专题17 全等三角形模型之奔驰模型
对于奔驰模型我们主要是可以通过一些几何变化，把其中的线段进行转移，以达到聚合条件，推出我们想要的结论的目的。对于几何变化，目前学过的主要有：轴对称，平移，旋转，位似等。对于“奔驰模型”我们主要采用旋转的方法进行变换。对于旋转处理，我们主要分为：旋转全等，旋转相似。 今天的这主要讲“奔驰模型”之旋转全等类型。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！
2
模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内） 2
模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内） 4
模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 6
9
模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内）
此模型通常会和旋转一起来考查，还会综合勾股定理的知识来解题。为什么和旋转-起考查，因为旋转的特征是:共顶点等线段。等边三角形，三边相等，每一个顶点出发都有两个相等线段，都符合共顶点等线段。等边三角形三个顶点都可以作为旋转中心(如上图的旋转)。
条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足（常考数据：BP=3，AP=4，CP=5），
结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）
常用结论 等边三角形的面积公式：（选填题非常适用）
证明：以AP为边向左侧作等边三角形APP’，连接P’C。
∵三角形ABC和三角形APP’都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°；
∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠BAP=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C；
∵，∴，∴∠PP’C=90°，
∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。
注意：多线段共端点常考旋转。
例1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，点P是等边三角形内的一点，且，，，则的度数为 ．
例2．（2022·湖南·中考真题）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
例3.（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，，都是等边三角形，将绕点C旋转，使得点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是 ．
例4．（2024·安徽·一模）如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
例5．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图，是正内一点，，，，将线段BO以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为5；③；④四边形面积；⑤，其中正确的结论是（ ）
A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤
模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）
条件：如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P，满足，
结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）
证明：以AP为边向左侧作等腰直角三角形APP’，连接P’C。
∵三角形ABC和三角形APP’都为等腰直角三角形；
∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，，∠AP’P=45°；
∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠PAB=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C；
∵，∴，∴∠PP’C=90°，
∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。
例1．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，等腰直角，点P在内，，，则PB的长为（ ）
A． B． C．5 D．5
例2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在正方形外取一点E，连接，，，过点作的垂线交于点P，若，则下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例3．（2023年湖北省武汉市中考一模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的面积是 ．
例4．（2024·河北·校考一模）如图1，在正方形内有一点P，，，，求的度数．
【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将绕点B逆时针旋转，得到了（如图2），然后连结．
【解决问题】请你通过计算求出图2中的度数；
【比类问题】如图3，若在正六边形内有一点P，且，，．
（1）的度数为 ；（2）直接写出正六边形的边长为 ．
模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型）
模型1）条件：如图1，点P在等边三角形ABC外，若，结论：∠CPA=30°。
模型2）条件：如图2，点P在等腰直角三角形ABC外，若 ，结论：∠APC=45°。
（注意：上述两个模型结论和条件互换也成立）
图1 图2
鸡爪就是模型本质就是通过旋转构造“手拉手”，构造出全等三角形，实现边的转化，结合勾股定理，非常有意思。连完辅助线往往会产生新的直角三角形、等边三角形等。
模型1）证明：以AP为边向右侧作等边三角形ADP，连接DC。
∵三角形ABC和三角形ADP都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°；
∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴（SAS），∴BP=CD；
∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。
模型2）证明：以AP为边向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，连接P’C。
∵三角形ABC和三角形APD都为等腰直角三角形；
∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，，∠APD=45°；
∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴（SAS），∴BP=CD；
∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。
例1．（2024九年级上·重庆·专题练习）如图，是等边三角形外一点，，，，求的度数．
例2．（2023·广西贺州·二模）如图，点P为等边三角形外一点，连接，，若，，，则的长是 ．
例3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在四边形ABCD中，AD=5，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
例4．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）【问题情境】在数学课上，老师出了这样一个问题：“如图1，在四边形中，，，，，，求的长．”经过小组合作交流，找到了解决方法：构造旋转全等．将绕点B逆时针旋转到，连接．则是等边三角形，所以，导角可得，所以．
（1）请补全图形；
【探究应用】（2）如图2，在中，，．D为外一点，且，，求的度数；
【拓展延伸】（3）如图3，在中，，，于D，M为上一点，连接，N为上一点，若，，，连接，请直接写出线段的长______．
1．（2024九年级·重庆·期中）如图，在等边内有一点，使得，那么以，，的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为 ．
2．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．
【发现问题】如图①，在等边三角形内部有一点，，，，求的度数．
解：如图①，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
，，是等边三角形，，，
是等边三角形，，，
，即．请你补充完整解答过程．
【应用问题】如图②，在正方形内有一点，若，，，则 ．
【拓展问题】如图③，在正方形中，对角线，相交于点，在直线上方（包括直线）有一点，，，连接，则线段的最大值为 ．
3．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）阅读下面材料：张明同学遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且，，，求的度数．
张明同学是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．
(1)请你计算图1中的度数；(2)参考张明同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，在正方形内有一点，且，，，求的度数．
4．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）（1）已知如图1，在中，，，点在内部，点在外部，满足，且．求证：．
（2）已知如图2，在等边内有一点，满足，，，求的度数．
5．（2023·四川绵阳·一模）如图，四边形是正方形，点为平面内一点，
(1)若点在正方形内，如图1，，求的度数；
(2)若点在正方形外，如果，如图2，且，求的长．（用表示）
6．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）阅读材料题：浙教版九上作业本①第18页有这样一个题目：已知，如图一，P是正方形ABDC内一点，连接PA、PB、PC，若PC=2，PA=4，∠APC=135°，求PB的长.
小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是：将△PAC绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，再利用勾股定理即可求解本题. 请根据数学老师的提示帮小明求出图一中线段PB的长为 .
【方法迁移】：已知：如图二，△ABC为正三角形，P为△ABC内部一点，若PC=1，PA=2，PB=,求∠APB的大小.
【能力拓展】：已知：如图三，等腰三角形ABC中∠ACB=120°，D、E是底边AB上两点且∠DCE=60°，若AD=2，BE=3，求DE的长.
7．（2024·河南·校考一模）（1）阅读理解:利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图，点是等边三角形内一点，，求的度数．为利用已知条件，不妨把绕点顺时针旋转60°得，连接，则的长为_______；在中，易证，且的度数为_____，综上可得的度数为__ ；（2）类比迁移:如图，点是等腰内的一点，．求的度数；（3）拓展应用:如图，在四边形中，，请直接写出的长．
6．（23-24九年级上·山东德州·期中）当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的．
（1）如图1，等腰直角三角形ABC内有一点P，连接AP，BP，CP，∠APB＝135°，为探究AP，BP，CP三条线段间的数量关系，我们可以将△ABP，绕点A逆时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'，则PP'＝ AP，△CPP'是 三角形，AP，BP，CP三条线段的数量关系是 ．
（2）如图2，等边三角形ABC内有一点P，连接AP、BP、CP，∠APB＝150°，请借助第一问的方法探究AP、BP、CP三条线段间的数量关系．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点P在四边形的内部，且PD＝PC，∠CPD＝90°，∠APB＝135°，AD＝4，BC＝5，请直接写出AB的长．
7．（2023·山东济南·模拟预测）（问题提出）如图1，在等边内部有一点P，，，，求的度数．
（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．
【尝试解决】将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．，又，，，为 三角形，的度数为 ．
【类比探究】如图2，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．
【联想拓展】如图3，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．
8．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在等边内有一点，且，，，若把绕着点逆时针旋转得到，连接，．
(1)求的度数；(2)求的长．(3)求点划过的路径长；
(4)当时，如果是由旋转所得，求扫过的区域的面积．
9．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在等腰中，，点是内一点，连接，且，设.
