重难点提升01 指数、对数型复合函数
课程标准 学习目标
1.指数型复合函数的性质及应用； 2.对数型复合函数的性质及应用． 掌握与指对数复合函数有关的定义域、单调性、值域、奇偶性、零点、不等式等问题的基本解法，突破函数学习中的这一难点.
知识点01 复合函数的概念
如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，则当时，函数为与在上的复合函数，其中叫做内层函数，叫做外层函数．
知识点02 复合函数的单调性
1、复合函数单调性的规律：“同增异减”
若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；
若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．
2、具体判断步骤
（1）求出原函数的定义域；
（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数；
（3）分析内层函数和外层函数的单调性；
（4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论．
知识点03复合函数的值域求解
1、指数型复合函数值域的求法
（1）形如（，且）的函数求值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围．
（2）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域．
2、对数型复合函数值域的求法
（1）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域．
（2）形如（，且）的函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域．
题型01 指数型复合函数的定义域
【典例1】（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域是（ ）
A．R B．
C． D．且
【变式2】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的定义域为 ．
【变式3】（23-24高一上·安徽阜阳·期末）函数的定义域为 .
【变式4】（24-25高一上·上海·单元测试）函数（且）的定义域为，则 ．
【变式5】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）函数在区间上有意义，求的取值范围.
题型02 指数型复合函数的单调性
【典例2】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知函数，则函数的递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24高一上·广东佛山·月考）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（22-23高一上·广东·期末）函数的单调递增区间为 .
【典例3】（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是( ).
A． B．
C． D．
【变式1】（23-24高二下·天津河东·期末）设函数在区间单调递减，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
【变式3】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4】（23-24高一上·山东济宁·月考）已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5】已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6】已知函数，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
【典例4】（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知x，，且，则下列不等式正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（24-25高三上·上海金山·阶段练习）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例5】（24-25高三上·江苏·开学考试）设函数，则使得不成立的的解集是 ．
【变式1】（23-24高一上·天津·期末）若不等式对任意的恒不成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数.当时，求不等式的解集.
题型03 指数型复合函数的值域
【典例6】（1）（23-24高一上·重庆·期末）函数的值域是 .
（2）（23-24高一上·福建三明·期中）函数 在时的值域是 ．
【变式1】求函数，在上的值域.
【变式2】（24-25广东省六校10月联考）函数（）的最大值为 .
【变式3】（对选）（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．
D．函数为减函数
【变式4】（23-24高一上·广东深圳·期末）将函数的值域为 .
【典例7】（23-24高一上·甘肃威武·月考）已知函数．
(1)若，求的单调区间
(2)若有最大值3，求的值
(3)若的值域是，求的值
【变式1】（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23高一下·青海西宁·开学考试）若函数的值域为，则a的取值范围是 .
【变式3】（23-24高一上·上海·期末）已知，设.
(1)若，求函数的值域；
(2)已知，若函数的最大值为，求的值；
(3)已知，若存在两个不同的正实数、，使得当函数的定义域为时，其值域为，求的取值范围.
【变式4】设函数是定义域为R的偶函数，是定义域为R的奇函数，且.
(1)求与的解析式；
(2)若在上的最小值为，求的值.
【变式5】设，且，函数在上的最大值为，则实数的值为 .
题型05 指数型复合函数的奇偶性
【典例8】（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．1
【变式1】（23-24高一上·辽宁·月考）设且，若函数是上的奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·江西新余·模拟预测）函数为偶函数，则的值为：（ ）.
A． B． C． D．
【变式3】（24-25高二上·湖南·阶段练习）若函数为偶函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【变式4】（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数为偶函数，则=（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
题型05 对数型复合函数的定义域
【典例9】（23-24高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2024高一上·江苏·专题练习）设全集，， ，则=（ ）
A． B． C． D．
【变式2】函数的定义域是
【变式3】（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ．
【变式4】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域：
(1)；
(2)（常数且）．
题型06 对数型复合函数的单调性
【典例10】（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）函数的单调递增区间是 ．
【变式1】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（24-25高三上·四川成都·开学考试）函数的单调递增区间为 .
【典例11】（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）若函数在区间内单调递增，则的取值范围 .
【变式1】（24-25高三上·山东济南·开学考试）已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（23-24高一上·湖北·期末）若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5】若（，且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围为 ．
【典例12】（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数（且）的图象过点．
(1)求a的值及的定义域；
(2)求的单调区间；
(3)若，比较与的大小．
【变式1】（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知函数，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）已知函数（，且）的图象关于坐标原点对称
(1)求实数的值
(2)比较与的大小，并请说明理由.
【典例13】（23-24高一下·湖北·期中）已知函数.
(1)若在上单调递减，求的取值范围;
(2)若，解不等式.
【变式1】（23-24高一·上海·课堂例题）设，若，求实数的取值范围．
【变式2】（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数.
(1)求的定义域；
(2)求关于的不等式的解集.
【变式3】（24-25高三上·辽宁·开学考试）若，则的取值范围是 .
【变式4】（23-24高一上·湖南·期末）已知函数，若，则实数的取值范围为 .
【变式5】已知函数f(x)loga（x+1），g(x)loga（1﹣x），a＞0且a≠1
(1)求函数f(x)+g(x)的定义域且判断奇偶性；
(2)求不等式f(x)≥g(x)的解集．
题型07 对数型复合函数的值域
【典例14】（23-24高一上·浙江杭州·月考）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的最小值是 ．
【变式2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24高一上·广东茂名·期中）函数的值域是 .
【变式4】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1．
(1)求的值；
(2)若，求函数的最小值．
【变式5】（24-25高一上·上海·课堂例题）设且，函数的图像过点．
(1)求的值及函数的定义域；
(2)求函数在区间上的最大值．
【典例15】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ．
【变式2】（23-24高一上·云南昆明·期末）设函数且．
(1)若，解不等式；
(2)若在上的最大值与最小值之差为1，求的值．
【变式3】（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知函数，（，且）．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)是否存在实数，使得函数在区间上取得最大值2？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
题型08 对数型复合函数的奇偶性
【典例16】（23-24高一上·广东汕头·期末）函数（a为常数）的奇偶性为（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．都不是
【变式1】函数是定义在上的奇函数，则 ．
【变式2】（2023·山西·高一校联考期中）若为偶函数，则 .
【变式3】（23-24高三上·福建莆田·月考）若函数为偶函数，则（ ）
A．-1 B．0 C． D．1
题型09 指、对复合函数中恒不成立与有解问题
【典例17】（23-24高一下·湖南·开学考试）已知函数.
