1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
课程标准 学习目标
1.了解空间向量坐标的定义. 2.掌握空间向量的坐标运算，会计算向量的长度及两向量的夹角. 3.会利用向量的坐标关系，判定两个向量平行或垂直. 4.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置. 5掌握空间直角坐标系中两点之间的距离公式和中点坐标公式 1.掌握空间向量的线性运算的坐标表示:掌握空间向量数量积的坐标表示 2.掌握空间向量的模、夹角 3.掌握空间向量坐标与空间向量平行与垂直的关系
知识点01 正交基底与单位正交基底
正交基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底
单位正交基底 当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j,k}表示
【即学即练1】（22-23高二上·山东烟台·阶段练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量在基底下的坐标为得到，即可得到向量在基底下的坐标.
【详解】因为向量在基底下的坐标为，所以，所以向量在基底下的坐标为.
.
【即学即练2】（20-21高二·江苏·课后作业）已知为一个单位正交基底，试写出下列向量的坐标：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据向量的坐标表示直接写出坐标.
【详解】（1）
（2）
知识点02 空间直角坐标系
1.定义：如图，在空间选定一点0和一个单位正交基底{i，j，k}以0为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴，这是我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz。
其中点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别叫作xoy平面、yoz平面和xoz平面。
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
【即学即练3】（23-24高二上·上海·期中）如图所示，以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据已知先求坐标，再结合图形可得坐标，进而求得答案.
【详解】在长方体中，，为坐标原点，则，
因此，所以.
故答案为：
【即学即练4】（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，在长方体中，，，E、F分别为、的中点，分别以DA、DC、所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．求点E、F的坐标．
【答案】，
【分析】利用空间直角坐标系结合空间想象能力求解.
【详解】由题意，，，E、F分别为、的中点，∴，．
知识点03 空间直角坐标系中的点坐标
定义：对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即通过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R，点P， Q， R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组（x，y，z）叫作A点的坐标，记为A（x，y，z）。其中x，y，z分别叫作点A的横坐标，纵坐标，竖坐标。
【即学即练5】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据终点坐标减去起点坐标，即为所求向量的坐标，即可得解.
【详解】设，
则，
所以，解得，
所以点坐标为.
.
【即学即练6】（22-23高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据空间直角坐标系对称点的特征即可得对称点的坐标．
【详解】点关于轴的对称点为，
．
知识点04 空间向量的坐标运算
1.空间向量的坐标运算
（1）设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），则
①a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）
②a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2）
③λa=（λx1，λy1，λz1）(a∈R).
④若u，v是两个实数，ua＋vb(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；
⑤a·bx1x2＋y1y2＋z1z2；
⑥|a|；
⑦当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉．
(2)设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则=-=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）.即一个向量的
坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
2.空间向量平行、垂直的坐标表示
（1）已知空间向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，则a//bb=λax2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R).
(2)a⊥b a·b0 x1x2＋y1y2＋z1z20．
3.空间向量坐标的应用
(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP．
(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2．
【即学即练7】（23-24高一下·天津·阶段练习）已知，，，令，，则对应的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据空间向量坐标运算公式计算即可.
【详解】因为，，，
所以，，
所以.
【即学即练8】（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）已知向量则（ ）
A．－3 B．3 C．9 D．0
【答案】C
【分析】利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】因为，所以
.
难点：空间向量与动点问题
示例1：（多选）（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，为边的中点，点在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）．
A．不存在点，使得
B．过三点的正方体的截面面积为
C．若则点在正方形内运动轨迹长为
D．点在棱上，且，若，则点的轨迹是圆
【答案】AB
【分析】对于A，利用空间向量分析判断，对于B，取中点，连接，可得四点共面，然后求出其面积判断，对于C，利用空间向量可得点在正方形内运动轨迹为线段，对于D，利用空间向量得轨迹为圆：被四边形ABCD截得的4段圆弧.
【详解】对于A，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
若，则，即，与题意矛盾，所以A正确；
对于B，取中点，连接，
因为，所以可得四点共面，
所以过三点的正方体的截面为以为底的等腰梯形，过点作，
所以，所以梯形的高为，
所以，所以B正确，
对于C，设，则，
所以，
因为所以，即，
所以点在正方形内运动轨迹为线段，其长为，所以C错误，
对于D，，
即，可得轨迹为圆：，
所以圆心，
又，所以轨迹为圆：被四边形ABCD截得的4段圆弧，所以D错误.
B．
【点睛】关键点点睛：解题的关键是利用空间向量求出点的轨迹方程，由此即可顺利得解.
【题型1：空间向量的坐标表示】
例1．（23-24高二上·湖北·期末）已知点，直线DE平行所在的平面，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意设，从而得到方程组，求出答案.
【详解】，
由已知可得，所以，
所以，解得.
变式1．（23-24高二上·湖北武汉·期中）在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由对称性得出点坐标，进而得出.