（1）如图1，若，将绕点顺时针旋转至，连结，易证为等边三角形，则 ， ；（2）如图2，若，则 ， ；
（3）如图3，试猜想和之间的数量关系，并给予证明.
10．（23-24九年级上·广东深圳·期中）【问题背景】：如图1，在等边中，点D是等边内一点，连结，，将绕点A逆时针旋转得到，连结，观察发现：与的数量关系为 ， 度；
【尝试应用】：如图2，在等腰中，，，点D是内一点，连结，，， ，，，求面积．
【拓展创新】：如图3，在等腰中，，，点D为平面内一点，且，，则的值为 ．
11．（23-24九年级·辽宁鞍山·期中）问题情境，利用圆规旋转探索：每位同学在纸上画好，，，要求同学们利用圆规旋转某一条线段，探究图形中的结论．
问题发现，某小组将线段绕着点逆时针旋转得到线段，旋转角设为，连接、，如图1所示．如图2，小李同学发现，当点落在边上时，；
如图3，小王同学发现，当每改变一个度数时，的长也随之改变．……
问题提出与解决，该小组根据小李同学和小王同学的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
如图1，在中，，，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，设转角设为，连接、．（1）如图2，当点落在边上时，求证：；（2）如图3，当时，若，求的长．（3）拓展延伸，小张同学受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为，尝试画图，并提出问题请你解答．如图4，中，，，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，旋转角，连接、，求的度数．
12．（2024·吉林长春·一模）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．
（1）【探究发现】如图①，在等边三角形内部有一点P，，，，求的度数．爱动脑筋的小明发现：将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接、，则，然后利用和形状的特殊性求出的度数，就可以解决这道问题．
下面是小明的部分解答过程：
解：将线段绕点B逆时针旋转得到线段．，连接、，
∵，，∴是等边三角形，∴，．
∵是等边三角形，∴，，
∴，即．
请你补全余下的解答过程．（2）【类比迁移】如图②，在正方形内有一点P，且，，，则______度．（3）【拓展延伸】如图③，在正方形中，对角线、交于点O，在直线上方有一点P，，，连接，则线段的最大值为______．
13．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）【几何感知】如图（1），在中，点D为BC边上一点，连接AD，点P为线段AD上一点，连接PB、PC得到有公共边的两个和，求证：．
【类比迁移】如图（2），在中，点D、E、F分别为线段BC、AC、AB上的点，线段AD、BE、CF交于点P，若，，则 ．
【拓展迁移】如图（3），在中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点P为内部一点，且，则线段AP＝ ．
14．（23-24九年级上·山东德州·期中）【阅读材料】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图1，在等边△ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABD，连接PD，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系．即能求PB＝ 请参考他们的想法，完成下面问题：
【学以致用】如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内一点，PA＝5，PC＝2，∠BPC＝135°，求PB的长；
【能力拓展】如图3，等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，D、E是底边AB上的两点且∠DCE＝60°，若AD＝2，BE＝3，求DE的长．
15．（2024·陕西西安·模拟预测）问题探究：（1）如图①，已知在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，则AB的最大值是 ．（2）如图②，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为△ABC内一点，且AD＝2，BD＝2．，CD＝6，请求出∠ADB的度数．
问题解决：（3）如图③，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区△ABC，且AB＝AC．∠BAC＝120°，点A、B、C分别是三个任务点，点P是△ABC内一个打卡点．按照设计要求，CP＝30米，打卡点P对任务点A、B的张角为120°，即∠APB＝120°．为保证游戏效果，需要A、P的距离与B、P的距离和尽可能大，试求出AP+BP的最大值．
16．（2024山东校考二模）【操作发现】如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′（2）在（1）所画图形中，∠AB′B= ．
【问题解决】如图②，在等边三角形ABC中，AC=，点P在△ABC内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积．小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：
想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找线段PA、PC之间数量关系；
想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找线段PA、PC之间的数量关系；
请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（求解一种方法即可）
【灵活运用】如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB（k为常数），直接写出BD的长（用含k的式子表示）．
17．（23-24辽宁九年级上期中）【问题初探】（1）如图1，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小.李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转60°，点的对应点为，画出旋转后的图形，再连接.将求分成求和的和即可.请你按照李明同学给出的旋转的思路，求的大小；
【问题解决】（2）如图2，在正方形中，，分别为，边上的点，满足，若，，求的面积；
【问题拓展】（3）如图3，在四边形，，，，求的长.
18．（23-24九年级上·重庆江北·期末）【问题背景】如图1，P是等边三角形外一点，，则．小明为了证明这个结论，将绕点A逆时针旋转，请根据此思路完成其证明；
【迁移应用】如图2，在等腰直角三角形中，，，点P在外部，且，若的面积为5.5，求；
【拓展创新】如图3，在四边形中，，点E在四边形内部，且，，，，，直接写出的长．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题17 全等三角形模型之奔驰模型
对于奔驰模型我们主要是可以通过一些几何变化，把其中的线段进行转移，以达到聚合条件，推出我们想要的结论的目的。对于几何变化，目前学过的主要有：轴对称，平移，旋转，位似等。对于“奔驰模型”我们主要采用旋转的方法进行变换。对于旋转处理，我们主要分为：旋转全等，旋转相似。 今天的这主要讲“奔驰模型”之旋转全等类型。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！
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模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内） 2
模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内） 7
模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 13
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模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内）
此模型通常会和旋转一起来考查，还会综合勾股定理的知识来解题。为什么和旋转-起考查，因为旋转的特征是:共顶点等线段。等边三角形，三边相等，每一个顶点出发都有两个相等线段，都符合共顶点等线段。等边三角形三个顶点都可以作为旋转中心(如上图的旋转)。
条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足（常考数据：BP=3，AP=4，CP=5），
结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）
常用结论 等边三角形的面积公式：（选填题非常适用）
证明：以AP为边向左侧作等边三角形APP’，连接P’C。
∵三角形ABC和三角形APP’都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°；
∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠BAP=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C；
∵，∴，∴∠PP’C=90°，
∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。
注意：多线段共端点常考旋转。
例1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，点P是等边三角形内的一点，且，，，则的度数为 ．
【答案】150
【分析】将绕点B逆时针旋转后得到的．首先证明，推出，，所以为等边三角形，得，可得，，，，即可得到为直角三角形，则，所以；由此即可解决问题．
【详解】解：如图，将绕点B逆时针旋转后得到的．
∴，∴，，
∴为等边三角形，∴，，
∵，，∴，∴为直角三角形，
∴，∴；故答案为：150．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型．
例2．（2022·湖南·中考真题）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将绕点B顺时针旋转得，连接，得到是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，从而求解．
【详解】解：将绕点顺时针旋转得，连接，
，，，是等边三角形， ，
∵，，，，
与的面积之和为．故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将与的面积之和转化为，是解题的关键．
