】解：，，都是等边三角形，
，，，
，，，
同理可证：，，，
五边形的周长，
仅已知的周长，就可求五边形的周长；故①正确；
，，，
，，
五边形的面积，
仅已知的面积，就可求五边形的面积．故②正确，故选：C．
6．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①； ②；③；④若，则
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【分析】本题主要考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而根据三角形外角的性质及相似三角形的性质与判定可进行求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∴，，
∴，故②正确；
∵，
∴不成立，故③错误；
过点E作，交于点H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；故④正确；
综上所述：说法正确的有①②④；
故选B．
7．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，是等边三角形，点分别在边上，且与相交于点．若，则的边长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先证明△ABD△BCE，推出∠BDA=∠FDB，BE= DA=8，再证明△BDA△FDB，利用相似三角形的性质求得BD=CE=，作EG⊥BC于G，根据解直角三角形的知识即可求解
【详解】∵是等边三角形，，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60，
在△ABD和△BCE中，，
∴△ABD△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，BE= DA=1+7=8，
∵∠BDA=∠FDB，
∴△BDA△FDB，
∴，即，
∴BD=，则CE=BD=，
作EG⊥BC于G，
∵∠C=60，
∴CG=CE，EG=CE，
在Rt△BEG中，BG=，
∴BC= BG+ CG=，故选：C
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，等边三角形各边长相等、各内角为60°的性质．关键是利用了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质求解，有一定的综合性．
8．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，过等边的顶点A，B，C依次作的垂线三条垂线围成，已知，则的周长是 ．
【答案】36
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形判定与性质，所对的直角边是斜边的一半等知识，本题中为等边三角形，通过证明，得．证明是等边三角形，易得，，即可作答．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
同理：，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∵，
所以的周长，
故答案为：36
9．（23-24天津九年级上期中）如图，点分别在正三角形的三边上，且也是正三角形.若的边长为，的边长为，则的内切圆半径为 ．
【答案】
【分析】根据△ABC、△EFD都是等边三角形，可证得△AEF≌△BDE≌△CDF，即可求得AE+AF=AE+BE=a，然后根据切线长定理得到AH=（AE+AF-EF）=（a-b）；，再根据直角三角形的性质即可求出△AEF的内切圆半径．
【详解】解：如图1，⊙I是△ABC的内切圆，由切线长定理可得：AD=AE，BD=BF，CE=CF，
∴AD=AE=[（AB+AC）-（BD+CE）]= [（AB+AC）-（BF+CF）]=（AB+AC-BC），
如图2，∵△ABC，△DEF都为正三角形，
∴AB=BC=CA，EF=FD=DE，∠BAC=∠B=∠C=∠FED=∠EFD=∠EDF=60°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=120°，∠1=∠3；
在△AEF和△CFD中，，∴△AEF≌△CFD（AAS）；
同理可证：△AEF≌△CFD≌△BDE；∴BE=AF，即AE+AF=AE+BE=a．
设M是△AEF的内心，过点M作MH⊥AE于H，
则根据图1的结论得：AH=（AE+AF-EF）=（a-b）；
∵MA平分∠BAC，∴∠HAM=30°；
∴HM=AH tan30°=（a-b） =故答案为．
【点睛】本题主要考查的是三角形的内切圆、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，切线的性质，圆的切线长定理，根据已知得出AH的长是解题关键．
10．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，在等腰直角中，为的中点，为上一点，连接并延长，交的延长线于点，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】过点E作于点G，过点F作于点F， 由勾股定理和等腰三角形的性质得，，则和是等腰直角三角形，得，，再证明，得 ，则，然后由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，
过点E作于点G，过点F作于点F，
则，，
∵， ，
∴，，
∴和是等腰直角三角形，
∴，，
∵E为的中点，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