(1)求的定义域；
(2)若，求的取值范围.
【变式1】（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知函数，若对，均有不成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C． D．
【变式2】（22-23高一上·江苏南通·阶段练习）函数，（），对，使不成立（为自然对数的底数），则实数的取值范围是 .
【变式3】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)若不等式有解，求实数的取值范围．
【变式4】（22-23高一上·河北邢台·期末）已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)若对任意，，恒不成立，求实数的取值范围.
题型11 指、对复合函数中零点问题
【典例18】（多选）（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若函数有三个零点、、，且，则（ ）
A．
B．
C．函数的增区间为
D．的最小值为
【变式1】（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知且，函数，若关于的方程恰有3个不相等的实数解，则实数的取值范围是 ．
【变式3】（24-25高三上·湖南常德·开学考试）已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.
【变式4】（2024·全国·模拟预测）若关于x的指数函数方程
(1)有实数解，求实数a的取值范围；
(2)在区间上有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．
题型12 指、对复合函数中的新定义问题
【典例19】（23-24高一下·贵州毕节·期末）定义：二阶行列式；三阶行列式的某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式.现有三阶行列式，若元素1的余子式，则 ；记元素2的余子式为函数，则的单调减区间为 .
【变式1】（24-25高三上·全国·阶段练习）定义，不超过的最大整数称为的整数部分，记作，为的小数部分，记作，这一规定最早为数学家高斯所用，因此称为高斯函数，称为小数函数，下列说法正确的是（ ）
A． B．函数所有零点和为0
C．的值域为 D．是的充要条件
【变式2】（23-24高一上·重庆·期末）定义：表示的解集中整数的个数.若，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，不等式的解集是
C．当时，
D．当时，若，则实数的取值范围是
一、单选题
1．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数，的值域是( )
A． B． C． D．
3．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·天津·阶段练习）函数的值域为R．则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·浙江·开学考试）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二下·浙江·期中）已知，则使不成立的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．当时，不等式恒不成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一上·北京顺义·期末）悬链线指的是一种曲线，如铁塔之间悬垂的电线，横跨深涧的观光索道的电缆等等，这些现象中都有相似的曲线形态，这些曲线在数学上被称为悬链线，悬链线的方程为，其中c为参数，当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数，下列说法错误的是（ ）
A． B．函数的值域
C．，恒不成立 D．方程有且只有一个实根
二、多选题
9．（23-24高一下·江西·期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．函数是定义域上的奇函数 D．函数是定义域上的偶函数
10．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函数为奇函数，则下列叙述正确的是（ ）
A． B．函数在定义域上是单调减函数
C． D．函数所有零点之和大于零
11．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）设定义在上的函数满足为奇函数，当时，，若，则（ ）
A． B．
C． D．为偶函数
三、填空题
12．（23-24高一下·广东揭阳·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围为 .
13．（23-24高一上·浙江丽水·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ．
14．（23-24高一上·湖南娄底·期末）设函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调增函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称是定义域为D的“成功函数”.若函数（且）是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是 .
四、解答题
15．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知（且）是偶函数.
(1)求的值；
(2)若在上的最大值比最小值大，求的值.
16．（23-24高一下·贵州黔西·期末）已知e是自然对数的底数，若函数，且是偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数的单调性（不用证明），并求不等式的解集．
17．（22-23高一上·山东淄博·期末）已知函数为奇函数.
(1)求数k的值；
(2)设，证明：函数在上是减函数；
(3)设函数，判断在上的单调性，无需证明；若在上只有一个零点，求实数m的取值范围.
18．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，函数．
(1)求不等式的解集；
(2)求函数的值域；
(3)若不等式对任意实数恒不成立，试求实数的取值范围．
19．（23-24高一上·安徽·期末）对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减，②存在区间，使在上的值域为.则我们把称为闭函数，且区间称为的一个“好区间”，其中.
(1)若是函数的好区间，求实数m，n的值；
(2)若函数为闭函数，求实数k的取值范围.
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课程标准 学习目标
1.指数型复合函数的性质及应用； 2.对数型复合函数的性质及应用． 掌握与指对数复合函数有关的定义域、单调性、值域、奇偶性、零点、不等式等问题的基本解法，突破函数学习中的这一难点.
知识点01 复合函数的概念
如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，则当时，函数为与在上的复合函数，其中叫做内层函数，叫做外层函数．
知识点02 复合函数的单调性
1、复合函数单调性的规律：“同增异减”
若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；
若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．
2、具体判断步骤
（1）求出原函数的定义域；
（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数；
（3）分析内层函数和外层函数的单调性；
（4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论．
知识点03复合函数的值域求解
1、指数型复合函数值域的求法
（1）形如（，且）的函数求值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围．
（2）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域．
2、对数型复合函数值域的求法
（1）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域．
（2）形如（，且）的函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域．
题型01 指数型复合函数的定义域
【典例1】（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，运算求解即可得函数的定义域.
【详解】令，解得且，
所以函数的定义域为.
.
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域是（ ）
A．R B．
C． D．且
【答案】D
【分析】由题意可知：要有意义，进而可得定义域.
【详解】由题意可知：要有意义，可得，
所以函数的定义域是.
.
【变式2】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】利用分母不为0即可求解.
【详解】由，解得：，所以函数的定义域为.
故答案为：
【变式3】（23-24高一上·安徽阜阳·期末）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据偶次根式被开方数大于等于、中求解出的范围，则定义域可知.
【详解】由题意可知，解得且，
故函数的定义域为．
故答案为：.
【变式4】（24-25高一上·上海·单元测试）函数（且）的定义域为，则 ．
【答案】/
【分析】根据函数的定义域列不等式，结合指数函数和对数运算等知识求得正确答案.
【详解】依题意，，
当时，，与已知矛盾.
当时，，
函数的定义域为，
所以，，两边平方得.
故答案为：
【变式5】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）函数在区间上有意义，求的取值范围.
【答案】.
【分析】将问题转化为不等式在区间上恒不成立，然后参变分离，利用单调性即可求解.
【详解】因为函数在区间上有意义，
所以，不等式在区间上恒不成立，
∵，∴，∴.
记，
∵与是上的减函数，
∴函数在上的单调递增.
∴时，恒不成立.
∴，即的取值范围是.
题型02 指数型复合函数的单调性
【典例2】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知函数，则函数的递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则函数在上单调递减，在单调递增，
而函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，在单调递增.
【变式1】（23-24高一上·广东佛山·月考）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则t在上递减，在上递增，
又在R上递增，所以的单调递减区间为，
【变式2】函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令在单调递减，单调递增，又函数单调递减，
所以函数在单调递增，单调递减.
