人教版数学七年级上学期专项复习：一元一次方程新题型
一、选择题
1．（2020七上·莲湖月考）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着 ， ， ，0，且任意相邻四个台阶上的数的和都相等，则前37个台阶上的数的和是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022七上·华容期末）如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形长与宽的差是（ ）
A． B． C． D．
3．（【全效核心素养评估卷】浙教版数学七（上）综合核心素养评估卷(二））等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是( )
A．如果a=b，那么2a=2b B．如果a=b，那么
C．如果a=b，那么a+c=b+c D．如果a=b，那么
4．设“●”“▲”“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称了两次，称得情况如图所示，则下列选项的天平图中，正确的是( )
A． B．
C． D．
5．（【教与学课程同步讲练】浙教版数学七年级上册5.5一元一次方程的应用(四)）如图，每个圆形纸片的面积都是 30，圆形纸片A与B，B与C，C与A的重叠面积分别为6，8，5，三个圆形纸片覆盖的总面积为73，则图中阴影部分的面积为 ( )
A．54 B．56 C．58 D．69
6． “曹冲称象”是流传很广的故事，如图，按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出.然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置.已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是 （ ）
A．依题意3×120=x-120
B．依题意20x+3×120=（20+1）x+120
C．该象的重量是5040斤
D．每块条形石的重量是260斤
二、填空题
7．如图，在天平上放若干个苹果和香蕉（每个苹果和每个香蕉的质量分别相等），其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码 克.
8．请品赏方程3（x-1）+1-x=2的两种解法：
解法一：3x-3+1-x=2. 2x=2+3-1. 2x=4. 所以x=2. 解法二：3（x-1）-（x-1）=2. 2（x-1）=2. x-1=1. 所以x=2.
请从解题方法的角度简要阐述你的评析： .
三、阅读理解题
9．【阅读与探究】“曹冲称象”是流传很广的故事.按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入 1 块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置。已知每个搬运工的体重均为60千克，求大象的体重。请将下列解答过程补充完整：
解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重=21块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重。
①因为已知每个搬运工的体重均为 60千克，设每块条形石的重量是x千克，则可列方程 。
②解这个方程得，x= 。
③实际上由题也可直接得到，一块条形石的重量= 个搬运工的体重。
④最终可求得，大象的体重为 kg。
四、解答题
10．现有四个整式：
（1）选择其中两个整式用等号连接，共能组成 个方程.
（2）请写出其中所有的一元一次方程.
11．（2024七上·迁安期末）我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和谐方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和谐方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于的一元一次方程是“和谐方程”，则的值为 ．
（2）已知关于的一元一次方程是“和谐方程”，则的值为 ．
12．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.
（1）用含x的式子表示m，则m= .
（2）当y=-7时，求n的值.
13．列方程解应用题（填空）：一件衬衫先按进价加价 60元标价，再以8折出售，仍可获利24元，这件衬衫的进价是多少钱
审题：A：设 ▲ .
B：
进价 标价 折数 售价 利润
C：列方程： ▲ .
14．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口。温水的温度为30℃，流速为20 mL/s；开水的温度为100℃，流速为15 mL/s。某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280 mL、温度为60℃的水(不计热损失)，分别求该学生接温水和开水的时间。
物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度。
15．如图所示为两张不同类型火车的车票（“D××××”表示动车，“G××××”表示高铁）：
（1）根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是 向而行（填“相”或“同”）.
（2）已知该列动车和高铁的平均速度分别为200 km/h，300 km/h，两列火车的长度不计.
①通过测算，如果两列火车同时出发直达终点（即中途都不停靠任何站点），那么高铁比动车将早到2 h，求甲、乙两地之间的距离.
②在①中测算的数据基础上，已知甲、乙两地之间依次设有5个站点 P3，P4，P5，且每两个相邻站点之间的路程相等，动车每个站点都停靠，高铁只停靠P2，P4两个站点，两列火车在每个停靠站点都停留5m in.求该列高铁追上动车的时刻.