11．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，过边长为a的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ．
【答案】
【分析】过点P作交于点F，根据题意可证是等边三角形，根据等腰三角形三线合一证明，根据全等三角形判定定理可证，，进而证明，计算求值即可．
【详解】解：过点P作交于点F，
∵，是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线性质、等边三角形性质与判定、全等三角形判定与性质，掌握全等三角形判定定理是解题关键．
12．（2023浙江中考一模）如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于点O．若BO=6，PO=2，则AP的长，AO的长分别为 ．
【答案】4，．
【分析】先通过条件证明△ABP≌△ACQ，得到∠ABP=∠CAQ，可证明△APO∽△BPA，得出，则AP2=OP BP，可求出AP，设OA=x，则AB=2x，在Rt△ABE中，由AE2+BE2=AB2，得出x的值即可得解．
【详解】解：解：∵△ABC是等边三角形
∴∠BAP=∠ACQ=∠ABQ=60°，AB=AC=BC，
∵在△ABP和△ACQ中 ，
∴△ABP≌△ACQ （SAS），∴∠ABP=∠CAQ，
∵∠APO=∠BPA，∴△APO∽△BPA，
∴，∴AP2=OP BP，
∵BO=6，PO=2，∴BP=8，∴AP2=2×8=16，∴AP=4，
∵∠BAC=60°，∴∠BAQ+∠CAQ=60°，∴∠BAQ+∠ABP=60°，
∵∠BOQ=∠BAQ+ABP，∴∠BOQ=60°，过点B作BE⊥OQ于点E，∴∠OBE=30°，
∵OB=6，∴OE=3，BE=3，∵，
设OA=x，则AB=2x，在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，
∴(x+3)2+(3)2＝(2x)2，解得：x=或x=1-（舍去），
∴AO=1+．故答案为：4，．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
13．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在等边的，上各取一点D，E，使，，相交于点M，过点B作直线的垂线，垂足为H．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】首先用证，由全等三角形的性质可得，可证，由含直角三角形的性质可得，过点A作于F，结合已知条件利用直角三角形的性质和勾股定理得出，，然后根据三角形的面积相等求出，进而求出．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，，
∵，
∴，，
如图，过点A作于F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，以及含的直角三角形，解题的关键是利用等边三角形的性质，作出辅助线，灵活运用这些性质解决问题.
14．（2023·辽宁鞍山·一模）如图，在三角形中，，，，与相交于点F，若，则E到的距离为 ．
【答案】
【分析】证明出是等边三角形，再结合条件证明，得出，接着证明出，得到，利用对顶角得到，过点作的垂线，交于于点，在中求解即可．
【详解】解：，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点作的垂线，交于于点，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，解题的关键是构造直角三角形进行求解．
15．（23-24九年级下·河南商丘·阶段练习）【问题提出】
数学课上，老师给出了这样一道题目：如图1，在等边三角形中，点，分别在，边上，，交于点，且．
（1）线段，的数量关系为______，的度数为______．
【类比探究】老师继续提出问题，若改变的形状，（1）中的结论是否仍然成立呢？
同学们根据老师的提问画出图形，如图2，是等腰直角三角形，，点，分别在，边上，，交于点，同学们发现，想要类比（1）中的探究过程得出结论，还需要确定线段，的数量关系．
（2）请先将条件补充完整：线段，的数量关系为______；再根据图2写出线段，的数量关系和的度数，并说明理由．
【拓展探究】（3）如图3，是等腰直角三角形，，若点沿边上一动点，点是射线上一动点，直线，交于点，在（2）的条件下，当动点沿边从点移动到点（与点重合）时，请直接写出运动过程中长的最大值和最小值．
【答案】（1），；（2）；，，理由见解析；（3）8，
【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得出，，进而根据三角形外角的性质即可求解；
（2）证明，得出，，进而根据（1）的方法即可求解；
（3）由题意，可知点在以为弦．所对圆心角为的上，根据题意画出图形，连接．当点在线段上时，取得最小值，当点移动到点时，点与点重合，此时取得最大值，利用勾股定理以及线段的和差即可求解．
【详解】解：（1）解：∵是等边三角形
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴
故答案为： ，．
（2）线段，的数量关系为：；
，．
理由如下：∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，即．
∴．
∴，，即．
∴．
（3）长的最小值为，最大值为．
由题意，可知点在以为弦．所对圆心角为的上（，则，劣弧所对的圆周角是）．
如解图1所示，．
∵，
∴．
连接．当点在线段上时，取得最小值，
如解图1所示，此时．
∴．
∴长的最小值为．
当点移动到点时，点与点重合，此时取得最大值．
