湖北省高中名校联盟2025届高三第三次联合测评
数
学
本试卷共4页，19题满分150分。考试用时120分钟e
考试时间：2025年2月6日下午15：00一17：00
★祝考诚顺利★
注意事项：
1,签题前，先将自已的姓名、准芳证号填写在试盏和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的
指定位置。
么.选据题的作答：每小短进出容案后，用2B铅茗把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、
苹稀妖知容随卡上的非答题区战均无效。
3.非选择题的作签：用色签字笔立接答在签题卡上对应的答随区战内。写在试盏、草稿纸和答题
卡上的非答通区城均无效。
4.考试片宋后，清诗东武卷和答题卡一并上交：
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的
1.若z=(3十i)〔2-5i),则x=
A12+5
B.11-13i
C11+131
D.-12-5i
2.已知柴合A=xx2-x-20),B={江∈Z引-2x5},则(CA)门B=
A(2,5)》
B.[2,5)
C.{3,4}
D.{2,3,4}
3.已知等差数列{2.}的前z项和为S.若a:=5,48=9,则S1为
A.88
B.77
C.66
D.55
4.已知cssa十2sine=m,2cosa一sina=n,则m2十n2的值为
A.3
B.5
C.5
5.已知函数f(c)的导函数为f'(z),且满足f(x)=2axf(货)一six,则f'(变的值为
A分
、
2
6.在测量降雨量的实践活动中，某小组利用现有仪器，格一个玻璃福斗固定在一个较大的
蛀形瓶上，海斗的下觉伸进锥形瓶内，下雨时将其置于室外收集雨水.如图所示，已知锥
形瓶的底部直径为100mm,瓶口直径为0mm,玻璃漏斗口直径为80mm,收集完毕
后测得水面距底30皿m,水面直径0nn,则平地降币量大约为（注：平地降雨量等
于收集到的雨水体积与收集雨水的面积之比)
A.25.6mm
B.28.1 mrn
C.35.6 mm
D.38.1mm
数学试卷第】页（共4页）
7.已知一个等比数列的前力项，前2m项，前3n项的和分别为S.:SaSw,则下列等式中正确的是
A.S,十Snm=S
B.SS.S
C,(S.十S)一S.=S
D.S+Sg=S.(S,+S.》
8.过抛物线C:y2=4x上的一点P作切线，设与zx轴相交于点M,F为C的焦点，直线PF交C于另
一点Q:则△，PQM面积的最小值为
婚
B.4
C.
D.3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.下列说法正确的有
L.若样本数据出1，r8,·,x的平均数为a+则数据x1,x2,·,x5:a的平均数为a
B.若随机变量X一N(2,s2):且P(Xa)=0.5,则a=2
C,若随机变量B(9,骨)，则E()-音
0
D若随机变量一B3,昌》设=3+1，则Dg)=号
10.已知点M为△AC所在平面内一点，则
A若A济=号A店+号A芯，则元-d
B乱爱+死》成0且高恶-宁测A4c为等三正
C若Mi.BC=0忘，A克=0，则M店·AC=0
D.若Ai=A+心，且x十y=片，则△MBC的面积是△ABC面积的号
1已知隔数fc)-cag訾+号aimo-号o>0,则
Afx)=sin(oe+吾)
Bf)在区间0，忍)上单调递增
C者/x在区间o,上恰有一个极值点，则。的原值范禹是（兮·】
D者)在区间C,2m)内设有学点，则心的取值范玉是(0，引U[得门
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.(2x一y)i的展开式中x3y2的系数为
18设点RP,分别是双曲线C:x-片=1的左，右焦点，过点F,的直线2与双曲线C的左右丙支分
别交于AB两点，设△AF,F:与△BF,F,的内切圆半径分别为r:,则上的值为
F
数学试卷第2顶（共4页）湖北省高中名校联盟2025届高三第三次联合测评
数学试卷参考答案与评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C C B B A D D C AB BCD ABD
1.【答案】C
【详解】z=(3+i)(2-5i)=6-15i+2i-5i2=11-13i,z =11+13i.故选C
2.【答案】C
【详解】由x2-x-2≤0,可得-1≤x≤2,即A= x|-1≤x≤2 , RA= x|x<-1或x>2 .
