专题15 全等三角形模型之角平分线模型
角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！
2
模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 2
模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 8
模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 13
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模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）
角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。
图1 图2 图3
条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B.
结论：、≌.
证明：∵为的角平分线，，，
∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL）
常见模型1（直角三角形型）
条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作.
结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.）
证明：∵，为的角平分线，，
∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL）
常见模型2（邻等对补型）
条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。
结论：①；②；③.
证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB，
∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE；
∵，∴，∴，
同图1中的证法易得：≌（HL），∴，
∴，
例1．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ．
【答案】60
【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∴，∴平分，
过点作，，则：，
∵，且，∴，
∴四边形的面积，
∵，∴，设，则：，
由勾股定理，得：，
∴，解：，∴，
∴，∴四边形的面积为60．故答案为：60．
例2．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3）；（4）若，则，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】过点P作PG⊥AB，由角平分线的性质定理，得到，可判断（1）（2）；由，可得，，，，得到，可判断（3）；根据，,可判断（4），进而可得到答案．
【详解】解：过点P作PG⊥AB，连接,如图：
∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA，，，PG⊥AB，
∴；故（1）正确；∴点在的平分线上；故（2）正确；
，，
，，
，，
又，∴；故（3）错误；
,，
，，
，
，
∴正确的选项有3个；故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质进行解题．
例3．（2023春·安徽宿州·八年级统考阶段练习）已知，和分别平分和，点E，F分别在和上．(1)如图1，过点P，且与垂直，求证：；
(2)如图2，为过点P的任意一条线段，试猜想还成立吗？请说明理由．
【答案】(1)证明见详解(2)成立，理由见详解
【分析】（1）过点P作于点M，由角平分线的性质定理即可得出结论；
（2）过点P作于点G，交于点H，证明，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，过点P作于点M，
∵，，．
和分别是和的平分线，
且，，，
，．．
（2）成立．理由如下：
如图，过点P作于点G，交于点H，
，，，，
由（1）得，在和中，
，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
例4．（23-24九年级下·辽宁本溪·阶段练习）【问题初探】（1）在数学活动课上，姜老师给出如下问题：如图1，平分，M为上一点，N为上一点，连接线段，若．求证：．
①如图2，小文同学从已知一边一角构造全等进行转化的视角给出如下思路：在上截取，连接，易证，将线段与的数量关系转化为与的数量关系．
②如图3，小雅同学也是从已知一边一角构造全等的视角进行解题给出了另一种思路，过D点向的两边分别作垂线，垂足分别为点E，F，易证，得到，接下来只需证，可得．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程
【类比分析】（2）姜老师发现之前两名同学都采用了一边一角构造全等的视角，为了更好的感悟这种视角，姜老师将共顶点的两个相等的角，变成了不共顶点的两个相等的角提出了如下问题，请你解答．
如图4，在中，，平分交与点D，在线段上有一点E，连接交与点F，若．求证：．
【学以致用】（3）如图5，在中，，垂足为点D，在的延长线上取一点E，使，在线段上截取，点G在线段上，连接，使，若，，，求四边形的面积．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；（3）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、勾股定理等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）①小文，由“”可证，可得，由补角的性质可得，可证即可求解；②小雅：由“”可证，可得，由“”可证，可得；（2）由“”可证，可得，由三角形内角和定理可求，可得；（3）由“”可证，可得，由等腰三角形的性质和勾股定理可求的长，的长，最后由三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：（1）①证明：如图2，在上截取，连接，
∵平分，∴，
又∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴；
②证明：如图3，过D点向∠BAC的两边分别作垂线，垂足分别为点E，F，
∵平分，∴，
又∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，
又∵，∴，∴；
（2）证明：延长至点M使，连接，
又∵，∴，∴，
∴为的平分线，∴，
又∵，∴，∴，∴；
（3）如图：在上截取，连接，
又∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．即△ABE的面积为．
模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）
角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。但同学们也需要注意，在解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全等来得到结论。（因为正确的结论有很多，但只有作为定理的才可以在证明中直接使用哦！）
图1 图2 图3
条件：如图1，为的角平分线，，
结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。
证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB，
∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA），
∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。
条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F.
