专题18 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！
2
模型1.倍长中线模型 2
模型2.截长补短模型 10
20
模型1.倍长中线模型
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。
练习时要记住下面三点：①见中点，先倍长；②证明8字全等；③找关系。
1）倍长中线模型（中线型）
条件：AD为△ABC的中线。 结论：
证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）
2）倍长类中线模型（中点型）
条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。
证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。
∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）
3）倍长类中线模型拓展（中点+平行线型）
条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。
证明：延长FE，交DC的延长线于点G。
∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS）
若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。
例1．（2024·广东·校考二模）综合与实践：小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决
请回答：(1)小明证明用到的判定定理是：________；（填入你选择的选项字母）
A． B． C． D．
(2)的取值范围是________．
小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，求的长．
例2．（23-24辽宁锦州七年级期末）【问题提出】期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图1，在中，是延长线的点，是边上一点，且满足，那么是的中点，请你说明理由．
【思路探究】小王同学从条件出发分析解题思路：以为腰构造等腰和平行八字型全等三角形，如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，先应用等腰三角形的轴对称性，再应用三角形全等“”（或“”）的判定方法即可得，小张同学从结论出发分析解题思路：以为腰构造等腰，将说明的问题转化为说明的问题，如图3，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，于是可得，再应用三角形全等“”(或“”)的判定方法即可得．
（1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程；
【学以致用】（2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题：如图4，在四边形中，，过点作线段，且，连接，交的延长于点，猜想与的数量关系并说明理由．
例3．（2024·江苏·九年级校考期中）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 ．A．SAS；B. SSS；C. AAS；D. HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
(3)【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求证AE＝FE．
(4)【灵活运用】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．试猜想线段BE、CF、EF三者之间的数量关系，并证明你的结论．
例4．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）【问题探究】在学习三角形中线时，我们遇到过这样的问题：如图，在中，点D为边上的中点，，，求线段长的取值范围．我们采用的方法是延长线段到点E，使得，连结，可证，可得，根据三角形三边关系可求的范围，我们将这样的方法称为“三角形倍长中线”，则的范围是：________．
【拓展应用】（1）如图，在中，，，，，求的长．
（2）如图，在中，D为边的中点，分别以为直角边向外作直角三角形，且满足，连结，若，则________．（直接写出）
模型2.截长补短模型
截长补短模型分为截长模型和补短模型：适用于求证线段的和差倍分关系，截长补短的关键在于通过辅助线构造出全等三角形、等腰三角形。该类题目条件中常出现等腰三角形（两边相等）、角平分线（两角相等）等关键词句，可采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程（往往需证2次全等）。
截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。
证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。
∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS）
∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C，
∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。
法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。
∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS）
∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD，
∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。
例1．（2024·辽宁大连·模拟预测）【方法探究】如图1，在中，平分，，探究，，之间的数量关系；
嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题．
方法2：如图3，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题．
（1）根据探究，直接写出，，之间的数量关系；
【迁移应用】（2）如图4，在中，D是上一点，，，于，探究，，之间的数量关系，并证明．
【拓展延伸】（3）如图5，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：．
例2．（23-24八年级上·河南漯河·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系．
例3．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形是内正方形，P是圆上一点（点P与点A，B，C，D不重合），连接．(1)若点P是弧上一点，①∠BPC度数为 ___________；
②求证：；小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，请按小明思路完成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）．证明：在的延长线上截取点E．使，连接．
(2)探究当点P分别在，，上，求的数量关系，直接写出答案，不需要证明．
例4．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期中）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．（1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系．思路：延长到点，使，连接，根据，可证，易证得≌，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系．根据上述解题思路，请写出、、之间的数量关系是______；
【拓展延伸】（2）如图2，在中，，，若点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离 cm．
1．（2023秋·江西九江·八年级校考期末）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，则BC的长为 ．