.
【变式3】（22-23高一上·广东·期末）函数的单调递增区间为 .
【答案】
【解析】设，则，
对称轴为，当，即，即，即时，
为减函数，函数为增函数，
则为减函数，即函数单调减区间为；
当，即，即，即时，为减函数，
函数为减函数，则为增函数，
即函数单调增区间为.
故答案为：
【典例3】（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是( ).
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用复合函数的单调性及指数函数的单调性分类讨论底数计算即可.
【详解】若，在上单调递增，
要满足题意，则要在上单调递减，故，即；
若，在上单调递减，
要满足题意，则要在上单调递增，故，
即，不满足
综上所述：的取值范围是.
.
【变式1】（23-24高二下·天津河东·期末）设函数在区间单调递减，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在上单调递减，函数在R上单调递增，
因此函数的单调递减区间是，而函数在区间单调递减，
则，即，解得，所以a的取值范围是.
【变式2】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设，函数在上单调递增，
函数在单调递增，故在上单调递增，故.
故答案为：.
【变式3】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意知函数由复合而成，
在上为增函数，由复合函数的同增异减性，
可知需为R上的增函数，
故，∴，∴或，.
【变式4】（23-24高一上·山东济宁·月考）已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
因为在上是减函数，由复合函数的单调性知，
函数与的单调性相反；
又因为单调递减，所以需在上单调递增.
函数的对称轴为，所以只需要，故选:A.
【变式5】已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由且，得为单调递减函数，
由复合函数单调性法则得，
又，解得．
．
【变式6】已知函数，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】依题意，在上单调递增，
令，因为，则，故，
又在上单调递减；
而的开口向上，对称轴为，
根据复合函数单调性同增异减可得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【典例4】（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知x，，且，则下列不等式正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据给定条件，构造函数并探讨单调性，利用单调性可得，再逐项判断即得.
【详解】令函数，函数分别是R上的增函数和减函数，因此在R上递增
由，得，即有，因此，
对于AC，，，AC正确；
对于BD，取，满足，而，选项D中表达式无意义，BD错误.
C
【变式1】（24-25高三上·上海金山·阶段练习）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对于ACD通过反例即可判断，对于B可通过的单调性判断.
【详解】对于A：取，满足，而，故错误；
对于C：取满足，而，故错误；
对于D：取，满足，而，故错误；
对于B：因为，所以，又函数单调递增，所以，
即，故正确
【典例5】（24-25高三上·江苏·开学考试）设函数，则使得不成立的的解集是 ．
【答案】
【分析】判断函数的性质，再利用性质求解不等式.
【详解】函数的定义域为R，，则为奇函数，
又函数分别为R上的增函数和减函数，于是是R上的增函数，
不等式化为，
即，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
【变式1】（23-24高一上·天津·期末）若不等式对任意的恒不成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】化成同底数指数幂，然后参变分离，可知的取值范围.
【详解】因为，所以，
，即
，
当时，有最小值，
，
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数.当时，求不等式的解集.
【答案】
【分析】令，则，再由，解不等式即可；
【详解】因为，
令，则，
当时，，
即，即，
由，解得，
即，解得，
所以原不等式的解集为.
题型03 指数型复合函数的值域
【典例6】（1）（23-24高一上·重庆·期末）函数的值域是 .
【答案】
【解析】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减，
因此，
所以函数的值域是.
故答案为：
（2）（23-24高一上·福建三明·期中）函数 在时的值域是 ．
【答案】
【解析】当时，，函数，
显然当，即时，，当，即时，，
所以所求值域是.
故答案为：
【变式1】求函数，在上的值域.
【解析】，
令，函数 在上是单调减函数，∴，
的对称轴为，
∴当时，，即
当时，，即，
∴在上的值域为.
【变式2】（24-25广东省六校10月联考）函数（）的最大值为 .
【答案】/
【分析】结合二次函数的性质求最大值．
【详解】，
又，则，
所以，即时，，
故答案为：．
【变式3】（对选）（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．
D．函数为减函数
【答案】CC
【分析】根据分母不为求出函数的定义域，即可判断A；再将函数解析式变形为，即可求出函数的值域，从而判断B；根据指数幂的运算判断C，根据函数值的特征判断D.
【详解】对于函数，则，解得，所以函数的定义域为，故A错误；
因为，
又，当时，则，
当时，则，
所以函数的值域为，故B正确；
又，故C正确；
当时，当时，所以不是减函数，故D错误.
C
【变式4】（23-24高一上·广东深圳·期末）将函数的值域为 .
【答案】
【分析】根据指数函数的性质，即可求得答案.
【详解】由于，故且，
故函数的值域为，
故答案为：
【典例7】（23-24高一上·甘肃威武·月考）已知函数．
(1)若，求的单调区间
(2)若有最大值3，求的值
(3)若的值域是，求的值
【答案】(1)函数的单调递增区间是，单调递减区间是；(2)1；(3)0.
【解析】（1）当时，，
令，由在上单调递增，在上单调递减，
而在R上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）令，，
由于有最大值3，所以应有最小值，
因此必有．解得，即有最大值3时，a为1．
（3）由指数函数的性质知，要使的值域为，
应使的值域为R，
因此只能（因为若，则为二次函数，其值域不可能为R），
故a的值为0．
【变式1】（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对实数分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果.
【详解】当时，，符合题意；
当时，因为函数的值域为满足，
由指数函数的单调性可知，即二次函数的最小值小于或等于零；
若时，依题意有的最小值，即，
若时，不符合题意；
综上：，
.
【变式2】（22-23高一下·青海西宁·开学考试）若函数的值域为，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】对分类讨论可知，只有当且函数的值域包含时满足题意，由此即可列出不等式组求解.
【详解】若，则，不满足题意；
若，则，
当，即时，的值域为，满足题意.
故答案为：.
【变式3】（23-24高一上·上海·期末）已知，设.
(1)若，求函数的值域；
(2)已知，若函数的最大值为，求的值；
(3)已知，若存在两个不同的正实数、，使得当函数的定义域为时，其值域为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意结合指数函数性质分析求解；
（2）令，可得的最大值为，结合二次函数性质分析求解；
（3）令，由题意可知在内有两个零点，结合二次函数零点分布求解.
【详解】（1）若，则，
因为，则，
所以函数的值域为.
（2）令，则，
因为，可知开口向下，对称轴为，
当，二次函数取到最大值，
整理得，解得或，
且，所以.
