1.2.5空间中的距离
课程标准 学习目标
1．理解图形与图形之间的距离的概念.，提升学生的数学抽象素养 2．理解并掌握两点之间、点到直线的距离的概念及它们之间的相互转化,会用法向量求距离:提升学生的数学抽象数学运算的素养、 1.能用向量方法进行有关距离的计算 2.能用向量方法求点到面的距离
知识点01 两点间的距离
1.两点间距离A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），
|AB|=
2用向量表示 两点间距离=(,,),|AB|=
【即学即练1】（2024高二下·江苏·学业考试）已知点，则=（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】根据两点间距离公式计算即可.
【详解】由已知点的坐标应用两点间距离公式可得.
.
【即学即练2】（23-24高二上·宁夏·阶段练习）如图，已知线段在平面内，，且，则 .
【答案】
【分析】根据空间向量的线性表示，结合模长公式，即可求解.
【详解】由于，在平面内，所以,又
所以,
由于,所以,
所以，
故答案为：
知识点02 点到直线的距离
定义：若P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d==
设e是直线l的方向向量，则点P到直线l的距离为d=||sin<,e>
【即学即练3】（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知空间向量，，则B点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用点到直线的空间向量距离公式求出答案.
【详解】，，故在上的投影向量的模为，
故B点到直线的距离为.
【即学即练4】（23-24高二上·福建福州·期末）已知向量，则点A到直线的距离为 ．
【答案】1
【分析】根据点到直线距离公式求出答案.
【详解】在方向上投影向量的模为，
所以点A到直线的距离．
故答案为：1
知识点03 点到平面的距离
定义：若P是平面α外一点，PQ⊥α，垂足为Q，A 为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，点P到平面α的距离d=
【即学即练5】（17-18高二上·陕西·期中）已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）
A．10 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】利用向量法求点到平面的距离公式即可求解.
【详解】由题得，
所以到平面的距离为，
.
【即学即练6】（23-24高二下·江苏·单元测试）已知平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为 .
【答案】
【分析】根据点到面距离空间向量公式进行求解即可.
【详解】因为，，
所以到平面的距离，
故答案为：
知识点04 线面间的距离
1.定义：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离，
2.公式：如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d．
【即学即练7】（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，
所以,
设平面的法向量为，则
，令，则，
因为，平面，平面，
所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离，
所以直线到平面的距离为 .
.
【即学即练8】（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点．
(1)求直线与所成角的余弦值；
(2)求直线到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，进而根据向量夹角公式计算即可；
（2）利用向量法求线面距离作答即可.
【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
所以直线与所成角的余弦值为.
（2）由（1）知，，，，，
显然，所以，
而平面，平面，于是平面，
因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，
设平面的法向量为，
则，令，得，
所以点到平面的距离为，
所以直线FC到平面的距离是.
知识点05 面面间的距离
1.定义：当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．
2.公垂线段：一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的 公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段．显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长.
3.公式：如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d．
【即学即练9】（22-23高二·全国·随堂练习）已知正方体的棱长均为1．
(1)求到平面的距离；
(2)求平面与平面之间的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，从而利用点到平面距离的公式进行求解；
（2）求出平面的法向量，得到平面与平面平行，从而转化为点到平面距离，利用公式进行求解即可.
【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
故平面的法向量为，
则到平面的距离为；
（2）则，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
故平面的法向量为，
由于，故平面与平面平行，
则平面上任意一点到平面的距离即为平面与平面之间的距离，
不妨求点到平面的距离，
故平面与平面之间的距离为.
【即学即练10】（2022高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求：
(1)求直线到平面的距离；
(2)求平面与平面间的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用向量求解可得；
（2）平面与平面间的距离等于点到平面的距离，利用向量法求解即可．
【详解】（1）以D为原点，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则
所以，所以，即，
又平面，平面，所以平面，
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离．
设平面的一个法向量为，
则，令，则，又，
所以点到平面的距离.
（2）由（1）知平面，同理，平面，
又，平面，
所以平面平面，
即平面与平面间的距离等于点到平面的距离．
由（1）知，点到平面的距离.
所以平面与平面间的距离为.
难点：建系有难度问题
示例1：（2023·福建龙岩·统考二模）三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为．
(1)求侧棱的长；
(2)侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）证明平面，结合题目条件，先计算出的值，然后即可以求得侧棱的长；
（2）建立空间直角坐标系，设未知数，结合题目条件，列出方程求解，即可得到本题答案.
【详解】（1）在平面内过作，垂足为，
因为侧面为矩形，所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
易得，面，平面平面，
所以平面，
因为，所以，
因为，，所以；
（2）存在点满足题意，，理由如下：
如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，则，
故，，
设平面的法向量为
则即，令，则，
故平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，解得，
故存在点E满足题意，所以.
难点：几何的应用
示例2：（2023·四川成都·校联考二模）如图，平面平面，四边形为矩形，为正三角形，，为的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)已知四棱锥的体积为，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）利用平面几何知识结合已知条件可以证明，再利用面面垂直的性质进一步证明，
结合线面垂直、面面垂直的判定定理即得证.
（2）不妨设，则点到平面的距离即为的长度，结合附加条件四棱锥的体积为可以求得所有棱长，最终利用平面几何知识即可求解.
【详解】（1）一方面：因为为正三角形且为的中点，所以（三线合一），
又因为平面平面且平面平面，并注意到平面，
所以由面面垂直的性质可知平面，
又因为平面，
所以由线面垂直的性质可知；
另一方面：由题意不妨设，则，
因为为正三角形且为的中点，所以，，
所以，且，注意到与均为锐角，
所以，不妨设，
因为，
所以，即.
综合以上两方面有且，
注意到，平面，平面，
所有由线面垂直的判定有平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）由（1）可知平面，则点到平面的距离即为的长度，
一方面梯形的面积为，，
所以有四棱锥的体积为，
另一方面由题可知四棱锥的体积为，
结合以上两方面有，解得，
因为，所以，由（1）可知，
所以，所以，
所以.
【题型1：两点间的距离】
例1．（22-23高二上·山西运城·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】设是底面正的中心，平面，，以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离用空间向量法求异面直线的距离．
【详解】如图，是底面正的中心，平面，平面，则，
，则，又，，
，直线交于点，，
以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，，
，
设与和都垂直，
则，取，则，，
P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离等于．
．
变式1. （21-22高二上·安徽合肥·期中）如图正四棱柱中，，.动点，分别在线段，上，则线段长度的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出异面直线、的公垂线的长度，即为所求.
【详解】由题意可知，线段长度的最小值为异面直线、的公垂线的长度.
如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则点、、、，
所以，，，，
设向量满足，，
由题意可得，解得，取，则，，
可得，
因此，.
故选：.
变式2. （22-23高二上·浙江杭州·期中）两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和A，F，使，且已知，则线段的长为 ．
【答案】或
【分析】利用空间向量线性运算得到，结合空间向量数量积的运算法则及模的运算即可得解，注意的夹角有两种情况.
【详解】由题意，得，
所以，
因为，所以，，
因为，所以，则，同理：，
因为异面直线a，b所成的角为，
当的夹角为时，，
所以，则，即，故；
当的夹角为时，，
所以，则，故；
综上：线段的长为或.
故答案为：或.
