7.5 解直角三角形（第2课时）课件(共36张PPT) 2024-2025学年苏科版九年级数学下册

(共36张PPT)
7.5 解直角三角形（2）
第2课时　构造直角三角形解题
问题情境
什么叫解直角三角形？
对于一个一般的三角形，需要知道三边和三角中几个元素就能确定这个三角形
学习目标
1. 会解含特殊角的非直角三角形；
2.会利用解直角三角形求解能化为直角三角形的简单多边形问题.
例题讲解
例1 如图，在△ABC中，AC＝8，∠B＝45°，∠A＝30°，求AB．
A
B
C
30°
45°
(1) 在△ABC中，能直接求出AB吗？为什么？
不能，因为△ABC不是直角三角形.
例题讲解
例1 如图，在△ABC中，AC＝8，∠B＝45°，∠A＝30°，求AB．
A
B
C
30°
45°
(2) 怎样构造直角三角形？
作△ABC三边上的高.
(3) 作哪边上的高可以解决问题？
例题讲解
例1 如图，在△ABC中，AC＝8，∠B＝45°，∠A＝30°，求AB．
A
B
C
30°
45°
8
？
？
作边AC (或边BC) 上的高不能解决问题.
例题讲解
例1 如图，在△ABC中，AC＝8，∠B＝45°，∠A＝30°，求AB．
A
B
C
30°
45°
D
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D.
在Rt△ADC中，
AD＝AC cos30°＝＝，
CD＝AC sin30°＝＝4，
在Rt△BCD中，
∵∠B＝45°，
∴ BD＝CD＝4，
∴ AB＝AD＋DB＝＋4.
例题讲解
变式1 一副三角尺按如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，求CD的长.
A
B
C
D
F
E
M
(1) 线段CD在哪一个三角形中？
(2) 该三角形已知哪些条件？
12
45°
60°
(3) 怎样构造直角三角形？
例题讲解
变式1 一副三角尺按如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，求CD的长.
A
B
C
D
F
E
M
45°
60°
解：如图，过点B作BM⊥FD于点M.
∵在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，
AC＝12，
∴BC＝AC＝12，∠ABC＝45°.
∵AB∥CF，
∴∠BCM＝∠ABC＝45°，
∴BM＝BC·sin45°＝12×＝12，
12
例题讲解
变式1 一副三角尺按如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，求CD的长.
A
B
C
D
F
E
M
12
45°
60°
∴CM＝BM＝12.
∵在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，
∴∠EDF＝60°，
∴MD＝＝4，
∴CD＝CM－MD＝12－4.
例题讲解
变式2 在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cosB＝，求BC的长.
A
C
B
A
C
B
①
②
D
D
解：∵AB＝12，∠B＝45°，
∴AD＝BD＝ABcosB＝12×＝12，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
CD＝＝5.
当△ABC为锐角三角形时，如图①，
BC＝BDCD＝125＝17.
当△ABC为钝角三角形时，如图②，
BC＝BD－CD＝12－5＝7.
归纳总结
对于非直角三角形问题，往往通过图形的高或作一边上的高，构造直角三角形. 一般情况下是从非特殊角的顶点作高，这样有利于计算．
例题讲解
例2 如图，⊙O的半径为10，求⊙O的内接正五边形ABCDE的边长
（精确到0.1）.
H
通过作等腰三角形的高，将等腰三角形转化为直角三角形，借助解直角三角形来解决问题．
D
E
A
B
C
O
例题讲解
例2 如图，⊙O的半径为10，求⊙O的内接正五边形ABCDE的边长
（精确到0.1）.
H
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB＝＝72°.
过点O作OH⊥AB，垂足为H.
在Rt△AHO中，
∵∠AHO＝90°，∠AOH＝∠AOB＝36°，OA＝10，
∴AH＝OA sin36°.
∴正五边形ABCDE的边长AB＝2AH＝2×10×sin36°≈11.8.
D
E
A
B
C
O
归纳总结
对于正n边形问题，往往作出这个正n边形的外接圆半径和内切圆半径，使得问题化归到直角三角形中，且这个三角形两边(外接圆半径和内切圆半径)的夹角为度，再运用条件解决问题.
新知巩固
1. ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，求 ABCD的面积．
A
B
C
D
6
60°
8
E
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E.
在Rt△ADE中，
∵∠AED＝90°，∠A＝60°，AD＝6，
∴DE＝AD sinA＝6×sin60°＝.
∴S ABCD＝AB×DE＝8×＝24.
新知巩固
2. 如图，在菱形钢架ABCD中，AB＝2m，∠BAD＝72°，焊接这个钢架约需多长的钢材（精确到0.1m）
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD， OA＝OC，OB＝OD，
∠BAO＝∠BAD＝36°，
∴OB＝AB· sin 36°，OA＝AB· cos 36°.
∴焊接这个钢架的长度
＝4ABABsin 36°ABcos 36°
＝4×22×1.182×1.62≈13.6(m).
答：焊接这个钢架约需13.6m的钢材.