（3）令，则
因为，开口向上，对称轴，
可知在内单调递增，
且在内单调递增，
可知在内单调递增，
由题意可知：至少有2个不同的正根，
即，整理得，
可得在内有两个零点，
且，则，解得，
所以的取值范围.
【变式4】设函数是定义域为R的偶函数，是定义域为R的奇函数，且.
(1)求与的解析式；
(2)若在上的最小值为，求的值.
【解析】（1）为偶函数，，
又为奇函数，，
，①
，，②
由得：，可得.
所以，.
（2），
所以，，
令，因为函数、在上均为增函数，
故在上单调递增，则，
设， 对称轴，
①当时，在上单调递增，
，解得：，不符合题意.
②当时，函数在上为减函数，在上为增函数，
则，
解得：或（舍）；
③当时，在上单调递减，
，解得：，不符合题意.
综上：.
【变式5】设，且，函数在上的最大值为，则实数的值为 .
【答案】或
【解析】令且，则，
且，，
函数是上的增函数；
当，时，，，
即，解得：或（舍）；
当，时，，，
即，解得：或（舍）；
综上所述：实数的值为或.
故答案为：或.
题型05 指数型复合函数的奇偶性
【典例8】（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】由函数，可得，
因为是奇函数，所以，
即，解得..
【变式1】（23-24高一上·辽宁·月考）设且，若函数是上的奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于函数是上的奇函数，
故，即，
故，即，
因为，故，
【变式2】（2024·江西新余·模拟预测）函数为偶函数，则的值为：（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性列式化简即可求值.
【详解】，，
由函数为偶函数，则 ，
即，解得：.
.
【变式3】（24-25高二上·湖南·阶段练习）若函数为偶函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】C
【分析】根据偶函数的定义求解即可.
【详解】因为函数为偶函数，所以，
所以，
解得，经检验满足题意，
.
【变式4】（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数为偶函数，则=（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】A
【分析】根据偶函数定义列出方程求解即可.
【详解】因为函数为偶函数，
所以，
所以，即恒不成立，
所以，
题型05 对数型复合函数的定义域
【典例9】（23-24高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据开偶次方根被开方数非负及对数真数大于零确定函数定义域.
【详解】由 得 ，所以函数的定义域为.
故选: B
【变式1】（2024高一上·江苏·专题练习）设全集，， ，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过函数的定义域求出集合A，然后求出A的补集，通过函数的值域求出集合B，接着根据集合的交集定义即可求解.
【详解】由，时，
所以；，
所以，
所以.
.
【变式2】函数的定义域是
【答案】
【分析】对数的真数大于零，然后建立不等式求解即可.
【详解】由题可知，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
【变式3】（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ．
【答案】.
【分析】由条件求出函数解析式中的范围，列出使得有意义的不等式，解不等式可得结论.
【详解】因为函数的定义域是，
所以，故，
因为有意义，
所以，所以，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【变式4】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域：
(1)；
(2)（常数且）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，解出即可.
（2）令，解出即可.
【详解】（1）由已知，令，即，
解得，
则函数的定义域为.
（2）由已知，令，解得，
则函数的定义域为.
题型06 对数型复合函数的单调性
【典例10】（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用二次函数的图象与性质，函数在上单调递增，在上单调递减，以及对数函数的图象与性质，函数为减函数，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解.
【详解】令，
由，解得，
又的图象的对称轴为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，则函数为减函数，
所以由复合函数单调性，的单调递增区间是.
故答案为：.
【变式1】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】逐项判断函数的奇偶性、单调性可得答案.
【详解】对于A，，定义域关于原点对称，，所以是偶函数，
设，则，
所以在上单调递增，故A正确；
对于B，，定义域关于原点对称，，所以是偶函数，
当时，是单调递增函数，故B正确；
对于C，，定义域关于原点对称，，所以是偶函数，
当时，是单调递增函数，故C正确；
对于D，，定义域关于原点对称，，所以是奇函数，故D错误.
BC.
【变式2】（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数型复合函数的单调性即可求解.
【详解】函数，因为，解得．
所以函数的定义域为，且，．
因为函数在区间上单调递增，
在区间上单调递减，函数单调递增，
所以由复合函数的单调性知函数在区间上单调递增，
在区间上单调递减,
【变式3】（24-25高三上·四川成都·开学考试）函数的单调递增区间为 .
【答案】
【分析】根据对数型函数的定义域，结合对数型函数的单调性的性质进行求解即可.
【详解】由，或，
二次函数的对称轴为，
因为函数是正实数集上的增函数，
所以当函数单调递增时，则有，
所以函数的单调递增区间为，
故答案为：
【变式3】（2024高一·全国·专题练习）试求函数的单调区间．
【答案】单调递增区间为，单调递减区间为
【分析】利用对数型复合函数的单调性即可得出答案.
【详解】函数的定义域为．
令，则．
因为函数在内单调递减，
且当，即时，函数单调递减，
当，即时，函数单调递增，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
【典例11】（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）若函数在区间内单调递增，则的取值范围 .
【答案】
【分析】根据对数复合函数的单调性求参.
【详解】令，
因为单调递减，所以单调递减，故,
又因为，
所以，所以.
故答案为：.
【变式1】（24-25高三上·山东济南·开学考试）已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据在上恒大于0，且单调递增，可求的取值范围.
【详解】因为函数 在 上单调递增，
所以在上单调递增，所以.
且在恒大于0，所以或.
综上可知：.
【变式2】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数定义可知对任意的恒不成立，解得且；再根据复合函数单调性结合对数函数以及二次函数单调性分析求解.
【详解】因为在上单调递减，
则对任意的恒不成立，可得且；
且开口向下，对称轴，
当时，则对称轴，可知在内单调递减，
且在定义域内单调递减，所以在上单调递增，不合题意；
当时，因为在定义域内单调递增，可知在内单调递减，
则，解得；
综上所述：的取值范围是.
.
【变式3】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复合函数的单调性及对数函数的定义域计算即可.
【详解】在区间上单调递增，
则在区间上单调递减且恒为正，
所以且，所以.
.
【变式4】（23-24高一上·湖北·期末）若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知得，解之得，即的定义域为，
又在区间内单调递增，根据复合函数的单调性，
可得：，解得．
【变式5】若（，且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，
当时，是增函数，
因为（，且）在区间上单调递增，
则在区间上单调递增，且在区间上恒不成立，
则，且，解得；
当时，是减函数，
因为（，且）在区间上单调递增，
则在区间上单调递减，且在区间上恒不成立，
则，且，无解，
综上：，
故答案为：
【典例12】（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数（且）的图象过点．
(1)求a的值及的定义域；
(2)求的单调区间；
(3)若，比较与的大小．
【答案】(1)，
(2)单调增区间为，单调减区间为
(3)
【分析】（1）由求得，由对数函数的定义得定义域；
（2）根据二次函数、对数函数的单调性及复合函数的“同增异减”求函数的单调区间；
（3）指数式改写为对数式，然后比较的大小，并由已知得出的范围，在此范围内由的单调性得大小关系．
【详解】（1）因为在函数的图象上，
所以，
即，解得.