结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。
证明：同图1的证法，
例1．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，中，，，点是的中点，若平分，，线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，延长交于，利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出并判断出是的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，延长交于点，
∵平分，∴，∵，∴，
在和中， ，∴，
∴，，∴，
又∵点为的中点，∴是的中位线，∴，故选：．
例2．（2024·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】延长，交点于，可证，得出，，则，当时，取最大值，即取最大值．
【详解】解：如图：延长，交点于，
平分，，，，
在和中，，，，；
，，即； ，，
当时，取最大值，即取最大值．．故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用三角形中线的性质得到．
例3．（2024·广东·九年级期中）如图，在中，，，
（1）如图1,平分交于点，为上一点，连接交于点．
（i）若，求证：垂直平分；（ii）若,求证：．（2）如图2，平分交于点，，垂足在的延长线上，试判断线段和的数量关系，并说明理由．
（3） 如图3，为上一点，，，垂足为，与交于点，写出线段和的数量关系．（不要求写出过程）
【答案】（1）（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析；（2）BD＝2CE，理由见解析；（3）CE＝FD．
【分析】（1）（ⅰ）由等腰三角形的性质即可证得结论；
（ⅱ）过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，如图1，先根据AAS证明△ABE≌△CAM，可得AE＝CM，然后根据角平分线的定义、平行线的性质和等量代换可得∠FCM＝∠EAD，进而可根据ASA证明△AED≌△CMF，于是可得结论；（2）延长BA、CE相交于点F，如图2，先利用ASA证明△BCE和△BFE全等，可得CE＝EF，根据余角的性质可得∠ABD＝∠ACF，然后利用ASA可证明△ABD和△ACF全等，进而可得BD＝CF，进一步即得结论；（3）过点F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延长线于点G，如图3，先利用ASA证明△CEF≌△GEF，可得CE＝GE，然后根据平行线的性质、等腰三角形的性质和ASA证明△CGH≌△FDH，于是可得CG＝DF，从而可得结论．
【详解】（1）（ⅰ）证明：∵AB＝BF，BD平分∠ABC，
∴BE⊥AF，AE＝EF，即BD垂直平分AF；
（ⅱ）证明：过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，如图1，
∵∠BAC＝90°，AF⊥BD，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠CAM+∠BAE=90°，∴∠CAM＝∠ABE，
在△ABE和△CAM中，，∴△ABE≌△CAM（AAS），∴AE＝CM，
∵AF⊥BD，AF⊥CM，∴BD∥CM，∴∠FCM＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠FCM＝∠ABD，∴∠FCM＝∠EAD，
在△AED和△CMF中，，∴△AED≌△CMF（ASA），∴AD＝CF；
（2）解：BD＝2CE．理由如下：如图2，延长BA、CE相交于点F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，
在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE＝EF，
∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD＝CF，
∵CF＝CE+EF＝2CE，∴BD＝2CE．
（3）解：CE＝FD．过点F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延长线于点G，如图3，
∵FG∥AB，∠EFC＝∠B，∴∠EFC＝∠GFE，又∵CE⊥FE，∴∠CEF＝∠GEF＝90°，
在△CEF和△GEF中，，∴△CEF≌△GEF（ASA），∴CE＝GE，即CE＝CG，
∵FG∥AB，∠A＝90°，AB＝AC，∴∠CHG＝∠DHF＝90°，CH＝FH．
又∵∠GCH＝∠DFH，∴△CGH≌△FDH（ASA），∴CG＝DF．∴CE＝FD．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）
角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
图1 图2
条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结.
结论：≌，CB=CA。
证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB，
∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。
条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。
证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=，
∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB，
∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=，
∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°，
∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。
例1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，，是的平分线，延长至点，，试求的度数．
【答案】40°
【分析】在上截取，连接，通过证明，可得，再通过证明，即可求得
【详解】解：如图，在上截取，连接，
是的平分线，，
在和中，
，，，
∴DE=DF，，又，，
，，
在和中，，故．
【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
例2．（2022·北京九年级专题练习）在四边形中，是边的中点．
（1）如图（1），若平分，，则线段、、的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）；（2）如图（2），平分，平分，若，则线段、、、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．
【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋BD，证明见解析．
【分析】（1）在AE上取一点F，使AF＝AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF＝ED，再由线段的和差可以得出结论；
（2）在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF＝CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG＝CG＝BD，从而可证得结论．
【详解】解：（1）如图（1），在AE上取一点F，使AF＝AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．
在△ACB和△ACF中，∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．
∵C是BD边的中点，∴BC＝CD．∴CF＝CD．
∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．∴∠ECF＝∠ECD．
在△CEF和△CED中，∴△CEF≌△CED（SAS）．∴EF＝ED．
∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE．故答案为：AE＝AB＋DE；
（2）AE＝AB＋DE＋BD．