如解图2所示，由（2），知．
∴长的最大值为8．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握综合运用以上知识是解题的关键．
16．（2023·浙江杭州·二模）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连结，交于点．(1)求证：；(2)连接，若时，①求的值；
②设的面积为，四边形的面积为，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据可证明；
（2）①证出，即点恰好落在以为直径的圆上，点也落在以为直径的圆上，得出．连接，则，，由直角三角形的性质可得出结论；
②证出．过点作，得出，．则．即可得出答案．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，．
，
．
在和中，
，
；
（2）解：①由（1）知：，
．
．
．
．
、、、四点共圆．
，
，
即点恰好落在以为直径的圆上，点也落在以为直径的圆上，
，
．
连接，则，，
．
，
．
②如图，连接，设．
，
．
．
，
．
．
过点作，
，．
．
，
即．
．
．
．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，圆的有关性质等，熟练掌握有关的性质定理是解答此题的关键．
17．（23-24九年级下·上海宝山·阶段练习）如图（1），已知是等边三角形，点D、E、F分别在边、、上，且．
(1)试说明是等边三角形的理由．
(2)分别连接与相交于O点（如图（2）），求的大小．
(3)将绕F点顺时针方向旋转得到图（3），与平行吗？说明理由．
【答案】(1)理由见解析
(2)
(3)，理由见解析．
【分析】（1）由等边三角形的性质和可证明，根据等式的性质得，再根据三角形的内角和定理即可求证为正三角形；
（2）根据为正三角形易得，，根据，得到，可证，得到，再根据三角形外角的性质即可求解；
（3）设顺时针旋转后交于G，易证，可得，结合，得到，，即可证得．
【详解】（1）∵为正三角形，
∴，
∵，，
∴
∴
∴，
∴
∴为正三角形；
（2）∵为正三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3），理由如下：
设顺时针旋转后交于点G，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定等知识点，相似三角形的判定方法有①两角对应相等，②两边对应成比例且夹角相等，③三边对应成比例．
18．（23-24八年级下·辽宁沈阳·开学考试）中，点D是边中点，过点D的直线交边于点M，交边的延长线于点N，且．(1)如图①，当时，求证：；
(2)如图②，当时，请直接写出线段的数量关系．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键．
（1）过点C作交于点E，证明是等边三角形，得到，证明得到，进而可得结论；
（2）过点C作交于点F，同理，证明是等腰直角三角形，得到，证明得到，进而可得结论．
【详解】（1）证明：过点C作交于点E，如图①，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵D是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
过点C作交于点F，如图②，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵D是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
19．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，是边长为2的等边三角形，点D，E，F分别在边上运动，满足．(1)求证：；(2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)当时，的面积随的增大而减小，当时，的面积随的增大而增大
【分析】（1）根据等边三角形的性质结合题意可得出，，，从而即可证明；
（2）分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，根据锐角三角函数和三角形面积公式可求出；设的长为x，则，，可求出， 结合（1）可求出，最后根据求解即可；
（3）根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵是边长为2的等边三角形，
∴，．
∵，
∴，即，
∴；
（2）解：分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，如图，
在等边中，，，
∴，
∴．
设的长为x，则，，
∴，
∴．
由（1）同理可证，
∴，
∵的面积为y，，
∴；
（3）解：∵，
∴，该抛物线对称轴为，∴该抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增，即当时，的面积随的增大而减小，当时，的面积随的增大而增大．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，锐角三角函数，二次函数的实际应用及其性质等知识．熟练掌握锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质是解题的关键．
20．（23-24山东八年级上期中）问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图（1），在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图（2），在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．