由B= x∈Z|-2
3.【答案】B
(
【 】 a1+a11
)·11 (a4+a8)·11 (详解 S = = = 5+9
)×11
11 2 2 2 =77
,故选B.
4.【答案】B
【详解】cos2α+4sinαcosα+4sin2α=m2,sin2α-4sinαcosα+4cos2α=n2,两式相加得到m2+n2=1+
4=5.故选D.
5.【答案】A
【详解】f(x) x
π π
=2f'( ,求导得到 ()3)-sinx f'x =2f'(3)-cosx.
令x=π,即 π π π,整理得 π π 1,故选3 f'(3)=2f'(3)-cos3 f'(3)=cos3=2 A.
6.【答案】D
【详解】设收集到的雨水体积为V,收集雨水的面积为S,则V=1πh(r2 2 13 1+r1r2+r2
)=3×π×30×
(502+50×40+402)=61000πmm3,S=πr2=π×402=1600πmm2,故平地降雨量为V=61000πS 1600π≈
38.1mm.故选D.
7.【答案】D
【详解】前三个选项举反例,令n=1,等比数列为1,2,4.则Sn=1,S2n=3,S3n=7.
对于A,Sn+S2n=4,故A错误;
数学试卷参考答案与评分细则 第 1页(共8页)
对于B,S22n=9,SnS3n=7,故B错误;
对于C,(Sn+S2n)-S3n=-3,故C错误.
对于D,因为S =S +qn2n n Sn=Sn(1+qn),S3n=Sn+qnS 2nn+q Sn=Sn(1+qn+q2n),
S2n+S2 =S2 n 2 2 2n n 2 2n n n2n n[1+(1+q )]=Sn(q +2q +2)=Sn[(q +q +1)+(q +1)]=Sn(S3n+S2n),故D
正确.故选D.
8.【答案】C
【 t
2
详解】设P( ,t),由抛物线的对称性,不妨设t>0,因为直线PM 与抛物线相切,4
2
故直线PM 的方程为 t=2(x+t 令 ,得点 的坐标为 t2y ,4). y=0 M (-40).
设直线PQ 的方程为x=my+1,
x=m
y
+1,
联立 得y2-4my-4=0,所以有yPyQ=-4,于是yQ=-
4
t.
y2=4x,
1 1( t2)( 4) 1(t3则S△PQM=2 MF yP-yQ =21+4 t+t =2 4+2t+4t).
令g(t)=
1
2(t
3 1 3t2 1 1 3
4+2t+
4),则 ()t g't =2( -44 t2+2)=2t2(2t2+2)(t22 -2).
当0
23时,g'(t)>0,g(t)单调递增,故3 3 g
(t)≥
(23g 3 )=163,所以S 1639 △PQM 的最小值为 故选9 . C.
9.【答案】AB
2025
∑xi+a
【详解】对于A,样本数据x1,x2,…,x2025的平均数为a,数据x1,x2,…,x2025,a的平均数为
i=1
2026 =
2025a+a=a,故A正确;2026
对于B,P(X8
对于C,因为ξ~B(9, ),则E(9 ξ)=9×89=8,故C错误;
对于D,因为η=3ξ+1,所以D(η)=D(3ξ+1)=32×
8=8,故D错误9 .
故选AB.
10.【答案】BCD
【详解】对于A,因为AM→=13A
→B+2A→C,则B→C=3BM→,故A错误;3 2
数学试卷参考答案与评分细则 第 2页(共8页)
A→B A→C
对于B,因为( → + → )·B→C=0,所以∠BAC 的角平分线与BC 垂直,所以AB=AC;又因为AB AC
A→B →
→ ·
AC
→ =1·1·cosA=
1,所以 π,则 为等边三角形,故 正确;
AB AC 2
A=3 △ABC B
对于C,因为M→A·B→C=0,M→C·A→B=0,则M→A⊥B→C,M→C⊥A→B,所以点M 为△ABC 的垂心,所以
M→B⊥A→C,即M→B·A→C=0,故C正确;
对于D,因为AM→=xA→B+yA→C,且x+y=
1,所以3AM→=3xA→B+3yA→C,3 3x+3y=1.
设AN→=
3AM→,由3AM→=3xA→B+3yA→C,且3x+3y=1,得B,C,N 三点共线,且MN=
2AN,所以3 △MBC
的面积是△ABC 面积的2,故D正确.故选3 BCD.