由，解得，
所以的定义域为.
（2）由，
令，
当时，单调递增，时，单调递减，
又单调递减，由复合函数的单调性知，在上单调递减，在上单调递增，
故的单调增区间为，单调减区间为.
（3），，
，，
，，
所以，，则，，
因为，所以，，即，
，，
所以，，
由（2）知，在上是减函数，
所以．
【变式1】（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知函数，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简函数，推出，再根据函数在上的单调性即得.
【详解】由可知，，
且在上单调递减，故，即.
.
【变式2】（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）已知函数（，且）的图象关于坐标原点对称
(1)求实数的值
(2)比较与的大小，并请说明理由.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据函数解析式，由奇函数定义可求得满足题意；
（2）利用对数函数单调性对底数进行分类讨论即可比较出与的大小.
【详解】（1）∵，∴.
又函数的图象关于坐标原点对称，
∴，∴，
∴，即，可得，
解得或.
验证知不不成立，
所以
（2）据（1）求解知，，
因此，.
当时，函数在上单调递增，∴；
当时，函数在上单调递减，∴；
综上可知，当时，；当时，.
【典例13】（23-24高一下·湖北·期中）已知函数.
(1)若在上单调递减，求的取值范围;
(2)若，解不等式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在上单调递减，所以，求出函数的定义域，则为其定义域的子集，求解即可.
（2）利用对数的加法运算化简解析式，然后利用对数函数的单调性解不等式即可.
【详解】（1）依题意在上单调递减，所以，
所以由， 解得，所以 ，
解得，即的取值范围是.
（2）依题意，
即，从而有
解得或，
即不等式解集为.
【变式1】（23-24高一·上海·课堂例题）设，若，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】利用对数函数的单调性，把含对数的不等式转化为多项式不等式求解，过程中注意函数的定义域即可.
【详解】因为，所以对数函数在上单调递减；
又，
所以
.
故实数的取值范围为：
【变式2】（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数.
(1)求的定义域；
(2)求关于的不等式的解集.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得不等式，求解可得；
（2）根据函数的单调性，由不等式可化为，进而可得，求解可得.
【详解】（1）由，解得，
所以的定义域为.
（2）.
不等式可化为.
因为是增函数，所以
解得，故.
故不等式的解集为.
【变式3】（24-25高三上·辽宁·开学考试）若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据对数的定义可得，根据对数单调性解不等式即可.
【详解】因为，
可得且，可得且，可知，
且，可得，解得或（舍去），
若，则，则，
可得，整理可得，解得或（舍去），
所以的取值范围是.
故答案为：.
【变式4】（23-24高一上·湖南·期末）已知函数，若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集.
【详解】，
令，由于，所以的定义域为，
又，
所以是奇函数，当时，为增函数，则，
由是奇函数可知，在上单调递增，
则，
于是，解得，即实数a的取值范围是.
故答案为：
【变式5】已知函数f(x)loga（x+1），g(x)loga（1﹣x），a＞0且a≠1
(1)求函数f(x)+g(x)的定义域且判断奇偶性；
(2)求不等式f(x)≥g(x)的解集．
【答案】(1)函数的定义域为，偶函数
(2)答案见解析
【分析】（1）构造函数，根据对数函数的定义即可求出定义域，再根据奇偶性的定义即可判断；
（2）需要分类讨论，根据对数函数的单调性得到不等式解得即可，注意定义域．
【详解】（1）令F(x)f(x)+g(x)loga（x+1）+loga（1﹣x）loga（1﹣x2），
∵1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1，∴函数的定义域为，
，
∴F(x)为偶函数，即f(x)+g(x)为偶函数；
（2）∵f(x)≥g(x)，∴loga（x+1）≥loga（1﹣x），
当a＞1时，x+1≥1﹣x，解得0≤x＜1，
当0＜a＜1时，x+1≤1﹣x，
解得﹣1＜x≤0，综上所述，当a＞1时，解集为[0，1），当0＜a＜1时，解集为（﹣1，0]．
题型07 对数型复合函数的值域
【典例14】（23-24高一上·浙江杭州·月考）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为R，
令，则，
又在上单调递增，则，
则函数的值域为
【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的最小值是 ．
【答案】2
【分析】利用整体换元，将复合函数的最值转化为对数函数的最值求解即可.
【详解】令，则，.
又在上单调递增，
所以，此时.
故答案为：
【变式2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
设，则，
故函数的值域为.
【变式3】（23-24高一上·广东茂名·期中）函数的值域是 .
【答案】
【解析】令，则，
因为，则，且的对称轴为，
可知，所以的值域是.
故答案为：.
【变式4】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1．
(1)求的值；
(2)若，求函数的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由可得，则在定义域内为减函数，再根据已知条件列方程可求出的值；
（2）由得，对函数化简后换元得，然后利用二次函数的性质可求出其最小值.
【详解】（1）因为，所以，
所以在上为严格减函数，
因为函数在区间上的最大值与最小值之差为1，
所以，即，解得．
（2）因为，所以，
所以，
令，则，，
所以当，即时，取最小值为．
【变式5】（24-25高一上·上海·课堂例题）设且，函数的图像过点．
(1)求的值及函数的定义域；
(2)求函数在区间上的最大值．
【答案】(1)2；
(2)2
【分析】（1）代入点的坐标求出的值，再根据对数函数的定义求出函数的定义域；
（2）依题意可得，结合二次函数的性质及对数函数的性质计算可得.
【详解】（1）由函数的图像过点，
得，即，所以，解得或（舍），
所以，
由，解得，
所以，函数的定义域为．
（2）由（1）知，
又，所以当时取得最大值4，且函数在定义域上单调递增，
故函数在区间上的最大值．
【典例15】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，
因为的值域为，所以，
又，，所以，
即，解得：且，
所以实数的取值范围是..
【变式1】（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ．
【答案】6
【解析】因为函数由与复合而成，
而在定义域上单调递增，
所以当取最大值时，函数取得最大值，
由二次函数的性质易知当时，，此时，
所以，解得．
故答案为：
【变式2】（23-24高一上·云南昆明·期末）设函数且．
(1)若，解不等式；
(2)若在上的最大值与最小值之差为1，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由可求出a的值，即得函数解析式，根据对数函数的单调性解不等式，即得答案；
（2）由题意列方程求解，即可求得a的值.