16．（2024七上·武江期中）将连续的偶数2，4，6，8……，排成如图所示：
（1）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？
（2）设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和；
（3）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2020吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由．
17．（2024七上·吉安月考）根据所学的数轴知识，解答下面的问题：
（1）知识呈现：在数轴上有A，B两个点，如图1所示，A点表示的数是__________；B点表示的数是__________．
（2）知识迁移，如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所应的数为40；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为7，由此可得这根木棒的长为__________；
②图中点A所表示的数是__________，点B所表示的数是__________．
（3）知识应用：由（2）中①、②的启发，请你借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，玲玲去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了．哈哈！”请问爷爷现在多少岁了？
五、实践探究题
18．【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和一个10g的砝码，如何称出1个乒乓球和1个一次性纸杯的质量
【操作探究】下面是“智慧小组”的探究过程：
准备物品：①若干个大小相同的乒乓球(质量相同)；②若干个大小相同的一次性纸杯(质量相同)。
探究过程：设每个乒乓球的质量是x(g)。
天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球的总质量 一次性纸杯的总质量
记录1 8个乒乓球和1个10g的砝码 14个一次性纸杯 平衡 8x
记录2 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10g的砝码 平衡 4x
（1）【解决问题】
①将表格补充完整。
②分别求1个乒乓球的质量和1个一次性纸杯的质量。
（2）【拓展设计】
“创新小组”根据“智慧小组”的探究过程提出这样一个问题：
请你举出一种情况，使得乒乓球的个数为一次性纸杯个数的2倍，并填入下表：
天平左边 天平右边 天平状态
记录3 乒乓球 个 一次性纸杯 个和2个10g的砝码 平衡
19．（2024七上·金湾期末）综合与实践
如图1，用一根质地均匀的的木杆和一些等重量的小物体做下列实验，并记录每一次支点到木杆左右两边挂重物的距离：
①在木杆中间处栓绳作为支点，将木杆吊起来并使左右平衡；
②在木杆两端各悬挂一重物，看左右是否保持平衡；
③在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡；
④在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录如下：
图1 图2
木杆左边挂 重物个数 支点到木杆左边挂 重物的距离 木杆右端挂 重物个数 支点到木杆右端挂 重物的距离
1 1
2 1
3 1
…… …… 1
…… 1
（1）根据以上的实验记录数据规律，在右端重物个数不变的情况下，若木杆左边悬挂6个重物时，左边重物到支点距离为 .
（2）如图2，在木杆右端挂一重物，支点左边挂个重物，并使左右平衡.设木杆长为，支点到木杆左边挂重物处的距离为，把，作为已知数，列出关于的一元一次方程 .
20．根据以下素材，回答问题.
问题背景 某学校决定在校内建造劳动实践基地，现向全校师生征集实践基地的设计方案.学校项目化学习小组根据学校要求完成了初步设计，请跟随小组成员共同完成以下任务.
素材一 项目化学习小组通过初步研讨，计划利用学校现成的一堵“L”形墙面和栅栏围成长方形的劳动实践基地BFED，其中粗线AB，BC表示墙面，已知AB⊥BC，AB=2米，BC=6米.初步设计方案有两种：如图1，点D 在线段BC 上；如图2，点D 在线段BC 的延长线上(包括点 C).
素材二 通过查询学校现有物资信息，学校仓库可提供栅栏的总长度为 10 米.项目化学习小组决定将这10米栅栏全部用于建造劳动实践基地.
素材三 经过市场调查，建造劳动实践基地的人工和材料费合计为25元/平方米.
（1）【任务一】根据图1的设计，若设AF=x米，则在图1中DE= 米(请用含x的代数式表示).在图2中，长方形 BFED的周长为 米.
（2）【任务二】根据学校要求，劳动实践基地的长：宽=2：1，请分别求出这两种不同方案下 AF的长.
（3）【任务三】在任务二的条件下，为了节省学校的开支，请你帮助小组成员确定符合要求的方案：_▲_(填图 1或图 2)，并求出此时所需的费用.
21．（2024七上·莲都期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计牛奶盒子？
素材1 如图1所示是长为，宽为的长方形包装纸，现要自制牛奶盒子． （1）上下各留宽度相同的一个长方形，中间剩余部分用于制作牛奶盒身； （2）牛奶盒身的宽与上下两个长方形的宽度和之比为3：1．
素材2 如图2，将牛奶盒身分成四块长方形，其中①③长方形大小相同，②④长方形大小也相同，且②号长方形的宽比①号多．
素材3 如图3，在②号长方形上设计四个大小一样、长宽之比为的长方形框，且长方形框的上下、左右间距都一样．
问题解决
任务1 分析数量关系 求图1中牛奶盒身的宽(规定：较长的边为长，较短的边为宽)．
任务2 确定盒子容积 把图1中的包装纸折成图2中的牛奶盒子，求牛奶盒子的容积．
任务3 确定间距大小 求出图3中②号长方形上设计的长方形框之间的间距．
22．小江同学注意到妈妈手机中的电费短信（如图1），对其中的数据产生了浓厚的兴趣，谷85 度是什么意思 电费是如何计算的 第一档与第二档又有什么关系
【浙江电力】【电费通知】尊敬的客户，户号*，户名*，地址*.（2024.09.01-2024.09.30）电量227度（其中谷85度），电费105.14元，当前用电处于第一档，剩余581度.