.
变式3. （22-23高二上·辽宁沈阳·开学考试）正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为分别是异面直线和上的任意一点，则间距离的最小值为 .
【答案】
【分析】利用空间向量法求出异面直线和的距离，即可得解.
【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则、，，，
所以，，，
设且，即，令，则，，所以，
所以异面直线和的距离，
所以、间距离的最小值为；
故答案为：
变式4. （21-22高二上·江苏镇江·期中）已知在边长为6的正方体中，点分别为线段和上的动点，当 时，线段取得最小值 .
【答案】
【分析】根据题意，设，线段取得最小值，此时满足，再根据向量法求解即可.
【详解】解： 如图，建立空间直角坐标系，则，，，
，
设，线段取得最小值，此时满足.
所以，
，
所以，即，解得，
此时
所以当时，线段取得最小值，最小值为
故答案为：；.
变式5. （20-21高二·全国·单元测试）已知，，点在轴上，点在直线上，则线段长的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图将点放在棱长为的正方体中，建系如图，取，根据题意求异面直线和之间的距离即可，先求和的公垂线的方向向量，再利用公式计算即可求解.
【详解】如图：在棱长为的正方体中，以为原点，建系如图：
则，，，，
所以，，
因为点在轴上，点在直线上，
求线段长的最小值也即是求异面直线和之间的距离，
设直线和的公垂线的方向向量，
由 可得：，令，则，
所以，
因为，
所以异面直线和之间的距离为
，
即线段长的最小值为，
故答案为：.
变式6. （2021高二上·全国·专题练习）在如图所示的实验装置中，正方形框架的边长都是，且平面平面，活动弹子分别在正方形对角线上移动，若，则长度的最小值为 ．
【答案】
【分析】的最小值即为两条异面直线间的距离，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设异面直线的公垂向量为，由距离公式可求得答案.
【详解】分别是异面直线上的点，的最小值即为两条异面直线间的距离，
平面 平面，，平面平面，平面，
又，两两垂直．以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则， ，
设异面直线的公垂向量为，则,
令，则，，
，即的最小值为．
故答案为：
变式7. （20-21高二上·山东泰安·期中）如图所示，在正四棱柱中，，，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是 ．
【答案】
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出异面直线、的公垂线的长度，即为所求.
【详解】由题意可知，线段长度的最小值为异面直线、的公垂线的长度.
如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则点、、、，
所以，，，，
设向量满足，，
由题意可得，解得，取，则，，
可得，
因此，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将长度的最小值转化为异面直线、的距离，实际上就是求出两条异面直线的公垂线的长度，利用空间向量法求出两条异面直线间的距离，首先要求出两条异面直线公垂线的一个方向向量的坐标，再利用距离公式求解即可.
变式8. （18-19高二下·江苏常州·期中）如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形是上底面正中间一个正方形，正方形是下底面最大的正方形，已知点是线段上的动点，点是线段上的动点，则线段长度的最小值为 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出目标的表达式，从而可得最小值.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，
则 ,
设,,.
,.
,
当且时，取到最小值，所以线段长度的最小值为.
【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量求解距离的最值问题时，一般是把目标式表示出来，结合目标式的特征，选择合适的方法求解最值.
【方法技巧与总结】
计算两点间的距离的两种方法
1.利用|a|2a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用||求解．
2.用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时．
【题型2：向量法求点线距】
例2.（2024·全国·模拟预测）已知在空间直角坐标系中，直线经过，两点，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意先求出直线的方向向量，然后依次求得，则到直线的距离为，求解即可.
【详解】由题意可知直线的方向向量为：，
又，则，
，
点到直线的距离为：.
.
变式1．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以点D为原点，建立空间直角坐标系，借助空间向量结合二次函数求解作答.
【详解】在棱长为2的正方体中，以分别为轴建立空间直角坐标系，
则有，则，
设点，
则点到直线的距离
，
当且仅当时取等号，则点到直线的距离的最小值为.
.
变式2．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在三棱锥中，，，两两垂直，且，，，三角形重心为G，则点P到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到直线的距离即可得解.
【详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，
则，， ，则，
，，
故在的投影为，
点到线的距离为.
.
变式3．（2024·广西来宾·一模）棱长为3的正方体中，点E，F满足，，则点E到直线的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用向量法求点到直线的距离.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，根据条件可得，，，
，，设向量与的夹角为，
，
所以点到直线的距离为.
.
变式4．(多选)（23-24高二下·江西·开学考试）如图，四边形都是边长为2的正方形，平面平面，P，Q分别是线段的中点，则（ ）
A．
B．异面直线所成角为
C．点P到直线的距离为
D．的面积是
【答案】AC
【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A，判断是否平行即可；对于B，求出两直线的方向向量，由两向量的夹角的余弦公式即可验算；对于C，由公式即可验算；对于D，由得，Q到的距离即为P到的距离，结合三角形面积公式即可验算.
【详解】由题意知两两垂直，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，
又P，Q分别是线段AE，BD的中点，所以，，
所以，，
又PQ，DF不共线，所以，故A正确；
，，
设异面直线所成角为θ，则，
又，所以，即异面直线所成角为，故B错误；
由，，得，
所以点P到直线DF的距离为，故C正确；
因为，所以Q到的距离即为P到的距离，
所以的面积．故D错误．
C．
变式5．（多选）（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点P是线段上的点，点E是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点E，使得平面
B．当点E为线段的中点时，点到平面的距离为2
C．点E到直线的距离的最小值为
D．当点E为棱的中点，存在点，使得平面与平面所成角为
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可求解A，求解平面法向量，即可根据点面距离，以及点线距离，求解BC，利用两平面的法向量的夹角即可求解D.
【详解】对A选项，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建系如图：
则根据题意可得,0,,,0,,,0,,,2,,，
设,2,，
所以，，，
假设存在点，使得平面，
则，，
解得，
所以存在点，使得平面，此时点与点重合，故A正确；
对于B，点E为线段的中点时，,,,
设平面的法向量为，则，取，则，
,故点到平面的距离为，故B正确，
对C选项,,2,，,
点到直线的距离为，
故当时，即点为中点时，此时点到直线的距离的最小值为，故C错误；
对D选项，点E为线段的中点时，,,,
设平面的法向量为，则，取，则，
设,,,
设平面的法向量为，则，取，则，
若存在点，使得平面与平面所成角为，
则，化简得，解得或，由于，所以，故D正确，
BD．
变式6．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知空间直角坐标系中的点，则点到直线的距离为 .
【答案】
【分析】设为三角形的边上的高，由三点共线，以及，可通过待定系数得出，结合模长公式即可得解.
【详解】由题意设为三角形的边上的高，而，
因为三点共线，设，
因为，所以，解得，
所以，所以点到直线的距离为.
故答案为：.
变式7．（23-24高二上·山东青岛·期末）在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.
(1)求点到直线的距离；
(2)求证：面.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）依题建系，求得相关点和向量的坐标，利用点到直线的距离的空间向量计算公式即可求得；
（2）由（1）中所建的系求出的坐标，分别计算得到和，由线线垂直推出线面垂直.
【详解】（1）
如图,以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，
正四棱柱,为中点,
则点到直线的距离为：.
（2）由（1）可得，
则，
由可得，
又由可得，
又，
故面.