2．（2023·江苏淮安·三模）【探究发现】（1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接．由，得，则与的数量关系为______，位置关系为______．
【尝试应用】（2）如图2，在中，平分，D为边的中点，过点D作，交CA的延长线于点Q，交边于点K．试判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】（3）如图3，在中，，，，D为边的中点，连接，E为边上一动点，连接交于点F．①若．求的长度；
②在射线上取一点G，且，连接，直接写出的最小值．
3．（23-24九年级上·广东梅州·阶段练习）阅读下面材料：某同学遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点在边上， 与相交于点，求的值．他发现，过点作，交的延长线于点 ，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）．请回答：(1) 的值为___．(2)参考这个同学思考问题的方法，解决问题：如图 3，在中，，点在的延长线上，与边上的中线 的延长线交于点，求 的值____；(3)在（2）的前提下，若，则 ________．
4．（2024·山东·校考一模）阅读材料：如图1，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使，连接CF，证明，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．
类比迁移：（1）如图2，AD是的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且，求证：．
小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，……请根据小亮的思路完成证明过程．
方法运用：（2）如图3，在等边中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．
5．（2024·四川达州·模拟预测）[问题背景]在中，，求边上的中线的取值范围，小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长到E，使得，再连接，把集中在中．(1)利用上述方法求出的取值范围是_________；
(2)[探究]如图2，在中，为边上的中线，点D在的延长线上，且，与相交于点O，若四边形的面积为20，求的面积；
(3)[拓展]如图3，在四边形中，，E为的中点，G、F分别为边上的点，若，，，求的长．
6．（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
“倍长中线法”中线是三角形中的重要线段之一，利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”加辅助线． 如图1．在中，平分，且恰好是边的中点．求证：． 证明：如图2，延长至点，使．∵是边的中点 ∴． ∵，，∴（依据）．∴． ∵平分，∴，∴，∴，∴．
任务：(1)材料中的“依据”是________．（填选项）
A． B． C． D．
(2)在中，，，则边上的中线长度的取值范围是________．(3)如图3，在四边形中，，平分，且是的中点，，，求的长．
7．（23-24八年级上·山西大同·期末）阅读以下材料，完成以下两个问题．
[阅读材料]已知：如图，（）中，D、E在BC上，且，过D作交AE于点F，．求证：平分．
结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示以图（1）为例，证明过程如下：证明：延长至G，使，连接．
在和中，，∴．∴．
∵，∴．∴．∴．
∵，∴．∴．∴平分．
问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明．问题2：根据上述材料，完成下列问题：
已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，，，，，求的长．
8．（2024·河南南阳·一模）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，请你解答．（1）【观察发现】①如图1，是的角平分线，，在上截取，连接，则与的数量关系是__________；
②如图2，的角平分线、相交于点P．当时，线段与的数量关系是__________；
（2）【探究迁移】如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，试判断与的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，当有一个内角是时，直接写出边的长．
9．（2023·湖南怀化·模拟预测）【证明体验】（1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分．
【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连接交于点G．若，，，求的长．
【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长．
10．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）定义：如图1，在．中，把绕点A按逆时针方向旋转并延长一倍得到，把绕点A按顺时针方向旋转，并延长一倍得到，连结．当时，称为的“倍旋三角形”，的边上的中线叫做的“倍旋中线”．(1)如图①，当，时，“倍旋中线”的长为______；
(2)如图②，当为等边三角形时，“倍旋三角形”与的数量关系为______．
(3)在图③中，当为任意三角形时，猜想“倍旋中线”与的数量关系，并给予证明．
① ② ③
11．（22-23九年级上·河南驻马店·阶段练习）如下表 倍长中线（Methodoftimesthelengthofline）
倍长中线的意思是：延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，
然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等，此法常用于构造全等三角形，
利用中线的性质、辅助线、对顶角一般用“”证明对应边之间的关系．请用倍长中线法解答下面问题：在中，，是边上的中线，点为射线上一动点．
(1)问题发现：如图1，点在上，，与相交于点，延长至点，使得，连接，求的值．
王林同学根据题意写出了如下不完整的求解过程，请补全其过程．
解：设，则 ；∵是边上的中线，∴；
∵在和中，∴（ ）
∴ = ，∴；∴；又∵，∴；∴= ．
(2)类比探究如图2，点在的延长线上，与的延长线交于点，，求的值．
(3)拓展延伸在（2）的探究结论下，若，，求的长．
12.（23-24九年级上·陕西西安·期中）阅读下面材料，完成以下两问：
数学课上，老师出示了这样一道题．如图，中，D为中点，且，M为中点，连接并延长交于N．探究线段之间的数量关系，并证明．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现线段之间存在某种数量关系”．
小强：“通过倍长不同的中线，可以得到不同的结论，但都是正确的”．
小伟：“通过构造、证明相似三角形、全等三角形，就可以将问题解决”．
(1)小伟在探索时，做法为：过B作交延长线于Q，构造．
请你按照他的做法，判断与之间的数量关系为：________
(2)如图（2）：延长至H，使，连接，则结论：是否成立？请说明理由；
(3)如图（3）,证明：．
13．（2024·广西贺州·一模）阅读与思考：下面是小王的数学改错本上的改错总结反思请仔细阅读，并完成相应的任务．
截长补短法：有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系．这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解，所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段长度与已知线段长度相等，然后证明其中的另一条线段与已知的另一条线段的数量关系，所谓“补短”，就是将一条已知的较短的线段延长至与另一条已知的较短的线段长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的数量关系．有的是采取截长补短法后，使之构成某种特定的三角形进行求解…．
如图1，四边形是的内接四边形，连接，．是的直径，．请说明线段，，之间的数量关系． 下面是该问题的部分解答过程： 解：．理由如下：∵是的直径，∴， ∵，∴． 如图2，过点A作交于点M，…．