例3.（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，，都是等边三角形，将绕点C旋转，使得点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据题意证明，即可求解．
【详解】解：，都是等边三角形，，，
，，，
在和中，，，，
，，，，．故答案为：．
例4．（2024·安徽·一模）如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断C．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，所以A正确，不符合题意；
PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，所以B正确，不符合题意；
∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，∴△BPQ是等边三角形，∴∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以D正确，不符合题意；
∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，∵PC=5，QC=PA=3,∴PC≠2QC，
∵∠PQC=90°，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以C不正确，符合题意．故选：C．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．
例5．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图，是正内一点，，，，将线段BO以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为5；③；④四边形面积；⑤，其中正确的结论是（ ）
A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤
【答案】C
【分析】根据正三角形性质，得，；根据旋转的性质，得，，根据等边三角形的性质，可判断②，通过证明，即可判断①；根据勾股定理逆定理，得，结合等边三角形 ，可判断③；根据等腰三角形三线合一和勾股定理的性质，可计算得，从而判断④；绕点A逆时针旋转得到，根据等腰三角形、勾股定理及其逆定理的性质计算，可判断⑤，即可得到答案．
【详解】解：连接，如下图：∵正 ∴，
∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，
∴， ∴为等边三角形∴，即②错误；
∵， ∴
和中 ∴
∴，可以由绕点B逆时针旋转得到，即①正确；
∵，∴ ∴
∵为等边三角形∴ ∴，即③正确；
∵∴ 过点B做，交于点N
∵为等边三角形∴ ∴ ∴
∴ ∴四边形面积，即④正确；
∵正 ∴绕点A逆时针旋转得到，如下图：
∵，，， ∴为等边三角形∴
过点A做，交于点G，如下图：∵为等边三角形∴ ∴
∴ ∴
∵，，∴ ∴
∴ ∴
∴，即⑤正确；故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形、旋转、全等三角形、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、等边三角形、等腰三角形三线合一、勾股定理及其逆定理的性质，从而完成求解．
模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）
条件：如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P，满足，
结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）
证明：以AP为边向左侧作等腰直角三角形APP’，连接P’C。
∵三角形ABC和三角形APP’都为等腰直角三角形；
∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，，∠AP’P=45°；
∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠PAB=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C；
∵，∴，∴∠PP’C=90°，
∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。
例1．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，等腰直角，点P在内，，，则PB的长为（ ）
A． B． C．5 D．5
【答案】A
【分析】先利用等腰直角，得到，再证明，接着把绕点C顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质得到，则可判断为等腰直角三角形，从而，然后计算，从而利用勾股定理计算出AE即可．
【详解】解∶∵等腰直角，∴，
∵，∴，
如下图，把绕点C顺时针旋转得到，连接，
∴，∴为等腰直角三角形，
∴，∴，
∴，故选∶A．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质以及旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
例2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在正方形外取一点E，连接，，，过点作的垂线交于点P，若，则下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用正方形性质即可证明①，利用全等三角形性质即可推出②，过点作的延长线于点，利用勾股定理求出，，再利用解直角三角形即可判断③，利用勾股定理得到，进而得到正方形面积，即可判断④．
【详解】解：四边形为正方形，，，
，，，
，，故①正确；
，，，
，
，，故②正确；
过点作的延长线于点，如图所示，
，，，
，，，
，，
，，，故③错误；
，，，，
，故④正确；综上所述，正确的有个，故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，正方形性质，勾股定理，解直角三角形，垂直的判定，正方形面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用．
例3．（2023年湖北省武汉市中考一模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的面积是 ．
【答案】
【分析】取中点O，连接，，由即可得到，再由，可得当点P在线段上时，有最小值，然后利用直角三角形的性质可得，即可推出，则是等边三角形，求得的面积，根据可得．
【详解】解：如图，取的中点O，连接，，
∵，∴，∴点P在以为直径的圆上运动，
在中，，∴当点P在线段上时，有最小值，
∵点O是的中点，，∴，
∴，∴，∴是等边三角形，
∴，∵，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正切的定义与特殊角的三角函数值，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形斜边上的中线，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够综合应用各种性质解题．
例4．（2024·河北·校考一模）如图1，在正方形内有一点P，，，，求的度数．
【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将绕点B逆时针旋转，得到了（如图2），然后连结．
【解决问题】请你通过计算求出图2中的度数；
【比类问题】如图3，若在正六边形内有一点P，且，，．
（1）的度数为 ；（2）直接写出正六边形的边长为 ．
【答案】（1）；（2）；．
【分析】解决问题：由旋转的性质可得，，，，然后证明得到，则；
（1）仿照【分析】中的思路，将绕点B逆时针旋转，得到了，连接．如图所示，根据旋转的性质可得：，从而得出为等腰三角形，，，由，得到，可以求得，由勾股定理的逆定理就可以求出，从而得出结论；
（2）延长，作于点G，在中，，就可以得出，，，则，在中，根据勾股定理得．
【详解】解决问题：由旋转的性质可得，，，，
∴，，∵，，，
∴，∴，∴；
（1）仿照【分析】中的思路，将绕点B逆时针旋转，得到了，连接．如图5，
∴，∴，∴为等腰三角形，
∵，∴，作于G，∴．
∵，∴，∴∴，
在中，∵，，，∴，，，
∴ ∴是直角三角形，∴．
∴．故答案为：
（2）延长，作于点G，如图6，
在中，，∴，
∴，，∴，
在中，根据勾股定理得．故答案为：
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，多边形内角和，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质．
模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型）
模型1）条件：如图1，点P在等边三角形ABC外，若，结论：∠CPA=30°。
模型2）条件：如图2，点P在等腰直角三角形ABC外，若 ，结论：∠APC=45°。
（注意：上述两个模型结论和条件互换也成立）
图1 图2
鸡爪就是模型本质就是通过旋转构造“手拉手”，构造出全等三角形，实现边的转化，结合勾股定理，非常有意思。连完辅助线往往会产生新的直角三角形、等边三角形等。
模型1）证明：以AP为边向右侧作等边三角形ADP，连接DC。
∵三角形ABC和三角形ADP都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°；
∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴（SAS），∴BP=CD；
∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。
模型2）证明：以AP为边向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，连接P’C。
∵三角形ABC和三角形APD都为等腰直角三角形；
∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，，∠APD=45°；
∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴（SAS），∴BP=CD；
∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。
例1．（2024九年级上·重庆·专题练习）如图，是等边三角形外一点，，，，求的度数．
【答案】
【分析】由等边三角形的性质可知，，；将绕点顺时针旋转得，连，首先证明为等边三角形，可确定，由勾股定理的逆定理可证明为直角三角形，且，然后计算的度数即可．
【详解】解：∵为等边三角形，∴，，
可将绕点顺时针旋转得，连，如下图，