11.【答案】ABD
【详解】对于A,f(x)
π
=cos2ωx 32+2sinωx-
1=1+cosωx+ 3sinωx-1=sin(ωx+ ),故2 2 2 2 6 A
正确;
对于B,x∈(0,π),则ωx+π∈(π,π) (0,π),故 (x)在(0,πf )上单调递增,故B正确;6ω 6 6 3 2 6ω
对于C,x∈(0,π),ωx+π6∈(π,ωπ+π),(x)在(0,π)上恰有1个极值点,则π π6 6 f 2<ωx+6≤3π,解2
得1<ω≤4,故C错误;3 3
对于D,x∈(π,2π),ωx+π6∈(ωπ+π,2πω+π ,()在(, )内无零点,6 6)fx π2π
kπ≤ωπ+π, 56 1 k+则 6 即k-6≤ω≤
(
2 k∈Z
),
2πω+
π (
6≤k+1
)π,
k+56>0
,
要使ω有解,则有 解得:k=0或=1,
1 k+
5
k- ≤ 6 , 6 2
所以0<ω≤5或5≤ω≤11,即 正确 故选12 6 12 D . ABD.
12.【答案】80
数学试卷参考答案与评分细则 第 3页(共8页)
【详解】因为C25·(2x)3·(-y)2=80x3y2,所以x3y2的系数为80.故填80.
13.【答案】3
【详解】设△AF1F2 与△BF1F2 的内切圆圆心分别为I1,I2,其
横坐标分别为x1,x2,其内切圆半径分别为r1,r2,过I1,I2向x
轴作垂线,垂足分别为M,N,连接I1F2.
在△AF1F2中,有 AF2 + F1F2 - AF1 =2MF2 ,
所以2a+2c=2(c-x1),解得x1=-a.同理可得x2=a.
因为I1,I2都在∠AF2F1的平分线上,所以I1,I2,F2三点共线,于是△I1MF2∽△I2NF2.
I
所以 1
M F M r
= 2 ,即 1=c+a 故填I2N F2N r2 c-a=3. 3.
14.【答案】k<-2或k=2
2x-1,x≥0,
【详解】因为函数f(x)= 可得函数图象如图.-x2-2x,x<0,
由于方程f2(x)-kf(x)+1=0有两个不同的实数根,令t=f(x),
设方程t2-kt+1=0的两个实根分别为t1,t2,不妨设t1①当Δ=k2-4=0时,k=2或k=-2.
经检验,当k=2时,t1=t2=1,满足题意;当k=-2时,t1=t2=-1,不符合题意,舍;
②当Δ=k2-4>0时,k>2或k<-2,有t1+t2=k,t1t2=1,
当k>2时,有01,不符合题意,舍;
当k<-2时,有t1<0,t2<0,此时由图可知,函数f(x)恰有2个零点,符合题意.
综上,k<-2或k=2.
故填k<-2或k=2.
15.【详解】(1)因为A=π,a=3,则由余弦定理得3=b2+c2-2bccosπ,3 3
即3=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc.………………………………………………………………… (1分)
又因为b+c=2,所以bc=1. …………………………………………………………………… (3 2
分)
所以S 1△ABC=S△ABD+S△ACD= b·AD·2 sin
A+1c·AD·sinA=1bcsinA。 ………… (4分)2 2 2 2
1× 3
所以AD·(b+c)·sinπ6=bcsin
π,即 3 2 3,
3 AD= =2×1 62
数学试卷参考答案与评分细则 第 4页(共8页)
所以AD= 3.……………………………………………………………………………………… (6 6
分)
AD→=1(A→B+A→C),
(2)
2
因为D 是BC 的中点,所以 …………………………………………… (8分)
B→C=A→C-A→B,
平方相加可得AD→2=1(42A
→B2+2A→C2-B→C2)………………………………………………… (10分)
=1
2
(2b2+2c2-a2)=1(2(b+c)2-4bc-3) 5 5
(b+c)= -bc≥ - =1, ……………… (4 4 4 4 4 4 12
分)
当且仅当b=c=1时取等号,所以AD 长的最小值为 AD→ =1.…………………………… (2 13
分)
16.【详解】(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,∴PA⊥CD. ……………………… (1分)
又AC 是圆O 的直径,故AD⊥CD.……………………………………………………………… (2分)
又AD∩PA=A,∴CD⊥平面PAD.…………………………………………………………… (3分)
又CD 平面PCD,∴平面PAD⊥平面PCD.………………………………………………… (4分)
(2)以B 为原点,建立如图所示的空间坐标系.