证明：如图（2），在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG．
∵C是BD边的中点，∴CB＝CD＝BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．
在△ACB和△ACF中，∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴CF＝CB，∠BCA＝∠FCA．
同理可证：△ECD≌△ECG∴CD＝CG，∠DCE＝∠GCE．∵CB＝CD，∴CG＝CF．
∵∠ACE＝120°，∴∠BCA＋∠DCE＝180° 120°＝60°．∴∠FCA＋∠GCE＝60°．∴∠FCG＝60°．
∴△FGC是等边三角形．∴FG＝FC＝BD．∵AE＝AF＋EG＋FG，∴AE＝AB＋DE＋BD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．
例3．（2023·山东烟台·九年级期末）已知在中，满足，
(1)【问题解决】如图1，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，求证：．(2)【问题拓展】如图2，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．
(3)【猜想证明】如图3，当为的外角平分线时，在的延长线上取一点使得，连接，线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
【答案】(1)证明见解析(2)成立，证明见解析(3)猜想，证明见解析
【分析】（1）先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（2）先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据线段和差、等量代换即可得证；
（3）先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据线段和差、等量代换即可得证．
（1）证明：∵为的角平分线，∴，
在与中，，∴，∴，，
又∵，，∴，，
∴，∴，∴，∴，∴．
（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：∵为的角平分线时，∴，
在与中，，∴，
∴，，∵，∴，
又∵，∴，∴，∴，∴．
（3）解：猜想，证明如下：∵平分，∴，
在与中,，∴，∴，，
如图，∴，即，∵，∴，
又∵，∴，∴，∴，∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
例4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题．
如图①，在四边形中，点是边的中点，平分，，证明：．
讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思广议，提出了一个截长法：如图②，在上截取，连接，先证明，再证明，即有，即．
解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明
，理由如下：如图②，在上取一点，使，连接．
∵平分，∴，在和中， ∴（）
∴，．
（1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧．
拓展探究：已知：如图③，在中，，、分别为上的点，且交于点．若为的角平分线．（2） ；（3）证明：．
（4）如图④，在中，，延长的边到点，平分交延长线于点，若，，则 ．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析；（4）
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形的外角的性质；（1）根据题意再证明得出，进而即可得证；（2）根据角平分线的定义可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解；（3）在上截取，证明，，根据全等三角形的性质，即可得证；（4）在上截取，证明，结合已知可得，进而根据等边对等角可得，进而根据角平分线的定义，全等三角形的性质，三角形的外角的性质即可求解．
【详解】（1）补充证明如下：∵，∴，
又∵∴，∴
∵点是边的中点，∴，又∵∴，
在中，∴∴，
又，∴，即；
（2）∵，∴，
∵为的角平分线，∴
∴，故答案为：．
（3）证明：如图所示，在上截取，
∵，∴，∵是的角平分线，∴，
在中，∴，∴，，
∵，∴，
又∵∴∵是的角平分线，∴，
在中，∴∴∴；
（4）解：如图所示，在上截取，∵平分∴，
在中，∴，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴∴，
∴，
∴ 故答案为：．
1．（2024·山东烟台·中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可．
【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线；
第二个图，由作图可知：，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴为的平分线；
第三个图，由作图可知，∴，，
∴∴，∴为的平分线；
第四个图，由作图可知：，，∴为的平分线；故选D．
2．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断平分；在图③中，利用作法得， 可证明，有，可得，进一步证明，得，继而可证明，得，得到是的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线．
【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分；
在图③中，利用作法得，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线；
在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线．
则①③可得出射线平分．
故选：B．
3．（2024·重庆·校考一模）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点C作于E，则的值为（ ）
A． B．9 C．6 D．7．2
【答案】B
【分析】要求值，主要求出AE和BE的长即可，注意到AC是角平分线，于是作CF⊥AD交AD的延长线于点F，可以证得两对全等三角形，结合已知数据可以求得AE和BE的长，从而解决问题．
【详解】解：作CF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠CFD=90°，
∵CE⊥AB， ∴∠CEB=90°， ∴∠CFD=∠CEB=90°，
∵∠BAC=∠DAC， ∴AC平分∠BAD， ∴CE=CF，
∵四边形ABCD对角互补， ∴∠ABC+∠ADC=180°，
又∵∠CDF+∠ADC=180°， ∴∠CBE=∠CDF，
在△CBE和△CDF中，， ∴△CBE≌△CDF（AAS）， ∴BE=DF，
在△AEC和△AFC中，， ∴△AEC≌△AFC（AAS）， ∴AE=AF，
设BE=a，则DF=a， ∵AB=15，AD=12， ∴12+2a=15，得，
∴AE=12+a=，BE=a=， ∴， 故选B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是巧妙构造全等三角形进而得出等量关系．
4．（2024·安徽·一模）如图，中，AD平分，E是BC中点，，，，则DE的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】延长BD交AC于点F，先证明，得到BD=DF，D是BF的中点，再由中位线的性质解答即可．
【详解】解：延长BD交AC于点F，如图
AD平分，
D是BF的中点，
E是BC中点，故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、中位线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
5．（2024·绵阳市·校考一模）已知，如图，BC=DC，∠B+∠D=180°． 连接AC，在AB，AC，AD上分别取点E，P，F，连接PE，PF． 若AE=4，AF=6，△APE的面积为4，则△APF的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】作于点，于点，延长，取，连接，先证明，由全等三角形对应边相等、对应角相等，得到，结合等边对等角得到，再由角平分线的性质证得，最后根据三角形面积公式解题即可.
