1.1 第4课时 同底数幂的除法 课件(共58张PPT) 2024-2025学年北师大版七年级数学下册

(共58张PPT)
北师大版（2024）七年级数学下册 第一章 整式的乘除
1.1 幂的乘除
第4课时 同底数幂的除法
目录
学习目标
01
情景导入
02
新知探究
03
课本例题
04
05
课本练习
06
分层练习
08
07
课本习题
课堂小结
学习目标
1. 会推导同底数幂的除法的运算性质.
2. 掌握同底数幂的除法的运算性质，并会进行同底数幂的除法，并能解决一些实际问题.
3. 归纳并掌握零指数幂和负整数指数幂的意义.
情景导入
1. 同底数幂的乘法法则：am·an= (m，n都是正整数）.同底数幂相乘，底数 ，指数 .
2. 幂的乘方法则：(am)n= 　(m，n都是正整数）.幂的乘方，底数 ，指数 .
am+n
不变
amn　
不变
相乘
相加
3. 积的乘方法则:(ab)n = .积的乘方，等于把积的每一个因式 ，再把所得的幂 .
an·bn
分别乘方
相乘
新知探究
一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种灭菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴灭菌剂可以杀死109个有害细菌.要将1L液体中的有害细菌全部杀死，需要这种灭菌剂多少滴？
1012÷109
你知道怎么计算吗？
尝试思考
解：(1)1012÷109=
12个10
9个10
=10×10×10
=103
(2)10m÷10n=
m个10
n个10
=10×10×···×10
(m-n)个10
=10m-n
(3)(- 3)m÷(- 3)n
=(-3)m-n
1.计算下列各式，并说明理由(m>n).
(1)1012÷109; (2)10m÷10n; (3)(- 3)m÷(- 3)n.
2. 如果m，n都是正整数，且m＞n，那么am÷an等于什么？你是怎么得到的？
证明：
猜想结论：
am÷an=am-n (m，n都是正整数)
am÷an=
m个a
n个a
=aaa
(m-n)个a
=am-n
同底数幂相除，底数 ，指数 .
不变
相减
am ÷ an =am-n （a≠0，m，n都是正整数，且m＞n）
例题讲解
例5 计算：
（1） a7÷a4； （2） (-x)6÷(-x)3；
（3）(xy)4÷(xy); （4） b2m+2÷b2；
(2) (-x)6÷(-x)3=(-x)6-3=(-x)3=-x3；
(3)(xy)4÷(xy)=(xy)4-1=x3y3;
(4) b2m+2÷b2=b2m+2-2=b2m；
解：(1)a7÷a4=a7-4=a3；
思考交流
(1)计算: 23÷23， 23÷25， a3÷a3， a3÷a5.
23÷23=.
23÷25=
a3÷a3=.
a3÷a5=
（2）要使得m=n或m解：23÷23 = 23-3 =20； 23÷25 = = ；
a3÷a3 = a3-3= a0； a3÷a5 = a = a .
（3）比较(1)(2)各式的对应结果，你有什么发现
我们规定:
.
有了这个规定后，已学过的同底数幂的乘法和除法运算性质中的m，n就从正整数扩大到全体整数了，即
am·an=am+n，am÷an=am-n(a≠0，m，n都是整数).
.
即任何不为零的数的零次幂都等于1.
即任何非零数的-n（n是正整数）次幂都等于这个数的n次幂的倒数.
零指数幂：
负整数指数幂：
概念归纳
例题讲解
例6 用小数或分数表示下列各数：
（1）10－3； （2）70×8－2； （3）1.6×10－4.
解：（1）10－3=0.001.
（2）70×8－2=1
（3）1.6×10－4=1.6=1.6×0.0001=0.00016.
尝试思考
有的细胞的直径只有1微米（m），即0.000 001m;
某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒(ns)，即0.000 000 001s；
一个氧原子的质量为0.000 000 000 000 000 000 000 000 026 57kg.
你能用负指数表示这些数吗？
用科学计数法可以很方便地表示一些绝对值较大的数，
同样，用科学计数法也可以很方便地表示一些绝对值较小的数.
①0.000 001=
②0.000 001=
例如：
③0.000 000 000 000 000 000 000 000 026 57
==2.657×10-26
用科学计数法表示绝对值小于1的数的方法:
a和n值的确定：
(1)a的确定方法：整数部分只含一位的数（即1≤a＜10）;
(2)n的确定方法：n由原数左起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定
（特别注意：包括小数点前面这个零）.
一个小于1的正数可以表示为：a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是负整数.
大于-1的负数也可以用类似的方法表示，
如-0.000 00256可以表示成-2.56.