∴，，，，∴为等边三角形，∴，
在中，，，，∴，∴为直角三角形，且，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、四边形内角和等知识，正确作出辅助线，构建直角三角形和等边三角形是解题关键．
例2．（2023·广西贺州·二模）如图，点P为等边三角形外一点，连接，，若，，，则的长是 ．
【答案】
【分析】把绕点B顺时针旋转，连接，，可证是等边三角形，利用证明，得出，在中，利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：把绕点B顺时针旋转，连接，，如图所示：
则，，∴是等边三角形，∴，，
∵是等边三角形，∴，，∴，
∴，∴，∵，∴，
又，，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，直角三角形，勾股定理，旋转的性质的综合，三角形全等的判定和性质，掌握旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
例3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在四边形ABCD中，AD=5，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中， ，∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD=CD′．∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=，∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=，故选D．
例4．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）【问题情境】在数学课上，老师出了这样一个问题：“如图1，在四边形中，，，，，，求的长．”经过小组合作交流，找到了解决方法：构造旋转全等．将绕点B逆时针旋转到，连接．则是等边三角形，所以，导角可得，所以．
（1）请补全图形；
【探究应用】（2）如图2，在中，，．D为外一点，且，，求的度数；
【拓展延伸】（3）如图3，在中，，，于D，M为上一点，连接，N为上一点，若，，，连接，请直接写出线段的长______．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）3
【分析】本题主要考查了三角形的综合，灵活运用旋转构造相似三角形，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键．（1）题意补全图形即可；（2）将绕点A逆时针旋转得到，连接，作于F，根据含30度的直角三角形的性质及勾股定理求得，推出，据此求解即可；
（3）延长构造等边三角形，然后利用两组三角形相似求出，最后利用勾股定理求解．
【详解】解：（1）补全图形，如图，
；
（2）将绕点A逆时针旋转得到，连接，作于F，
由旋转的性质知，，，，
∵，，∴，
∴，∴，，
由勾股定理得，，，∴，
∵，∴，∴，∴；
（3）延长交于，延长到，使，连接，如图，
，，，
，是等边三角形，，
，，
，，，，
，，，
过作于，过作于，，
，，，
∵，∴，，，，
，，∴．故答案为：3．
1．（2024九年级·重庆·期中）如图，在等边内有一点，使得，那么以，，的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为 ．
【答案】5：3：4
【分析】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定与性质，利用图形的旋转添加辅助线是解答本题的关键．将绕点B顺时针旋转得到，连结，可证得是等边三角形，从而得到，，所以就是以，，的长度为边长的三角形，进一步求出的内角度数，即得答案．
【详解】将绕点B顺时针旋转得到，连结，
则，，，是等边三角形，
，，就是以，，的长度为边长的三角形，
，，
，，
，，
，
以，，的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为．故答案为：．
2．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．
【发现问题】如图①，在等边三角形内部有一点，，，，求的度数．
解：如图①，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
，，是等边三角形，，，
是等边三角形，，，
，即．请你补充完整解答过程．
【应用问题】如图②，在正方形内有一点，若，，，则 ．
【拓展问题】如图③，在正方形中，对角线，相交于点，在直线上方（包括直线）有一点，，，连接，则线段的最大值为 ．
【答案】发现问题：，应用问题：，拓展问题：
【分析】发现问题∶由可判定，由全等三角形的性质得，，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，即可求解；
应用问题：将逆时针旋转，连接、，由勾股定理得，同理可证是直角三角形，即可求解；拓展问题：将顺时针旋转得，连接、，同理可证，由全等三角形的性质得，即可求解．
【详解】发现问题∶证明：补充如下：如图，
在和中，()，，，
，，是直角三角形，，
，；
应用问题：解：如图，将逆时针旋转，连接、，
，，，，
四边形是正方形，，，，，
在和中，()，，，
，，是直角三角形，
，，；故答案：；
拓展问题：解：如图，将顺时针旋转得，连接、，
，，，
四边形是正方形，，，，，
在和中，()，，
，，，的最大值为，故答案：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定及性质，正方形的性质等，能利用旋转的性质构建全等三角形是解题的关键．
3．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）阅读下面材料：张明同学遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且，，，求的度数．
张明同学是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．
(1)请你计算图1中的度数；(2)参考张明同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，在正方形内有一点，且，，，求的度数．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）将△APB逆时针旋转60°得到△AP′C，根据旋转的性质可知△ABP≌△ACP′，求证△APP′为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理得出∠PP′C=90°，即可求出∠AP′C=∠APB=150°；
（2）将△APB绕点A顺时针旋转90°，根据旋转的性质可知是等腰直角三角形，求证∠APP′=45°，用勾股定理逆定理求出∠P′PB=90°，最后求出∠APB=∠P'PB+∠APP'=135°即可．
【详解】（1）（1）如图2，把绕点A逆时针旋转60°得到，
由旋转的性质，，，，，
∴是等边三角形，∴，，
∵，，∴，∴，
∴；∴；
（2）如图3，把绕点逆时针旋转90°得到，
由旋转的性质，，，，
∴是等腰直角三角形，∴，，
∵，，∴，∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理的运用，全等三角形的判定与性质，做辅助线构造直角三角形是解答的关键.
4．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）（1）已知如图1，在中，，，点在内部，点在外部，满足，且．求证：．
（2）已知如图2，在等边内有一点，满足，，，求的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）150°
【分析】（1）先证∠ABD =∠CBE，根据SAS可证△ABD≌△CBE；
（2）把线段PC以点C为中心顺时针旋转60°到线段CQ处，连结AQ．根据旋转性质得△PCQ是等边三角形，根据等边三角形性质证△BCP≌△ACQ（SAS），得BP=AQ=4，∠BPC=∠AQC，根据勾股定理逆定理可得∠AQP=90°，进一步推出∠BPC=∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°+60°.
【详解】（1）证明：∵∠ABC=90°，BD⊥BE
∴∠ABC=∠DBE=90°即∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠CBE∴∠ABD =∠CBE．
又∵AB=CB，BD=BE∴△ABD≌△CBE（SAS）．
（2）如图，把线段PC以点C为中心顺时针旋转60°到线段CQ处，连结AQ．
由旋转知识可得：∠PCQ =60°，CP=CQ=3，∴△PCQ是等边三角形，∴CP=CQ=PQ=3．
又∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°=∠PCQ，BC=AC，
∴∠BCP+∠PCA=∠PCA+∠ACQ，即∠BCP=∠ACQ．
在△BCP与△ACQ中 ∴△BCP≌△ACQ （SAS）∴BP=AQ=4，∠BPC=∠AQC．
又∵PA=5，∴．∴∠AQP=90°
又∵△PCQ是等边三角形，∴∠PQC=60°∴∠BPC=∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°+60°=150°∴∠BPC=150°．
【点睛】考核知识点：等边三角形，全等三角形，旋转，勾股定理.根据旋转性质和全等三角形判定和性质求出边和角的关系是关键.
5．（2023·四川绵阳·一模）如图，四边形是正方形，点为平面内一点，
(1)若点在正方形内，如图1，，求的度数；
(2)若点在正方形外，如果，如图2，且，求的长．（用表示）
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．(1) 把绕点A顺时针旋转 得到， 连接与重合，旋转到的位置，证为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，结合勾股定理逆定理求出证出，即可得出结果．(2) 把绕点A顺时针旋转得到，连接，与重合，旋转到的位置，证为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，结合勾股定理求出，即可得出结果．
【详解】（1）解：把绕点A顺时针旋转 得到， 连接与重合，旋转到的位置，如图1，
∴，∴为等腰直角三角形，∴，，
∵，∴，∴；
（2）解：把绕点A顺时针旋转 90°得到，连接，与重合，旋转到的位置，如图2， ∴，∴为等腰直角三角形，
∴，∴，
在中，，∴∴．
6．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）阅读材料题：浙教版九上作业本①第18页有这样一个题目：已知，如图一，P是正方形ABDC内一点，连接PA、PB、PC，若PC=2，PA=4，∠APC=135°，求PB的长.