【详解】解：如图，作于点，于点，延长，取，连接，
故选：C.
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边对等角、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度一般，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键.
6．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M、N两点，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；其中正确的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】作于E，于F，根据平分可知，结合即可证明．根据图中各角的数量关系可得，进而还可证明；利用全等三角形的性质可以得到多组相等的边，由此判断①的正误．根据全等三角形的性质得到，据此可得定值，还可判断③的正误；
【详解】解：如图，作于E，于F．
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵平分，于E，于F，∴．
在和中，∴，∴．
在和中，
∴，∴，故①正确．
∴定值，故③正确．
∴定值，故②正确．故选：A．
【点睛】本题侧重考查角平分线的题目，需要掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
7．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列几个结论：
①平分 ② ③当时，；
④若，，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】过分别作交于点、交，根据角平分线的性质得到 ，证明即可判定①正确；由角平分线的定义、三角形的内角和定理得与的关系，判定②正确；在上取一点，使，证，得，再证，得，判定③正确；过作于点，于点，由三角形的面积证得④正确；即可得出结论．
【详解】解：①过分别作交于点、交，
，
平分， 平分，
，，
，
，，
（HL），
，
平分，故①正确；
②和的平分线相交于点，
，，
故②正确；
③，
，
，分别是与的平分线，
，
，
，
，
如图，在上取一点，使，连接，
是的角平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，故③正确；
④过作于点，于点，
和的平分线相交于点，
点在的平分线上，
，
，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义与性质，三角形外角的性质，三角形全等的判定与性质以及角平分线的性质与判定等知识，正确作出辅助线证得是解题的关键．
8．（2023·四川南充·统考二模）如图，为的平分线上一点，，但，则与的关系是 ．
【答案】互补（或度数和为）
【分析】过点D分别作，，利用角平分线的性质得出，再由直角三角形全等的判定和性质得出，结合图形，利用等量代换即可得出结果．
【详解】解：过点D分别作，，如图所示：
∵为的平分线上一点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与的关系是互补，
故答案为：互补．
【点睛】题目主要考查角平分线的性质及全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．
9．（2023·山东淄博·校考二模）如图，点在内部，平分，且，连接．若的面积为，则的面积为 ．
【答案】4
【分析】延长交于，由证明，得出，根据三角形中线的性质即可求解．
【详解】解：延长交于，如图所示：
平分，垂直于，，，
在和中，，)，，
，∴，
∵的面积为，∴的面积为，故答案为：．
【点睛】此题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，中线的性质，证明三角形全等得出是解题关键．
10．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，．
【详解】解：作图可知平分，
∵是边上的高，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6．
11．（2024·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，四边形中，，为上一点，连接，，，若，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】如下图，先构造并证明，从而得出，再根据可推导出，最后在Rt△ACM中求解．
【详解】解析：连接，过点作于点，于点，
，
，
，，
，
，，
，．
设，则，
．
．
设，则，
，，
在中，由勾股定理得
解得．
．
【点睛】本题考查了构造并证明全等三角形、勾股定理的运用，解题关键是利用进行角度转化，得到边．
12．（2024·江苏·九年级专题练习）如图，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延长线于点D，试说明：．
【答案】证明见解析
【分析】解法一：延长、相交于点，根据角平分线性质得到，证明，得到，再证明，得到，即可证明；
解法二：作的中点E，连接、，根据直角三角形得到性质就可以得出，由平分就可以得出，从而可以得出，，由，就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出，证，推出，从而得到结论．
【详解】解法一：解：延长、相交于点，
∵平分，∴，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴，，∴，
∵，，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，∴；
解法二：解：取的中点E，连接、，
∵，∴，∴，
∵，∴A，B，C，D四点共圆，∴，
∵平分，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
在与中，，∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
13．（2024·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）（情景呈现）画，并画的平分线．
（I）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，垂直，垂足为，（如图1）．则；若把三角尺绕点旋转（如图2），则________．（选填：“<”、“>”或“=”）
（理解应用）
（2）在（1）的条件下，过点作直线，分别交，于点，，如图3．
①图中全等三角形有________对．（不添加辅助线）
②猜想，，之间的关系为________．
（拓展延伸）
（3）如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与，相交于，两点，与相等吗？请说明理由．
【答案】（1）=；（2）①3；②；（3）相等，理由见解析
【分析】（1）PE=PF，利用条件证明△PEM≌△PFN即可得出结论；
（2）①根据等腰直角三角形的性质得到OP=PG=PH，证明△GPE≌△OPF（ASA），△EPO≌△FPH，△GPO≌△OPH，得到答案；②根据勾股定理，全等三角形的性质解答；
（3）作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，证明△PGE≌△PHF，根据全等三角形的性质证明结论．
【详解】（1）
如图2，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，
∴∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，
∴∠MPN=90°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴PM=PN，
∵∠EPF=90°，
∴∠MPE=∠FPN，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴PE=PF，
故答案为：=；