通过互联网查询后获得该市居民生活用电标准（如下表，部分修改）.
电价等级 普通电价
（元/度） 峰谷电价（元/度）
峰时电价 谷时电价
第一档 年用电量不超过2 760度的部分 0.538 0.568 0.288
第二档 年 用 电 量 超 过2 760度但不超过4 800度的部分 0.588 0.618 0.338
第三档 年 用 电 量 超 过4 800度的部分 0.838 0.868 0.588
【解读信息】
小江家采用峰谷电价计费，谷时用电量为85度，那么峰时用电量就是227-85=142（度），由于小江家年用电量处在第一档，故9 月份电费为：0.568×142+0.288×85=105.136≈105.14（元）.
【解决问题】
（1）若采用普通电价计费，小江家九月份的电费为 元（精确到0.01）.
（2）若采用峰谷电价计费，某月谷时用电量与月用电量的比值为m，那么处在第一档的1度电的电费可以表示成 元（用含 m 的代数式表示）.
（3）如图2，12月份，小江家谷时用电量与月用电量的比值为0.2.请根据对话解答下列问题：
①通过计算判断：截至12月底，小江家的年用电量是否仍处于第一档
②12月份谁家的用电量多 多了多少
六、综合题
23．（2024七上·红花岗期末）列方程解应用题：根据图中情景，解答下列问题：
她付的钱怎么比我还少？ 收银台 “元旦”大酬宾 跳绳每根25元，超过10根，享受八折优惠．
（1）购买8根跳绳需 元；购买12根跳绳需 元；
（2）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为这种情况有可能吗？请利用方程知识说明理由．
24．（2024七上·夷陵期中）（1）若，，，则的值
（2）若．求
（3）材料：幻方起源于中国，如左图是中国文化中最古老的事物之一——“洛书”，将图中的各处点数顺次填到右图的正方形方格中，就得到一个幻方．它的每行，每列，每条对角线上的三个数之和都相等，这个和称为幻方和，右图的幻方和是15．如图1，写出图中x，y值以及幻方和；
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：-3-2-1+0=-2-1+0+x，
解得x=-3，
∴可得台阶上的数字每4个一循环，
-3-2-1+0=-6，
∵37÷4=9……1，
∴9×（-6）+（-3）=-57，
∴前37个台阶上的数的和是-57，
故答案为：C.
【分析】先求出x，然后根据台阶上的数字是每4个一循环，根据规律可得结论.
2．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；等式的基本性质；根据数量关系列方程；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：，即，
整理得：，
则小长方形的长与宽的差是，
故选：D．
【分析】本题考查了列方程、整式的加减、以及等式的性质，设小长方形的长为x，宽为y，根据大长方形的长不变，得到，再求出，即得到长与宽的差．
3．【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵天平左右各多放置一个小砝码
即在等式两边加上同一个数或式子
∴应为： 如果a=b，那么a+c=b+c
故答案为：C.
【分析】根据天平的变化即为等式的变化，在等式两边加上同一个数或式子，等式仍成立可得答案.
4．【答案】B
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：设“●”，“▲”，“■”的质量分别为a、b、c．
根据题意，得3a＝a+b，b＝c．
根据等式的基本性质得2a＝b，∴b＝c＝2a．
A．天平左边的质量是a+b，右边的质量是2b＝4a，∵a+2a＝3a，2b＝4a，故选项A不符合题意；B．天平左边的质量是2a，右边的质量是c，∵c＝2a，故选项B符合题意；
C．天平左边的质量是2c，右边的质量是b+c，∵2c＝4a，b+c＝4a，故C不符合题意；
D．天平左边的质量是a，右边的质量是c，∵c＝2a，∴a＜2a，故选项D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据天平平衡时，天平两边的质量相等，设“●”，“▲”，“■”的质量分别为a、b、c，根据题意写出等式3a＝a+b，b＝c，根据等式的基本性质得到b、c分别与a之间的数量关系，再据此逐项判断即可.
5．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设三个圆纸片重叠部分的面积为x，
则30+(30-5)+(30-6-8+x)=73
解得x=2，
∴三个圆纸片重叠部分的面积为2，
图中阴影部分的面积为73-(6+8+5-2×2)=58，
故答案为：C.
【分析】根据图形可知：三个圆纸片覆盖的总面积+A与B的重叠面积+B与C的重叠面积+C与A的重叠面积-A、B、C共同重叠面积×2=每个圆纸片的面积×3，由此等量关系列方程求出A.B、C共同重叠面积，从而求出图中阴影部分面积.