变式8．（2024高二上·江苏·专题练习）如图所示，在四棱锥中，是矩形，平面，，，E是PB上一点，且，求点E到直线PD的距离.
【答案】
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果.
【详解】
以A为原点，分别为轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设，则，
则，
所以点E到直线PD的距离.
【方法技巧与总结】
用向量法求点线距的一般步骤
建立空间直角坐标系；
（2）求直线的方向向量；
（3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影长；
（4）利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
【题型3：用向量法求点面距】
例3．（多选）（23-24高二下·甘肃·期末）如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．直线和所成的角为
B．四面体的体积是
C．点到平面的距离为
D．平面与平面所成二面角的正弦值为
【答案】CCD
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算A、C、D，利用割补法求出四面体的体积，即可判断B.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则，，，
对于A，，故，
故，即直线和所成的角为，故A错误；
对于B，易得四面体为正四面体，
则，故B正确；
对于C，，
设平面的法向量为，则有，
令，则，故点到平面的距离，故C正确；
对于D，设平面的法向量为，则有，
令，则，所以，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为，故D正确．
CD
变式1．（多选）（23-24高二下·四川凉山·期末）如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与平面所成角的余弦值的取值范围为
B．点到平面的距离为
C．四面体的体积为
D．若线段的中点为，则一定平行于平面
【答案】CD
【分析】建系，求平面的法向量.对于A：利用空间向量求线面夹角；对于B：利用空间向量求点到面的距离；对于C：根据锥体的体积公式运算求解；对于D：利用空间向量证明线面平行.
【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，设，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
对于选项A：设直线与平面所成角为，
可得，
所以直线与平面所成角的余弦值的取值范围为，故A错误；
对于选项B：点到平面的距离为，故B正确；
对于选项C：由题意可知：，
所以四面体的体积为，故C错误；
对于选项D：由题意可知：，则，
可得，可知，
且平面，所以一定平行于平面，故D正确；
D.
【点睛】关键点点睛：求平面的法向量，进而利用空间向量处理相关问题.
变式2．（23-24高二下·安徽·期末）在棱长为2的正方体中，E，F分别为正方形和正方形的中心，则点到平面的距离为 .
【答案】/
【分析】建系，写出相关点的坐标，分别求出与平面的法向量的坐标，代入点到平面距离的向量计算公式计算即得.
【详解】
如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则,
于是，，,
设平面的法向量为，则，
故可取，则点到平面的距离为.
故答案为：
变式3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知正方体的棱长为，为棱（包含端点）上的动点，则点到平面距离的取值范围是 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法可得点到平面的距离，进而可得范围.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设，其中，
则，，
设平面的法向量为，
则，
令，故，
而，
故到平面的距离，
故答案为：.
变式4．（23-24高二下·河北唐山·期末）在三棱锥P—ABC中，，，E为AC的中点，．
(1)求证：平面平面ABC；
(2)求点C到平面PAB的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）先证，再证平面由线面垂直推出面面垂直即得；
（2）先证平面，建立空间直角坐标系，求出相关向量坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得.
【详解】（1），E为AC的中点，
又，且平面 ，故平面．
又平面ABC，所以平面平面ABC
（2）在三角形ABC中：，
由（1）知平面．因平面 ．
又E为AC的中点，则垂直平分AC，，
，又
，即，又平面，故得，平面.
故可以E为坐标原点，分别以、、所在方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图.
则，，，，
，，，
设平面PAB的一个法向量为，则
令，得．
设点C到平面PAB的距离，则．
变式5．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可求解；
（2）结合直线到平面的距离公式，代入计算，即可求解.
【详解】（1）
，，．
又，，平面，
面ABCD，
故建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，，
，，，
设为面PEF的法向量，，
令，则，，，，
设点D到平面PEF的距离为d，则．
（2）因为，平面，平面，
所以平面，所以直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离，
设点A到平面PEF的距离为，，则．
变式6．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，若M、N分别为棱、的中点，O为中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求点N到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）要证面面垂直，可以先证线线垂直，线面垂直，再证面面垂直即可，
（2）建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量，采用向量法来求点到平面的距离．
【详解】（1）平面，面，
，．
矩形，
，故、、两两垂直．
分别以、、所在直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则，，，，．
，，，
设平面的法向量为，则可取，
设平面的法向量为，，，则可取，
，
，
平面平面．
（2）解：设平面的法向量为．
，，
由得可取
，平面的法向量为 ，
．
变式7．（23-24高二下·天津·期末）如图，ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，且.
(1)求证：平面DEC；
(2)求平面BEC与平面BEF夹角的余弦值；
(3)求点D到平面BEF的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出，平面的一个法向量为，则由，即可证得平面DEC；
（2）分别求出平面与平面的一个法向量，则利用向量坐标运算，求得平面BEC与平面BEF夹角的余弦值；
（3）由平面的一个法向量为，，利用点到平面的距离公式即可求得点D到平面BEF的距离.
【详解】（1）
由已知，ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，
由平面ABCD，所以，又，
，平面，
所以平面，
以D为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
已知，
则，所以，
易知平面的一个法向量为，
得，又平面，
所以 平面.
（2）由上坐标系可知，则，
设平面与平面的一个法向量分别为，
则有，，
取，则，即，
设平面与平面的夹角为，则.
（3）由（2）得平面的一个法向量为，
又，所以点D到平面的距离.
变式8．（23-24高二下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可证平面，结合面面垂直的判定定理分析证明；
（2）建系标点，分别为求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角；
（3）求平面的法向量，利用空间向量求点到面的距离.
【详解】（1）因为平面，平面，则，
又因为为矩形，则，
且，平面，可得平面，
且平面，所以平面平面.
（2）由题意可知：平面，且，
如图，以A为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，
由题意可得，解得，
则，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得；
设平面的法向量为，则，
令，则，可得；
则，
由题意可知：二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.
（3）设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
所以点到平面的距离.
【方法技巧与总结】
用向量法求点面距的步骤
建系：建立恰当的空间直角坐标系；
求点坐标：写出（求出）相关点的坐标；
（3）求向量：求出相关向量的坐标（，α内两个不共线向量，平面α的法向量n）；
（4）求距离d=
【题型4：用向量法求线面距】
例4．（23-24高二下·甘肃·期中）已知棱长为2的正方体中，，，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，先利用向量法证明平面EMN，根据线面距离的定义把直线AC到平面EMN的距离转化为点A到平面EMN的距离，再利用点面距离的向量公式求解即可.
【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，
所以，设平面的一个法向量为，
则令，可得，所以，
即，又平面，所以平面，
故点到平面的距离即为直线到平面的距离，
又，所以点到平面的距离为，
即直线与平面之间的距离为.
变式1．（多选）（22-23高二上·云南昆明·期中）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且截面，则下列说法正确的是（ ）
A．直线到截面的距离是定值
B．点到截面的距离是
C．的最大值是
D．的最小值是
【答案】ABC
【分析】由截面，可得直线到截面的距离即为点到截面的距离，利用空间向量法求出点到平面的距离，即可判断A、B，取的中点为，取的中点为，取的中点为，即可证明平面平面，则线段扫过的图形是，求出的取值范围，从而判断C、D.
