2025年山东日照中考数学模拟试题（含解析）

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2025年山东日照中考数学模拟试题
考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列运算结果是正数的是（　　）
A．3﹣1 B．﹣32 C．﹣|﹣3| D．
2．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．戴口罩讲卫生 B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医 D．少出门少聚集
3．2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约2kg的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　）
A．384×103 B．38.4×104 C．3.84×105 D．0.384×106
4．如图，直线a∥b，将含有30°角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若∠1＝15°，那么∠2的大小为（　　）
A．60° B．55° C．45° D．35°
5．新能源汽车比传统燃油车具有静音、节能、智能等优势．如图是某新能源汽车公司2022年和2023年每个季度某种车型的出口销售额折线图，该公司的这种车型在2023年的每个季度都比2022年的同一季度增加相同的出口销售额，根据统计图，下列关于这两年该种车型的出口销售额的描述，正确的是（　　）
A．众数不变 B．中位数不变 C．平均数不变 D．方差不变
6．如图，小明在点C处测得树的顶端A仰角为α，同时测得AB＝6m，则AC为（　　）m．
A．6sinα B． C．6tanα D．
7．方程x3﹣4x＝0的解是（　　）
A．2或0 B．±2或0 C．2 D．﹣2或0
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos∠CEF的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图所示，正方形ABCD与AEFG（其中边BC，EF分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数y的图象上，直线DG与x，y轴分别相交于点M，N．若这两个正方形的面积之和是，且MD＝4GN．则k的值是（　　）
A．5 B．1 C．3 D．2
10．如图，设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车原地返回．设x小时后两车间的距离为y千米，y关于x的函数关系如图所示，则乙车的速度为（　　）
A．60千米/小时 B．70千米/小时
C．75千米/小时 D．80千米/小时
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，对于下列结论：①abc＜0；②a+c＝b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1） （x﹣5）；④当m＞﹣9a时，关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
12．问题：有一列数，按一定规律排成一列：1，﹣3，9，﹣27，81，﹣243……其中某三个相邻数的和是﹣1701，求这三个数中最小的数．
为解决问题，甲、乙两人给出各自为解题所设列的方程：
甲：设这三个数中绝对值最小的一个数是x，则另两个数依次是﹣3x、9x，根据题意得x﹣3x+9x＝﹣1701．
乙：某三个相邻数的和是﹣1701，则设这三个数中绝对值最小的一个数是﹣3x﹣1，则另两个数依次是3x，﹣3x+1，根据题意得﹣3x﹣1+3x﹣3x+1＝﹣1701．
下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两人所列方程都正确 B．甲、乙两人所列方程都不正确
C．甲列方程正确、乙列方程不正确 D．甲列方程不正确、乙列方程正确
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．定义新运算※，对于任意实数a，b都有a※b＝a2+ab，如果3※4＝32+3×4＝9+12＝21，那么方程x※5＝0的解为 　 　．
14．如图，正方形AMNP的边AM在正六边形ABCDEF的边AB上，则∠PAF＝　 　度．
15．正比例函数 y ＝2 x 和一次函数 y ＝ kx +5（ k 为常数，且 k 不为0）的图象交于点 A （ m ，3），则关于 x 的不等式2 x ＜ kx +5的解集为 　 　．