有B(0,0,0),A(0,1,0),P(0,1,2),C(3,0,0). ……………………………………………… (5分)
设D(m,n,0),则C→D=(m-3,n,0),A→D=(m,n-1,0),B→P=(0,1,2),B→C=(3,0,0).…… (6分)
又CD⊥AD,所以CD→·AD→=0,
故m(m-3)+n(n-1)=0(*) ………………………… (7分)
设平面PBC 的一个法向量为λ=(x,y,z),
λ·B→P=0 y+2z=0,
有 ,即 不妨取λ=(0,-2,1).…… (8分) λ·B→C=0 3x=0.
设直线CD 与平面PBC 所成角为θ,
· →
有sinθ= cos<λ,CD→>= 15.所以 λ CD = 15. …………………………………… (5 · 9
分)
λ CD→ 5
于是有 2n = 15,化简得n2 (m 2=3 -3).……………………………… (10分)
2
5· (m-3)+n2 5
①若n=3m-3,代入(*)可得m(m-3)+(3m-3)(3m-4)=0,
m=3,
化简得4m2-83m+12=0,解得 n=0.
数学试卷参考答案与评分细则 第 5页(共8页)
此时点D 与点C 重合,与题设矛盾,故舍去.…………………………………………………… (12分)
②若n=3-3m,代入(*)可得m(m-3)+(3-3m)(2-3m)=0,
m= 3,2 m=3,
化简得2m2-33m+3=0,解得 或 (舍)…………………………………… (14分)3, n=0.
n=2
2
3 3
此时D( , ,2 20),AD = (32-0)+(3
2
2-1)=1
综上所述,AD 的长为1. ………………………………………………………………………… (15分)
17.【详解】(1)
1
当a=2时,f(x)=ln
2x-1,f(x)的定义域为(- , )∪(2,+ ), …………… (1分)x-2 2
其定义域关于x=5对称,于是有4
5
(x)+ (5-x)=ln(2x-1
2(2-x)-1
f f 2 x-2)+ln( 5 )=ln(2x-1x-2)+ln(8-4x ,……… (分)( -x)-2 1-2x)
=2ln2 4
2
所以曲线 5y=f(x)的对称中心为( ,ln2).……………………………………………………… (6分)4
(2)因为 (x)=lnax-1g x-a+
1
9x
,
(
所以 '(x)=x-a·ax-a
)-(ax-1) 1 1-a2 1
g ( ……………………… (分)ax-1 x-a)2 +9=(ax-1)(x-a)+9. 8
() (a
2-1)(而 ″x = 2ax-1-a
2)
g ( ( ),x-a)2(ax-1)2 >0a>1
所以g'(x)在(a,a2+a-1)上单调递增,……………………………………………………… (10分)
依题意,有g'(x)≤0对任意x∈(a,a2+a-1)恒成立,所以g'(a2+a-1)≤0,
于是有- 1 13 2 ………………………………………………………………… ( 分)a +a -a-1+9≤0. 12
因为a>1,所以a3+a2-a-10≤0,
所以(a-2)(a2+3a+5)≤0,所以1综上,实数a的取值范围为(1,2]. ……………………………………………………………… (15分)
2
18.【详解】(1)依题意,c=3,e=c= 3,可知a 2 a=2
,b=1,故椭圆的方程为x +y2=1. ……… (2分)4
(2)在△ADQ 中,有OE∥DQ,所以OE 是△ADQ 的中位线,即E 是AQ 的中点.
数学试卷参考答案与评分细则 第 6页(共8页)
(ⅰ)因为D(0,-1),E(2,0),所以Q(4,-1),……
…………………………………………… (3分)
直线DE 的方程为y=
1x-1. …………… (2 4
分)
设B(m,n),则C(m,-n),因为A(0,1),
所以直线AB 的方程为y-1=
n-1x, …… (5分)m
直线AC 的方程为 -1=-n-1y x.……………………………………………………………… (6分)m
-1=n-1y ,m x
联立 解得xP=
4m .……………………………………………………… (分)
1 m-2n+2
7
y=2x-1
,
-1=-n-1y ,m x
联立 解得x 4m T= .…………………………………………………… (m+2n+2 8
分)
=1 y 2x-1
,
于是有 1yP=2xP-1=
2m , 1 2m
m-2n+2-1yT=2xT-1=m+2n+2-1.