怎样确定a和n？
概念归纳
随堂练习
1. 计算：(1) x12÷x4； (2) (-y)3÷(-y)2； (3) -(k6÷k6)；
(4) (-r)5÷r4； (5) m÷m0； (6) (mn)5÷(mn).
解: (1) x12÷x4
(2) (-y)3÷(-y)2
(3) -(k6÷k6)
(4) (-r)5÷r4
(5) m÷m0
(6) (mn)5÷(mn)
=x12-4
=x8.
=(-y)3-2
=-y.
=-1.
= -r5÷r4
= -r.
=m÷1
=m.
=(mn)5-1
=(mn)4
=m4n4.
2. 1个电子的质量约为0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911kg，
请用科学记数法表示这个数.
分层练习
1. 计算 的结果是( )
B
A. B. C. D.
2. [2024金华模拟] 若 （★） ，则★为( )
B
A. B. C. D.
基础题
3.[2024太原模拟] ( )
B
A. B.C. D.
4. 下列等式中，正确的是( )
A
A. B.
C. D.
5. 下列式子运算正确的是( )
D
A.B.
C.D.
6. 下列计算结果正确的是( )
A
A. B.
C. D.
7. 计算：
（1） ____；
（2） _____；
（3） ______；
（4） ____；
（5） _________。
9. 2024年10月30日神舟十九号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射
成功，航天员在空间站要进行一系列的科学研究，其中包括“微重
力条件下生长蛋白晶体的结构解析”.某一蛋白晶体的直径仅为
米.将这个数据写成小数的形式为 ，这个小数
中0的个数为( )
C
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
8. 世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，其质量
只有克， 用科学记数法表示是( )
A
A. B. C. D.
10.若，且，，则 的值为( )
D
A.B.1 C. D.
11.[2024临沂期中] 若，，则 的值为( )
B
A. B. C. D.
12.如果,那么 的值为___.
7
13. 某张数码照片的文件大小是 ，一个存储量为
的移动存储器能存储____张这样的照片.
【点拨】因为 ，
所以 （张）.所以一个存储量为
的移动存储器能存储 张这样的照片.
14.[2024雅安] 计算 的结果是( )
C
A. B.0 C.1 D.4
15.[2024重庆（A卷）] 计算： ___。
3
16.比较大小：___（填“ ”“”或“ ”）。
17.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式
.
（3） .
原式 .
18.用科学记数法表示的数是 ，则原来的数是( )
C
A.B.6 120
C. D.612 000
19. 刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情。唯
有牡丹真国色，花开时节动京城。”紫斑牡丹为国家重点一级
保护野生植物，在显微镜下可见其花粉粒呈圆形或椭圆形，直
径为，其中。将“ ”换算成用
米作单位且用科学记数法表示为( )
C
A. B.
C. D.
综合应用题
20.[2024新乡期中] 下列四个算式：
； ；
； 。
其中计算不正确的是( )
B
A.①② B.①③ C.②④ D.②③
21. 定义一种新运算：如果 ，那么
,则 的值是( )
B
A. B.5 C. D.
22.已知的氢气的质量用科学记数法表示约为 ，
一块橡皮的质量约为。一块橡皮的质量是 的氢气质量
的________倍。
23. [2024平顶山月考] 若，, ,
，则，，， 的大小关系为( )
D
A. B.
C. D.
【点拨】， ，
， .
因为,所以 .故选D.
24. 已知,，则代数式
的值是( )
B
A. 3 B. 6 C. 7 D. 8
【点拨】因为, ,所以
,.所以 ,
.所以,.所以 .故选B.
25. 若与 为同类项，则
的值为____.
10
【点拨】因为
,与 为同类项，所以
.所以 .
26. 掌握地震知识，提升防震意识。根据里氏震级的定
义，地震所释放出的能量与震级的关系为
（其中 为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量
是震级为6级的地震所释放能量的多少倍？
解：根据题意得震级为8级的地震所释放的能量为
，
震级为6级的地震所释放的能量为 ，
因为 ，所以震级为8级的地震所释放的能量
是震级为6级的地震所释放能量的1000倍。
27.芯片是将晶体管、电阻、电容等电子元件集成在硅基片或其他导电
材料上而形成的具有一定功能的器件，广泛应用在手机、军工、航天等
领域.已知某种正方形电子元件的边长为 .
（1）该电子元件的面积为多少平方米？（用科学记数法表示）
【解】 ,
.
所以该电子元件的面积为 .
（2）若芯片的面积是 ，则芯片的面积是该电子元件面积的多少倍？
（用科学记数法表示）
.
所以芯片的面积是该电子元件面积的 倍.