O
新知巩固
3. 求半径为12的圆的内接正八边形的边长（精确到0.1）．
A
B
O
H
解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠AOB＝＝45°.
过点O作OH⊥AB，垂足为H.
在Rt△AHO中，
∵∠AHO＝90°，∠AOH＝∠AOB＝22.5°，OA＝12，
∴AH＝OA sin22.5°＝12sin22.5°.
∴正五边形ABCDE的边长AB
＝2AH＝2×12×sin22.5°≈9.2.
C
D
E
F
G
H
新知巩固
4．如图，已知在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝8，求△ABC的面积．
D
A
B
C
解：∵，，
∴，，
∴，
设，则，
∵，∴，
∴，∴，
解得：，
∴，
∴．
含特殊角的非直角三角形
能化为直角三角形的简单多边形问题
课堂总结
正n边形问题
1. 如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠C＝30°，若AB＝4 ，则AC的长为 (　　)
A. 4　　　 B. 8　　
C. 4 　 D. 4
D
当堂检测
基础过关
B
C
B
A
当堂检测
基础过关
D
E
A
B
C
O
2. 如图，圆的内接正五边形ABCDE的边长为a，圆的半径为r，则下列等式成立的是 (　　)
A. a＝2rsin36° B. a＝2rcos36°
C. a＝rsin36° D. a＝2rsin72°
a
r
H
A
当堂检测
基础过关
3. 如图，在△ABC中，sinB＝，∠C＝45°，AD＝1，则BC的长为
______________.
B
C
A
D
当堂检测
基础过关
4. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交成的锐角α＝30°，若AC＝8，BD＝6，则平行四边形ABCD的面积是_______.
12
B
C
D
A
O
α
E
当堂检测
基础过关
5. 如图，△ABC内接于⊙O，AO＝2，BC＝2，则∠BAC的度数为________.
A
C
B
D
O
●
2
2
60°
当堂检测
基础过关
解：如图，过点B作BD⊥AC，垂足为D.
在Rt△ABD中，cosA＝.
∵cosA＝，AB＝5，
∴AD＝AB·cosA＝5×＝3，
∴BD＝＝4.
∵AC＝AB＝5，
∴CD＝2，
∴BC＝＝2.
B
C
A
D
6. 如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝5，cosA＝.求底边BC的长.
当堂检测
基础过关
A
C
B
●
O
H
解：∵△ABC是正三角形，
∴∠BOC＝＝120°.
过点O作OH⊥BC，垂足为H.
在Rt△BOH中，
∵∠BHO＝90°，∠BOH＝∠BOC=60°，OB＝20，
∴BH＝OB sin60°，OH＝OB cos60°.
∴△ABC的边长BC＝2BH＝2×20×sin60°≈34.6.
S△ABC＝3××BC×OH＝×40×sin60°×20cos60°＝519.6.
7. 求半径为20的圆的内接正三角形的边长和面积（精确到0.1）.
当堂检测
能力提升
1. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝4， sinB＝，则菱形的周长是 ( )
A．10 B．20
C．40 D．28
C
B
C
D
A
E
D
当堂检测
能力提升
2. 在△ABC中，AB＝2， AC＝3，∠B＝60°，则BC的长为(　　)
A. B.
C. D. 1
B
C
A
D
当堂检测
能力提升
3. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点D是AB边上一点，若tan∠DCB＝，则线段DB的长度为________.
C
B
A
D
E
当堂检测
能力提升
4．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设半径为1的圆的面积与其内接正n边形的面积差为，如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，则的值为_____________．
当堂检测
能力提升
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，sinB＝，延长BC至点D，使CD:AC＝1:3，求tan∠CAD的值.
D
B
C
A
E
解：如图，过点D作DE⊥AC，与AC的延长线交于点E，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
∵∠DCE＝∠ACB，∴∠DCE＝∠B.
∵sinB＝，∴sin∠DCE＝＝.
不妨设DE＝4x，则CD＝5x，
∴CE＝＝3x.
∵CD:AC＝1:3，∴AC＝3CD＝15x，
∴AE＝AC＋CE＝18x，
∴tan∠CAD＝＝＝.
当堂检测
能力提升
6．把圆分成等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n边形，如图，⊙O的半径是R，分别求它的外切正三角形、外切正方形、外切正六边形的边长．
O
O
O
B
A
D
B
A
D
B
A
D
当堂检测
能力提升
A
B
O
O
O
B
D
A
D
B
A
D
解：如图，外切正三角形时，∠AOD＝360°÷6＝60°，
所以，AD＝OD tan60°＝R R，
所以，外切正三角形边长AB＝2AD＝2R；
当堂检测
能力提升
A
B
O
O
O
B
D
A
D
B
A
D
外切正方形时，∠AOD＝360°÷8＝45°，
所以，△AOD是等腰直角三角形，
所以，AD＝OD，
外切正方形的边长AB＝2AD＝2R；
当堂检测
能力提升
A
B
O
O
O
B
D
A
D
B
A
D
外切六边形时，∠AOD＝360°÷12＝30°，
所以，AD＝OD tan30°＝R，
所以，外切六边形的边长AB＝2AD＝R．