任务：(1)补全解答过程；(2)如图3，四边形是的内接四边形，连接，．是的直径，，则线段，，之间的数量关系式是______．
14．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题． （1）如图①，△是等边三角形，点是边下方一点，连结，且，探索线段之间的数量关系．
解题思路：延长到点，使，连接，根据，则，因为可证，易证得△≌△，得出△是等边三角形，所以，从而探寻线段之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出之间的数量关系是 ；
【拓展延伸】（2）如图②，在Rt△中，，．若点是边下方一点，，探索线段之间的数量关系，并说明理由；
【知识应用】（3）如图③，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知所对直角边等于斜边一半，则的长为_____________cm．（结果无需化简）
15．（2024·广东深圳·校考一模）问题：如图1，中，AB是直径，，点D是劣弧BC上任一点（不与点B、C重合），求证：为定值．
思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明．按思路完成下列证明过程．
证明：在AD上截取点E，使，连接CE．
运用：如图2，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，与y轴相交于B、C两点，且，连接AB、．(1)OB的长为___________．(2)如图3，过A、B两点作与y轴的负半轴交于点M，与的延长线交于点N，连接AM、MN，当的大小变化时，问的值是否变化，为什么 如果不变，请求出的值．
16．（2024·河南·模拟预测）【问题背景】在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系．
【初步探索】小晨同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______．
【探索延伸】在四边形中如图2，，，E、F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】如图3，在某次南海海域军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离．
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全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！
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模型1.倍长中线模型 2
模型2.截长补短模型 10
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模型1.倍长中线模型
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。
练习时要记住下面三点：①见中点，先倍长；②证明8字全等；③找关系。
1）倍长中线模型（中线型）
条件：AD为△ABC的中线。 结论：
证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）
2）倍长类中线模型（中点型）
条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。
证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。
∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）
3）倍长类中线模型拓展（中点+平行线型）
条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。
证明：延长FE，交DC的延长线于点G。
∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS）
若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。
例1．（2024·广东·校考二模）综合与实践：小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决
请回答：(1)小明证明用到的判定定理是：________；（填入你选择的选项字母）
A． B． C． D．
(2)的取值范围是________．
小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，求的长．
【答案】(1)A(2)；．
【分析】（1）延长到，使，连接，根据对顶角相等，即可利用“”证明，得到答案；（2）根据全等三角形的性质，得到的长，再利用三角形的三边关系即可得到答案；
延长交的延长线于点H，先利用“”证明，得到，，进而得到的长，再证明垂直平分，根据垂直平分线的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，延长到，使，连接，点为的中点，，
在和中，，，故答案为：A；
（2）解：，，，
，，，
，，故答案为：；
解决问题：如图，延长交的延长线于点H，
四边形是正方形，，为边的中点，，
在和中，，，，，
，，，，
，，，，
，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正方形的性质，垂直平分线的性质，利用“倍长中线法”作辅助线构造全等三角形是解题关键．
例2．（23-24辽宁锦州七年级期末）【问题提出】期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图1，在中，是延长线的点，是边上一点，且满足，那么是的中点，请你说明理由．
【思路探究】小王同学从条件出发分析解题思路：以为腰构造等腰和平行八字型全等三角形，如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，先应用等腰三角形的轴对称性，再应用三角形全等“”（或“”）的判定方法即可得，小张同学从结论出发分析解题思路：以为腰构造等腰，将说明的问题转化为说明的问题，如图3，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，于是可得，再应用三角形全等“”(或“”)的判定方法即可得．
（1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程；
【学以致用】（2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题：如图4，在四边形中，，过点作线段，且，连接，交的延长于点，猜想与的数量关系并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析．
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识，
（1）小王同学的思路：如图1，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，则，根据题意证明出，得到；
小张同学的思路：如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，则，根据题意证明出，得到，进而求解即可；
（2）方法1：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接，证明出，得到；方法2：以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，证明出，得到．
【详解】解∶（1）小王同学的思路：
如图1，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，则．所以．
因为，所以．
因为，所以．所以，即是的中点
小张同学的思路：如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，则．
所以，因为，所以．
因为，所以．
所以．所以，即是的中点；
（2）猜想方法1：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接，
则．所以．因为，
所以，．
所以．所以．
又因为，所以．所以．
方法2：如图4，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，