小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是：将△PAC绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，再利用勾股定理即可求解本题. 请根据数学老师的提示帮小明求出图一中线段PB的长为 .
【方法迁移】：已知：如图二，△ABC为正三角形，P为△ABC内部一点，若PC=1，PA=2，PB=,求∠APB的大小.
【能力拓展】：已知：如图三，等腰三角形ABC中∠ACB=120°，D、E是底边AB上两点且∠DCE=60°，若AD=2，BE=3，求DE的长.
【答案】（1）6；（2）90°；（3）
【分析】如图一，根据旋转的性质可得△PAP'是等腰直角三角形，求出PP'，然后求出∠PP'B=90°，利用勾股定理求出PB即可；[方法迁移]：将△PAC绕点A顺时针旋转60°得到△P'AB，连接PP'，根据旋转的性质可得△PAP'是等边三角形，利用勾股定理逆定理可证∠PBP'=90°，且∠BPP'=30°，问题得解；
[能力拓展]：将△CAD绕点C逆时针旋转120°得到△CBD'，连接ED'，易证△CDE≌△CD'E，可得DE=D'E，然后根据旋转的性质求出∠EBD'=60°，AD=BD'=2，过点D'作D'F⊥AB于F，根据含30°直角三角形的性质求出BF和D'F，然后利用勾股定理可求D'E，问题得解.
【详解】解：如图一，将△PAC绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，连接PP'，
∴PA= P'A=4，PC= P'B=2，∠PAP'=90°，∠AP'B= ∠APC =135°，∴∠PP'A=45°，
∴PP'，∠PP'B=135°-45°=90°，∴；
[方法迁移]：如图二，将△PAC绕点A顺时针旋转60°得到△P'AB，连接PP'，
∴PA= P'A=2，PC= P'B=1，∠PAP'=60°，∴△PAP'是等边三角形，∴PP'= PA= 2，
∵，即，∴∠PBP'=90°，∠BPP'=30°，∴∠APB=60°+30°=90°；
[能力拓展]：如图三，将△CAD绕点C逆时针旋转120°得到△CBD'，连接ED'，
∴CD=CD'，AD=BD'=2，∠DCD'=120°，∵∠DCE=60°，∴∠DCE=∠ECD'=60°，
又∵CE=CE，∴△CDE≌△CD'E（SAS），∴DE=D'E，
又∵∠A=∠ABC=，∴∠A=∠CBD'=30°，∴∠EBD'=60°，
过点D'作D'F⊥AB于F，∴BF=，D'F=，∴EF=2，
∴，∴.
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理及其逆定理等，解题的关键是正确运用材料中的方法，通过旋转构造图形，运用旋转的性质求解.
7．（2024·河南·校考一模）（1）阅读理解:利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图，点是等边三角形内一点，，求的度数．为利用已知条件，不妨把绕点顺时针旋转60°得，连接，则的长为_______；在中，易证，且的度数为_____，综上可得的度数为__ ；（2）类比迁移:如图，点是等腰内的一点，．求的度数；（3）拓展应用:如图，在四边形中，，请直接写出的长．
【答案】（1）2， 30°， 90° ；（2）90°；（3）2．
【分析】（1）由旋转性质、等边三角形的判定可知△CP′P是等边三角形，由等边三角形的性质知∠CP′P=60°，根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，继而可得答案．
（2）如图2，把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C，连接PP′，同理可得△CP′P是等腰直角三角形和△AP′P是直角三角形，所以∠APC=90°；（3）如图3，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，根据勾股定理求CG的长，就可以得BD的长．
【详解】解：（1）把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP'C，连接PP′（如图1）．
由旋转的性质知△CP′P是等边三角形；∴P′A=PB=、∠CP′P=60°、P′P=PC=2，
在△AP′P中，∵AP2+P′A2=12+（）2=4=PP′2；
∴△AP′P是直角三角形；∴∠P′AP=90°．∵PA=PC，∴∠AP′P=30°；
∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°．故答案为2；30°；90°；
（2）如图2，把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C，连接PP′．
由旋转的性质知△CP′P是等腰直角三角形；∴P′C=PC=1，∠CPP′=45°、P′P=，PB=AP'=，
在△AP′P中，∵AP'2+P′P2=（）2+（）2=2=AP2；
∴△AP′P是直角三角形；∴∠AP′P=90°．∴∠APP'=45°∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°
（3）如图3，∵AB=AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，
∵∠BAD=∠CAG， ∴∠BAC=∠DAG，∵AB=AC，AD=AG，∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，∴△ABC∽△ADG，
∵AD=2AB，∴DG=2BC=10，过A作AE⊥BC于E，
∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，∴∠ADG+∠ADC=90°，∴∠GDC=90°，
∴CG===2，∴BD=CG=2．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质和旋转的性质等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
6．（23-24九年级上·山东德州·期中）当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的．
（1）如图1，等腰直角三角形ABC内有一点P，连接AP，BP，CP，∠APB＝135°，为探究AP，BP，CP三条线段间的数量关系，我们可以将△ABP，绕点A逆时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'，则PP'＝ AP，△CPP'是 三角形，AP，BP，CP三条线段的数量关系是 ．
（2）如图2，等边三角形ABC内有一点P，连接AP、BP、CP，∠APB＝150°，请借助第一问的方法探究AP、BP、CP三条线段间的数量关系．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点P在四边形的内部，且PD＝PC，∠CPD＝90°，∠APB＝135°，AD＝4，BC＝5，请直接写出AB的长．
【答案】（1），直角，；（2）；（3）．
【分析】（1）由旋转的性质可得： ，，，，即可利用勾股定理得到，然后证明，利用勾股定理得到即可得到；（2）将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到，连接，由旋转的性质可得：，，，，，则是等边三角形，可得，，然后证明，可得，
则；（3）将△APD绕点P顺时针旋转90度得到，连接，由旋转的性质可得：，，，，证明，利用勾股定理求出，然后证明，即可得到．
【详解】解：（1）由旋转的性质可得： ，，，，
∴，，，
∴，∴，是直角三角形，
∴，故答案为：，直角；
（2）如图所示，将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到，连接，
由旋转的性质可得：，，，，，
∴是等边三角形，∴，，
∴，∴，∴；
（3）如图所示，将△APD绕点P顺时针旋转90度得到，连接，
由旋转的性质可得：，，，，
∵PD＝PC，∠CPD＝90°，∴∠PDC=∠PCD=45°，∵，∴，
∴，∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，
在和中，∴，∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，平行线的性质等等，解题的关键在于能够正确作出辅助线利用旋转的性质进行求解．
7．（2023·山东济南·模拟预测）（问题提出）如图1，在等边内部有一点P，，，，求的度数．
（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．
【尝试解决】将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．，又，，，为 三角形，的度数为 ．
【类比探究】如图2，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．
【联想拓展】如图3，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．
【答案】【尝试解决】直角，；【类比探究】；【联想拓展】
【分析】尝试解决：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质，得到，为等边三角形，进而得到，，再利用勾股定理的逆定理，证明为直角三角形，得到，即可求出的度数；
类比探究：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质，得到，为等腰直角三角形，进而得到，，再利用勾股定理的逆定理，证明为直角三角形，得到，即可求出的度数；
联想拓展：如图，以为直角边构造直角三角形，使得，，先证明，得出，进而证明，得到，然后利用特殊角的三角函数值，分别求出，，再利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，得到，即可求出的度数．
【详解】尝试解决：解：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，
，，，为等边三角形，，，
，，，
，为直角三角形，，
，的度数为，故答案为：直角，；
类比探究：解：如图，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，
由旋转的性质可知，，，，
是等腰直角三角形，，，
，，，
，为直角三角形，
，；
联想拓展：解：如图，以为直角边构造直角三角形，使得，，
，，，，，
，，，，
，，，
，，，，
，，，
在中，，，，，，
，是直角三角形，，．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
8．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在等边内有一点，且，，，若把绕着点逆时针旋转得到，连接，．
(1)求的度数；(2)求的长．(3)求点划过的路径长；
(4)当时，如果是由旋转所得，求扫过的区域的面积．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）由旋转的性质，结合等边三角形的判定即可得到是等边三角形，再由是等边三角形，利用等边三角形性质，结合三角形全等的判定得到，进而有，，再利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，且，即可得到答案；
（2）由旋转的性质，结合等边三角形的判定即可得到是等边三角形，从而确定；
（3）根据题意，把绕着点逆时针旋转得到，点划过的路径是，利用弧长公式代值求解即可得到答案；（4）由（1）的证明过程，结合旋转性质得到扫过的区域的面积，根据扇形面积公式代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：把绕着点逆时针旋转得到，则是等边三角形，
，是等边三角形，，
，，
在和中，，，，
在中，，，，则，由勾股定理的逆定理可知为直角三角形，且，
；
（2）解：把绕着点逆时针旋转得到，则是等边三角形，；
（3）解：如图所示：把绕着点逆时针旋转得到，点划过的路径是，
则长度为；
（4）解：由（1）的证明过程可知，，点划过的路径是，点划过的路径是，如图所示：由旋转性质可知，
扫过的区域的面积．
【点睛】本题考查旋转综合，涉及旋转性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、弧长公式、扇形面积公式等知识，理解旋转的性质，灵活运用相关几何判定与性质，数形结合求解是解决问题的关键．
9．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在等腰中，，点是内一点，连接，且，设.