16．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点与原点O重合，边OA在x轴上，OC在y轴上，点B在反比例函数的图象上，D是边OA上的一点，连接DC，BD．将△OCD折叠，得到△O′CD，折痕为CD，点O的对应点为O′，O′D与BC交于点E；将△BAD折叠，得到△BA′D，折痕为BD，点A的对应点A′恰好落在O′D上．若点D（4，0），AB＝3，则k的值为 　 　．
（14题图） （15题图） （16题图）
三．解答题（共6小题，满分72分）
17．（10分）（1）先化简，再求值：，其中x＝3；
（2）解不等式组：．
18．（10分）为迎接建党一百周年，甲、乙两名同学进行了六次党史知识测试，部分成绩如图所示，已知甲、乙两名同学六次成绩的平均数相等．
（1）计算甲同学成绩的平均数，并补充完整乙同学成绩的折线统计图；
（2）若乙同学成绩的方差为S乙2＝33.3，请计算甲同学成绩的方差，并比较哪个同学的成绩较稳定；
（3）甲同学成绩的中位数和众数分别记作a，b，乙同学成绩的众数记作c，在数a，b，c中随机抽取两个数，求抽到的两个数恰好相等的概率．
19．（12分）如图1和图2所示，在平行四边形ABCD中，点M为对角线AC上的一点，点N为边BC上的一点，且点A和点N关于直线BM对称．
（1）请用尺规作图的方法在图1中确定点M，N的位置（保留作图痕迹，不用写出作法）；
（2）如图2所示，若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，AB＝10．
①求B，M两点之间的距离；
②连接DN，请直接写出CN和DN的长为多少．
20．（12分）3月12日是植树节，某学校开展植树活动．学校用6000元购买了A，B两种树苗共150棵．已知一棵B种树苗是一棵A种树苗价格的2倍，且购买A种树苗与购买B种树苗费用相同．
（1）求购买一棵A种树苗、一棵B种树苗各需多少元？
（2）若学校还需购买A，B两种树苗共90棵，且A种树苗的棵数不多于B种树苗棵数的2倍，问至少要花多少钱？
21．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、D、B三点，CB的延长线交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
（1）求证：AE＝CE；
（2）若CF＝CD＝2，求⊙O的半径和sin∠CAB的值；
（3）若CF＝k CD（k＞0），直接写出sin∠CAB的值（用含k的代数式表示）．
22．（14分）平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求抛物线y的函数表达式；
（2）如图1，点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作 PD⊥AC于点D，过点P作PE∥AB交直线BC于E，求PDPE的最大值以及此时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线y向右平移2个单位得到新抛物线y，在新抛物线y上找一点M，使得△MAC与△MAO的面积之比为5：3，请直接写出满足条件的所有点M的横坐标，并写出其中一个横坐标的求解过程．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．解：A、0，此选项符合题意；
B、﹣32＝﹣9＜0，此选项不符合题意；
C、﹣|﹣3|＝﹣3＜0，此选项不符合题意；
D、，此选项不符合题意；
选：A．
2．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，此选项不合题意；
C、既是中心对称图形也是轴对称图形，此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，此选项不合题意；
选：C．
3．解：384000＝3.84×105．
选：C．
4．解：
∵图中是一个含有30°角的直角三角尺，
∴∠1+∠4＝60°，
∵∠1＝15°，
∴∠4＝60°﹣∠1＝45°，
∵a∥b，
∴∠3＝∠4＝45°，
∵∠2+∠3+90°＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣90°＝180°﹣45°﹣90°＝45°．
选：C．
5．解：∵该公司的这种车型在2023年的每个季度都比2022年的同一季度增加相同的出口销售额，
∴平均数，中位数，众数都会增加，但出口销售额的波动不会改变，
∴方差不变，
选：D．
6．解：在Rt△ABC中，AB＝6m，∠ACB＝α，sinα，
∴AC（m），
选：B．
7．解：x3﹣4x＝0，
∴x（x2﹣4）＝0．
∴x（x+2）（x﹣2）＝0．
∴x＝0或x+2＝0或x﹣2＝0．
∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝2．
选：B．
8．解：方法一：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，DC＝AB＝6，
∵把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，