则．所以．
因为，所以．
因为，所以．
所以．所以．
因为，所以．所以．所以．
例3．（2024·江苏·九年级校考期中）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 ．A．SAS；B. SSS；C. AAS；D. HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
(3)【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求证AE＝FE．
(4)【灵活运用】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．试猜想线段BE、CF、EF三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)A(2)1＜AD＜7(3)见解析(4)BE2+CF2＝EF2，证明见解析
【分析】[问题情境](1)根据全等三角形的判定定理解答；(2)根据三角形的三边关系计算；[初步运用]延长AD到M，使AD=DM，连接BM，证明△ADC≌△MDB，根据全等三角形的性质解答；[灵活运用]延长ED到点G，使DG=ED，连接GF，GC，证明△DBE≌△DCG，得到BE=CG，根据勾股定理解答．
【解答】(1)解：在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB(SAS)，故选：A；
(2)解：由(1)得：△ADC≌△EDB，∴AC=BE=6，
在△ABE中，AB BE
(3)解：延长AD到M，使AD=DM，连接BM，如图②所示：
∵AD是△ABC中线，∴CD=BD，在△ADC和△MDB中，，
∴△ADC≌△MDB(SAS)，∴BM=AC，∠CAD=∠M，
∵AC=BF，∴BM=BF，∴∠M=∠BFM，
∵∠AFE=∠BFM，∴∠BFM=∠CAD=∠M，∴AE=FE；
(4)解：线段BE、CF、EF之间的等量关系为：BE2+CF2=EF2；
理由如下：延长ED到点G，使DG=ED，连接GF，GC，如图③所示：
∵ED⊥DF，DG=ED，∴EF=GF，∵D是BC的中点，∴BD=CD，
在△BDE和△CDG中，，∴△DBE≌△DCG(SAS)，∴BE=CG，∠B=∠GCD，
∵∠A=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∴∠GCD+∠ACB=90°，即∠GCF=90°，
∴Rt△CFG中，由勾股定理得：CF2+GC2=GF2，∴BE2+CF2=EF2．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用等知识；熟练掌握三角形的三边关系和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
例4．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）【问题探究】在学习三角形中线时，我们遇到过这样的问题：如图，在中，点D为边上的中点，，，求线段长的取值范围．我们采用的方法是延长线段到点E，使得，连结，可证，可得，根据三角形三边关系可求的范围，我们将这样的方法称为“三角形倍长中线”，则的范围是：________．
【拓展应用】（1）如图，在中，，，，，求的长．
（2）如图，在中，D为边的中点，分别以为直角边向外作直角三角形，且满足，连结，若，则________．（直接写出）
【答案】问题探究：；拓展应用：（1）；（2）4
【分析】问题探究：根据三角形三边关系求出的范围，进而得到的范围；
拓展应用：（1）延长到点E，使，连接，先证，得到，，在中，根据勾股定理求即可得到的值；（2）延长到点G，使，连接，根据，得到，证明，得到，进而得到的值．
【详解】解：问题探究：在中，∵，∴，
∴，故答案为：；
拓展应用：（1）如图，延长到点E，使，连接，
在和中，，∴，
∴，，在中，，
∴，∴；
（2）如图，延长到点G，使，连接，
由（1）知，∴，
∵，∴，
又∵，∴，
∵，，
∴，∴，∴，∴，
∵，∴，故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形综合题，判定并利用相似三角形的性质求线段的长度是解决本题的关键．
模型2.截长补短模型
截长补短模型分为截长模型和补短模型：适用于求证线段的和差倍分关系，截长补短的关键在于通过辅助线构造出全等三角形、等腰三角形。该类题目条件中常出现等腰三角形（两边相等）、角平分线（两角相等）等关键词句，可采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程（往往需证2次全等）。
截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。
证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。
∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS）
∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C，
∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。
法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。
∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS）
∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD，
∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。
例1．（2024·辽宁大连·模拟预测）【方法探究】如图1，在中，平分，，探究，，之间的数量关系；
嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题．
方法2：如图3，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题．
（1）根据探究，直接写出，，之间的数量关系；
【迁移应用】（2）如图4，在中，D是上一点，，，于，探究，，之间的数量关系，并证明．
【拓展延伸】（3）如图5，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：．
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质；
（1）方法一：证明得到，，根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定证得，则，进而可得结论；
方法二：先根据等腰三角形的性质和外角性质证得，再证明得到，进而可得结论；（2）在上取，连接，根据等边对等角得出，根据三角形的外角的中得出，进而得出，即可得证；（3）先证明，过作，交于点，证明，根据等角对等边得出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：方法一：∵平分，∴，
在和中，，，，
∴∴，，
∵，∴，
∴，∴，∴；
方法二：延长到点E，使得，连接，
∴，则，
∵，∴，∵平分，∴，
在和中，，，，
∴，∴，∵，∴；
（2）在上取，连接，∵于，∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴；
（3）如图所示，∵，为等边三角形，∴，，
∴∴，
∴，∴，∴，
过作，交于点，∴，
∵是的中点，∴，又，∴，
∴ ，，，而，
，∴，
又∵，∴，∴ ， 即．
例2．（23-24八年级上·河南漯河·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；
（1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证（2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证；
（3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证．
【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接，
平分，，
在和中，，，，，
，，，，；
方法2：延长到，使，连接，
平分，，
在和中，，，，，
，，，，；
（2），，之间的数量关系为．
方法1：理由如下：如图，在上截取，连接，
由（1）知，，