【详解】（1）由可得，解得，
即，则，即，
即，
故不等式的解集为；
（2）由于在上的最大值与最小值之差为1，
故，即或，
即的值为或.
【变式3】（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知函数，（，且）．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)是否存在实数，使得函数在区间上取得最大值2？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)存在，或
【分析】（1）根据对数型复合函数的单调性即可求解；
（2）先令，并求值域，再分别对进行分类求的最大值，进而求的值.
【详解】（1）由题意可得，即函数的定义域为.
当时，，
令，则，易知函数在上单调递增.
函数图象的对称轴为直线，
当，函数在上递增，在上递减．
所以，由复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），（，且）.
令，由，得，
则的值域为.
（ⅰ）时，在上单调递减，
所以函数在上的最大值为，
则，，满足题意.
（ⅱ）时，在上单调递增，
所以函数在区间上的最大值为，
则，满足题意．
综上所述：的值为或.
题型08 对数型复合函数的奇偶性
【典例16】（23-24高一上·广东汕头·期末）函数（a为常数）的奇偶性为（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．都不是
【答案】A
【解析】根据题意，设，其定义域为，
所以函数f（x）为奇函数，．
【变式1】函数是定义在上的奇函数，则 ．
【答案】
【解析】由函数是定义在上的奇函数，
则对任意的实数恒不成立，
即，对任意实数恒不成立，
可得对任意实数恒不成立，可得，即
经验证，此时为上的奇函数，满足题意．
故答案为：．
【变式2】（2023·山西·高一校联考期中）若为偶函数，则 .
【答案】
【解析】设，定义域为，
则，
所以函数为奇函数，
又因为为偶函数
所以函数为奇函数，得.
故答案为：.
【变式3】（23-24高三上·福建莆田·月考）若函数为偶函数，则（ ）
A．-1 B．0 C． D．1
【答案】C
【解析】因为为偶函数，
，
则有，解得，
经验证时，符合条件，.
题型09 指、对复合函数中恒不成立与有解问题
【典例17】（23-24高一下·湖南·开学考试）已知函数.
(1)求的定义域；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数函数的真数大于零列不等式组求解即可；
（2）根据题意可知，结合二次函数性质利用指数函数单调性求解，分类讨论求解函数的最大值，列不等式求解即可.
【详解】（1）要使函数有意义，则，解得，
所以的定义域为；
（2）因为，所以，
，因为，所以，
所以当时，，
对于函数，，
若，则函数在定义域上单调递减，而函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
所以，则，
因为，所以，无解；
若，则函数在定义域上单调递增，而函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，所以，
则，又，所解得；
综上，的取值范围为.
【点睛】结论点睛：一般地，已知函数，，
（1）若，，总有不成立，故；
（2）若，，有不成立，故；
（3）若，，有不成立，故；
【变式1】（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知函数，若对，均有不成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题设上，进而有，结合对数函数的性质列不等式组求参数范围.
【详解】由题设上，而，故，
而为增函数，
所以，即，故的取值范围为.
【变式2】（22-23高一上·江苏南通·阶段练习）函数，（），对，使不成立（为自然对数的底数），则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意可利用换元法构造函数，分别求出两函数值域再由逻辑语不成立得出值域的关系，即可求出实数的取值范围.
【详解】根据题意可知时，；
令，构造函数，
由二次函数性质可得函数在上单调递减，在上单调递增；
所以，，即；
也即时，；
又，所以在上单调递增，即；
若对，使不成立，可知；
即，解得.
又，所以
故答案为：
【变式3】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)若不等式有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由复合对数函数定义域的求法列出不等式组，解之即可得解；
（2）只需结合换元法、对数函数单调性，求出的最大值即可得解.
【详解】（1）函数有意义，须满足，∴．
∴函数的定义域为．
（2）∵不等式有解，∴小于的最大值．
．
令，由于，∴．
∴函数的最大值为，
∴实数的取值范围为．
【变式4】（22-23高一上·河北邢台·期末）已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)若对任意，，恒不成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)奇函数
(3)
【分析】（1）根据条件，列出不等式即可得到结果；
（2）根据条件，结合函数奇偶性的定义即可得到结果；
（3）根据条件，结合换元法，以及函数的单调，转化为最值问题，即可得到结果.
【详解】（1）∵，∴，解得，∴的定义域为.
（2）∵定义域关于原点对称，且，∴函数为奇函数.
（3）设，，∵在上单调递增，在上单调递增，
∴由复合函数的单调性知，在上单调递增，∴在上单调递增，
∴在上的最大值为.
要使对任意，恒不成立，只需，即，
恒不成立.令，则，解得或，
故实数的取值范围是.
题型11 指对复合函数中零点问题
【典例18】（多选）（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若函数有三个零点、、，且，则（ ）
A．
B．
C．函数的增区间为
D．的最小值为
【答案】AD
【分析】作出函数与函数的图象，数形结合可判断A选项；结合图形可得出关于的不等式，解之可判断B选项；由图得出函数的单调递增区间，进而可求出函数的增区间，可判断C选项；利用二次函数的对称性可得出，结合基本不等式可判断D选项.
【详解】由可得，作出函数与函数的图象如下图所示：
对于A：方程有三个解与直线有个交点，
由图可知，，故A正确；
对于B选项，由图可知，在函数的图象上，
由可得，解得，故B错误；
对于C，函数的增区间为，
对于函数，由得，
所以的增区间为，故C错误；
对于D，二次函数的对称轴为直线，
由图可知，点、关于直线对称，则，
，
由得或，由图可知，
，
当且仅当时，即时不成立，故D正确.
D.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
【变式1】（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知且，函数，若关于的方程恰有3个不相等的实数解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】当时，，方程有2个不相等的实数解，则当时，，此时方程只有1个实数解，对分类讨论，由的值域求实数的取值范围.
【详解】方程，即或，
当时，，由解得，由解得；
当时，，此时方程只有1个实数解，
若，则在上单调递减，，
此时和都有解，不合题意，
若，则在上单调递增，，则.
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【变式3】（24-25高三上·湖南常德·开学考试）已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过解对数、指数、一元二次不等式等知识求得不等式的解集.
（2）利用换元法，结合一元二次方程根的分布列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1），
，
恒不成立，
，
原不等式的解集为；
（2）方程有两个不同的实数根，
有两个不同的实数根，
令，则在有两个不同的实数根，
令，
由已知得，解得.