然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图（3），在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．
任务要求：（1）请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索；
①在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立（不要求证明）；
②如图（4），在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）选①或②或③，证明见详解；（2）①当时，结论成立；②当时，还成立，证明见详解．
【分析】（1）命题①，根据等边三角形的性质及各角之间的等量代换可得：，然后依据全等三角形的判定定理可得：，再由全等三角形的性质即可证明；命题②，根据正方形的性质及各角之间的等量代换可得：，然后依据全等三角形的判定定理可得：，再由全等三角形的性质即可证明；命题③，根据正五边形的性质及各角之间的等量代换可得：，然后依据全等三角形的判定定理可得：，再由全等三角形的性质即可证明；
（2）①根据（1）中三个命题的结果，得出相应规律，即可得解；
②连接BD、CE，根据全等三角形的判定定理和性质可得：， ，，，利用各角之间的关系及等量代换可得：， ，继续利用全等三角形的判定定理和性质即可得出证明．
【详解】解：（1）如选命题①，证明：如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与中，
，
∴ ，
∴ ；
如选命题②，
证明：如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与中，
，
∴ ，
∴ ；
如选命题③，
证明：如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）①根据（1）中规律可得：当时，结论成立；
②答：当时，成立．
证明：如图所示，连接BD、CE，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，，
∵ ，
∴ ，
∵ ，．
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴ ．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定定理和性质，正多边形的内角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，理解题意，结合相应图形证明是解题关键．
21．（23-24九年级·四川绵阳·期末）小明在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究：
【习题回顾】：如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q使，AQ，BP相交于点O，求的度数．请你解答该习题．
【拓展延伸】：（1）如图1，在等腰的边上各取一点P，Q，使，平分，，，求的长．小明的思路：过点A作交延长线于点G，证明，…
（2）如图2，在的边上各取一点P、Q，使，平分，，，求的数量关系，请你解答小明提出的问题．
【答案】习题回顾：；拓展延伸（1）证明见解析；（2）
【分析】习题回顾：根据等边三角形的性质得到，进而证明，得到．再由三角形外角的性质可得；
拓展延伸（1）过点A作交的延长线于点G，则，由角平分线的定义推出，进而推出，由此即可证明；（2）如图2，过点P作于H，过点A作于T，设，则，由角平分线的性质得到，利用等面积法求出，则；再利用等面积法求出，则，进而求出，则，则．
【详解】解：习题回顾：∵是等边三角形，∴，
又∵，∴，∴．
∵，∴；
拓展延伸：（1）过点A作交的延长线于点G，∴，
∵平分，∴，∴，∴，
∵，∴，∵，∴；
（2）如图2，过点P作于H，过点A作于T，设，
∵，∴，
∵平分，，，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴；
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质，三角形内角和定理，等角对等边，平行线的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
22．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）如图：是边长为的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与点、不重合），点同时以点相同的速度，由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点．
(1)若设的长为，则______，______；
(2)当时，求的长；(3)点，在运动过程中，线段的长是否发生变化？请说明理由．
【答案】(1)，(2)(3)不变，理由见解析
【分析】（1）由等边三角形的性质及线段的和差关系即可求解；（2）易得，由含度角的直角三角形的性质可得，解之，即可求得的长；（3）过点作交延长线于点，连接，，可证得，进而证得，于是，，据此可推出，然后可证得四边形是平行四边形，于是可得．
【详解】（1）解：是边长为的等边三角形，
，，设，则,
点，速度相同，，，故答案为：，；
（2）解：，，，
，，解得：，；
（3）解：线段的长不变，理由如下：
如图，过点作交延长线于点，连接，，
，，，，
是边长为的等边三角形，，，
又，，点，速度相同，，
在和中，，，
，，，即：，