，，，
为等边三角形， ，，
，为等边三角形，，，
，，，．
方法：理由：延长到，使，连接，
由（1）知，，是等边三角形， ，，
，，，
，为等边三角形，，，
，，即，
在和中，，，，
，；
（3）线段、、之间的数量关系为．连接，过点作于点，
，，，
在和中，，，，，
在和中，，，，
，．
例3．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形是内正方形，P是圆上一点（点P与点A，B，C，D不重合），连接．
(1)若点P是弧上一点，①∠BPC度数为 ___________；
②求证：；小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，请按小明思路完成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）．证明：在的延长线上截取点E．使，连接．
(2)探究当点P分别在，，上，求的数量关系，直接写出答案，不需要证明．
【答案】(1)①，②见解析(2)；；；证明见解析
【分析】（1）①理由正方形的性质和圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半解答即可；
②在的延长线上截取点E．使，连接，利用全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质解答即可；（2）利用截长补短法，依题意画出相应图形，按小明思路完成解答即可．
【详解】（1）①解：，理由：∵四边形是正方形，∴，
∴的度数为，∴，故答案为：；
②证明：在的延长线上截取点E，使．连接，如图，
∵四边形是内接正方形，∴，
又∵点P在上，∴四边形为内接四边形∴．
在和中， ，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴为等腰直角三角形，∴，∴；
（2）当点P在上时，；在上取点E，使，连接，如图，
∵四边形是内接正方形，∴，
在和中， ，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴为等腰直角三角形，∴，∴；
当点P在上时，，在上取点E，使，连接，如图，
∵四边形是内接正方形，∴，
在和中， ，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴为等腰直角三角形，∴，∴；
当点P在上时，，理由：在的延长线上截取点E，使，连接，如图，
∵四边形是内接正方形，∴，
又∵点P在上，∴四边形为内接四边形∴．
在和中， ，∴，∴．
∵，∴，∴．
∴为等腰直角三角形，∴，∴．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，理解并熟练应用截长补短法，构造恰当的辅助线解答是解题的关键．
例4．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期中）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．
（1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系．
解题思路：延长到点，使，连接，根据，可证，易证得≌，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系．根据上述解题思路，请写出、、之间的数量关系是______；
【拓展延伸】（2）如图2，在中，，，若点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离 cm．
【答案】（1），见解析；（2）；见解析；（3）
【分析】（1）由等边三角形知，结合知，由知，证得，再证是等边三角形得；
（2）延长到点E，使，连接，先证得，，据此可得，由勾股定理知，继而可得；
（3）由直角三角形的性质知，，利用（2）中的结论知，据此可得答案．
【详解】解：（1），理由如下：∵是等边三角形，∴，
∵，∴，
又∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∵，即，
∴，即，∴是等边三角形，
∴，即，故答案为：；
（2），如图2，延长到点E，使，连接，
∵，∴，
∵，∴，∵，
在和中，，∴，
∴，∴，∴，∴；
（3）如图3，连接，
∵，∴，∴，
由（2）知．∴．故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
1．（2023秋·江西九江·八年级校考期末）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，则BC的长为 ．
【答案】
【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE．先运用SAS证明△ADC≌△EDB，得出BE=13．再由勾股定理的逆定理证明出∠BAE=90°，然后在△ABD中运用勾股定理求出BD的长，从而得出BC=2BD．
【详解】解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE．
在△ADC与△EDB中，， ∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=13．
在△ABE中，AB=5，AE=12，BE=13，∴AB2+AE2=BE2，∴∠BAE=90°．
在△ABD中，∠BAD=90°，AB=5，AD=6，
∴BD=，∴BC=．故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，综合性较强，难度中等．题中延长中线的一倍是常用的辅助线的作法．
2．（2023·江苏淮安·三模）【探究发现】（1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接．由，得，则与的数量关系为______，位置关系为______．
【尝试应用】（2）如图2，在中，平分，D为边的中点，过点D作，交CA的延长线于点Q，交边于点K．试判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】（3）如图3，在中，，，，D为边的中点，连接，E为边上一动点，连接交于点F．①若．求的长度；
②在射线上取一点G，且，连接，直接写出的最小值．
【答案】（1），；（2），见详解；（3）①；②
【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定得即可；
（2）延长至点，使，连接，证，得，，再平行线的性质得，，然后证，即可得出结论；（3）①延长至，连接,先证明，得，，再证明，根据相似三角形的性质即可；②如图，过点作交的延长线于点，点从点向点动时，点从点向点运动，均同时减小，故点在点时，最小，再根据勾股定理即可．
【详解】（1）解：为边的中点，，
，，，
，，，故答案为：，；
（2）解：，理由如下：如图2，延长至点，使，连接，
为的中点，，，，
，，，
，，，
平分，，，；
（3）解：①延长至，连接,为边的中点,，，
，，，，
在中，，，，D为边的中点，
，，
，，，，，
，，，
，，，
②如图，过点作交的延长线于点，
点从点向点动时，点从点向点运动，均同时减小，
故点在点时，最小，此时，
，即，，，
，，
在中，，，
在中，，
．故的最小值为．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
3．（23-24九年级上·广东梅州·阶段练习）阅读下面材料：某同学遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点在边上， 与相交于点，求的值．他发现，过点作，交的延长线于点 ，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）．请回答：
(1) 的值为___．(2)参考这个同学思考问题的方法，解决问题：如图 3，在中，，点在的延长线上，与边上的中线 的延长线交于点，求 的值____；(3)在（2）的前提下，若，则 ________．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据辅助线的作法可得，，然后利用它们的性质可得；
（2）过点A作，交BE的延长线于点F，可得，，然后利用它们的性质可得；（3）根据条件，得出的长，由勾股定理可得的长，再利用的性质可求出的长．
【详解】（1）解：过点 作，交 的延长线于点 ，
∵是边上的中线，∴，∵，∴，
在和中，∴，∴．
设，则，
∵，∴，∴．故答案为：
（2）①过点A作，交BE的延长线于点F，如图，
设，由得．