【详解】点关于原点中心对称的点为，
则点关于轴对称的点为， .
变式2．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）若，，三点共线，则（ ）
A．4 B．-2 C．1 D．3
【答案】A
【分析】利用向量共线的坐标运算，求出即可.
【详解】若，，三点共线，
由，，则有，得，
解得，所以.
变式3．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（ ）
A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为
C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为
【答案】D
【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论.
【详解】由图可得，则点关于直线对称的点为，故A正确；
由于，所以点关于点对称的点为，故B正确；
点的坐标为，故C不正确；
由于点，则点关于平面对称的点为，故D正确.
.
变式4．（23-24高二上·山西运城·阶段练习）已知正方体的棱长为1，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则以下坐标表示的点在平面内的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间坐标系，标出点坐标，由共面向量定理得，存在唯一的有序实数对，使，依次验证即可.
【详解】在正方体中，以D为原点所在直线为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系；
则，则，
若点，在平面中，则由共面向量定理得，
存在唯一的有序实数对，使，所以，即，
在A中，代入点坐标，无解，故A错误；
在B中，代入点坐标，可解出，故B正确；
在C中，代入点坐标，无解，故C错误；
在D中，代入点坐标，无解，故D错误
变式5．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）设，，，，其中，，是两两垂直的单位向量，若，则实数，，的值分别是（ ）
A．1，，3 B．，1，
C．，1，3 D．，2，3
【答案】C
【分析】根据空间向量的坐标运算以及向量相等，即可求得答案.
【详解】由题意可分别以，，为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
则可得，
即得，解得，
变式6．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知空间向量，若共面，则 ．
【答案】6
【分析】
根据向量共面列方程，化简求得的值.
【详解】
若共面，则存在实数，使得，
即．
所以，解得．所以．
故答案为：
变式7．（23-24高二上·河北石家庄·期中）在空间直角坐标系中，若平行四边形ABCD的顶点，则顶点D的坐标为 ．
【答案】
【分析】设D的坐标为，根据，结合向量的坐标运算，即可求得答案.
【详解】设D的坐标为，
平行四边形ABCD的顶点，
故，即，
则，即D的坐标为，
故答案为：
变式8．（23-24高二上·山东聊城·阶段练习）已知直线经过，两点，直线上一点，使得，则点坐标 ．
【答案】
【分析】利用空间向量的坐标、向量的相等、向量的运算分析运算即可得解.
【详解】解：设，则，，
∴由得：，
∴，解得：，
∴点坐标为：.
故答案为：.
【题型2：空间向量的加减数乘与数量积】
例2．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，M为AB的中点，N为PD的中点.若PA=4，AB=2，则 .
【答案】
【分析】考虑到此题中条件适合建系，故通过建系后求出空间向量的坐标计算数量积即得.
【详解】
如图，由题意可以为轴的正方向建立空间直角坐标系.则,
因M为AB的中点，N为PD的中点，故,于是,，则.
故答案为：.
变式1．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知为原点，，，，点在直线上运动，则取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量表示出点坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解.
【详解】因点在直线上运动，则，设，于是有，
因为，，所以，，
因此，，
于是得
，
则当时，，此时点，
所以当取得最小值时，点的坐标为.
变式2．（23-24高二上·福建泉州·期末）四棱锥的底面为矩形，平面，在棱上，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设，求得向量，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】如图所示，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，由，设，
可得，则，
所以．
．
变式3．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在第五卷《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．已知在堑堵中，，，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系后计算即可得.
【详解】
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，，
∴，
，.
．
变式4．（多选）（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，求出向量的坐标，利用二次函数的基本性质可求出的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设，其中，
则，
，
所以，，
因为，则，所以，，
所以，，
D．
变式5．（23-24高二下·上海青浦·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面xOz的对称点为B，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，得到，求得，结合空间向量的数量积的坐标运算公式，即可求解.
【详解】在空间直角坐标系中，可得点关于平面xOz的对称点为，
则，所以.
故答案为：.
变式6．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）已知空间向量，则 .
【答案】
【分析】利用空间向量线性运算的坐标表示即可得解.
【详解】由，得.
故答案为：
变式7．（23-24高二下·上海·期中）已知，，则 .
【答案】
【分析】首先求出、的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，
所以，
，
所以.
故答案为：
变式8．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知向量，，，若，则实数 ．
【答案】
【分析】利用空间向量坐标运算以及数量积的坐标表示，可求出结果.
【详解】由，可得，
所以，
解得.
故答案为：
【方法技巧与总结】
关于空间向量坐标运算的两类问题
（1）直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.
（2）由条件求向量或点的坐标
首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程（组），解方程（组）求出其坐标..
【题型3：空间向量的模长】
例3．（23-24高二下·上海·期中）已知，则 .
【答案】
【分析】由空间向量的模长公式可直接求得答案.
【详解】因为，所以，
故答案为：.