【变式4】（2024·全国·模拟预测）若关于x的指数函数方程
(1)有实数解，求实数a的取值范围；
(2)在区间上有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）参变分离后借助基本不等式计算即可得；
（2）参变分离后借助对勾函数的性质计算即可得.
【详解】（1）由题意可得有解，
由，故，
当且仅当时，等号不成立，
即，则，即；
（2）由题意可得在区间上有且只有一个实数解，
由时，则，
由对勾函数性质可得，当，即时，单调递减，
此时，
当，即时，单调递增，
此时，
则有或，
解得或.
题型12 指对复合函数中的新定义问题
【典例19】（23-24高一下·贵州毕节·期末）定义：二阶行列式；三阶行列式的某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式.现有三阶行列式，若元素1的余子式，则 ；记元素2的余子式为函数，则的单调减区间为 .
【答案】 / /
【分析】由，根据余子式定义转化为二阶行列式列方程可解出；利用余子式定义将转化为二阶行列式经过运算化简得解析式，再借助复合函数单调性同增异减求解减区间即可.
【详解】由三阶行列式根据题意得，
元素的余子式，
解得；
元素2的余子式
则函数
由解得，则定义域为，
令，
则当，函数单调递增，又单调递增，
所以由复合函数单调性可知在区间上单调递增；
当，函数单调递减，又单调递增，
所以由复合函数单调性可知在区间上单调递减；
故单调减区间为.
故答案为：；（填也正确）.
【变式1】（24-25高三上·全国·阶段练习）定义，不超过的最大整数称为的整数部分，记作，为的小数部分，记作，这一规定最早为数学家高斯所用，因此称为高斯函数，称为小数函数，下列说法正确的是（ ）
A． B．函数所有零点和为0
C．的值域为 D．是的充要条件
【答案】D
【分析】根据给定函数，计算判断A；由零点的意义构造函数，作出图象，结合对称性求解判断B；利用指数型函数的值域判断C；举例说明判断D.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，由，得，在同一坐标系内作出函数与的图象，
函数的图象关于点成中心对称，令，
令，则，，，
于是，即函数图象关于点成中心对称，
则函数与的图象，除交点外，其他交点都关于点成中心对称，
这些交点的横坐标和为0，所以函数所有零点和为，B错误；
对于C，，而，则，
，，函数的值域为，C正确；
对于D，当时，取，而，D错误.
【变式2】（23-24高一上·重庆·期末）定义：表示的解集中整数的个数.若，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，不等式的解集是
C．当时，
D．当时，若，则实数的取值范围是
【答案】CD
【分析】由题意可知，即为满足的整数的个数，数形结合可判断A选项；当时，解不等式，可判断BC选项；数形结合可得出满足不等式的等价条件，求出实数的取值范围，可判断D选项.
【详解】根据题意，即为满足的整数的个数．
当时，如图，数形结合得的解集中整数的个数有无数多个，故A错误；
当时，，数形结合（如图），
由，可得，解得，
所以在内有个整数解，为、、，故B对和C错；
当时，作出函数和的图象，如图所示，
若，即的整数解只有一个，
只需满足，即，解得，
所以时，实数的取值范围是，故D正确；
D．
一、单选题
1．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简集合后由交集定义可得答案.
【详解】集合表示函数的定义域，则，
集合表示函数的值域，则.
故.
.
2．函数，的值域是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，求出g(t)的值域，再根据指数函数单调性求f(x)值域.
【详解】令，
则，
则，
.
3．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由对数式的真数大于0求得原函数的定义域，再求出内层函数二次函数的增区间，则答案可求.
【详解】由，得或，
则原函数的定义域为或，
令，其对称轴方程为，该函数在上单调递增，
又函数是定义域内的增函数，
∴函数的单调递增区间是.
.
4．（23-24高一上·天津·阶段练习）函数的值域为R．则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质，结合一元二次不等式求解即得.
【详解】由函数的值域为R，得的取值包含所有正实数，
因此，解得或，
所以实数m的取值范围是.
5．（24-25高三上·浙江·开学考试）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复合函数单调性同增异减列不等式，由此来求得的取值范围.
【详解】因为函数在区间上单调递增，
所以在上单调递增，则，即.
6．（23-24高二下·浙江·期中）已知，则使不成立的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判断函数的单调性，再根据函数的单调性得出不等式，最后解一元二次不等式求解.
【详解】因为,所以是单调递增函数，
又因为，所以,
所以,
所以x的取值范围为.
.
7．当时，不等式恒不成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将时，不等式恒不成立，转化为对一切恒不成立，再，求得其最小值即可.
【详解】因为时，不等式恒不成立，
所以对一切恒不成立，
令，
所以，
解得.
【点睛】本题主要考查不等式恒不成立问题，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
8．（23-24高一上·北京顺义·期末）悬链线指的是一种曲线，如铁塔之间悬垂的电线，横跨深涧的观光索道的电缆等等，这些现象中都有相似的曲线形态，这些曲线在数学上被称为悬链线，悬链线的方程为，其中c为参数，当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数，下列说法错误的是（ ）
A． B．函数的值域
C．，恒不成立 D．方程有且只有一个实根
【答案】D
【分析】直接计算即可判断A；分离常数，再根据指数函数及反比例函数的性质即可判断B；举出反例即可判断C；令，根据函数的单调性结合零点的存在性定理即可判断D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，
因为，所以，所以，
所以，
所以函数的值域，故B正确；
对于C，因为，
即，故C错误；
对于D，，
令，函数为增函数，且，
而函数在上为增函数，
所以函数是增函数，
令，
因为函数都是增函数，
所以函数是增函数，
又，
所以函数有唯一零点，且在上，
即方程有且只有一个实根，故D正确.
.
【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：
（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；
（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.
二、多选题
9．（23-24高一下·江西·期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．函数是定义域上的奇函数 D．函数是定义域上的偶函数
【答案】AC
【分析】利用对数函数真数大于0建立方程判断A，利用复合函数单调性的性质得到的单调性，再求值域判断B，利用函数奇偶性的定义判断C，D即可.
【详解】对于函数，
令，解得，
函数的定义域为，故A正确；
因为在上单调递减，在定义域上单调递增，
所以在上单调递减，
所以在上单调递增，
同理可得在上单调递增，
所以为上的增函数，
又，
其中，
因为，所以，所以，所以，
则，所以，即，又的值域为，
函数的值域为，故B错误；
又，
函数是定义域上的奇函数，C正确，D错误．
C．
10．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函数为奇函数，则下列叙述正确的是（ ）
A． B．函数在定义域上是单调减函数
C． D．函数所有零点之和大于零
【答案】AC
【分析】根据求解可判断A；取特值验证可判断B；通过观察法求值域可判断C；根据奇函数的对称性即可判断D.