∵E是AC中点，∴．∵，∴．
在和中，，∴，∴．
∵，∴，∴．∴的值为；故答案为：
（3）当时，
∴，，∴．
∵，∴，∴．故答案为：6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理和平行线的性质，解决本题的关键是正确的做出辅助线．
4．（2024·山东·校考一模）阅读材料：如图1，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使，连接CF，证明，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．
类比迁移：（1）如图2，AD是的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且，求证：．
小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，……
请根据小亮的思路完成证明过程．
方法运用：（2）如图3，在等边中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析
【分析】(1) 延长AD至M，使，连接MC，证明，结合等角对等边证明即可．
(2) 延长DF至点M，使，连接BM、AM，证明，△ABM是等边三角形，代换后得证．
【详解】（1）证明：延长AD至M，使，连接MC．
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴．
（2）线段DF与AD的数量关系为：．
证明如下：延长DF至点M，使，连接BM、AM，如图2所示：
∵点F为BE的中点，∴
在和中，∵，∴
∴，，∴
∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE
∴，，∴
∵是等边三角形∵，，
∴
∵，∴
在和中，∵，∴
∴，，∴
∴是等边三角形，∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
5．（2024·四川达州·模拟预测）[问题背景]在中，，求边上的中线的取值范围，小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长到E，使得，再连接，把集中在中．(1)利用上述方法求出的取值范围是_________；
(2)[探究]如图2，在中，为边上的中线，点D在的延长线上，且，与相交于点O，若四边形的面积为20，求的面积；
(3)[拓展]如图3，在四边形中，，E为的中点，G、F分别为边上的点，若，，，求的长．
【答案】(1)(2)50(3)
【分析】（1）证明得，再根据三角形三边关系求得的取值范围，进而完成解答；
（2）连接．过点A作交的延长线于点T．证明得出，证出，设的面积为x，由四边形面积列出方程求解即可；（3）延长至点M，使得，连接，过点M作，交的延长线于点N，证明，得到，，求出，则，继而证明为等腰直角三角形，得到，则，利用勾股定理求出，同理可得．
【详解】（1）解：根据题意：延长到点E，使，再连接，∴，
∵是边上的中线，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，∴，故答案为：．
（2）解：如图：连接．过点A作交的延长线于点T．∴，
∵为边上的中线，∴，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
设的面积为x,∵，∴的面积为，
∵，∴的面积为,的面积为，
∵，∴的面积=的面积=,
∴四边形的面积的面积的面积，∴．∴的面积为50．
（3）解：如图，延长至点M，使得，连接，过点M作，交的延长线于点N，∵E为中点，∴，在和中，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴为等腰直角三角形，
∴，∴，∴，
∵，∴垂直平分，∴，∴．
【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6．（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
“倍长中线法”中线是三角形中的重要线段之一，利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”加辅助线． 如图1．在中，平分，且恰好是边的中点．求证：． 证明：如图2，延长至点，使．∵是边的中点 ∴． ∵，，∴（依据）．∴． ∵平分，∴，∴，∴，∴．
任务：(1)材料中的“依据”是________．（填选项）
A． B． C． D．
(2)在中，，，则边上的中线长度的取值范围是________．(3)如图3，在四边形中，，平分，且是的中点，，，求的长．
【答案】(1)A(2)(3)1
【分析】本题主要考查运用“倍长中线法”证明三角形全等，三角形三边关系以及等腰三角形的判定与性质等知识：（1）根据证明过程可得出的依据；
（2）运用倍长中线法求出，再根据三角形三边关系求出的取值范围，从而可得结论；
（3）延长，交于点N，证明，得，结合角平分线定义得，得出，可求出
【详解】（1）解：根据证明过程可得的依据是，故选：A；
（2）解：如图，延长至点，使．连接,
∵是边的中点∴．
∵，，∴．∴．
又，∴即∴．
（3）解：如图，延长，交于点，
∵，即，∴∵点是的中点，∴
又∴∴
∵平分∴∴，
∴∴
7．（23-24八年级上·山西大同·期末）阅读以下材料，完成以下两个问题．
[阅读材料]已知：如图，（）中，D、E在BC上，且，过D作交AE于点F，．求证：平分．
结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示以图（1）为例，证明过程如下：证明：延长至G，使，连接．
在和中，，∴．∴．
∵，∴．∴．∴．
∵，∴．∴．∴平分．
问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明．问题2：根据上述材料，完成下列问题：
已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，，，，，求的长．
【答案】见解析，6
【分析】问题1：延长至G，使，连接，首先根据题意证明，然后得到，然后根据平行线的性质和等腰三角形的性质的，即可得到平分；问题2：延长至G，使，连接，首先根据中线的性质得到，然后证明出，进而得到，然后进一步证明出，得到，即可求出的长．
【详解】问题1：证明：延长至G，使，连接，如图（2）所示：
在和中，，∴．∴．
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴平分．
问题2：解：延长至G，使，连接，如图（3）所示：
∵是边上的中线，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∵，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线．
8．（2024·河南南阳·一模）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，请你解答．
（1）【观察发现】①如图1，是的角平分线，，在上截取，连接，则与的数量关系是__________；
②如图2，的角平分线、相交于点P．当时，线段与的数量关系是__________；
（2）【探究迁移】如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，试判断与的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，当有一个内角是时，直接写出边的长．
【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）或10．
【分析】（1）①运用角平分线定义证明，即得；②在上取点D，使，连接，，根据三角形角平分线相交于一点，得到，证明，得到，，根据，证明，得到，根据四边形内角和性质得到，得到，结合得到，得到 ，即得；
（2）在上取点E，使，连接，得到，结合的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，证明， ,即得；
（3）设，则，当时，得到，，过点E作于点G，得到是等腰直角三角形，，根据，， 证明，得到，，根据， ，得到，，根据，，得到，，得到 ；当时，过点P作于点H，得到是等腰直角三角形，，根据，得到，结合，得到，，得到，，得到；当时，，根据，得到，，得到不成立．
【详解】（1）①∵是的角平分线，∴，
∵，，∴，∴；故答案为：；
②在上取点D，使，连接，，
∵的角平分线、相交于点P．∴平分，∴，