变式1．（2024高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，，应用向量垂直的坐标表示可得，再应用向量模长的坐标表示及二次函数性质求最小值.
【详解】设，，且，，
∴，，又，
∴，即．
∵，
∴，
当且仅当时等号不成立.
变式2．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）在空间直角坐标系中，，点关于y轴的对称点为C，则=（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】根据空间坐标系中的对称性求得点的坐标，计算即得的坐标和模长.
【详解】因点关于y轴的对称点为，，
则，故.
.
变式3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出点P的轨迹结合函数求最值即可.
【详解】
依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设，
所以，
即，所以，
而，
由二次函数的单调性可知，
当时，，则.
变式4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量建立的函数关系求解即可.
【详解】三棱锥中，过作平面，由，知，
以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图，
由平面，得，则，
令，则，设，
于是，
当且仅当时取等号，所以线段的最小值为.
变式5．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）已知，.则 .
【答案】
【分析】应用空间向量加法和模的坐标公式计算即可.
【详解】根据题意，，
所以.
故答案为：
变式6．（23-24高二上·上海·期末）在空间直角坐标系中，点P坐标可记为：定义柱面坐标系，在柱面坐标系中，点P坐标可记为．如图所示，空间直角坐标与柱面坐标之间的变换公式为：,,．则在柱面坐标系中，点与点两点距离的最小值为 .
【答案】
【分析】先将两点的空间直角坐标求出来，结合向量的模、正弦函数的最值即可得解.
【详解】由题意点与点的空间直角坐标分别为，
所以，等号不成立当且仅当.
故答案为：.
变式7．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知向量，则 .
【答案】或
【分析】先求出，再求出，然后求出即可.
【详解】，
所以，解得或者，
故答案为：或
变式8．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面．
(1)当点M与点C重合时，求线段AP的长度；
(2)求线段AP长度的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，再由向量模长的坐标公式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由向量模长的坐标公式，代入计算，即可求解.
【详解】（1）如图，以D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标
系，则，，．
设，，则，，．因为平面，
所以得
当点M与点C重合时，，，此时，
则AP的长度为.
（2），
即线段AP长度的最小值为.
【题型4：空间向量的夹角】
例4．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知向量，.
(1)求；
(2)求；
(3)求.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】由空间向量的数量积，模长公式及夹角公式的坐标运算直接求解.
【详解】（1）;
（2）,
则；
（3），则
变式1．（23-24高二上·河南鹤壁·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设与夹角为，利用空间向量数量积坐标表示从而求解.
【详解】由题意得是空间的一个单位正交基底，
所以=，，
设与的夹角为，，
所以，故D项错误.
.
变式2．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）如图，在正方形中，点，分别是线段，上的动点，且，与交于G，在与之间滑动，但与和均不重合．现将四边形沿直线折起，使平面平面，在从滑动到的过程中，的大小（ ）
A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．不发生变化 D．由小变大
【答案】D
【分析】以为原点，，，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，，利用空间向量的数量积可判断.
【详解】设正方形的边长为，，
，，，，，
，，
，
由面面垂直关系可知，即角度不会发生变化，所以C正确；
.
变式3．（多选）（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，棱分别是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解ABD，根据等体积法即可求解C.
【详解】以为坐标原点，以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
由题意得,0,,,1,，．A正确
,0,,,1,,,0,,,1,,,0,,．
,,,,1,，,
故，B正确，
．，，所以．D正确
,故C错误，
BD
变式4．（多选）（23-24高二上·福建泉州·期中）在菱形纸片中，E，F分别为，的中点，O是菱形的中心，，，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，以O为原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据空间直角坐标系，写出对应点坐标可判定A、B、C，由空间向量的数量积公式求夹角可判定D .
【详解】由题意可知：，
所以，
则，，，
易知为钝角，所以.
综上A、C、D三项正确，B项错误.
CD
变式5．（24-25高二上·上海·随堂练习）若，，与的夹角为，则λ的值为 ．
【答案】/
【分析】根据空间向量的夹角公式计算即可.
【详解】因为，，与的夹角为，
所以，
解得，
故答案为：.
变式6．（2024高二上·全国·专题练习）已知向量，，若与夹角为，则的值为 ．
【答案】
【分析】利用空间向量夹角余弦的坐标表示得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】因为，，且与夹角为，
则，，，
所以，
由题可知，解得.
故答案为：.
变式7．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知， ，点在直线上运动，则的最大值为 .
【答案】
【分析】设，根据夹角公式，代入坐标运算，求其最值即可.
【详解】设，
则，
所以，
既然求最大值，必有，令，
则
，
当，即时取等号，所以的最大值为.
故答案为：.
【题型5：空间向量的投影】
例5．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得.
【详解】由向量，，得，而，
向量在向量上的投影向量.
变式1．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由空间点在坐标平面上投影的性质确定向量在平面上的投影向量.
【详解】若起点为原点，则终点为，该点在平面上投影坐标为，
所以向量在平面上的投影向量是.