6．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设每块条形石的重量是x斤，
根据题意，得： 20x+3×120=（20+1）x+120 ，
解之得：x=240
所以A选项不正确，B选项正确，D选项不正确；
大象的体重：240x20+360=5160斤，
所以C选项不正确；
故答案为：B.
【分析】设每块条形石的重量是x斤，根据等量关系20块条形石的重量+3个搬运工的体重=21块条形石的重量+1个搬运工的体重可列方程20x+3×120=（20+1）x+120 ，解之可得每块条形质量，再求出大象的质量，逐项判断可得答案。
7．【答案】250
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：设苹果的质量为a克，香蕉的质量为b克，
根据题意可得 2a+b=350， a+2b=400，
则b=350-2a，a=400-2b，
a+b=350-2a+400-2b，
3(a+b)=750
(a+b)=250
故答案为：250.
【分析】设苹果的质量为a克，香蕉的质量为b克，根据题意可得 2a+b=350， a+2b=400，根据等式的性质1可得b=350-2a，a=400-2b，a+b=350-2a+400-2b，(a+b)=750，根据等式的性质2可得(a+b)=250。
8．【答案】解法一根据解方程的基本步骤解答；解法二根据整体思想解答(答案合理即可)
【知识点】解含括号的一元一次方程；整体思想
【解析】【解答】解：解法一：去括号，得 3x-3+1-x=2.
移项，得 2x=2+3-1.
合并同类项，得 2x=4.
两边同除以2，得 x=2.
解法二：整理，得3（x-1）-（x-1）=2.
合并同类项，得 2（x-1）=2.
两边同除以2，得 x-1=1.
移项，得 x=2.
解法一根据解方程的基本步骤解答；解法二根据整体思想解答
故答案为：解法一根据解方程的基本步骤解答；解法二根据整体思想解答.
【分析】解法一根据解一元一次方程的基本步骤，先去括号，再移项合并同类项，最后化系数为1解答；解法二将（x-1）看做整体，先合并同类项，再移项解答。
9．【答案】20x+x+60=20x+3×60；120；2；2580
【知识点】一元一次方程的其他应用；列一元一次方程
【解析】【解答】解：①已知搬运工体重均为60斤，设每块条形石的重量是x斤，则可列方程为：20x+x+60=20x+3×60.
②解这个方程得，x=120.
③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量=2个搬运工的体重；
④最终可求得：大象的体重为20×120+3×60=2580斤，
故答案为：20x+x+60=20x+3×60，120，2，2580.
【分析】设一块条石的重量是x斤，则大象的重量可表示为(20x+x+60)斤，也可以表示为(20x+3×60)斤，可列方程20x+x+60=20x+3×60，解方程求出x的值，再求出大象的重量即可.
10．【答案】（1）5
（2）解：所有的一元一次方程为
【知识点】一元一次方程的概念；方程的定义及分类
【解析】【解答】
解：（1）组成的方程有：，，，，，
故答案为：5.
（2）一元一次方程为：，.
故答案为：，.
【分析】（1）根据方程（有未知数，且两个整式用等号连接）的定义即可组成所有方程.
（2）根据一元一次方程（未知数的系数不为0，未知数的次数为1）的定义即可判断出所有的一元一次方程.
11．【答案】；
【知识点】一元一次方程的其他应用；估计方程的解
【解析】【解答】解：（1）依题意，方程解为，
∴代入方程，得，解得：，
故答案为：；
（2）依题意，方程解为，
又∵方程的解为，∴，∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据“和谐方程”的定义，得出，再将其代入方程计算，即可求解；
（2）根据“和谐方程”的定义，得出，结合方程的解为，求得的值，得到答案.
12．【答案】（1）3x
（2）解：由题意可知x+2x=m，2x+3=n，
∴y=m+n=x+2x+2x+3.
当y=-7时，5x+3=-7，
解得x=-2.
∴n=2x+3=-4+3=-1.
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：(1)∵m=x+2x，
∴m=3x.
故答案为：3x.
【分析】（1）由题意可直接得m=3x.
（2）由等式性质 4：如果 a=b，b=c，那么 a=c.(传递性)求解即可.
13．【答案】A：设这件衬衫的进价是x元，
进价 标价 折数 售价 利润
x元 (x+60)元 八折 0.8(x+60)元 24元
C：列方程：0.8(x+60)-x=24.
【知识点】列一元一次方程
【解析】【分析】根据题意，将数据填写到表格中，再根据表格及题中的等量关系列出方程.