（1）如图1，若，将绕点顺时针旋转至，连结，易证为等边三角形，则 ， ；（2）如图2，若，则 ， ；
（3）如图3，试猜想和之间的数量关系，并给予证明.
【答案】（1），（2），（3）
【分析】（1）将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC，连结DP，只要证明△DAP为等边三角形，即可解决问题；（2）将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC，连结DP，只要证明△DAP为等腰直角三角形，即可解决问题；（3）将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC，连结DP，只要证明△BPA≌△BPD（SSS），即可解决问题；
【详解】解：（1）如图1中，
由旋转不变性可知： ，，，
∵在等腰中，，，
∴，CP为三线合一的线
∴ ，∴
在中，，， ∴为等腰直角三角形
∴，∴，
∴△APD是等边三角形，∴∠ADP=∠APD=60°，
∵∠CDP=∠CPD=45°，∴∠ADC=∠APC=∠CPB=105°，
∴∠APB=360°-105°-105°=150°，∴α=150°，β=105°，故答案为150°，105°．
（2）将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC，连结DP．
由旋转不变性可知：BP=AD，CD=CP，∠DCP=90°，∴为等腰直角三角形∴，
∵， ，∴，，
∴△ADP是等腰直角三角形，∴∠APD=90°，∠ADP=45°，
∴∠APC=135°，∠BPC=∠ADC=90°，∴∠APB=360°-135°-90°=135°，
∴α=135°，β=90°，故答案为135°，90°．
（3）将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC，连结DP，延长PB交AD与S，
由旋转不变性可知：BP=AD，CD=CP，∠DCP=90°，
∴为等腰直角三角形∴，∵，∴PA=PD，
∵∠BPC+∠CPS=180°，∠BPC=∠ADC，∴∠ADC+∠CPS=180°，
∴∠PSD+∠PCD=180°，∴∠PSD=90°，∴PS⊥AD，
∵PA=PD，∴△ADP是等腰直角三角形，∴SA=SD，
∴△ABP是等腰直角三角形，∴BA=BD，
∵BP=BP，PA=PD，BA=BD，∴△BPA≌△BPD（SSS），∴∠APB=∠BPD，
∴ ∠BPD-∠BPC=∠CPD=45°，即： ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理以及逆定理，全等三角形的判定和性质，特殊三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，属于中考压轴题．
10．（23-24九年级上·广东深圳·期中）【问题背景】：如图1，在等边中，点D是等边内一点，连结，，将绕点A逆时针旋转得到，连结，观察发现：与的数量关系为 ， 度；
【尝试应用】：如图2，在等腰中，，，点D是内一点，连结，，， ，，，求面积．
【拓展创新】：如图3，在等腰中，，，点D为平面内一点，且，，则的值为 ．
【答案】【问题背景】：，60；【尝试应用】：；【拓展创新】：或；
【分析】问题背景：是等边三角形，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判断再用等边三角形的性质即可得出；
尝试应用：如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接，证明，推出，再证明C，D，T共线，可得结论；
拓展创新：分两种情形：当点D在的上方时，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，设，则.再求出，，可得结论；
当点D在的下方时，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，设，则，过点D作交的延长线于点H.再求出，，可得结论.
【详解】问题背景：由题意可知，
是等边三角形，，；故答案为：，；
尝试应用：如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接.
，
,共线，
.
拓展创新：①当点D在的上方时，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，，设，则.
，，，，
过点B作于点H ，则，
，，
，
，.
②当点D在的下方时，将线段绕点A逆时针旋转得到,连接，设则过点D作交的延长线于点H.
同法可证，，，
综上所述，的值为或故答案为：或
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题.