变式2．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由投影向量的概念求解即可.
【详解】∵，
∴，，
∴在上的投影向量为，
.
变式3．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）如图，圆台的轴截面为等腰梯形在上底面的圆周上，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】连接，以点为原点建立空间直角坐标系，如图所示，根据空间向量数量积的坐标公式及投影向量的定义即可得解.
【详解】如图，连接，则底面圆，
以点为原点建立空间直角坐标系，如图所示，
不妨设圆台的高为，，则，
故，
则，
所以，
所以在上的投影向量为.
.
变式4．（多选）（23-24高二上·江苏盐城·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则（ ）
A．
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．
D．在上的投影向量的模为
【答案】CC
【分析】根据向量的模、向量的夹角、向量的数量积及投影向量判断选项即可.
【详解】因为，故A错误；
因为，所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，故B正确；
因为，故C正确；
由投影向量的定义知，在上的投影向量的模为，故D错误.
C
变式5．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为 ．
【答案】
【分析】先求出向量在方向上的投影,再求出与同向的单位向量，进而求出向量在方向上的投影向量.
【详解】由题意，向量在方向上的投影为：，，
则与同向的单位向量为，
所以向量在方向上的投影向量为：.
故答案为：
变式6．（23-24高二上·福建莆田·阶段练习）已知向量在向量上的投影向量是，且，则 .
【答案】/
【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，则，且向量在向量上的投影向量为，
即，
所以.
故答案为：
变式7.（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为，为棱上的动点，则在方向上的投影向量的模的取值范围为 ．
【答案】
【分析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中，利用空间向量数量积的坐标运算可求得在方向上的投影向量的模的取值范围.
【详解】在正方体中，以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、，设点，其中，
所以，，，
所以，在方向上的投影向量的模为
.
故答案为：.
【题型6：空间向量的平行、垂直与锐角、钝角问题】
例6．（23-24高二下·江苏连云港·期中）设，向量 且，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由空间向量垂直和平行的坐标表示计算即可.
【详解】因为，
所以，
又，
所以设，即，
所以，
.
变式1．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示结合充分、必要条件分析求解.
【详解】若，则，解得，
显然“”可以推出“”， “”不可以推出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件.
.
变式2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知空间向量、，若，则 ．
【答案】1
【分析】依题意可得，从而得到方程组，解得即可.
【详解】因为、且，
所以，则，即，解得，
所以.
故答案为：
变式3．（23-24高二下·湖北·开学考试）已知，，其中，，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】
根据向量垂直的坐标形式可得的等量关系，利用基本不等式可求的最小值.
【详解】因为，故即，
故，
当且仅当时等号不成立，故的最小值为，
故答案为：.
变式4．（23-24高二上·辽宁大连·期末）若空间向量，，向量、夹角为锐角，则的取值范围是
【答案】
【分析】依题意可得且与不同向，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为向量，，且、夹角为锐角，
所以且与不同向，
当时，则，解得，
当与同向时，则，即，解得，
综上可得或，即的取值范围是.
故答案为：
变式5．（22-23高二下·江苏·课后作业）若，，若与的夹角是钝角，则t的值的取值范围为 .
【答案】
【分析】由与的夹角是钝角转化为且与不反向.
【详解】已知，，
因为与的夹角是钝角，所以，即，
即，解得.
若与的夹角为180°，则存在，使，
所以，解得，.
所以，且.
故的取值范围是.
变式6．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三点，，，设，.
(1)已知，求的值；
(2)若，且∥，求的坐标.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）问题转化为，求.
（2）根据向量的模的计算和向量共线，求的坐标.
【详解】（1）由题知，，
所以，
因为，
所以 .
（2）因为∥， ，
所以，，
因为，所以，解得 ，
所以或.
变式7．（22-23高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知，且.
(1)求；
(2)求向量与夹角的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据求出坐标，进而求出的坐标，则模可求；
（2）求出坐标，然后求数量积，根据数量积可得夹角.
【详解】（1） ，
，
；
（2）由（1）可得，
，
向量与垂直，
即向量与夹角的大小为.
变式8．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）已知，，，，，
(1)若、共线，求实数；
(2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的模长公式以及可求出、的值，可得出向量、的坐标，根据、共线，可得出关于实数的不等式，解之即可；
（2）分析可知以及、不共线，结合空间向量的坐标运算可求得实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为，，，，，
则，可得，，解得，
所以，，所以，，
因为，所以，解得．
（2）解；由（1）知，，，
因为向量与所成角为锐角，
所以，解得，
又当时，，
所以实数的范围为．
【题型7：最值与取值范围问题】
例7．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】利用空间向量法解决线面平行，得到，再利用代换1法，来求最小值.
【详解】由得：，
所以
因为，所以，
所以，当且仅当等号不成立，
.