∴AF＝AD＝8，EF＝DE，
∴BF，
∴CF＝BC﹣BF＝8，
在Rt△EFC中，
CE＝DC﹣DE＝6﹣EF，
由勾股定理，得EF2＝CE2+CF2，
∴EF2＝（6﹣EF）2+（8）2，
∴EF，
∴CE＝6，
∴cos∠CEF，
选：A．
方法二：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠CEF+∠EFC＝90°，
∵把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，
∴AF＝AD＝8，∠AFE＝∠D＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，
∴∠CEF＝∠AFB，
∵AB＝6，
∴BF，
∴cos∠CEF＝cos∠AFB
选：A．
9．解：设AE＝EF＝FG＝a，AB＝BC＝AD＝b，
由题意得：a2+b2．
∵正方形ABCD与AEFG（其中边BC，EF分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数y的图象上，
∴FG∥ED∥OM，∠NFG＝∠DCM＝90°，
∴∠NGF＝∠DMC，
∴△NFG∽△DCM，
∴，
∵MD＝4GN，
∴，
∴NFb．
∵FG∥ED，
∴△NFG∽△NED，
∴，
∴，
∴b2＝4a2，
∴，
∵a＞0，
∴a．
∴b．
∴A（，），
∴k3．
选：C．
10．解：设甲车的速度为a千米/小时，乙车的速度为b千米/小时，
由图可得：，
解得，
即甲车的速度为60千米/小时，乙车的速度为70千米/小时，
选：B．
11．解：由题意得，a＜0．
又∵对称轴是直线x2，
∴b＝﹣4a＞0．
∵x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，c＝b﹣a＝﹣5a＞0，②正确．
∴abc＜0，①正确．
∵函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），
∴多项式ax2+bx+c可因式分解为a（x+1） （x﹣5），③错误，
∵抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x2﹣4x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣9a），
∴当m＞﹣9a时，关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根，④正确．
综上，正确的是①②④．
选：C．
12．解：解法一：设这三个数中绝对值最小的一个数是x，则另两个数依次是﹣3x、9x，根据题意得x﹣3x+9x＝﹣1701．甲所列方程正确；
乙：解法二：设这三个数中绝对值最小的一个数是﹣3x﹣1，则另两个数依次是3x，﹣3x+1，根据题意得﹣3x﹣1+3x﹣3x+1＝﹣1701．乙所列方程正确．
选：A．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．解：x※5＝0，
则x2+5x＝0，
x（x+5）＝0，
解得：x＝0或﹣5．
答案为：0或﹣5．
14．解：由题意可知，∠BAF＝（n﹣2）×180°÷6＝120°，∠PAM＝90°，
∴∠PAF＝∠BAF﹣∠PAM＝30°．
答案为：30．
15．解：把A（m，3）代入y＝2x得2m＝3，解得m，
∴A（，3），
由图象可知，当x时，2x＜kx+5，
关于 x 的不等式2 x ＜ kx +5的解集为x．
答案为：x．
16．解：由轴对称的性质可知，∠CDO′，∠A′DB，
∵∠ODO′+∠ADA′＝180°，
∴∠CDO′+∠A′DB＝90°，
∴△BCD是Rt△，
∴BC2＝CD2+BD2，
设BC＝OA＝m，
∵AB＝3，D（4，0），
∴OC＝AB＝3，OD＝4，
∴AD＝m﹣4，
∴CD2＝OC2+OD2＝25，BD2＝AD2+AB2＝（m﹣4）2+32，
∴BC2＝OC2+OD2+AD2+AB2，
∴m2＝25+（m﹣4）2+9，
解得m，
∴B（，3），
∵点B在反比例函数的图象上，
∴k．
答案为：．
三．解答题（共6小题，满分72分）
17．解：（1）原式

＝x﹣2，
当x＝3时，
原式＝3﹣2
＝1；
（2），
解不等式①得：x＞3；
解不等式②得：x＞1，
∴不等式组的解集为x＞3．
18．解：（1）∵，
则75×6﹣80﹣70﹣70﹣75﹣70＝85，
补充完整乙同学成绩的折线统计图如下：
（2）S乙2，
∵甲、乙两名同学六次成绩的平均数相同，，
∴乙同学成绩较稳定；
（3）∵甲成绩的中位数为，众数为75，乙成绩的众数为70，
∴a＝75，b＝75，c＝70，
列表如下：
75 75 70
75 （75，75） （75，70）
75 （75，75） （75，70）
70 （70，75） （70，75）
共有6种等可能的结果，抽到的两个数恰好相等的结果有2种，