【详解】对A，由得的定义域为，
因为为奇函数，所以，解得，A正确；
对B，由上知，，
因为，
所以，显然不满足减函数定义，B错误；
对C，因为，所以，
所以，所以，
所以，C正确；
对D，因为函数和均为奇函数，
所以是定义在上的奇函数，
由对称性可知，若是的一个零点，则也是的一个零点，
所以，的所有零点之和等于0，D错误.
C
11．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）设定义在上的函数满足为奇函数，当时，，若，则（ ）
A． B．
C． D．为偶函数
【答案】ABD
【分析】由题意可得可判断A；由可得，列方程组，解出可判断B；由函数的周期性、对称性和对数函数的运算性质可判断C；由得可判断D.
【详解】选项A：因为为奇函数，所以，
即关于对称，又是定义在上的函数，则，故A正确；
选项B：由可得，则有，
故B正确；
选项C：因为，所以，即的周期为4；
因为，即，
所以；
因为关于对称，所以，
则，故C错误；
选项D：由得，
即为偶函数，故D正确．
BD.
【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论
（1）关于轴对称，
（2）关于中心对称，
（3）的一个周期为，
（4）的一个周期为.
可以类比三角函数的性质记忆以上结论.
三、填空题
12．（23-24高一下·广东揭阳·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用对数函数的单调性，可求出时的值域，进而可知当时，有恒不成立，最后结合指数的运算即可求解.
【详解】当时，，此时，
因为函数的值域为，
所以当时，有恒不成立，
即在时恒不成立，
所以，解得.
故答案为：.
13．（23-24高一上·浙江丽水·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由复合函数的单调性计算即可得.
【详解】令，对称轴为，
∵函数在区间上单调递增，在上单调递增，
∴在上单调递增，且，
∴且，即且，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
14．（23-24高一上·湖南娄底·期末）设函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调增函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称是定义域为D的“成功函数”.若函数（且）是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是 .
【答案】
【分析】先根据对数型复合函数的单调性求得，然后根据“成功函数”的定义列方程，从而转化为二次方程有两正根的问题，利用二次函数根的分布列不等式求解即可.
【详解】依题意，函数（且）在定义域R上为单调递增函数，则，
而时，不满足条件，所以，
设存在，使得在上的值域为，
所以，即，
所以，n是方程的两个不等的实根，设，则，
所以方程等价为的有两个不等的正实根，
即，所以，解得.
故答案为：
四、解答题
15．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知（且）是偶函数.
(1)求的值；
(2)若在上的最大值比最小值大，求的值.
【答案】(1)0.
(2)或.
【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，根据方程恒不成立得解；
（2）分和两种情况讨论，由指数函数的单调性求最值即可得解.
【详解】（1）若为偶函数，则恒不成立，
所以，即恒不成立，解得.
故的值为0.
（2）由（1）可得（且）.
当时，在上单调递增，，解得.
当时，在上单调递减，，解得.
故的值为或.
16．（23-24高一下·贵州黔西·期末）已知e是自然对数的底数，若函数，且是偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数的单调性（不用证明），并求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)在上单调递减，在上单调递增；
【分析】（1）根据偶函数定义利用可求得；
（2）根据复合函数单调性可判断得出在上单调递减，在上单调递增，再利用偶函数性质解一元二次不等式可得结果.
【详解】（1）因为是偶函数，所以，
即，可得，
也即，
又，不恒等于0，因此需满足，解得；
经检验当时，为偶函数，满足题意；
所以
（2）因为函数是偶函数，所以只需判断上单调性即可；
易知，当时，
结合复合函数以及对勾函数单调性可知在上单调递增，
由偶函数性质可得在上单调递减，
因此可得在上单调递减，在上单调递增；
所以对函数来说，距离其对称轴轴越近，函数值越小，
因此不等式等价于，
也即，整理可得，
解得或；
所以不等式的解集为.
17．（22-23高一上·山东淄博·期末）已知函数为奇函数.
(1)求数k的值；
(2)设，证明：函数在上是减函数；
(3)设函数，判断在上的单调性，无需证明；若在上只有一个零点，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)单调递增，.
【分析】(1)由于为奇函数，可得，即可得出；
(2)利用单调性的定义，通过作差即可证明；
(3)利用(2)求函数在上的单调性，再结合零点存在性定理即可得出m取值范围．
【详解】（1）为奇函数，
，
，即，
，整理得，
（时，不合题意而舍去）．
（2）由(1)，故，
设，
时，，，，
，即，
函数在上是减函数；
（3）由(2)知，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知在单调递增，
又在R上单调递增，
在单调递增，
在区间上只有一个零点，
，
即，
解得.
【点睛】方法点睛：根据函数零点求参数取值或范围的方法
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及有几个零点时，还需考虑函数的图象在参数范围不同时的交点个数；
（3）利用方程根的分布求解，转化为不等式问题；
（4）转化为两熟悉的函数图象交点问题，从而构建不等式求解.
18．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，函数．
(1)求不等式的解集；
(2)求函数的值域；
(3)若不等式对任意实数恒不成立，试求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）解指数不等式，得到解集；
（2）变形得到，结合，求出的值域；
（3）转化为，求出，故，得到答案.
【详解】（1）由，得
整理得
解得，
的解集为
（2），
，
，
即的值域为．
（3）不等式对任意实数恒不成立
．
，
令，，，
设，，
当时，取得最小值，即，
，即，
，即，解得，
实数的取值范围为．
19．（23-24高一上·安徽·期末）对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减，②存在区间，使在上的值域为.则我们把称为闭函数，且区间称为的一个“好区间”，其中.
(1)若是函数的好区间，求实数m，n的值；
(2)若函数为闭函数，求实数k的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据题意，分为增函数和减函数两种情况讨论，构造关于、的方程组，解可得答案；（2）根据题意，分析的单调性，可得和是方程，即的两根，利用换元法分析可得方程有两个不等的正根，利用二次函数的性质分析可得答案．
【详解】（1）若是函数的好区间，
分2种情况讨论：
若在上单调递增．则，解可得，
此时 在上单调递增，符合条件；
若在上单调递减，则，解可得，
此时，符合题意，
综合可得：或.
（2）函数为闭函数，易得在定义域上单调递增，
则有，故和是方程，即的两根，
令，原方程等价于，
则方程有两个不等的正根，
则有，解可得，即的取值范围为．
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