变式1.（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）如图，在四棱锥中，⊥平面，四边形是正方形，且，E，F分别为的三等分点，若P为底面上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】证明线面垂直，得到线线垂直，建立空间直角坐标系，推出点在上时，取得最小值，作出点的对称点，由几何关系得到最小值，求出答案.
【详解】因为⊥平面，平面，
所以⊥，⊥，
又四边形是正方形，所以⊥，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
过点分别为⊥，⊥于点，
则⊥平面，⊥平面，
过点作⊥于点，连接，
则，，
，其中，
故要想取得最小值，则，即只需点在上，
其中关于直线的对称点为，
连接，此时取得最小值，最小值为，
其中.
变式2．（多选）（23-24高二上·浙江·期中）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若 ，则
C．的最大值2 D．的最小值
【答案】AB
【分析】利用向量数量积运算的坐标表示，即可判断选项.
【详解】A.若，则，得，故A正确；
B.若 ，则，即，得
，解得：，故B正确；
CD.，当时，的最小值2，故CD错误；
B
变式3．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是 ．
【答案】/
【分析】
令，根据题设，，进而有，利用数量积的坐标表示及二次函数性质求取得最小值时对应参数值，即可得结果.
【详解】由题设，，则，，
令，则，所以，则，
故，
所以
，
故当时，取得最小值，此时坐标为.
故答案为：
变式4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在棱长为3的正方体中，点E满足，点F在平面内，则|的最小值为 .
【答案】
【分析】以点D为原点，建立空间直角坐标系，由线面垂直的判定定理，证得平面，记与平面交于点H，连接，，，得到，结合点关于平面对称的点为，进而求得的最小值.
【详解】以点D为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，
因为，，且，则平面，
又因为平面，所以，
同理得平面，因为平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
记与平面交于点H，连接，，，且，
则，可得，
由得点关于平面对称的点为，
所以的最小值为.
故答案为：.
变式5．（23-24高二上·河北衡水·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，底面，点、分别为、的中点，若线段上存在点，使得，则线段的长度最小值为 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，设且，求得，结合，列出方程，利用基本不等式，即可求解.
【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，设，，
则，
则，
因为，所以，
则，当且仅当时，即时，等号不成立，
所以，即，所以长度的最小值为.
故答案为：.
变式6．（23-24高二下·上海·阶段练习）在空间直角坐标系中，有两点是平面上任意一点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】求出点关于平面的对称点，再根据即可得解.
【详解】如图，点关于平面的对称点为，
则，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
变式7．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知，向量，且满足
(1)求点的坐标；
(2)若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，由向量共线列方程组，解出即可；
（2）由向量的坐标运算分别求出，再由坐标计算结合二次函数求出最值即可；
【详解】（1）设，则，
因为．
所以，解得．
所以；
（2）因为点在直线为坐标原点）上运动，
所以．
所以，
．
所以
．
当时，取得最小值．
．
一、单选题
1．（河南省开封市2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题）已知，，且，则（ ）
A． B． C．2 D．6
【答案】C
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示，列方程求.
【详解】因为，，，
所以，所以.
.
2．（23-24高一下·湖南·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的坐标运算即可.
【详解】由题意可得.
.
3．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点关于平面的对称点是分析求解.
【详解】由题意可知：点关于平面的对称点是.
.
4．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量：，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的坐标运算直接求解即可.
【详解】因为，，
所以
，
5．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知向量，，向量在向量上的投影向量为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据投影向量的公式计算即可.
【详解】向量在向量上的投影向量为
6．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知空间三点，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求得两向量的坐标，利用向量的夹角公式可求与的夹角.
【详解】∵，
，
∴结合向量夹角范围易知：与的夹角为．
7．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知向量，，若，，三点共线，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据条件得到，再利用向量相等，即可求出结果.
【详解】因为，，三点共线，则，又向量，，
所以，解得，
.
8．（23-24高二下·福建漳州·期末）已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由题意得与不共线，所以由空间向量共面定理可知存在实数，使，然后将坐标代入化简可求出的值.
【详解】因为
所以与不共线，
所以存在实数，使，
所以，
所以，解得.
二、多选题
9．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知向量，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则向量在向量上的投影向量
【答案】ACD
【分析】代入的值，得到向量的坐标，利用向量的坐标运算，判断向量的平行垂直，求向量夹角的余弦和投影向量的坐标.
【详解】向量
若，则，，所以，A选项正确；
若，，，不满足则，B选项错误；
若，，则，C选项正确；
若，，则向量在向量上的投影向量:
，D选项正确.
CD
10．（23-24高二上·重庆·期末）给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．任意向量，，满足
B．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是
C．已知，，，为空间向量的一个基底，则向量，，能共面
D．已知，，，则向量在向量上的投影向量是
【答案】CC
【分析】
根据向量的数量积的几何意义，可判定A错误；根据空间直角坐标系的特征，可判定B正确；根据共面向量定理，可判定C正确；根据投影向量的计算方法，可判定D错误.