11．（23-24九年级·辽宁鞍山·期中）问题情境，利用圆规旋转探索：每位同学在纸上画好，，，要求同学们利用圆规旋转某一条线段，探究图形中的结论．
问题发现，某小组将线段绕着点逆时针旋转得到线段，旋转角设为，连接、，如图1所示．如图2，小李同学发现，当点落在边上时，；
如图3，小王同学发现，当每改变一个度数时，的长也随之改变．……
问题提出与解决，该小组根据小李同学和小王同学的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
如图1，在中，，，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，设转角设为，连接、．（1）如图2，当点落在边上时，求证：；（2）如图3，当时，若，求的长．（3）拓展延伸，小张同学受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为，尝试画图，并提出问题请你解答．如图4，中，，，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，旋转角，连接、，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）2；（3）
【分析】（1）由旋转的性质可得，，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，再根据三角形内角和定理易知，结合，即可证明结论；（2）以为边向右作等边，连接并延长交于点，由等边三角形的性质可得，，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，再利用“”证明，易得，进而可得，，同理，平分；设，则，，在中，利用勾股定理得，即可获得答案；
（3）以为边向下作等边，连接，，由旋转得，，利用“”证明，易得，再证明，可得，，进而证明是等边三角形，即可获得答案．
【详解】（1）证明：∵将线段绕着点逆时针旋转得到线段，
∴由旋转的性质可得，，∴，
∴，∴，
∵，∴，即；
（2）解：下图，以为边向右作等边，连接并延长交于点，
∴，，由旋转可得，，，
又∵，∴，∴，，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
又∵，，∴，∴，∵，∴，
∵，∴，，
∴，，同理，平分，
设，则，，在中，由勾股定理得，
，∴，∴；
问题2：解：如下图，以为边向下作等边，连接，，
则，，由旋转得，，
∵，，∴，∵，∴，
∵，∴；
∵，∴，∵，∴，
又∵，∴，∴，
∵，∴，又∵，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，，∴，又∵，∴，
∴，，∴，∴是等边三角形，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大，正确作出辅助线是解题关键．
12．（2024·吉林长春·一模）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．
（1）【探究发现】如图①，在等边三角形内部有一点P，，，，求的度数．爱动脑筋的小明发现：将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接、，则，然后利用和形状的特殊性求出的度数，就可以解决这道问题．
下面是小明的部分解答过程：
解：将线段绕点B逆时针旋转得到线段．，连接、，
∵，，∴是等边三角形，∴，．
∵是等边三角形，∴，，
∴，即．
请你补全余下的解答过程．（2）【类比迁移】如图②，在正方形内有一点P，且，，，则______度．（3）【拓展延伸】如图③，在正方形中，对角线、交于点O，在直线上方有一点P，，，连接，则线段的最大值为______．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是利用旋转变换把将分散的条件相对集中到一个三角形中解决问题．
（1）将线段绕点B逆时针旋转得到线段，证明，再证明是直角三角形；
（2）将线段绕点B逆时针旋转得到线段，证明，再证明是直角三角形；
（3）将线段绕点O顺时针旋转得到线段，证明，在由三角形三边关系求出的最大值，从而求得的最大值．
【详解】（1）解：将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接、，
∵，，∴是等边三角形，∴，．
∵是等边三角形，∴，，∴，
即．
在中，
．
（2）解：将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接、，
∵，，∵四边形是矩形，∴，，
∴，即．
在中，
．故答案为：．
（3）解：将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接、．
∵，，∴是等腰直角三角形，∴，．
∵四边形是正方形，∴，，
∴，即．
在中，
当点在时， ∴的最大值为
在中，∴
．的最大值为．
13．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）【几何感知】如图（1），在中，点D为BC边上一点，连接AD，点P为线段AD上一点，连接PB、PC得到有公共边的两个和，求证：．
【类比迁移】如图（2），在中，点D、E、F分别为线段BC、AC、AB上的点，线段AD、BE、CF交于点P，若，，则 ．
【拓展迁移】如图（3），在中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点P为内部一点，且，则线段AP＝ ．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）过点作于，过点作于，易证得，，从而结论得证；（2）过点作与交于，连接，通过易得平行四边形，通过对边平行，可得，，所以可得，通过进而求得结论；（3）过点作于，于，于，通过勾股定理求得，已知，利用此条件可以设参数，表示面积，进而表示各线段的值，在与中通过勾股定理建立方程，求得参数的值，最后代回可求得的值．
【详解】证明：（1）过点作于，过点作于，∴，
又∵，∴，∴，
由已知得：，,
∴，∴，即．
解：（2）过点作与交于，连接，
∴，∴，∴，
∴四边形为平行四边形，∴，，，
∴，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，∵，∴，
∴，∴，即，故答案为：．
（3）过点作于，于，于，
，，，
∵，∴设，，，
在中，，∵，，∴，
∴，，，∴，，，∴，
又∵，∴，∴，∴四边形为矩形，
∴，，∴，，
∴，∴，
在与中，,
∴，解得：，∴，，
∴，即．故答案为：．
【点睛】本题是与三角形有关的综合问题，通过面积法求得线段的比，利用相似三角形转化线段比例关系，利用勾股定理建立方程求得参数，是解题的关键．
14．（23-24九年级上·山东德州·期中）【阅读材料】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图1，在等边△ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABD，连接PD，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系．即能求PB＝ 请参考他们的想法，完成下面问题：
【学以致用】如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内一点，PA＝5，PC＝2，∠BPC＝135°，求PB的长；
【能力拓展】如图3，等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，D、E是底边AB上的两点且∠DCE＝60°，若AD＝2，BE＝3，求DE的长．
【答案】阅读材料：5；学以致用：3；能力拓展：
【分析】阅读材料：由∠ABC=60°，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABD，连接PD，则△APD是等边三角形，∠APC=∠ADB=150°，PC=DB=4，得出∠ADP=60°，DP=AP=3，∠PDB=90°，由勾股定理即可得出结果；
学以致用：将△BCP绕点C顺时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'，由旋转的性质得出∠PCP'=90°，CP′＝CP＝2，AP'=BP，∠AP'C=∠BPC=135°，得出△CPP'是等腰直角三角形，由勾股定理可求出答案；
能力拓展：将△ACD绕点C逆时针旋转120°得到△CBD′，连接ED′，作D′H⊥BE于H．证明△ECD≌△ECD′（SAS），推出DE=ED′，求出EH，D′H即可解决问题．
【详解】解：阅读材料：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，
将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABD，连接PD，如图1所示：
则△APD是等边三角形，∠APC=∠ADB=150°，PC=DB=4，∴∠ADP=60°，DP=AP=3，∴∠PDB=90°，
∴，故答案为：5；
学以致用：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=90°，AC=BC，
将△BCP绕点C顺时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'，
则∠PCP'=90°，CP′＝CP＝2，AP'=BP，∠AP'C=∠BPC=135°，
∴∠CPP'=∠CP'P=45°，∴△CPP'是等腰直角三角形，∴，
∴∠AP'P=∠AP'C-∠CP'P=135°-45°=90°，∴．
能力拓展：将△ACD绕点C逆时针旋转120°得到△CBD′，连接ED′，作D′H⊥BE于H．
由旋转的性质可知：AD=BD′=2，CD=CD′，∠ACD=∠BCD′，∠A=∠CBD′，
∵∠ACB=120°，∠DCE=60°，∴∠ECD′=∠BCD′+∠ECB=∠ACD+∠BCE=60°，∴∠ECD=∠ECD′，
∵EC=EC，∴△ECD≌△ECD′（SAS），∴DE=ED′，
∵CA=CB，∠ACB=120°，∴∠A=∠CBA=30°，∴∠EBD′=∠ABC+∠CBD′=30°+30=60°，
在Rt△BHD′中，∵BD′=2，∠BHD′=90°，∠BD′H=30°，
∴BH=BD′=1，D′H=，EH=3-1=2，∴ED′= ，∴DE=．
【点睛】此题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
15．（2024·陕西西安·模拟预测）问题探究：（1）如图①，已知在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，则AB的最大值是 ．（2）如图②，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为△ABC内一点，且AD＝2，BD＝2．，CD＝6，请求出∠ADB的度数．