∴抽到的两个数恰好相等的概率为．
19．解：（1）如图1，以AB为半径作弧交BC于点N，再作∠ABC的平分线交AC于点M，
点M、N就是所要确定的点；
（2）①如图2，连接BM，AN，
∵点A，N关于直线BM对称，
∴BM是AN的中垂线，
∴BN＝BA，
则，
∴∠BMA＝∠MBC+∠ACB＝30°+45°＝75°，
又∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∴∠BMA＝∠BAC，
∴，
即B，M两点之间的距离为；
②如图3，过A作AF⊥BC于点F，
由①可知，BN＝BA，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABN是等边三角形，
∴AN＝BN＝AB＝10，
∵AF⊥BC，
∴∠AFB＝∠AFC＝90°，BF＝FNBN＝5，
∴AF15，
∵∠ACB＝45°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴CF＝AF＝15，ACAF＝15，
∴BC＝BF+CF＝515，
∴CN＝BC﹣BN＝515﹣1015﹣5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∵AN＝AB，
∴AN＝CD，
∴四边形ANCD是等腰梯形，
∴DN＝AC＝15，
即CN的长为15﹣5，DN的长为15．
20．解：（1）设购买一棵A种树苗需要x元，则购买一棵B种树苗需要2x元，
依题意得：150，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×30＝60．
答：购买一棵B种树苗需要60元，购买一棵A种树苗需要30元．
（2）设购买A种树苗m棵，则购买B种树苗（90﹣m）棵，
依题意得：m≤2（90﹣m），
解得：m≤60．
设购买两种树苗80棵所需总费用为w元，则w＝30m+60（90﹣m）＝﹣30m+5400．
∵﹣30＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤60，且m为正整数，
∴当m60时，w取得最小值，最小值＝﹣30×60+5400＝3600．
答：至少要花3600元钱．
21．证明：（1）连接DE，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∴AE是⊙O直径
∴∠ADE＝90°，即DE⊥AC，
又∵D是AC的中点，
∴DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE；
（2）在△ADE和△EFA中，
∵∠ADE＝∠AEF＝90°，∠DAE＝∠EAF，
∴△ADE∽△AEF，
∴，即，
解得：AE＝2cm；
即⊙O的直径为2cm，
∴⊙O的半径为cm；
∵∠ADE＝∠FDE＝∠AEF＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝∠FED+∠AED＝90°，
∴∠DAE＝∠DEF，
∴△ADE∽△EDF，
∴，
∴DE2＝AD DF＝2×4＝8，
∴DE＝2，
在Rt△CDE中，CE2，
∴sin∠CED，
∵∠CAB＝∠CED，
∴sin∠CAB；
（3）∵AE＝CE，
∴∠DAE＝∠ACB，
∵∠CAB+∠ACB＝90°，∠DEA+∠DAE＝90°，
∴∠CAB＝∠DEA，
∵CF＝k CD，点D是AC中点，
∴DF＝（k+1）CD，
∵△ADE∽△EDF，
∴，
∴DE2＝AD DF＝（k+1）CD2，
∴DECD，
在Rt△CDE中，CECD，
∴sin∠CED，
∵∠CAB＝∠CED，
∴sin∠CAB．
22．解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+3）（x﹣2），
将点C（0，4）代入得，
4＝a 3×（﹣2），
∴a，
∴y；
（2）如图1，
设AC与EP交于点F，
∵A（﹣3，0），C（0，4），B（2，0），
∴直线AC的解析式为：y，直线BC的解析式为：y＝﹣2x+4，AC＝5，
∴sin∠PFD＝sin∠CAO
设P（t，），
由﹣2x+4
x，
∴PE，
∴，
由得，
x，
∴PF，
∴PD＝PF sin∠PFD＝PF sin∠CAO（），
∴PD，
∴当t时，（PD）最大，
当t时，，
∴P（）；
（3）如图2，
作MV⊥AC于V，作MW⊥AB，交AC于W，
∵点A和点B香油平移2个单位后坐标分别是（﹣1，0），（4，0），
∴新抛物线的解析式为：y（x+1）（x﹣4），
设M（m，），
∴W（m，），
∴WM＝||，
∴MV＝WM sin∠ACO||＝||
∴S△MAOOA |yM|||＝|m2﹣3m﹣4|，
S△MAC|m2﹣m+2|，
∵△MAC与△MAO的面积之比为5：3，
∴5|m2﹣3m﹣4|＝3|m2﹣m+2|，
∴m1＝3，m2＝3，m3，m4．
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