【详解】因为截面，是的中点，
所以直线到截面的距离，即为点到截面的距离，为定值，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，取，
所以点到截面的距离，
所以点到截面的距离是，故A、B正确；
取的中点为，取的中点为，取的中点为，如图所示
因为是的中点，是的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
同理可证平面，
又，平面，
所以平面平面.
又平面，线段扫过的图形是，
即点的轨迹为线段，
由，得，,
，，
所以，即为直角，
所以线段长度的取值范围是，即，
所以的最大值是，的最小值是，故C正确，D错误.
BC
【点睛】关键点点睛：求点到平面的距离关键是利用空间向量法，当然也可利用等体积法，C、D主要是确定动点的轨迹，从而确定的取值范围.
变式2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知正四面体的棱长为，点、分别为和的重心，则直线到平面的距离为 ．
【答案】
【分析】将正四面体放入正方体中，建立空间直角坐标系，利用坐标法可证线面平行，进而可得直线到平面的距离.
【详解】将正四面体放入正方体中，
以点为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴，如图所示，
因为正四面体的棱长为，所以正方体的棱长为，
则，，，
因为点、分别为和的重心，
所以点的坐标为，点的坐标为，
所以,
设平面的一个法向量为，
因为，，
所以，取，则，
因为，且直线不在平面上，
所以直线平面，
所以点到平面的距离就是直线到平面的距离，
点到平面的距离，
故答案为：.
变式3．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在平面内，设直线与直线所成角为.若直线到平面的距离为，则的最小值为 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法表示出到面的距离，进而求出点坐标，过作平面的平行平面，得到点的轨迹，再利用向量法求线线角，进而求其最值即可.
【详解】因为直线到平面的距离为，
所以必有面，即点到平面的距离为，
如图建立空间直角坐标系，设，又，
则，
设面的法向量为，
则，取得，
则，解得，即，
过作平面的平行平面，与正方体的截面为，
分别为线段和线段的中点，则
所以在直线上，
设，
又，则，
当时，，
当时，，
又，所以，
则的最小值为.
故答案为：
变式4．（2024·广东·三模）如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，，分别为，的中点，点在棱上，，直线与平面相交于点.
(1)证明：；
(2)求直线与平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）首先证明平面，再由线面平行的性质证明即可；
（2）连接,，以点为原点，建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式求解即得.
【详解】（1）因为、分别为、的中点，所以，
又平面，平面，则平面，
又平面，平面平面，所以.
（2）由（1）知，平面，
则点到平面的距离即为与平面的距离，
连接,，由均为正三角形，为的中点，得，
又平面平面，平面平面平面，
于是平面，又平面，则，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，又，，
又，可得，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，得，
设点到平面的距离为，则，
所以与平面的距离为.
变式5．（2024·吉林·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，为中点，点在梭上（不包括端点）.
(1)证明：平面平面；
(2)若点为的中点，求直线到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直的性质与勾股定理，结合三线合一证得，，再线面垂直与面面垂直的判定定理即得证.
（2）由线面平行判定定理可证得平面，则点到平面的距离即为到平面的距离.方法一：以为原点建立空间直角坐标系，运用点到面的距离公式计算即可.方法二：运用等体积法计算即可.
【详解】（1）证明：连接，如图所示，
平面，
，
，即，
又为中点，则，且，
四边形为正方形，，
平面平面，
又，、平面，平面，
又平面平面平面.
（2）在中，分别为中点，，
又平面平面，平面，
点到平面的距离即为到平面的距离，
（方法一）
，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示空间直角坐标系，如图所示，
则，
，
设是平面的法向量，
，
取，则是平面的一个法向量，
点到平面的距离为，
即直线到平面的距离为.
（方法二）
连接、，如图所示，
为等腰直角三角形，，
又平面是三棱锥的高，
，
，
，
，
设到平面距离为，则，
，
即到平面的距离为.
变式6．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．
(1)a为何值时，的长最小？
(2)当的长最小时求平面与平面夹角的余弦值；
(3)当的长最小时求直线到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、配方法进行求解即可得；
（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可得，
（3）可得平面，借助空间向量中点到平面的距离公式求解即可得.
【详解】（1）因为平面平面，，，
且平面平面，平面，
故平面，又平面，
故，从而两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，
有、、、、，
，，，
，
，
当时，最小，最小值为；
（2）由（1）可知，当，为、中点时，最短，
则，，
，，，
令平面与平面的法向量分别为、，
则有，，取，
则有，，
则，
平面与平面夹角的余弦值是；
（3），当的长最小时，平面的法向量为，
有，故平面，
故直线到平面的距离等于点到平面的距离，
，故，
即当的长最小时直线到平面的距离为.
变式7．（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，在平行四边形中，，四边形为正方形，且平面平面．
(1)证明：；
(2)求直线到平面的距离；
(3)求平面与平面夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用余弦定理计算AC，再证明即可推理作答.
（2）以点A为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量计算点C到平面BEF的距离即可求出线面距离.
（3）利用（2）中坐标系，用向量数量积计算两平面夹角余弦值，进而求解作答.
【详解】（1）在中，，由余弦定理得，
，即，有，则，即，
由平面平面，平面平面，平面，
得平面，又平面，
所以.
（2）由四边形为正方形，得，由（1）易知两两垂直，
以点A为原点，射线AB，AC，AF分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
，
，设平面的一个法向量，
则，令，得，
而，于是得点C到平面的距离，
而，平面，平面，则平面，
所以线到平面的距离等于点C到平面的距离为.
（3）由（2）知，，设平面的一个法向量，
则，令，得，设平面BEF与平面ADF夹角为，
于是，，
所以平面BEF与平面ADF夹角的正弦值为.
【方法技巧与总结】
求直线与平面间的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因直线到平面的距离可以用点到平面的距离求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离进行过渡.
【题型5：用向量法求面面距】
例5．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）如图，在几何体中，四边形是矩形，，且平面平面，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．异面直线、所成的角为
C．几何体的体积为 D．平面与平面间的距离为
【答案】D
【分析】根据线线平行、异面直线所成角、几何体体积、面面距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由于四边形是矩形，所以，
由于，平面，所以平面，
由于平面平面，所以平面.
由于平面，所以，
由于，所以平面，由于平面，
所以，同理可证得，
所以,
所以四边形是平行四边形，所以，，A选项正确.
由于，所以异面直线、所成的角为（或其补角），
由于，所以三角形是等边三角形，所以，
即异面直线、所成的角为，B选项正确.
将几何体补形为正方体，如下图所示，
所以，C选项错误.
由上述分析可知，由于平面，平面，
所以平面.同理可证得平面，
由于，所以平面平面.
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
，平面与平面间的距离，即到平面的距离，
所以距离为，D选项正确.
变式1．（22-23高二下·安徽阜阳·阶段练习）在棱长为2的正方体中，下列说法不正确的是（ ）
A．直线与平面所成的角为
B．
C．三棱锥外接球的表面积为
D．平面与平面的距离为
【答案】A
【分析】根据线面角的定义即可判断A，建立空间直角坐标系，通过空间向量的坐标运算即可判断BD，由三棱锥外接球与正方体的外接球相同即可判断C.