∵，∴，∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴；故答案为：；
（2），理由：在上取点E，使，连接，则，
∵，∴，
∵的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴；
（3）设，则，
当时，，
∴，∴，∴，
过点E作于点G，则，∴，∴，
∵，，，
∴，∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，，∴，，∵，∴，
∴，∴，，∴，
∴，∴，；
当时，，过点P作于点H，则，
∴，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，，
∴，∴，∴，；
当时，，
∵，∴，∴，∴不成立．综上，或．
【点睛】本题主要考查了角平分线，全等三角形，锐角三角函数．熟练掌握角平分线定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，四边形性质，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，正切定义，是解决问题的关键．
9．（2023·湖南怀化·模拟预测）【证明体验】（1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分．
【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连接交于点G．若，，，求的长．
【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据得到，求出，即可证明结论；
（2）先证明，根据相似三角形的性质进行求解即可；
（3）根据角平分线的特点，在上截取，连接，构造全等三角形以及相似三角形，由相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：（1）平分，，
，，，
，，平分；
（2），，，，，
，，，；
（3）在上截取，连接，平分，，
，，，，
，，，
，，，，
，，
，，，
，，，
，．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
10．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）定义：如图1，在．中，把绕点A按逆时针方向旋转并延长一倍得到，把绕点A按顺时针方向旋转，并延长一倍得到，连结．当时，称为的“倍旋三角形”，的边上的中线叫做的“倍旋中线”．
① ② ③
(1)如图①，当，时，“倍旋中线”的长为______；
(2)如图②，当为等边三角形时，“倍旋三角形”与的数量关系为______．
(3)在图③中，当为任意三角形时，猜想“倍旋中线”与的数量关系，并给予证明．
【答案】(1)(2)(3)，证明见解析．
【分析】（1）如图1，首先证明，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题；（2）如图2，过点作，证，根据易得结论． （3）延长到，使得，连接，证四边形是平行四边形，再证明得，故可得结论．
【详解】（1）如图1，∵， ∴
∵，∴ ∴ ∵，∴，
∵是的中点，∴；故答案为：．
（2）如图2，∵，，∴
根据“倍旋中线”知等腰三角形， 过作，垂足为
∴， ，
∵是等边三角形的边的中点， 且
∴ ∴ ∴ 故答案为：．
（3）结论： 理由：如图，延长到，使得，连接，
∵， ∴四边形是平行四边形∴，
∵∴∵∴∴∴
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
11．（22-23九年级上·河南驻马店·阶段练习）如下表 倍长中线（Methodoftimesthelengthofline）
倍长中线的意思是：延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，
然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等，此法常用于构造全等三角形，
利用中线的性质、辅助线、对顶角一般用“”证明对应边之间的关系．请用倍长中线法解答下面问题：在中，，是边上的中线，点为射线上一动点．
(1)问题发现：如图1，点在上，，与相交于点，延长至点，使得，连接，求的值．
王林同学根据题意写出了如下不完整的求解过程，请补全其过程．
解：设，则 ；∵是边上的中线，∴；
∵在和中，∴（ ）
∴ = ，∴；∴；
又∵，∴；∴= ．
(2)类比探究如图2，点在的延长线上，与的延长线交于点，，求的值．
(3)拓展延伸在（2）的探究结论下，若，，求的长．
【答案】(1)，，，，(2)(3)
【详解】（1）解：如图所示，，
设，则，∵是边上的中线，∴，
∵在和中，，（）
∴， ∴，∴，
又∵，∴，∴．故答案是：，，，，．
（2）解：如图所示，是边上的中线，延长至点，使得，连接，
由（1）可知（），，，∴，，∴，
∵，设，则， ∴，，
∴，故答案是：．
（3）解：由（2）可知，，则，
在中，，且，
∵，∴，则，设，则，
由得，，解方程得，，∴，故答案是：．
【点睛】本题主要考查三角形中线变换问题，根据三角形中线性质构成三角形全等，相似，计算线段的长度，理解和掌握三角形全等、相似的性质是解题的关键．
12.（23-24九年级上·陕西西安·期中）阅读下面材料，完成以下两问：
数学课上，老师出示了这样一道题．如图，中，D为中点，且，M为中点，连接并延长交于N．探究线段之间的数量关系，并证明．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现线段之间存在某种数量关系”．
小强：“通过倍长不同的中线，可以得到不同的结论，但都是正确的”．
小伟：“通过构造、证明相似三角形、全等三角形，就可以将问题解决”．
(1)小伟在探索时，做法为：过B作交延长线于Q，构造．
请你按照他的做法，判断与之间的数量关系为：________
(2)如图（2）：延长至H，使，连接，则结论：是否成立？请说明理由；
(3)如图（3）,证明：．
【答案】(1)(2)成立，见解析(3)见解析
【分析】（1）过B作交延长线于Q，构造出全等三角形、相似三角形，再利用全等和相似的性质即可得出结论；
（2）延长至H，使，连接，可得，进一步可证得，得到，然后证明，即可得到结论：；
（3）延长至，使，连接，延长至，使，可得、四边形为平行四边形，进一步可证得，即可得到结论．
【详解】（1）解：过B作交延长线于Q，如图：∴，
∵D为中点，，∴，∴，
∵M为中点，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）证明：延长至H，使，连接，如图：
∵D为中点，，∴，∴，∴，
设，则，，∴，，
∴；∴，，∴，
∴，∴，∵，∴，
∴，∴；
（3）证明：延长至，使，连接，延长至，使，连接，如图：
∵在和中，， ∴，
∴，，∴，，∴四边形为平行四边形，
∴，∴，∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，，∴，
∴，，∴，∴；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，合理的添加辅助线是解题的关键．
13．（2024·广西贺州·一模）阅读与思考：下面是小王的数学改错本上的改错总结反思请仔细阅读，并完成相应的任务．
截长补短法：有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系．这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解，所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段长度与已知线段长度相等，然后证明其中的另一条线段与已知的另一条线段的数量关系，所谓“补短”，就是将一条已知的较短的线段延长至与另一条已知的较短的线段长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的数量关系．有的是采取截长补短法后，使之构成某种特定的三角形进行求解…．
如图1，四边形是的内接四边形，连接，．是的直径，．请说明线段，，之间的数量关系． 下面是该问题的部分解答过程： 解：．理由如下：∵是的直径，∴， ∵，∴． 如图2，过点A作交于点M， …．
任务：(1)补全解答过程；(2)如图3，四边形是的内接四边形，连接，．是的直径，，则线段，，之间的数量关系式是______．
【答案】(1)见解析(2)，见解析
【分析】（1）根据圆周角相等，，，继而得到，，结合，得到，从而证明，得到，解答即可．（2）过点A作交于点N，利用圆的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数值解答即可．