（2）①∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=45°，
∵GH⊥OC，
∴∠OGH=∠OHG=45°，
∴OP=PG=PH，
∵∠GPO=90°，∠EPF=90°，
∴∠GPE=∠OPF，
在△GPE和△OPF中，
，
∴△GPE≌△OPF（ASA），
同理可证明△EPO≌△FPH，
∵，
∴△GPO≌△OPH（SAS），
∴全等三角形有3对，
故答案为：3；
②GE2+FH2=EF2，
理由如下：∵△GPE≌△OPF，
∴GE=OF，
∵△EPO≌△FPH，
∴FH=OE，
在Rt△EOF中，OF2+OE2=EF2，
∴GE2+FH2=EF2，
故答案为：GE2+FH2=EF2；
（4）
如图，作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，
在△OPG和△OPH中，
，
∴△OPG≌△OPH，
∴PG=PH，
∵∠AOB=60°，∠PGO=∠PHO=90°，
∴∠GPH=120°，
∵∠EPF=120°，
∴∠GPH=∠EPF，
∴∠GPE=∠FPH，
在△PGE和△PHF中，
，
∴△PGE≌△PHF，
∴PE=PF．
【点睛】本题考查几何变换综合题，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
14．（2023·吉林松原·校联考二模）在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．
（1）若α＝90°时，直接写出CD与CB的数量关系为 ；
（2）如图1，当α≠90°时，（1）中结论是否还成立，说明理由；
（3）如图2，O为AC中点，M为AB上一点，BM＝AD，求的值．
【答案】（1）CD＝CB；（2）仍然有CD＝CB，理由见解析；（3）＝2．
【分析】（1）∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．α＝90°，得出∠ADC=180°-α=90°=∠ABC，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得CD＝CB，
（2）过点C作CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD的延长线于F，根据角平分线性质可得CE＝CF，再证△CDF≌△CBE（AAS）即可；
（3）延长DO至点N，使ON＝DO，连接AN，先证△AON≌△COD（SAS），可得∠N＝∠CDO，AN＝CD＝CB，再证△AND≌△BCM（SAS），得出CM＝DN＝2DO即可．
【详解】证明：（1）CD与CB的数量关系为：CD＝CB．
∵∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．α＝90°，
∴∠ADC=180°-α=90°=∠ABC，
∵AC平分∠DAB，CD⊥AD，CB⊥AB，
∴CD＝CB，
故答案为：CD＝CB；
（2）仍然有CD＝CB，理由如下：
过点C作CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD的延长线于F，
则∠CEB＝∠CFD＝90°，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
∵∠ADC+∠CDF＝180°，∠ADC＝180°﹣a，
∴∠CDF＝α＝∠ABC，
在△CDF和△CBE中
，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴CD＝CB；
（3）延长DO至点N，使ON＝DO，连接AN，
在△AON和△COD中，
，
∴△AON≌△COD（SAS），
∴∠N＝∠CDO，AN＝CD＝CB，
∴CD∥AN，
∴∠DAN+∠ADC＝180°，
∴∠DAN＝180°﹣∠ADC＝α＝∠B，
在△AND≌△BCM中，
，
∴△AND≌△BCM（SAS），
∴CM＝DN＝2DO，
∴＝2．
【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，线段中点与倍分，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，线段中点与倍分，利用辅助线构造全等图形是解题关键．
15．（23-24九年级上·河南开封·阶段练习）如图，在中，现在有一足够大的直角三角板，它的直角顶点D是边上一点，另两条直角边分别交于点E、F．
(1)如图1，若，求证：四边形是矩形．
(2)若点D在的角平分线上，将直角三角板绕点D旋转一定的角度，使得直角三角板的两条边与两条直角边分别交于点E、F（如图2），试证明．（尝试作辅助线）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据四个角是直角的四边形是矩形即可证明结论；
（2）作于于，可证四边形AMDN是正方形，即；进而证明可得，再运用勾股定理可得，再说明即可证明结论．
【详解】（1）解：，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：作于于，
，
点在的角平分线上，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、直角三角形的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形角平分线的性质等知识点，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16．（2024·河南南阳·一模）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，请你解答．
（1）【观察发现】
①如图1，是的角平分线，，在上截取，连接，则与的数量关系是__________；
②如图2，的角平分线、相交于点P．当时，线段与的数量关系是__________；
（2）【探究迁移】
如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，试判断与的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，当有一个内角是时，直接写出边的长．
【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）或10．
【分析】（1）①运用角平分线定义证明，即得；②在上取点D，使，连接，，根据三角形角平分线相交于一点，得到，证明，得到，，根据，证明，得到，根据四边形内角和性质得到，得到，结合得到，得到 ，即得；
（2）在上取点E，使，连接，得到，结合的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，证明， ,即得；
（3）设，则，当时，得到，，过点E作于点G，得到是等腰直角三角形，，根据，， 证明，得到，，根据， ，得到，，根据，，得到，，得到 ；当时，过点P作于点H，得到是等腰直角三角形，，根据，得到，结合，得到，，得到，，得到；当时，，根据，得到，，得到不成立．
【详解】（1）①∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：；
②在上取点D，使，连接，，
∵的角平分线、相交于点P．
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2），理由：
在上取点E，使，连接，
则，
∵，
∴，
∵的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）设，则，
当时，，
∴，
∴，
∴，
过点E作于点G，
则，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，；
当时，，
过点P作于点H，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，；
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴不成立．
综上，或．