【详解】
连接，与相交于点，因为平面，且平面，
所以，又因为，，所以平面，
即直线与平面所成的角为，且，故A错误；
连接，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则，解得，取，则
所以，则，所以平面，
且平面，则 ，故B正确；
因为三棱锥外接球就是正方体的外接球，
设其外接球的半径为，则，即，
所以，故C正确；
因为平面平面所以平面
同理平面 又平面,
所以平面平面，
由B选项可知，平面的法向量为，且，
则两平面间的距离，故D正确.
故选:A
变式2．（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解
【详解】由正方体的性质：∥,∥，
，，
且平面，平面，
平面，平面，
所以平面平面，
则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离．
以为坐标原点，所在的直线分别为轴
建立空间直角坐标系，如图所示：
由正方体的棱长为1，所以，，，
，，
所以，，
，．
连接，
由，，
所以，
且，
可知平面，
得平面的一个法向量为，
则两平面间的距离：
．
.
变式3．（21-22高二上·浙江绍兴·期末）空间直角坐标系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知得，，，设向量与向量、都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平面平行和距离公式计算可得选项.
【详解】解：由已知得，，，设向量与向量、都垂直，则
，即，取，，
又平面平面，则平面与平面间的距离为，
.
变式4．（21-22高二·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：
(1)直线与平面的距离；
(2)平面与平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）证明出平面平面，可得出平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面的距离；
（2）利用空间向量法可求得平面与平面的距离．
【详解】（1）解：因为平面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
因为、分别为、的中点，则，
平面，平面，平面，
因为且，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
，、平面，平面平面，
平面，平面，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，，
所以，直线与平面的距离为.
（2）解：因为平面平面，则平面与平面的距离为.
变式5．（20-21高二·全国·课后作业）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，
（1）证明：平面AMN∥平面EFBD；
（2）求平面AMN与平面EFBD间的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）如图所示，建立空间直角坐标系，证明，，即可得EF∥MN，AM∥BF，从而可证MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD，再利用面面平行的判定定理即可得证；
（2）因为平面AMN∥平面EFBD，所以点B到平面AMN的距离即为平面AMN与平面EFBD间的距离，求出平面AMN的法向量，从而可求的答案.
【详解】（1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系，
则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，
E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)．
从而(2，2，0)，(2，2，0)，(－2，0，4)，(－2，0，4)，
所以，，所以EF∥MN，AM∥BF．
又平面EFBD，平面EFBD，所以MN∥平面EFBD，
平面EFBD，平面EFBD，所以AM∥平面EFBD，
因为MN∩AMM，
所以平面AMN∥平面EFBD；
（2）解：因为平面AMN∥平面EFBD，
所以点B到平面AMN的距离即为平面AMN与平面EFBD间的距离．
设是平面AMN的法向量，
则有即，可取，
由于(0，4，0)，
所以点B到平面AMN的距离为，
所以平面AMN与平面EFBD间的距离为．
【题型6：线线距离】
例6．（23-24高二上·广东广州·期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】在直线上任意一点，作，设，，根据得出和的关系，再由模长公式得出与的关系，再求最值即可.
【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为，可知此时到直线距离最短，
设，，
，
，因为，所以，
即，所以，即，
所以，
所以，
所以当时，取得最小值，所以直线与的距离为.
变式1. （23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）如图，在正方体中，，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量即可根据公式求解.
【详解】以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，易知，
，设同时垂直于，
由，令，得，
又，则异面直线间的距离为.
．
变式2. （21-22高二上·上海浦东新·期中）如图是一棱长为的正方体，则异面直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，求出与和垂直的向量坐标，求出异面直线间的距离.
【详解】以D为原点，DA，DC，分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，设与和都垂直，
则，即，取，又因为，
所以异面直线和间的距离为.
.
变式3. (多选)（2023·辽宁朝阳·一模）如图，在棱长为1正方体中，为的中点，为与的交点，为与的交点，则下列说法正确的是（ ）
A．与垂直
B．是异面直线与的公垂线段，
C．异面直线与所成的角为
D．异面直线与间的距离为
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量逐项分析.
【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立如下图所示坐标系：
则： ，
，
设 ，
则有： ，
又 ，
解得 ， ， ， ，同理可得 ；
对于A， ， ， ，正确；
对于B， ， ，
即，又,
故是异面直线与的公垂线段，正确；
对于C，设 与 所成的角为 ，则 ，
，，错误；
对于D，由B知 是 与 的公垂线段， ，正确；
BD.
变式4. （23-24高二上·北京昌平·阶段练习）在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是
【答案】/
【分析】
建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用空间距离的向量求法，即可求得答案.
【详解】以D为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，
则，
则，
设与异面直线和都垂直的向量为，
则，令，则，
又，故异面直线和间的距离是，
故答案为：
变式5. （21-22高二·全国·课后作业）如图，多面体是由长方体一分为二得到的，，，，点D是中点，则异面直线与的距离是 ．
【答案】#
【分析】建立空间直角坐标系，直接利用异面直线之间的距离公式求解即可.
【详解】以为坐标原点，分别以，,为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则,,,,
∴,,
设是，的公垂线方向上的单位向量，
则，即①，
，即②，
易知③，
联立解得，，或，，；
不妨取，
又∵,
则异面直线与的距离，
故答案为：.
变式6. （21-22高二·全国·单元测试）如图，在正方体中，AB1，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，表示出，求出同时垂直于的，再通过公式求距离即可.
【详解】
以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，易知，
，设同时垂直于，由，令，得，
又，则异面直线，EN间的距离为.
故答案为：.
一、单选题
1．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用空间点到直线的距离公式计算求解即可.
【详解】因为，所以，
所以在上投影的长度为，
所以点到直线的距离为.
2．（22-23高二上·浙江温州·期中）已知，则点O到平面ABC的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出平面的法向量，利用公式求出点到平面的距离.
【详解】，设平面ABC的法向量为，
则，
令得，，故，
故点O到平面ABC的距离为.
3．（22-23高二上·河南焦作·期末）在棱长为2的正方体，中，、分别是、的中点，则点到截面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量点到平面距离公式进行计算.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
故设平面的法向量为，
所以点到截面的距离为.
4．（22-23高二下·福建漳州·期中）已知点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用点到直线距离的向量表示可直接求得答案.
【详解】因为，所以，，
所以，
所以点C到直线AB的距离=，
．
5．（22-23高二下·四川成都·期末）在空间直角坐标系中，已知，则四面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用空间向量法求出高，运用锥体体积公式进而求出体积
【详解】如图所示，正方体边长为1，建立坐标系，
则.则四面体为正三棱锥.
底面为等边，且边长为.则面积为.
，.设平面法向量为，
则，故.
则到平面的距离为．
则四面体的体积为.
6．（23-24高二下·河南·阶段练习）如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先得到，再平方求解.
【详解】解：由题意得，
故，
，
则.
.
7．（23-24高二下·江苏·期中）已知点，记点M到x轴的距离为a，到y轴的距离为b，到z轴的距离为c，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出点M在x轴，y轴，z轴上的投影点的坐标，再借助空间两点间距离公式计算作答.
【详解】设点M在x轴上的投影点，则，而x轴的方向向量，
由得：，解得，则，
设点M在y轴上的投影点，则，
而y轴的方向向量，
由得：，解得，则，
设点M在z轴上的投影点，则，而z轴的方向向量，
由得：，解得，则，
所以.