【详解】（1）解：∵是的直径，∴，∵，∴．
如图，过点A作交于点M，
根据圆周角定理得，，，
∴，∴，，
∵，∴，∴，
∵∴，∴，
∵，∴．
（2）．理由如下：∵是的直径，∴，
∵，∴，，∴．
如图，过点A作交于点N，根据圆周角定理，得，
∴，∴，∵，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值是解题的关键．
14．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．
（1）如图①，△是等边三角形，点是边下方一点，连结，且，探索线段之间的数量关系．
解题思路：延长到点，使，连接，根据，则，因为可证，易证得△≌△，得出△是等边三角形，所以，从而探寻线段之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出之间的数量关系是 ；
【拓展延伸】（2）如图②，在Rt△中，，．若点是边下方一点，，探索线段之间的数量关系，并说明理由；
【知识应用】
（3）如图③，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知所对直角边等于斜边一半，则的长为_____________cm．（结果无需化简）
【答案】（1）；（2）猜想： 证明见解析；（3）．
【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．
（2）延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，先证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，据此可得∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，继而可得2DA2=（DB+DC）2；
（3）由直角三角形的性质知QN=MN=1，MQ=，利用（2）中的结论知PQ=QN+QM=1+，据此可得答案．
【详解】解：（1）DA=DC+DB，理由：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=180°，
又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，∴∠DAC+∠CAE=60°，即∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，故答案为：DA=DC+DB；
（2）DA=DB+DC如图2，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，
∵∠BAC=90°，∠BDC=90°∴∠ABD+∠ACD=180°，
∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，CE=BD，
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC=90°，∴DA2+AE2=DE2，∴2DA2=（DB+DC）2，∴DA=DB+DC；
（3）如图3，连接PQ，
∵MN=2，∠QMN=30°，∴QN=MN=1，∴MQ=，
由（2）知PQ=QN+QM=1+，∴PQ=，故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
15．（2024·广东深圳·校考一模）问题：如图1，中，AB是直径，，点D是劣弧BC上任一点（不与点B、C重合），求证：为定值．
思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明．按思路完成下列证明过程．
证明：在AD上截取点E，使，连接CE．
运用：如图2，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，与y轴相交于B、C两点，且，连接AB、．(1)OB的长为___________．(2)如图3，过A、B两点作与y轴的负半轴交于点M，与的延长线交于点N，连接AM、MN，当的大小变化时，问的值是否变化，为什么 如果不变，请求出的值．
【答案】(1)1(2)不变，理由见解析
【分析】问题：在AD上截取AE=BD，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠CBD，然后证明△ACE≌△BCD，然后根据角的等量代换得出∠ECD=90°，进而得出△ECD为等腰直角三角形，用ED表示CD，因为ED=AD-BD最后即可得出结论；（1）连接O1A，过O1作O1H⊥BC于点H，根据垂径定理和勾股定理求出O1B的长度，根据切线的性质得出O1A⊥x轴，得到OH=5，进而即可得出结果；（2）在图2中先根据平行和O1A=O1B得出∠ABO1=∠ABO，然后在MB上取一点G，使MG=BN构造全等，证明△AMG≌△ANB，得到AG=AB，然后根据等腰三角形三线合一得出BG=2，再根据等量代换即可得到结论．
【问题详解】证明：如图1，在AD上截AE=BD，
在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠ACE=∠BCD，CE=CD，
∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠ECD=90°，∴△ECD是等腰直角三角形，∴CD=ED，
∵ED=AD-AE=AD-BD，∴=，即为定值；
【详解】（1）解：如图2，连接O1A，过O1作O1H⊥BC于点H，
∴CH=BH=4，O1H=3，O1A⊥x轴，∴O1B==5，∴O1A=O1B=5，
∴HO=5，∴OB=HO-HB=5-4=1，故答案为：1；
（2）解：BM-BN的值不变，如图2，由（1）得，O1A⊥OA，
∵OB⊥AO，∴O1A∥OB，∴∠O1BA=∠OBA，
∵O1A=O1B，∴∠O1BA=∠O1AB，∴∠ABO1=∠ABO，
如图3，在MB上取一点G，使MG=BN，连接AN，AG，
∵∠ABO1=∠ABO，∠ABO1=∠AMN，∴∠ABO=∠AMN，
∵∠ABO=∠ANM，∴∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，
在△AMG和△ANB中，，∴△AMG≌△ANB（SAS），∴AG=AB，
∵AO⊥BG，∴BG=2BO=2，∴BM-BN=BM-MG=BG=2，即BM-BN的值不变．
【点睛】本题考查圆的综合题，同弧所对的圆周角相等，两条半径所形成的三角形是等腰三角形，等腰三角形三线合一，垂径定理是解本题的必备知识，利用“截长补短”法证明全等是解本题的关键．
16．（2024·河南·模拟预测）【问题背景】在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系．
【初步探索】小晨同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______．
【探索延伸】在四边形中如图2，，，E、F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】如图3，在某次南海海域军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】[初步探索]：；[探索延伸]：成立，见解析；[结论运用]：216海里
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，内角和定理，方向角问题．
[初步探索]：根据题意可得，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案；
[探索延伸]：延长到G，使，连接，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案；
[结论运用]：连接，延长、交于点C，可得，再得，继而得到本题答案．
【详解】解：[初步探索]：；
∵，，∴，
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，
∵，∴，故答案为：；
[探索延伸]：结论仍然成立，理由如下：如图，延长到G，使，连接，
， ，
∵，，∴，
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，
∴，∴；
[结论运用]：如图，连接，延长、交于点C，
∵，，∴，
∵，，∴符合探索延伸中的条件，
∴结论成立，即海里．
答：此时两舰艇之间的距离是216海里．
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