【点睛】本题主要考查了角平分线，全等三角形，锐角三角函数．熟练掌握角平分线定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，四边形性质，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，正切定义，是解决问题的关键．
17．（2023·山东济南·二模）在等腰中，，AM是的角平分线，过点M作，垂足为N，、将绕点M旋转，使的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：
(1)当绕点M旋转到如图①的位置时，求证：；
(2)当绕点M旋转到如图②的位置时，请直接写出线段BE，CF，BM之间的数量关系；
(3)在（1）和（2）的条件下，，，分别求CF的长．
【答案】(1)见解析(2)(3)或
【分析】（1）根据角平分线的性质可证，再证明，得出，即可得出结论；（2）仿照（1）的方法即可得出结论；（3）先证明，求出，即可求出，，最后求出，再利用勾股定理求出，然后根据（1）（2）的结论求解即可．
【详解】（1）∵是等腰直角三角形，
∴，
∵是的平分线，，，
∴，，
在四边形中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）如图2，同（1）的方可证，是等腰直角三角形，则，
∵，
∴．
（3）在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴①由（1）知，如图1，，
∴．
②由（2）知，如图2，，
∴，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解本题的关键．
18．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）【情境建模】（1）苏科版教材八年级上册第60页，研究了等腰三角形的轴对称性，我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．
小明尝试着逆向思考：若三角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形．即如图1，已知，点D在的边上，平分，且，求证：．请你帮助小明完成证明；
请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：
【理解内化】（2）①如图2，在中，是角平分线，过点B作的垂线交、于点E、F，．求证：；
②如图3，在四边形中，，平分，当的面积最大时，请直接写出此时的长．
【拓展应用】（3）如图4，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，，，该绿化带中修建了健身步道，其中入口M、N分别在上，步道分别平分和，，．现要用围挡完全封闭区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求需要围挡多少m？（步道宽度和接头忽略不计）
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②；（3）至少需要围挡．
【分析】（1）根据角平分线和垂直的性质，证明，即可证明；
（2）①由（1）可得，，，进而得到，，再利用三角形外角的性质得到，从而推出，即可证明结论；
②延长和相交于点E，由（1）可知，，得到，，进而得到，根据三角形中线性质，得到，当时，最大，利用勾股定理求出，即可得到的长；
（3）延长交于点D，延长交于点E，由（1）可知，，，得到，，进而证明，得到，再利用勾股定理得到，设，，则，，，，从而得到，即可求出的周长，得到答案．
【详解】解：（1）平分，，，，
在和中，，；
（2）①证明：在中，是角平分线，，
由“情境建模”的结论得，，，
，，，，
，，，；
②延长和相交于点E，
平分，，由“情境建模”的结论得：，，，
，，为中点，，
当最大时，最大，即时，最大，
，，，为中点，；
（3）延长交于点D，延长交于点E，
、分别平分和，，，
由“情境建模”的结论得：，，，，
在和中，，，，
，，，，
设，，，，
，，，，
，，
的周长，答：至少需要围挡．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的有关计算，运用三线合一的性质和作辅助线构造全等三角形是解题关键．
19．（2023·重庆·八年级专题练习）阅读与思考
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题
在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．
例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．
该问题的解答过程如下：解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，
平分，．，．
在和中，，（依据1）
（依据2），，，．……
任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；
任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；
应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．
【答案】任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或），全等三角形的对应边相等；任务二：见解析；应用：12
【分析】任务一：根据全等三角形判定和性质即可得到答案；
任务二：先推出，得出，，进而可得，即可得到答案；
应用：延长、交于点，先推出，得到，进而可得，再推出，即可得出结论．
【详解】解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA），全等三角形的对应边相等；
任务二：……
，，；
应用：延长、交于点，
平分，，
，，
在和中，
，，，
，，，
在和中，，．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
20．（23-24九年级上·黑龙江鸡西·期末）如图，在等腰中，，是的角平分线，过点作于点，，将围绕点旋转，使得的两边分别交直线、于点、．
(1)当围绕点旋转到如图①的位置时，易证得：；
(2)当围绕点旋转到如图②、图③的位置时，、、之间有怎样的数量关系？请写出来，并选择一种情况进行证明．
【答案】(1)证明见详解
(2)图②；图③BM＝CF﹣BE，证明见详解
【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
（2）同（1）的方法即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，
∵是的角平分线，，
∴，
在四边形中，，
∵，
∴，且，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：图②，同（1）的方法得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
图③，同（1）的方法得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，∴．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题15 全等三角形模型之角平分线模型
角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！
2
模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 2
模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 5
模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 7
10
模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）
角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。
图1 图2 图3
条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B.