问题解决：（3）如图③，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区△ABC，且AB＝AC．∠BAC＝120°，点A、B、C分别是三个任务点，点P是△ABC内一个打卡点．按照设计要求，CP＝30米，打卡点P对任务点A、B的张角为120°，即∠APB＝120°．为保证游戏效果，需要A、P的距离与B、P的距离和尽可能大，试求出AP+BP的最大值．
【答案】（1）4（2）135°（3）PA+PB的最大值为米
【分析】（1）作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，求出OA=OB=OC=2，可得结论；
（2）将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△CBT，连接DT，利用勾股定理的逆定理证明∠CTD＝90°，可得结论；（3）将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACK，延长CK交PA延长线于J，作△PJC的外接圆，连接OP，OC，OJ，证明PA+PB =JC，再求出JC的最大值即可求解．
【详解】（1）如图①，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，
∵∠BOC=2∠BAC＝90°，OB=OC∴△OBC是等腰直角三角形
∵BC=4∴OB=OC=2=OA ∵AB≤OA+OB∴AB≤4∴AB的最大值为4故答案为：4；
（2）如图②，将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△CBT，连接DT
由题意可得DT=BD=2，CT=AD=2∵CD=6∴∴∠CTD＝90°，
∵△BDT是等腰直角三角形∴∠DTB=45°∴∠CTB=45°+90°=135°∴∠ADB=∠CTB=135°
（3）如图③，将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACK，延长CK交PA延长线于J，作△PJC的外接圆，连接OP，OC，OJ ∵∠PAK＝120°，∠AKC＝∠APB＝120°
∴∠JAK＝∠JKA＝60°∴∠AJK＝60°∴△JAK是等边三角形∴AK=KJ∴∠COP＝2∠AJK＝120°
∵PC=30∴OP=OC=OJ=∵CJ≤OJ+OC∴CJ≤
∵PA+PB=AK+CK+KJ+KC=JC∴PA+PB的最大值为米．
【点睛】此题主要考查旋转的综合运用，解题的关键是熟知三角形外接圆的性质、三角函数的应用、旋转的性质、等边三角形的性质、勾股定理的应用及三角形的三边关系的应用．
16．（2024山东校考二模）【操作发现】
如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′（2）在（1）所画图形中，∠AB′B= ．
【问题解决】如图②，在等边三角形ABC中，AC=，点P在△ABC内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积．
小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：
想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找线段PA、PC之间数量关系；
想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找线段PA、PC之间的数量关系；
请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（求解一种方法即可）
【灵活运用】如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB（k为常数），直接写出BD的长（用含k的式子表示）．
【答案】【操作发现】（1）作图见解析；（2）45°；【问题解决】S△APC=；【灵活运用】BD=．
【分析】（1）根据旋转角，旋转方向画出图形即可；（2）只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可；【问题解决】如图②，将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，证明∠PP′C=90°，利用勾股定理即可得出答案. 【灵活运用】如图③中，由AE⊥BC，BE=EC，推出AB=AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，只要证明∠GDC=90°，可得CG= ，由此即可解决问题；
【详解】（1）如图所示，△AB′C′即为所求；
（2）连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，
∴AB=AB′，∠B′AB=90°，∴∠AB′B=45°，故答案为45°；
【问题解决】如图②，
∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，
∴△APP′是等边三角形，∠AP′C=∠APB=360°﹣90°﹣120°=150°，
∴PP′=AP，∠AP′P=∠APP′=60°，∴∠PP′C=90°，∠P′PC=30°，
∴PP′=PC，即AP=PC，∵∠APC=90°，∴AP2+PC2=AC2，即（PC）2+PC2=
∴PC=2，∴AP= ， ∴S△APC=AP PC=××2=，
【灵活运用】如图③中，∵AE⊥BC，BE=EC，
∴AB=AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，
∵∠BAD=∠CAG，∴∠BAC=∠DAG，
∵AB=AC，AD=AG，∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，∴△ABC∽△ADG，
∵AD=kAB，∴DG=kBC=4k，
∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，∴∠ADG+∠ADC=90°，∴∠GDC=90°，
∴CG== ．∴BD=CG=．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形是解题关键.
17．（23-24辽宁九年级上期中）【问题初探】（1）如图1，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小.李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转60°，点的对应点为，画出旋转后的图形，再连接.将求分成求和的和即可.请你按照李明同学给出的旋转的思路，求的大小；
【问题解决】（2）如图2，在正方形中，，分别为，边上的点，满足，若，，求的面积；
【问题拓展】（3）如图3，在四边形，，，，求的长.
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）将绕B点逆时针旋转得到，连接，则为等边三角形，.再由 得到，用勾股定理逆定理得到是直角三角形，，从而得到；
（2）将绕点逆时针旋转得到，得到，证明得到；
（3）证明是等腰直角三角形，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则为等腰直角三角形，，再计算得，用勾股定理得到，从而利用全等三角形的性质得到.
【详解】解：（1）如图，将绕B点逆时针旋转得到，连接，则
，，∴为等边三角形.
∴，又∵
∴∴ 是直角三角形，，
（2）由正方形的性质得：，，
如图，将绕点逆时针旋转得到，
，，
∴，
，∵，，，
（3）∵，，∴是等腰直角三角形，，
如图，将绕点顺时针旋转得到，连接.
则，，，为等腰直角三角形.，
又
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形
18．（23-24九年级上·重庆江北·期末）【问题背景】如图1，P是等边三角形外一点，，则．小明为了证明这个结论，将绕点A逆时针旋转，请根据此思路完成其证明；
【迁移应用】如图2，在等腰直角三角形中，，，点P在外部，且，若的面积为5.5，求；
【拓展创新】如图3，在四边形中，，点E在四边形内部，且，，，，，直接写出的长．
【答案】[问题背景]见解析；[迁移应用]；[拓展创新]
【分析】[问题背景]按题意画出图形，根据旋转的性质得到AP=AP′，PB=P′C，证明△APP′为等边三角形，从而推出∠PP′C=90°，在△PP′C中，利用勾股定理得到，再利用等量代换可得结果；
[迁移应用]作线段BM垂直于BP交PC的延长线于点M，连接AM，证得∠PBC=∠ABM，证明△PBC≌△MBA（SAS），得出∠AMP=90°，由三角形的面积可求出答案；
[拓展创新]将△AED绕点E顺时针旋转90°至△FEC，连接BF，证得∠FCE=90°，由勾股定理求出FB=，证明△ABE≌△FBE（SAS），由全等三角形的性质得出AB=FB．
【详解】解：[问题背景]如图1，连接PP′，由旋转可得：
AP=AP′，PB=P′C，∠PAP′=∠BAC=60°，∴△APP′为等边三角形，∴∠APP′=60°，PP′=AP′=PA，
∵∠APB=30°，∴∠AP′C=30°∴∠PP′C=90°，
在△PP′C中，，∴；
[迁移应用]如图2，作线段BM垂直于BP交PC的延长线于点M，连接AM，
∵∠BPM=45°，∠PBM=90°，∴△BPD为等腰直角三角形，∴BP=BM，
∵∠ABM+∠MBC=∠ABC=90°，∠PBM=∠PBC+∠MBC=90°，∴∠PBC=∠ABM，
在△PBC和△MBA中，，∴△PBC≌△MBA（SAS），
∴∠AMP=90°，∴S△PAC＝PC AD＝PC2=5.5，∴PC=（负值舍去）．
[拓展创新]如图3，将△AED绕点E顺时针旋转90°至△FEC，连接BF，
则AD=CF=，AE=EF，∠ADE=∠FCE，∴∠EDC=∠ECD=45°，
∵AD∥BC，∴∠ADE+∠EDC+∠ECD+∠ECB=180°，
∵ED=EC，∠CED=90°，∴∠EDC=∠ECD=45°，∴∠ADE+∠ECB=90°，
∴∠FCE+∠ECB=90°，即∠FCB=90°，∴FB==，
∵∠AEB=135°，∠AEF=90°，∴∠FEB=360°-135°-90°=135°，∴∠AEB=∠FEB，
在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴AB=FB=．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
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