【详解】对于A中，根据向量的数量积的定义知，
所以与分别表示与向量和向量共线的向量，
又因为向量和不一定共线，所以A不正确；
对于B中，根据空间直角坐标系的特征，点关于坐标平面的对称点是，所以B正确；
对于C中，由向量，，，
设，即，
可得，此时，即，所以向量，，能共面，所以C正确；
对于D中，由，，，
可得，则，
所以向量在向量上的投影向量为，所以D错误.
C.
11．（23-24高二上·广东揭阳·阶段练习）下面四个结论正确的是（ ）
A．向量，若，则
B．若空间四个点，，则三点共线
C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D．已知向量，，若，则为钝角
【答案】ABC
【分析】由向量的数量积的定义及运算，可判定A正确；由空间向量的共面定理，可判定B正确；由空间向量的基底的定义，可判定C正确；根据向量的数量积运算公式和向量的夹角的定义，可判定D错误.
【详解】对于A中，根据向量的数量积的定义，若，则，所以A正确；
对于B中，由，则，
即，因为与有公共点，所以三点共线，所以B正确；
对于C中，因为是空间的一组基底，则向量不共面，
由，令，即，此时方程无解，所以不共面，
所以也是空间的一组基底，所以C正确．
对于D中，若为钝角，可得，且与不共线，
由向量，，若，可得，解得，
当与共线时，设，即，可得，解得
所以，当与不共线得，所以当且时，为钝角，所以D错误.
BC.
三、填空题
12．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知，则向量在上的投影向量的坐标是 .
【答案】
【分析】
根据投影向量的知识求得正确答案.
【详解】，，
所以向量在上的投影向量的坐标是：
.
故答案为：
13．（22-23高二上·北京·阶段练习）若异面直线的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于 ．
【答案】/
【分析】利用空间向量的数量积与模长公式计算夹角即可.
【详解】设异面直线与的夹角为，则，
.
故答案为：
14．（22-23高二上·北京丰台·阶段练习）已知空间向量，则 ， ．
【答案】
【分析】利用向量的坐标运算计算即可.
【详解】因为，
所以，，，
所以，.
故答案为：；.
四、解答题
15．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知空间三点，，，设，．
(1)若与互相垂直，求实数的值；
(2)若，，求．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根据空间向量垂直得到方程，求出答案；
（2）设，根据平行和模长得到方程组，求出答案.
【详解】（1），
故，
，
因为互相垂直，所以，
解得或；
（2），
设，则且，
解得或，
故或；
16．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知空间中三点，，，设，．
(1)若，且，求向量；
(2)已知向量与互相垂直，求的值；
(3)若点在平面上，求的值．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）由向量的坐标表示共线和模长计算求出即可；
（2）由向量垂直的坐标表示求出参数即可；
（3）由点在平面上，设，解方程组求出即可.
【详解】（1），设，
因为，而，所以；
故或
（2），，，
由与互相垂直得：，
解得.
（3）点在平面上，，
，
，
解得：.
17．（23-24高二上·广西玉林·阶段练习）已知．
(1)求实数的值；
(2)求与夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量平行，设，进而得到方程组，求出，根据向量垂直得到，求出；
（2）先计算出，，从而利用向量夹角公式求出答案.
【详解】（1）因为，所以设，
即，所以，解得，
故
又，所以，即，
解得．
（2）由（1）得，，
设与的夹角为，
因为，
所以与夹角的余弦值为.
18．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，顶点位于坐标原点，若是棱的中点，是侧面的中心．
(1)求点，的坐标及；
(2)求向量在方向上的投影向量．
【答案】(1)，，；
(2)．
【分析】（1）利用给定的图形直接求出点，的坐标，再利用向量的坐标表示并求出模作答.
（2）求出的坐标，再利用投影向量的意义求解作答.
【详解】（1）在棱长为1的正方体中，棱的中点，侧面的中心，
因此，所以.
（2）依题意，，，则，，，
所以向量在方向上的投影向量为.
19．（21-22高二·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，，，．
(1)若点F为DC的中点，求；
(2)若点E为PB的中点，点M为AB上一点，当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）可证，再建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标后可求夹角的余弦值.
（2）设，则可用表示的坐标，再利用可求，从而可得两条线段的比值.
【详解】（1）因为为等腰直角三角形，，，所以，
又，，所以．
而，，故，
因，平面，故平面.