结论：、≌.
证明：∵为的角平分线，，，
∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL）
常见模型1（直角三角形型）
条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作.
结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.）
证明：∵，为的角平分线，，
∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL）
常见模型2（邻等对补型）
条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。
结论：①；②；③.
证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB，
∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE；
∵，∴，∴，
同图1中的证法易得：≌（HL），∴，
∴，
例1．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ．
例2．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3）；（4）若，则，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例3．（2023春·安徽宿州·八年级统考阶段练习）已知，和分别平分和，点E，F分别在和上．(1)如图1，过点P，且与垂直，求证：；
(2)如图2，为过点P的任意一条线段，试猜想还成立吗？请说明理由．
例4．（23-24九年级下·辽宁本溪·阶段练习）【问题初探】（1）在数学活动课上，姜老师给出如下问题：如图1，平分，M为上一点，N为上一点，连接线段，若．求证：．
①如图2，小文同学从已知一边一角构造全等进行转化的视角给出如下思路：在上截取，连接，易证，将线段与的数量关系转化为与的数量关系．
②如图3，小雅同学也是从已知一边一角构造全等的视角进行解题给出了另一种思路，过D点向的两边分别作垂线，垂足分别为点E，F，易证，得到，接下来只需证，可得．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程
【类比分析】（2）姜老师发现之前两名同学都采用了一边一角构造全等的视角，为了更好的感悟这种视角，姜老师将共顶点的两个相等的角，变成了不共顶点的两个相等的角提出了如下问题，请你解答．
如图4，在中，，平分交与点D，在线段上有一点E，连接交与点F，若．求证：．
【学以致用】（3）如图5，在中，，垂足为点D，在的延长线上取一点E，使，在线段上截取，点G在线段上，连接，使，若，，，求四边形的面积．
模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）
角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。但同学们也需要注意，在解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全等来得到结论。（因为正确的结论有很多，但只有作为定理的才可以在证明中直接使用哦！）
图1 图2 图3
条件：如图1，为的角平分线，，
结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。
证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB，
∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA），
∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。
条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F.
结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。
证明：同图1的证法，
例1．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，中，，，点是的中点，若平分，，线段的长为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为 ．
例3．（2024·广东·九年级期中）如图，在中，，，
（1）如图1,平分交于点，为上一点，连接交于点．
（i）若，求证：垂直平分；（ii）若,求证：．（2）如图2，平分交于点，，垂足在的延长线上，试判断线段和的数量关系，并说明理由．
（3） 如图3，为上一点，，，垂足为，与交于点，写出线段和的数量关系．（不要求写出过程）
模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）
角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
图1 图2
条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结.