，且，四边形是平行四边形，．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含度角的直角三角形，解一元一次方程，垂线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等式的性质，平行四边形的判定与性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形和平行四边形是解题的关键．
23．（2023·河南开封·一模）教材呈现：如下为华师版八年级上册数学教材第65页的部分类容．
做一做：如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗 此时，符合条件的角形有多少种？
(1)【操作发现】如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形__________全等．（填“一定”或“不一定”）
(2)【探究证明】已知：如图2，在和中，，，．
求证：．证明：在上取一点，使．请补全完整证明过程：
(3)【拓展应用】在中，，点在射线上，点在的延长线上，且，连接，与边所在的直线交于点．过点作交直线于点，若，，则_________．（直接写出答案）
【答案】(1)不一定(2)见解析(3)或
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质（1）根据可知两个三角形不一定全等；（2）在上取一点，使，根据证明，即可得到结论；（3）分两种情况：当点在线段上时，过点作交的延长线于点；当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点，分别证明，，进而即可求解．
【详解】（1）通过作图我们可以发现，此时(即“边边角”对应相等)的两个三角形不一定全等，
故答案是：不一定；
（2）证明：在上取一点，使．， ．
又，而， ．
， 又．．
（3）当点在线段上时，过点作，
，，，，，
， ，，，，
，；过点作交的延长线于点，
，，，
，，，
，，，
，，，；
当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点，同理可得；
同理：，，
，，
，；故答案是：或．
24．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知，如图1，在等腰中，，点E是射线上的动点，点D是边上的动点，且，射线交射线于点F．
(1)求证：；
(2)连接，如果是以为腰的等腰三角形，求线段的长；
(3)如图2，当点E在边上时，连接，若，线段的长为 ．
【答案】(1)见解析(2)或或9(3)2
【分析】（1）可推出，从而得出结论；（2）分为三种情形：当点E在上时，设，则，根据得出，从而求得结果；当点E在的延长线上，当时，设，则，根据得出，进而求得结果；当时，设，由得出，求得m的值，进一步得出结果；（3）作，交于点G，作于H，作于Q，作于T，可得：，，，从而得出比例式，设，则，设，则，依次表示出，根据列出①；可得出，从而，进而得出②，由①②求x的值，进而得出结果．
【详解】（1）证明：，，
，，，；
（2）解：如图1，当点E在上时，设，
是以为腰的三角形，，，
由（1）得：；∴，即，∴，，
如图2，当点E在的延长线上，当时，由（1）得：；
∴，即，设，则，
∴，∴，∴，
如图3，当时，设，由得，，，，
综上所述：的长为或或9；
（3）解：如图4，作，交于点G，作于H，作于Q，作于T，
可得：，，，∴，
设，则，设，则，
∴，，，
∴，∴，∴，
∴，，
∵，∴，∴，∴，
，由得，，①，
，，，，
，，∴，∴②，
由①②得，，，故答案为：2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
25．（2024·陕西渭南·一模）【问题提出】（1）如图1，，A、D在上，B、C在上，，若，则的长为__________；
【问题探究】（2）如图2，已知是等边三角形，D、E分别为上的点，且，连接．求证：；
【问题解决】（3）如图3是某公园一块四边形空地，其中，米，米，，P、Q分别在上，且，是平行于的一条绿化带，E、F是线段上的两个动点（点E在点F的左侧），米，M在线段上运动（不含端点），且保持，管理人员计划沿铺设两条笔直的水管，为了节省费用，公园负责人要求这两条水管的长度之和（即的值）最小，求这两条水管的长度之和的最小值．（绿化带、水管宽度均忽略不计）
【答案】（1）5（2）见解析（3）390米
【分析】（1）首先根据条件证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形对边相等可得到即可；（2）根据证明，进而解答即可；（3）连接，过点D作于，根据米，求出米，米，证明，可得，在上截取米，连接，可得四边形是平行四边形，，则，根据，可得的最小值为的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）∵，A、D在上，B、C在上，∴，
∵∴四边形是平行四边形，∴故答案为：5；
（2）证明：∵为等边三角形，∴，
在与中，，∴，∴；
（3）解：连接，过点D作于H，
∵，∴，设，则，
∵米，，∴，
解得（负值舍去），∴米，米，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
在上截取米，连接，
∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，
∵，∴的最小值为的长，∵（米），
∴（米），∴这两条水管的长度之和的最小值为390米．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
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