8．（23-24高二下·江西·开学考试）在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则=（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，得到PA，PB，PC两两垂直，从而把该三棱锥补成一个正方体求解.
【详解】解：在正三棱锥中，，又，，所以，所以，
同理可得，，即PA，PB，PC两两垂直，
把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得，
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面ABC的一个法向量为，
则，
令，则，所以，
则点O到平面ABC的距离，
所以．
．
二、多选题
9．(多选)（22-23高二上·辽宁·期中）如图，在正四棱柱中，，为四边形对角线的交点，下列结论正确的是（ ）
A．点到侧棱的距离相等 B．正四棱柱外接球的体积为
C．若，则平面 D．点到平面的距离为
【答案】CD
【分析】利用正四棱柱的体对角线等于外接球直径，以及空间位置关系的向量方法证明和空间距离的向量方法计算方法即可求解.
【详解】对于A, 到侧棱的距离等于,
到侧棱的距离相等且等于,故A错误；
对于B，设正四棱柱外接球的直径为，则有,
即，所以外接球的体积等于，故B正确；
对于C，建立空间直角坐标系，如图，
则,
因为，所以,
所以，，,
所以，所以与平面不垂直，故C错误；
对于D,由以上知，设平面的法向量为，
则有，,
,即，令则，
所以，
因为,所以点到平面的距离为，故D正确.
故选:BD.
10．（23-24高二下·甘肃·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．
C．是平面的一个法向量
D．点到平面的距离为
【答案】ACD
【分析】对于A，由线面平行的判定定理证明即可；对于B，由空间向量判断异面直线垂直即可；对于C，由平面法向量求解即可；对于D，由点到平面的距离公式计算即可.
【详解】对于A，由于，分别是的中点，
所以平面平面，
所以平面，故A正确；
对于B，，
故，，
故与不垂直，进而可得与不垂直，故B错误；
对于C，由，所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的一个法向量，故C正确；
对于D，，点到平面的距离为，故D正确.
CD．
11．（24-25高二上·江苏·假期作业）如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点．则（ ）
A．平面平面
B．为的中点时，
C．存在点，使得直线与的距离为
D．存在点，使得直线与平面所成的角为
【答案】AB
【分析】选项，由，，可得平面，再由面面垂直的判定定理可作出判断；选项B，取的中点，连接，，可证，，从而作出判断；选项C，先证平面，从而将原问题转化为求点到平面的距离，再以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离，即可作出判断；选项D，利用向量法求线面角，即可得解．
【详解】对于选项A，由题意知，，平面，
因为平面，所以，
又，、平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面，即选项A正确；
对于选项B，当为的中点时，取的中点，连接，，
则，，所以四边形是平行四边形，
所以，
因为和都是等腰直角三角形，所以，
所以，所以，即选项B正确；
对于选项C，因为，且平面，平面，
所以平面，
所以直线与的距离等价于直线到平面的距离，
也等价于点到平面的距离，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
设点，其中，，
由射影定理知，，即，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
若直线与的距离为，则点到平面的距离为，
而点到平面的距离，
所以不存在点，使得直线与的距离为，即选项C错误；
对于选项D，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
若直线与平面所成的角为，
则 ，
由，知，
代入上式整理得，此方程无解，
所以不存在点，使得直线与平面所成的角为，即选项D错误．
B．
三、填空题
12．（23-24高二上·陕西汉中·阶段练习）如图，棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为 .
【答案】
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量，结合空间向量的距离公式，即可求解.
【详解】以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
则，
设平面的法向量为，则，
取，则，所以，
所以点到平面的距离为.
故答案为：.
13．（23-24高二上·天津·期末）已知空间中三点，，，则点到直线的距离为 .
【答案】
【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解.
【详解】由点的坐标可得，
则点到直线的距离为.
故答案为：
14．（23-24高二下·江苏扬州·期中）在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则 ．
【答案】
【分析】根据，得到两两垂直，从而把该三棱锥补成一个正方体，再建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】在正三棱锥中，，又，，
所以，所以，
同理可得，，即两两垂直，
把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，如图所示，
正方体的体对角线就是外接球的直径，则，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，所以，
则点到平面的距离，
所以．
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下：
（1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离；
（2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为.
四、解答题
15．（24-25高二上·江苏·假期作业）如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，．
(1)取线段中点连接，判断直线与平面是否平行并说明理由；
(2)求到平面的距离；
(3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)平面，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，利用到平面的距离的向量公式即可求解；
（3）平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解．
【详解】（1）平面．
理由如下证明：取中点，连接，
因为为的中点，且，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以平面．
（2）取的中点，连接，，
因为为等边三角形，
所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，
如图所示，
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则,,，,1,，,0,，,,，，
，，
设平面的法向量为，
所以，
令，则，
，
故到平面的距离．
（3）设,,，，
所以，
所以，
则，，
设平面的法向量为,,，
则，
令，则，
又平面的法向量为，
于是，
化简得，又,，
得，
即，
故存在点，此时．
16．（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且平面，．求：
(1)平面与平面所成的二面角的正弦值；
(2)点到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接建立空间直角坐标系，先求法向量，再求两法向量夹角的余弦值，再求正弦值即可；
（2）直接用空间向量法求点到面的距离.
【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系．
，，，，，，
设平面的法向量，则，令，则，
所以．
取平面的法向量为，，
所以，
即平面与平面所成的二面角的正弦值．
（2），平面的法向量为，
点到平面的距离.
17．（23-24高一下·广西·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是边长为2的等边三角形，．
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由等边三角形三线合一可得，再由侧棱垂直于底面可得面即可得出结论；
（2）可由等体积法计算即可得出.
【详解】（1）法一:是等边三角形，且是中点
面，面
面，面，且 面
面
法二：取的中点，则面，可知两两垂直，
如图以为轴，为轴，为轴，则，，，；
所以，，则，即 ；
（2）法一：由题可知：；
在中，，；
取中点，在中，，
边上的高为；
；
设点到平面的距离为，则，
解得，即点到平面的距离为．
法二：，，，，
设面的法向量为，；
设点到面的距离为，
故点到平面的距离为.
18．（23-24高二下·江苏连云港·期末）如图，在四棱锥中，四边形是梯形， ，平面平面.
(1)证明：；
(2)若点是的中点，点是线段上的点，点到平面的距离是.求：
①直线与平面所成角的正弦值；
②三棱锥外接球的表面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)；
【分析】（1）由平面平面先证平面，得，从而根据线面垂直的判定定理得平面即可得证；
（2）①建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离确定点的坐标，再利用线面角的向量法求解；②取的中点，其为直角三角形外心，则三棱锥外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上，即可确定半径，得解.
【详解】（1）取的中点，连接，在直角梯形中，，
则四边形为正方形，所以，
在等腰直角三角形 中，，
为等腰直角三角形，而，故，
则有，所以，
因为平面平面平面平面，平面 ，
所以平面，又平面，所以，
又因为，直线有公共点，平面
所以平面又平面得；
（2）以A为坐标原点，分别以所在的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，，
，，，
设，则，则，
设平面的一个法向量为，
则 ，得 ，
取 ，则 ，得平面的一个法向量为，
点P到平面的距离为，
解得，此时，，
①设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值；
②取的中点，其为直角三角形外心，且，
则三棱锥外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上，
即平面，设，
由，
得，
解得，
故外接球的半径为，
其表面积为，
故三棱锥外接球表面积为.