28.[2024泉州期中] 本学期我们学习了“同底数幂除法”的运算，运算法
则如下：当时，，当时， ，
当时， 。
根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
（1）填空：__， ___；
（2）如果，求出 的值；
解：因为，所以 ，所以
，解得 。
29. 老师给学生留了一道课后拓展题：已知，
求 的值.子研同学对此题进行了如下解答：
解：因为等式左边 ，等式右边 ，
所以，，解得， .所以 .
请你阅读上述解题过程，解决下列这道题：已知，求 的值.
【解】因为等式左边 ,
等式右边,
所以,,解得 , .
所以 .
创新拓展题
30. 探究应用：用“ ”“ ”定义两种新运算：对于两个数,，
规定, .
例如：； .
（1）求 的值.
【解】由题意得 .
（2）求 的值.
【解】由题意得 .
（3）当为何值时，的值与 的值相等
由题意得 , .
因为的值与 的值相等，
所以.所以.所以 .
所以当时，的值与 的值相等.
习题
计算：
（1）c·c11； （2）104×102×10； （3）(-b)3·(-b)2；
（4）-b3·b2；（5）xm-1·xm+1(m＞1); （6）a·a3·an.
1.
解:（1）原式=c1+11=c12；
（2）原式=104+2+1=107；
（3）原式=（-b）3+2=（-b）5=-b5；
（4）原式=-b3+2=-b5；
（5）原式=xm-1+m+1=x2m；
（6）原式=a1+3+n=a4+n．
2. 已知am=2，an=8，求am+n．
解：am+n=am an=2×8=16．
故am+n的值是16．
计算：
（1）[（ ） 3]2； （2）-（b5）2；
（3）（y2）2n； （4）（x3）3n．
3.
解:（1）[（ ）3]2=（ ）6= ；
（2）-（b5）2=-b10；
（3）（y2）2n=y4n；
（4）（x3）3n=x9n．
计算：
（1）-p （-p）4；（2）（a2）3 （a3）2；
（3）（tm）2 t； （4）（x4）6-（x3）8．
4.
解:（1）原式= -p p4= -（p p4）= -p5；
（2）原式= a6 a6= a12；
（3）原式= t2m t= t2m+1；
（4）原式= x24-x24= 0．
计算：
（1）（3b）2； （2）-（ab）2；
（3）（-4a2）3 ； （4）（y2z3）3．
5.
解：（1）原式=32 b2=9b2；
（2）原式=-a2b2；
（3）原式=（-4）3（a2）3=-64a6；
（4）原式=（y2）3 （z3）3=y6z9．
6.计算：
（1）（xy4）m; （2）-（p2q）n；
（3）（xy3n）2+（xy6）n;
（4）（-3x3）2-[（2x）2]3．
解:（1）原式=xmy4m； （2）原式=-p2nqn；
（3）原式=x2y6n+xny6n； （4）原式=-55x6．
计算：
（1）213÷27 ; （2）（- ）6÷（- ）2；（3）a11÷a5; （4）（-x）7÷（-x）；（5）a-4÷a-6 ； （6）62m+1÷6m ；
（7）5n+1÷53n+1； （8）9n÷9n+2．
7.
解:（1）213÷27=213-7=26=64；
（2）（ ）6÷（ ）2=（ ）6-2=（ ）4；
（3）a11÷a5=a11-5=a6；
（4）（-x）7÷（-x）=（-x）7-1=x6；
（5）a-4÷a-6=a2；
（6）62m+1÷6m=62m+1-m=6m+1；
（7）5n+1÷53n+1=5n+1-3n-1=5-2n= ；
（8）9n÷9n+2=9n-n-2= = ．
8.计算：
（1）（ ）0； （2）3-3；（3）5-2． （4）1.3×10-5；
解:（1）原式=1； （2）原式= = ；
（3）原式=（ ）2= ．（4）1.3×10-5= = ；
（5）原式=49； （6）原式= ；
（7）原式= ． （8）64.
用科学记数法表示，并在计算器上表示出来：
（1）0.007 398； （2）0.000 022 6；
（3）0.000 000 000 054 2；
（4）0.000 000 000 000 000 000 000 199 4．
9.
解:（1）0.007398=7.398×10-3；
（2）0.0000226=2.26×10-5；
（3）0.0000000000542=5.42×10-11；
（4）0.0000000000000000000001994=1.994×10-22.