以点C为原点，CP，CD所在直线分别为x，z轴，过点C作PB的平行线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则，，，，．
则，，
所以．
（2）由（1）知，设，
而，所以，
所以，所以，
又，
因为，故，
所以，解得，
所以．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
课程标准 学习目标
1.了解空间向量坐标的定义. 2.掌握空间向量的坐标运算，会计算向量的长度及两向量的夹角. 3.会利用向量的坐标关系，判定两个向量平行或垂直. 4.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置. 5掌握空间直角坐标系中两点之间的距离公式和中点坐标公式 1.掌握空间向量的线性运算的坐标表示:掌握空间向量数量积的坐标表示 2.掌握空间向量的模、夹角 3.掌握空间向量坐标与空间向量平行与垂直的关系
知识点01 正交基底与单位正交基底
正交基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底
单位正交基底 当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j,k}表示
【即学即练1】（22-23高二上·山东烟台·阶段练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练2】（20-21高二·江苏·课后作业）已知为一个单位正交基底，试写出下列向量的坐标：
(1)；
(2)．
知识点02 空间直角坐标系
1.定义：如图，在空间选定一点0和一个单位正交基底{i，j，k}以0为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴，这是我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz。
其中点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别叫作xoy平面、yoz平面和xoz平面。
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
【即学即练3】（23-24高二上·上海·期中）如图所示，以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 ．
【即学即练4】（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，在长方体中，，，E、F分别为、的中点，分别以DA、DC、所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．求点E、F的坐标．
知识点03 空间直角坐标系中的点坐标
定义：对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即通过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R，点P， Q， R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组（x，y，z）叫作A点的坐标，记为A（x，y，z）。其中x，y，z分别叫作点A的横坐标，纵坐标，竖坐标。
【即学即练5】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练6】（22-23高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（ ）
A． B． C． D．
知识点04 空间向量的坐标运算
1.空间向量的坐标运算
（1）设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），则
①a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）
②a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2）
③λa=（λx1，λy1，λz1）(a∈R).
④若u，v是两个实数，ua＋vb(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；
⑤a·bx1x2＋y1y2＋z1z2；
⑥|a|；
⑦当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉．
(2)设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则=-=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）.即一个向量的
坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
2.空间向量平行、垂直的坐标表示
（1）已知空间向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，则a//bb=λax2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R).
(2)a⊥b a·b0 x1x2＋y1y2＋z1z20．
3.空间向量坐标的应用
(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP．
(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2．
【即学即练7】（23-24高一下·天津·阶段练习）已知，，，令，，则对应的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练8】（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）已知向量则（ ）
A．－3 B．3 C．9 D．0
难点：空间向量与动点问题
示例1：（多选）（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，为边的中点，点在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）．
A．不存在点，使得
B．过三点的正方体的截面面积为
C．若则点在正方形内运动轨迹长为
D．点在棱上，且，若，则点的轨迹是圆
【题型1：空间向量的坐标表示】
例1．（23-24高二上·湖北·期末）已知点，直线DE平行所在的平面，则（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24高二上·湖北武汉·期中）在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则（ ）
A． B． C． D．
变式2．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）若，，三点共线，则（ ）
A．4 B．-2 C．1 D．3
变式3．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（ ）
A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为
C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为
变式4．（23-24高二上·山西运城·阶段练习）已知正方体的棱长为1，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则以下坐标表示的点在平面内的是（ ）
A． B． C． D．
变式5．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）设，，，，其中，，是两两垂直的单位向量，若，则实数，，的值分别是（ ）
A．1，，3 B．，1，
C．，1，3 D．，2，3
变式6．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知空间向量，若共面，则 ．
变式7．（23-24高二上·河北石家庄·期中）在空间直角坐标系中，若平行四边形ABCD的顶点，则顶点D的坐标为 ．
变式8．（23-24高二上·山东聊城·阶段练习）已知直线经过，两点，直线上一点，使得，则点坐标 ．
【题型2：空间向量的加减数乘与数量积】
例2．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，M为AB的中点，N为PD的中点.若PA=4，AB=2，则 .
变式1．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知为原点，，，，点在直线上运动，则取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（23-24高二上·福建泉州·期末）四棱锥的底面为矩形，平面，在棱上，，则（ ）
A． B． C． D．
变式3．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在第五卷《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．已知在堑堵中，，，则（ ）
A． B．1 C． D．
变式4．（多选）（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（23-24高二下·上海青浦·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面xOz的对称点为B，则 ．
变式6．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）已知空间向量，则 .
变式7．（23-24高二下·上海·期中）已知，，则 .
变式8．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知向量，，，若，则实数 ．
【方法技巧与总结】
关于空间向量坐标运算的两类问题
（1）直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.
（2）由条件求向量或点的坐标
首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程（组），解方程（组）求出其坐标..
【题型3：空间向量的模长】
例3．（23-24高二下·上海·期中）已知，则 .
变式1．（2024高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）在空间直角坐标系中，，点关于y轴的对称点为C，则=（ ）
A． B． C．3 D．
变式3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）已知，.则 .
变式6．（23-24高二上·上海·期末）在空间直角坐标系中，点P坐标可记为：定义柱面坐标系，在柱面坐标系中，点P坐标可记为．如图所示，空间直角坐标与柱面坐标之间的变换公式为：,,．则在柱面坐标系中，点与点两点距离的最小值为 .
变式7．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知向量，则 .