结论：≌，CB=CA。
证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB，
∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。
条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。
证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=，
∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB，
∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=，
∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°，
∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。
例1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，，是的平分线，延长至点，，试求的度数．
例2．（2022·北京九年级专题练习）在四边形中，是边的中点．
（1）如图（1），若平分，，则线段、、的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）；（2）如图（2），平分，平分，若，则线段、、、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．
例3．（2023·山东烟台·九年级期末）已知在中，满足，
(1)【问题解决】如图1，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，求证：．(2)【问题拓展】如图2，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．
(3)【猜想证明】如图3，当为的外角平分线时，在的延长线上取一点使得，连接，线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
例4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题．
如图①，在四边形中，点是边的中点，平分，，证明：．
讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思广议，提出了一个截长法：如图②，在上截取，连接，先证明，再证明，即有，即．
解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明
，理由如下：如图②，在上取一点，使，连接．
∵平分，∴，在和中， ∴（）
∴，．
（1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧．
拓展探究：已知：如图③，在中，，、分别为上的点，且交于点．若为的角平分线．（2） ；（3）证明：．
（4）如图④，在中，，延长的边到点，平分交延长线于点，若，，则 ．
1．（2024·山东烟台·中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
3．（2024·重庆·校考一模）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点C作于E，则的值为（ ）
A． B．9 C．6 D．7．2
4．（2024·安徽·一模）如图，中，AD平分，E是BC中点，，，，则DE的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．（2024·绵阳市·校考一模）已知，如图，BC=DC，∠B+∠D=180°． 连接AC，在AB，AC，AD上分别取点E，P，F，连接PE，PF． 若AE=4，AF=6，△APE的面积为4，则△APF的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M、N两点，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；其中正确的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列几个结论：
①平分 ② ③当时，；
④若，，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023·四川南充·统考二模）如图，为的平分线上一点，，但，则与的关系是 ．
9．（2023·山东淄博·校考二模）如图，点在内部，平分，且，连接．若的面积为，则的面积为 ．
10．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ．
11．（2024·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，四边形中，，为上一点，连接，，，若，则线段的长为 ．
12．（2024·江苏·九年级专题练习）如图，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延长线于点D，试说明：．
13．（2024·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）（情景呈现）画，并画的平分线．
（I）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，垂直，垂足为，（如图1）．则；若把三角尺绕点旋转（如图2），则________．（选填：“<”、“>”或“=”）
（理解应用）
（2）在（1）的条件下，过点作直线，分别交，于点，，如图3．
①图中全等三角形有________对．（不添加辅助线）
②猜想，，之间的关系为________．
（拓展延伸）
（3）如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与，相交于，两点，与相等吗？请说明理由．
14．（2023·吉林松原·校联考二模）在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．
（1）若α＝90°时，直接写出CD与CB的数量关系为 ；（2）如图1，当α≠90°时，（1）中结论是否还成立，说明理由；（3）如图2，O为AC中点，M为AB上一点，BM＝AD，求的值．
15．（23-24九年级上·河南开封·阶段练习）如图，在中，现在有一足够大的直角三角板，它的直角顶点D是边上一点，另两条直角边分别交于点E、F．
(1)如图1，若，求证：四边形是矩形．
(2)若点D在的角平分线上，将直角三角板绕点D旋转一定的角度，使得直角三角板的两条边与两条直角边分别交于点E、F（如图2），试证明．（尝试作辅助线）
16．（2024·河南南阳·一模）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，请你解答．（1）【观察发现】①如图1，是的角平分线，，在上截取，连接，则与的数量关系是__________；②如图2，的角平分线、相交于点P．当时，线段与的数量关系是__________；
（2）【探究迁移】如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，试判断与的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，当有一个内角是时，直接写出边的长．
17．（2023·山东济南·二模）在等腰中，，AM是的角平分线，过点M作，垂足为N，、将绕点M旋转，使的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：(1)当绕点M旋转到如图①的位置时，求证：；
(2)当绕点M旋转到如图②的位置时，请直接写出线段BE，CF，BM之间的数量关系；
(3)在（1）和（2）的条件下，，，分别求CF的长．
18．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）【情境建模】（1）苏科版教材八年级上册第60页，研究了等腰三角形的轴对称性，我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．
小明尝试着逆向思考：若三角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形．即如图1，已知，点D在的边上，平分，且，求证：．请你帮助小明完成证明；请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：
【理解内化】（2）①如图2，在中，是角平分线，过点B作的垂线交、于点E、F，．求证：；②如图3，在四边形中，，平分，当的面积最大时，请直接写出此时的长．
【拓展应用】（3）如图4，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，，，该绿化带中修建了健身步道，其中入口M、N分别在上，步道分别平分和，，．现要用围挡完全封闭区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求需要围挡多少m？（步道宽度和接头忽略不计）
19．（2023·重庆·八年级专题练习）阅读与思考
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题
在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．
例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．
该问题的解答过程如下：解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，
平分，．，．
在和中，，（依据1）
（依据2），，，．……
任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；
任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；
应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．
20．（23-24九年级上·黑龙江鸡西·期末）如图，在等腰中，，是的角平分线，过点作于点，，将围绕点旋转，使得的两边分别交直线、于点、．
(1)当围绕点旋转到如图①的位置时，易证得：；
(2)当围绕点旋转到如图②、图③的位置时，、、之间有怎样的数量关系？请写出来，并选择一种情况进行证明．
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