……………………… (9分)
2m · 2m
+1
所以kk =yp ·yT
+1
= m-2n+2 m+2n+21 2 xp-4 xT-4 ( 4m -4)·( 4m )m-2n+2 m+2n+2-4
4m2 4m2=( )·( )= ( 2).…………………………………… ( 分)4m-4m+8n-8 4m-4m-8n-8 641-n 11
2 2
又因为m
4+n
2=1,所以k1k =
4m =12 2 . ………………………………………………… (m 4 12
分)
64×4
(ⅱ)由(ⅰ)可知
(
x +x = 4m + 4m = 4m 2m+4
) ( )
P T m-2n+2 m+2n+2 (m+2)2-4n2=
4m 2m+4
2m2+4m =4=2xE
, ……………… (15分)
故E 是PT 的中点.
又因为E 是AQ 的中点,所以四边形APQT 是平行四边形,故 QT = AP .…………… (17分)
19.【详解】(1)S3中一共有8个向量,向量(0,0,0)和剩下7个向量的数量积均为0,有7种情况;………
……………………………………………………………………………………………………… (1分)
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)这3个向量中任选两个,它们的数量积均为0,有3种情况;……… (2分)
数学试卷参考答案与评分细则 第 7页(共8页)
(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)这3个向量分别和(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0)的数量积为0,有3种情况.
…………………………………………………………………………………………………… (3分)
综上所述,P(X=0)=7+3+32 =
13.……………………………………………………………… (C 28 4
分)
8
(2)M= (0,0,…,0),(1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(0,0,…,1) ,M 中一共有n+1个元素,此时M
中元素个数是最多的.……………………………………………………………………………… (6分)
理由如下:
假设M 中除了(0,0,…,0)外还有n+1个元素,则这些元素中至少含有n+1个‘1’,所以,一定存在
两个元素a=(a1,a2,…,an),b=(b1,b2,…,bn),a,b∈M,这两个向量之中的某一个分量同时为1,
即存在i∈ 1,2,…,n ,使得aibi=1,此时a·b>0,与题设矛盾,故集合M 中至多有n+1个元素.
…………………………………………………………………………………………………… (9分)
(3)定义a=(a1,a2,…,an)和a'=(1-a1,1-a2,…,1-an)为一组“互补向量”,可以发现a的“互补
向量”就是将a中的分量‘0’全部换成‘1’,分量‘1’全部换成‘0’,显然有a·a'=0.
于是我们可以将S 中的全部2n 个向量分成2n-1n 组“互补向量”,而在每一组“互补向量”中至多只有
一个向量能作为集合T 中的元素(否则,在同一组中的两个向量的数量积就为0了),
所以Card(T)≤2n-1. …………………………………………………………………………… (12分)
下面我们给出一种Card(T)=2n-1的取法:在每一组“互补向量”中,我们始终取‘1’的个数较多的那
个向量作为集合T 中的元素,这样就能保证对于 a,b∈T,且a≠b,都有a·b≠0.证明如下:
①若n=2k+1,k∈N*,则每一组“互补向量”里被选出来的向量都至少含有k+1个‘1’,可知T 中任
意两个向量里都至少有一个相同位置含有‘1’,符合题意. …………………………………… (14分)
②若n=2k,k∈N*,按照前面的选法,选出的‘1’的个数大于k的向量与其他组被选出的向量的数量
积都大于0,所以我们只需要考虑那些恰好含有k个‘1’的“互补向量”组.事实上,每一个恰好含有k
个‘1’的向量只与自身的“互补向量”的数量积为0,而与其他的含有k个‘1’的向量的数量积均大于
0.所以对于由两个恰好含有k个‘1’的向量构成的“互补向量”组,我们就从这两个向量中任选一个
作为集合T 中的元素,这样的选法仍是选出了2n-1个向量作为T 中的元素.……………… (17分)
数学试卷参考答案与评分细则 第 8页(共8页)