变式8．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面．
(1)当点M与点C重合时，求线段AP的长度；
(2)求线段AP长度的最小值．
【题型4：空间向量的夹角】
例4．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知向量，.
(1)求；
(2)求；
(3)求.
变式1．（23-24高二上·河南鹤壁·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）如图，在正方形中，点，分别是线段，上的动点，且，与交于G，在与之间滑动，但与和均不重合．现将四边形沿直线折起，使平面平面，在从滑动到的过程中，的大小（ ）
A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．不发生变化 D．由小变大
变式3．（多选）（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，棱分别是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
变式4．（多选）（23-24高二上·福建泉州·期中）在菱形纸片中，E，F分别为，的中点，O是菱形的中心，，，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，以O为原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A． B．
C． D．
变式5．（24-25高二上·上海·随堂练习）若，，与的夹角为，则λ的值为 ．
变式6．（2024高二上·全国·专题练习）已知向量，，若与夹角为，则的值为 ．
变式7．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知， ，点在直线上运动，则的最大值为 .
【题型5：空间向量的投影】
例5．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）如图，圆台的轴截面为等腰梯形在上底面的圆周上，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
变式4．（多选）（23-24高二上·江苏盐城·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则（ ）
A．
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．
D．在上的投影向量的模为
变式5．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为 ．
变式6．（23-24高二上·福建莆田·阶段练习）已知向量在向量上的投影向量是，且，则 .
变式7.（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为，为棱上的动点，则在方向上的投影向量的模的取值范围为 ．
【题型6：空间向量的平行、垂直与锐角、钝角问题】
例6．（23-24高二下·江苏连云港·期中）设，向量 且，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
变式1．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
变式2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知空间向量、，若，则 ．
变式3．（23-24高二下·湖北·开学考试）已知，，其中，，若，则的最小值为 ．
变式4．（23-24高二上·辽宁大连·期末）若空间向量，，向量、夹角为锐角，则的取值范围是
变式5．（22-23高二下·江苏·课后作业）若，，若与的夹角是钝角，则t的值的取值范围为 .
变式6．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三点，，，设，.
(1)已知，求的值；
(2)若，且∥，求的坐标.
变式7．（22-23高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知，且.
(1)求；
(2)求向量与夹角的大小.
变式8．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）已知，，，，，
(1)若、共线，求实数；
(2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围．
【题型7：最值与取值范围问题】
例7．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
变式1.（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）如图，在四棱锥中，⊥平面，四边形是正方形，且，E，F分别为的三等分点，若P为底面上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（多选）（23-24高二上·浙江·期中）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若 ，则
C．的最大值2 D．的最小值
变式3．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是 ．
变式4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在棱长为3的正方体中，点E满足，点F在平面内，则|的最小值为 .
变式5．（23-24高二上·河北衡水·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，底面，点、分别为、的中点，若线段上存在点，使得，则线段的长度最小值为 .
变式6．（23-24高二下·上海·阶段练习）在空间直角坐标系中，有两点是平面上任意一点，则的最小值为 .
变式7．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知，向量，且满足
(1)求点的坐标；
(2)若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标．
一、单选题
1．（河南省开封市2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题）已知，，且，则（ ）
A． B． C．2 D．6
2．（23-24高一下·湖南·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量：，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知向量，，向量在向量上的投影向量为（ ）．
A． B．
C． D．
6．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知空间三点，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知向量，，若，，三点共线，则（ ）
A． B． C．2 D．3
8．（23-24高二下·福建漳州·期末）已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知向量，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则向量在向量上的投影向量
10．（23-24高二上·重庆·期末）给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．任意向量，，满足
B．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是
C．已知，，，为空间向量的一个基底，则向量，，能共面
D．已知，，，则向量在向量上的投影向量是
11．（23-24高二上·广东揭阳·阶段练习）下面四个结论正确的是（ ）
A．向量，若，则
B．若空间四个点，，则三点共线
C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D．已知向量，，若，则为钝角
三、填空题
12．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知，则向量在上的投影向量的坐标是 .
13．（22-23高二上·北京·阶段练习）若异面直线的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于 ．
14．（22-23高二上·北京丰台·阶段练习）已知空间向量，则 ， ．
四、解答题
15．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知空间三点，，，设，．
(1)若与互相垂直，求实数的值；
(2)若，，求．
16．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知空间中三点，，，设，．
(1)若，且，求向量；
(2)已知向量与互相垂直，求的值；
(3)若点在平面上，求的值．
17．（23-24高二上·广西玉林·阶段练习）已知．
(1)求实数的值；
(2)求与夹角的余弦值．
18．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，顶点位于坐标原点，若是棱的中点，是侧面的中心．
(1)求点，的坐标及；
(2)求向量在方向上的投影向量．
19．（21-22高二·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，，，．
(1)若点F为DC的中点，求；
(2)若点E为PB的中点，点M为AB上一点，当时，求的值．
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