解：（1）错误，改正为a3 a2=a5；（2）错误，改正为b4 b4=b8；
（3）错误，改正为x5+x5=2x5；（4）y7 y=y8．正确．
10.下面的计算是否正确？如有错误请改正．
（1）a3 a2=a6； （2）b4 b4=2b4； （3）x5+x5=x10；
（4）y7 y=y8． （5）（x3）3=x6； （6）a6 a4=a24．
（5）（x3）3=x9，故原式计算错误；（6）a6 a4=a10，故原式计算错误．
（7）（ab4）4=ab8；（8）（-3pq）2=-6p2q2．
（7）错误，改正为：（ab4）4=a4b16；
（8）错误，改正为：（-3pq）2=9p2q2．
请你用几何图形直观地解释（3b）2=9b2．
11.
解：∵S正方形ABCD=（3b）2，S正方形ABCD=9b2，
∴（3b）2=9b2．
下面的计算是否正确？如有错误请改正．
（1）a6÷a=a6； （2）b6÷b3=b2；
（3）a10÷a9=a； （4）（-bc）4÷（-bc）2=-b2c2．
12.
解:（1）a6÷a=a6，计算错误，改为a6÷a=a5；
（2）b6÷b3=b2，计算错误，改为b6÷b3=b3；
（3）a10÷a9=a，计算正确；
（4）（-bc）4÷（-bc）2=-b2c2，计算错误，
改为（-bc）4÷（-bc）2=b2c2．
在我国,平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧1.3×108kg的煤所产生的能量．我国960万km2的土地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克的煤所产生的能量？（结果用科学记数法表示）
13.
解：960万 km2=9.6×106 km2，
所以一年从太阳得到的能量相当于燃烧煤
1.3×108×9.6×106=1.248×1015 kg．
某种细菌每分由1个分裂成2个．
（1）经过 5 min，1个细菌分裂成多少个？这些细菌再继续分裂 t min后共分裂成多少个？
14.
解:（1）经过 5 min，1个细菌分裂成25个；
这些细菌再继续分裂 t min后共分裂成 2t个．
（2）你还能提出什么问题？
（2）略.
15.将一张正方形纸片对折1次变为2层，对折2次变为4层。如果将一张正方形纸片先对折5次，再继续对折n次，那么它变为多少层 你还能提出什么问题
请根据本节的数据计算出太阳的体积大约是多少（π取3.14）？
16.
解:由本节可知：r地球≈6×103km，太阳的半径是地球的102倍，所以r太阳≈6×103×102≈6×105km，
则V太阳= πr3≈ ×3.14×(6×105)3≈9.04×1017km3,
答：太阳的体积大约是9.04×1017km3．
某种细胞分裂时，1个细胞分裂1次变为2个，分裂2次变为4个，分裂3次变为8个……你能由此说明20=1的合理性吗？
17.
解:1个细胞分裂1次变为21=2个，分裂2次变为22=4个，
分裂3次变为23=8个，…
∴这种细胞分裂n次变为2n个，则没有分裂表示为20=1个．
∴20=1．
18. 海豚能听到声音的最高频率是1.5×105 Hz，人类能听到声音的最高频率是2×104Hz，海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的多少倍
解：海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的7.5倍
19. 芯片是指内含集成电路的硅片，是计算机或其他电子设备的一部分。近几年我国一直在芯片的工艺上进行技术攻坚，其中某芯片内核面积仅有74.13mm ，集成了约69亿个晶体管，平均每个晶体管占有面积约为多少平方毫米(结果用科学记数法表示，保留两位小数)
解：平均每个晶体管占有面积约为1.07×10-8平方毫米.
20. 地球表面平均1cm上的空气质量约为1kg，地球表面的面积大约是5×108km ，地球表面全部空气的质量约为多少千克 已知地球的质量约为6×1024kg，它的质量大约是地球表面全部空气质量的多少倍
解：地球表面全部空气的质量约为5×1018千克.
它的质量大约是地球表面全部空气质量的1.2×106倍.
解:（1）原式=（2×5）2×3=102×3=100×3=300；
（2）原式=23×2×32×53=（2×5）3×2×32
=103×2×9=1000×2×9=18000．
不使用计算器，你能很快求出下列各式的结果吗？
（1）22×3×52；（2）24×32×53.
21.
（3）原式=1.
解:（abc）n=anbncn．
（abc）n等于什么？
22.
课堂小结
幂的乘除4
同底数幂的除法法则
一般地，一个小于1的正数可以用科学记数法表示为：a×10n，其中1≤a＜10,n是负整数.
零指数幂：a0=1（a≠0）.
负整数指数幂：（a≠0，n为正整数）.
零指数幂和负整数指数幂
用科学计数法表示绝对值小于1的数
同底数幂相除, 底数不变，指数相减.
am ÷ an =am-n （a≠0，m，n都是整数）
逆用：am－n=am÷an.