【点睛】关键点睛：求解外接球的相关问题，关键是根据题意结合几何题的特征，确定外接球的球心位置，进而求出半径，即可求解.
19．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上．
(1)证明：平面；
(2)若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值；
(3)求动点Q到线段的距离的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证；
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角；
（3）根据向量共线求出，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即可.
【详解】（1）
因为折叠前为中点，，所以，折叠后，，
所以，所以，在折叠前分别为中点，
所以，又因为折叠前，所以，所以在折叠后，
，；以为坐标原点， 、、分别为、、轴建立
空间直角坐标系，则，，，，，
为中点，所以，，设平面的法向量为
，又，，所以，
，令，则，，所以，所以，
所以，所以平面.
（2）设，由（1）知，，因为动点Q在线段上，
且，所以，所以，
所以，，，所以，，
，设平面的法向量为，，
，令，则，，所以，
设平面的法向量为，所以
，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
（3）设，，，动点Q在线段上，
所以，，即，即，
所以，，，
设点Q到线段的距离为，，
，，
，，令，，
则，，根据二次函数的性质可知，
所以，由此可知动点Q到线段的距离的取值范围为.
20．（23-24高二上·全国·期中）已知正方形的边长为4，，分别为，的中点，以为棱将正方形折成如图所示的的二面角．
(1)若为的中点，在线段上，且直线与平面所成的角为，求此时平面与平面的夹角的余弦值．
(2)在（1）的条件下，设，，，且四面体的体积为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二面角可知，可证平面，建系，根据题意利用空间求点的坐标，进而求面面夹角；
（2）根据题意关系结合点到面距离的向量求法运算求解.
【详解】（1）由题意知，，，
，，平面，可得平面，
且为二面角的平面角，即，
连接，而，则为正三角形，取的中点，
连接，则，由平面，平面，
所以平面平面，
而平面平面，平面，
可得平面，
取的中点，连接，由矩形得，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则点，
可得，
设点， 则，
设平面的法向量，则，
令，则，，可得，
因为直线与平面所成的角为，
则，解得或（舍，
即，
设平面的法向量为，则，
令，则，，可得，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
（2）因为，，可知，分别为，的中点，
又因为为的中点，则，
可得， ，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，可得，
因为，，，
由余弦定理得，
可知为锐角，可得，
则，
因为四面体的体积为，设点到平面的距离为，
则，解得，
因为，则，可得，
则，解得．
所以的值为
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.2.5空间中的距离
课程标准 学习目标
1．理解图形与图形之间的距离的概念.，提升学生的数学抽象素养 2．理解并掌握两点之间、点到直线的距离的概念及它们之间的相互转化,会用法向量求距离:提升学生的数学抽象数学运算的素养、 1.能用向量方法进行有关距离的计算 2.能用向量方法求点到面的距离
知识点01 两点间的距离
1.两点间距离A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），
|AB|=
2用向量表示 两点间距离=(,,),|AB|=
【即学即练1】（2024高二下·江苏·学业考试）已知点，则=（ ）
A． B． C． D．4
【即学即练2】（23-24高二上·宁夏·阶段练习）如图，已知线段在平面内，，且，则 .
知识点02 点到直线的距离
定义：若P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d==
设e是直线l的方向向量，则点P到直线l的距离为d=||sin<,e>
【即学即练3】（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知空间向量，，则B点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练4】（23-24高二上·福建福州·期末）已知向量，则点A到直线的距离为 ．
知识点03 点到平面的距离
定义：若P是平面α外一点，PQ⊥α，垂足为Q，A 为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，点P到平面α的距离d=
【即学即练5】（17-18高二上·陕西·期中）已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）
A．10 B．3 C． D．
【即学即练6】（23-24高二下·江苏·单元测试）已知平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为 .
知识点04 线面间的距离
1.定义：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离，
2.公式：如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d．
【即学即练7】（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练8】（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点．
(1)求直线与所成角的余弦值；
(2)求直线到平面的距离．
知识点05 面面间的距离
1.定义：当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．
2.公垂线段：一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的 公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段．显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长.
3.公式：如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d．
【即学即练9】（22-23高二·全国·随堂练习）已知正方体的棱长均为1．
(1)求到平面的距离；
(2)求平面与平面之间的距离．
【即学即练10】（2022高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求：
(1)求直线到平面的距离；
(2)求平面与平面间的距离.
难点：建系有难度问题
示例1：（2023·福建龙岩·统考二模）三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为．
(1)求侧棱的长；
(2)侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
难点：几何的应用
示例2：（2023·四川成都·校联考二模）如图，平面平面，四边形为矩形，为正三角形，，为的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)已知四棱锥的体积为，求点到平面的距离.
【题型1：两点间的距离】
例1．（22-23高二上·山西运城·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
变式1. （21-22高二上·安徽合肥·期中）如图正四棱柱中，，.动点，分别在线段，上，则线段长度的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
变式2. （22-23高二上·浙江杭州·期中）两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和A，F，使，且已知，则线段的长为 ．
变式3. （22-23高二上·辽宁沈阳·开学考试）正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为分别是异面直线和上的任意一点，则间距离的最小值为 .
变式4. （21-22高二上·江苏镇江·期中）已知在边长为6的正方体中，点分别为线段和上的动点，当 时，线段取得最小值 .
变式5. （20-21高二·全国·单元测试）已知，，点在轴上，点在直线上，则线段长的最小值为 ．
变式6. （2021高二上·全国·专题练习）在如图所示的实验装置中，正方形框架的边长都是，且平面平面，活动弹子分别在正方形对角线上移动，若，则长度的最小值为 ．
变式7. （20-21高二上·山东泰安·期中）如图所示，在正四棱柱中，，，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是 ．
变式8. （18-19高二下·江苏常州·期中）如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形是上底面正中间一个正方形，正方形是下底面最大的正方形，已知点是线段上的动点，点是线段上的动点，则线段长度的最小值为 ．
【方法技巧与总结】
计算两点间的距离的两种方法
1.利用|a|2a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用||求解．
2.用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时．
【题型2：向量法求点线距】
例2.（2024·全国·模拟预测）已知在空间直角坐标系中，直线经过，两点，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在三棱锥中，，，两两垂直，且，，，三角形重心为G，则点P到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2024·广西来宾·一模）棱长为3的正方体中，点E，F满足，，则点E到直线的距离为（ ）
A． B．
C． D．
变式4．(多选)（23-24高二下·江西·开学考试）如图，四边形都是边长为2的正方形，平面平面，P，Q分别是线段的中点，则（ ）
A．
B．异面直线所成角为
C．点P到直线的距离为
D．的面积是
变式5．（多选）（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点P是线段上的点，点E是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点E，使得平面
B．当点E为线段的中点时，点到平面的距离为2
C．点E到直线的距离的最小值为
D．当点E为棱的中点，存在点，使得平面与平面所成角为
变式6．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知空间直角坐标系中的点，则点到直线的距离为 .
变式7．（23-24高二上·山东青岛·期末）在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.
(1)求点到直线的距离；
(2)求证：面.
变式8．（2024高二上·江苏·专题练习）如图所示，在四棱锥中，是矩形，平面，，，E是PB上一点，且，求点E到直线PD的距离.
【方法技巧与总结】
用向量法求点线距的一般步骤
建立空间直角坐标系；
（2）求直线的方向向量；
（3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影长；
（4）利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
【题型3：用向量法求点面距】
例3．（多选）（23-24高二下·甘肃·期末）如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．直线和所成的角为
B．四面体的体积是
C．点到平面的距离为
D．平面与平面所成二面角的正弦值为
变式1．（多选）（23-24高二下·四川凉山·期末）如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与平面所成角的余弦值的取值范围为
B．点到平面的距离为
C．四面体的体积为
D．若线段的中点为，则一定平行于平面
变式2．（23-24高二下·安徽·期末）在棱长为2的正方体中，E，F分别为正方形和正方形的中心，则点到平面的距离为 .
变式3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知正方体的棱长为，为棱（包含端点）上的动点，则点到平面距离的取值范围是 ．
变式4．（23-24高二下·河北唐山·期末）在三棱锥P—ABC中，，，E为AC的中点，．
(1)求证：平面平面ABC；
(2)求点C到平面PAB的距离．
变式5．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
变式6．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，若M、N分别为棱、的中点，O为中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求点N到平面的距离．
变式7．（23-24高二下·天津·期末）如图，ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，且.
(1)求证：平面DEC；
(2)求平面BEC与平面BEF夹角的余弦值；
(3)求点D到平面BEF的距离.
变式8．（23-24高二下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
【方法技巧与总结】
用向量法求点面距的步骤
建系：建立恰当的空间直角坐标系；
求点坐标：写出（求出）相关点的坐标；
（3）求向量：求出相关向量的坐标（，α内两个不共线向量，平面α的法向量n）；
（4）求距离d=
【题型4：用向量法求线面距】
例4．（23-24高二下·甘肃·期中）已知棱长为2的正方体中，，，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
变式1．（多选）（22-23高二上·云南昆明·期中）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且截面，则下列说法正确的是（ ）
A．直线到截面的距离是定值
B．点到截面的距离是
C．的最大值是
D．的最小值是
变式2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知正四面体的棱长为，点、分别为和的重心，则直线到平面的距离为 ．
变式3．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在平面内，设直线与直线所成角为.若直线到平面的距离为，则的最小值为 .
变式4．（2024·广东·三模）如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，，分别为，的中点，点在棱上，，直线与平面相交于点.
(1)证明：；
(2)求直线与平面的距离.
变式5．（2024·吉林·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，为中点，点在梭上（不包括端点）.
(1)证明：平面平面；
(2)若点为的中点，求直线到平面的距离.
变式6．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．
(1)a为何值时，的长最小？
(2)当的长最小时求平面与平面夹角的余弦值；
(3)当的长最小时求直线到平面的距离．
变式7．（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，在平行四边形中，，四边形为正方形，且平面平面．
(1)证明：；
(2)求直线到平面的距离；
(3)求平面与平面夹角的正弦值．
【方法技巧与总结】
求直线与平面间的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因直线到平面的距离可以用点到平面的距离求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离进行过渡.
【题型5：用向量法求面面距】
例5．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）如图，在几何体中，四边形是矩形，，且平面平面，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．异面直线、所成的角为
C．几何体的体积为 D．平面与平面间的距离为
变式1．（22-23高二下·安徽阜阳·阶段练习）在棱长为2的正方体中，下列说法不正确的是（ ）
A．直线与平面所成的角为
B．
C．三棱锥外接球的表面积为
D．平面与平面的距离为
变式2．（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（21-22高二上·浙江绍兴·期末）空间直角坐标系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（21-22高二·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：
(1)直线与平面的距离；
(2)平面与平面的距离．
变式5．（20-21高二·全国·课后作业）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，
（1）证明：平面AMN∥平面EFBD；
（2）求平面AMN与平面EFBD间的距离．
【题型6：线线距离】
例6．（23-24高二上·广东广州·期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
变式1. （23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）如图，在正方体中，，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
变式2. （21-22高二上·上海浦东新·期中）如图是一棱长为的正方体，则异面直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
变式3. (多选)（2023·辽宁朝阳·一模）如图，在棱长为1正方体中，为的中点，为与的交点，为与的交点，则下列说法正确的是（ ）
A．与垂直
B．是异面直线与的公垂线段，
C．异面直线与所成的角为
D．异面直线与间的距离为
变式4. （23-24高二上·北京昌平·阶段练习）在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是
变式5. （21-22高二·全国·课后作业）如图，多面体是由长方体一分为二得到的，，，，点D是中点，则异面直线与的距离是 ．
变式6. （21-22高二·全国·单元测试）如图，在正方体中，AB1，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为 .
一、单选题
1．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高二上·浙江温州·期中）已知，则点O到平面ABC的距离是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高二上·河南焦作·期末）在棱长为2的正方体，中，、分别是、的中点，则点到截面的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高二下·福建漳州·期中）已知点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高二下·四川成都·期末）在空间直角坐标系中，已知，则四面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二下·河南·阶段练习）如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二下·江苏·期中）已知点，记点M到x轴的距离为a，到y轴的距离为b，到z轴的距离为c，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高二下·江西·开学考试）在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则=（ ）
A．3 B． C． D．
二、多选题
9．(多选)（22-23高二上·辽宁·期中）如图，在正四棱柱中，，为四边形对角线的交点，下列结论正确的是（ ）
A．点到侧棱的距离相等 B．正四棱柱外接球的体积为
C．若，则平面 D．点到平面的距离为
10．（23-24高二下·甘肃·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．
C．是平面的一个法向量
D．点到平面的距离为
11．（24-25高二上·江苏·假期作业）如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点．则（ ）
A．平面平面
B．为的中点时，
C．存在点，使得直线与的距离为
D．存在点，使得直线与平面所成的角为
三、填空题
12．（23-24高二上·陕西汉中·阶段练习）如图，棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为 .
13．（23-24高二上·天津·期末）已知空间中三点，，，则点到直线的距离为 .
14．（23-24高二下·江苏扬州·期中）在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则 ．
四、解答题
15．（24-25高二上·江苏·假期作业）如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，．
(1)取线段中点连接，判断直线与平面是否平行并说明理由；
(2)求到平面的距离；
(3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
16．（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且平面，．求：
(1)平面与平面所成的二面角的正弦值；
(2)点到平面的距离．
17．（23-24高一下·广西·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是边长为2的等边三角形，．
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
18．（23-24高二下·江苏连云港·期末）如图，在四棱锥中，四边形是梯形， ，平面平面.
(1)证明：；
(2)若点是的中点，点是线段上的点，点到平面的距离是.求：
①直线与平面所成角的正弦值；
②三棱锥外接球的表面积.
19．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上．
(1)证明：平面；
(2)若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值；
(3)求动点Q到线段的距离的取值范围．
20．（23-24高二上·全国·期中）已知正方形的边长为4，，分别为，的中点，以为棱将正方形折成如图所示的的二面角．
(1)若为的中点，在线段上，且直线与平面所成的角为，求此时平面与平面的夹角的余弦值．
(2)在（1）的条件下，设，，，且四面体的体积为，求的值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