14．【答案】解： 设该学生接温水的时间为x(s)。
由题意，得20x×(60-30)=(280-20x)×(100-60)，解得x=8，∴20×8=160(mL)。
∵280-160=120(mL)，∴120÷15=8(s)。
答：该学生接温水的时间为8s，接开水的时间为8s
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】设该学生接温水的时间为xs，根据接水量=流速x根据开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度，得方程20x×(60-30)=(280-20x)×(100-60)，解之得x=8，进而根据接水量=流速x接水时间求出所接开水的体积和时间。
15．【答案】（1）同
（2）解：①设甲、乙两地之间的距离为x( km).
由题意，得
解得x=1200.
答：甲、乙两地之间的距离为1200 km.
②每两个相邻站点之间的路程为 1200÷6=200( km)，
动车到每一站所花时间为200÷200×60=60( min)，
高铁到每一站所花时间为200÷300×60=40( min).
∵60÷(60-40)=3，
∴高铁在 P2站，P3站之间追上动车.
设高铁经过t(h)之后追上动车.
由题意，得 解得
∵该列高铁在7：00出发，
∴该列高铁追上动车的时刻为8：55.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由车票可以得出动车和高铁都是由A地开往B地，
所以动车和高铁是同向而行，
故答案为：同；
【分析】（1）由车票可以得出动车和高铁都是由A地开往B地，所以动车和高铁是同向而行；
（2）①高铁比动车晚出发1个小时，所以动车比高铁全程多花了2个小时，设A、B两地距离为xkm，则可列方程－=2，解出x即可；②每个相邻站点距离为：1200÷6=200km，画出动车和高铁到每一站的时间图，由此可以得出高铁在P2、P3之间追上并超过动车，设高铁经过t小时后追上动车，则解得t=.所以高铁在经过h后可以追上动车，追上的时刻为8点55分.
16．【答案】解：（1）十字框中的五个数的和为6+14+16+18+26=80=16×5，即是16的5倍；
（2）设中间的数为x，则十字框中的五个数的和为： (x﹣10)+(x+10)+(x﹣2)+(x+2)+x=5x，
所以五个数的和为5x；
（3）假设能够框出满足条件的五个数，设中间的数为x，
由（2）得5x=2020，
所以x=404，
所以这五个数分别为394、402、404、406、414，它们的和等于2020．
【知识点】有理数的减法法则；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；有理数的加法法则；有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据十字框中的数据，结合有理数的加法的运算法则，把方框中的5个数相加，得出结果与中间的数的关系，即可求解；（2）根据十字框中数字的规律，上下相邻的数相隔10，左右相邻的数相隔2表示出其余数，设中间的数为x，求得十字框中的五个数的和，即可得到答案；
（3）让（2）得到的式子的结果等于2010，求得方程的整数解，结合十字框中数字的排列规律，即可求解.
17．【答案】（1）；3
（2）①11，②18，
（3）解：借助数轴，把玲玲和爷爷的年龄差看做木棒，爷爷像小明这样大时，可看做点B移动到点A，此时点A向左移后所对应的数为，你若是我现在这么大，可看做点A移动到点B，此时点B向右移后所对应的数为，
设年龄差为x岁，
得：，
解得，
∴玲玲的年龄即点A的值为：岁，爷爷的年龄即点B的值为：岁，
故玲玲现在的年龄为15岁，爷爷现在的年龄为70岁．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）解：由数轴上点的位置可知，点A表示的数是，点B表示的数是3，
故答案为：；3；
解：（2）①设木棒长度为，
由题意可得：，
解得．
故答案为：11．
②点A表示的数是：，
点B所表示的数是：，
故答案为：，；
【分析】（1）根据数轴上点的位置，得到点A表示的数是，点B表示的数是3，即可得到答案；
（2）①木棒移动2次，最左端和最右端的距离是木棒长的3倍，设木棒长度为，列出方程，求得方程的解，即可得到答案；
②根据数轴，A点在7的右侧11个单位长度，求出A点的数值为18，B点在A点右侧11个单位长度，得出B点的数值，即可得到答案．
（3）设年龄差为x岁，仿照（2），结合点A移动到点B，此时点B向右移后所对应的数为，列方程，求得方程的解，得出年龄，即可得到答案．
（1）解：由数轴上点的位置可知，点A表示的数是，点B表示的数是3，
故答案为：；3；
（2）解：①设木棒长度为，
由题意可得：，
解得．
故答案为：11．
②点A表示的数是：，
点B所表示的数是：，
故答案为：，；
（3）解：借助数轴，把玲玲和爷爷的年龄差看做木棒，爷爷像小明这样大时，可看做点B移动到点A，此时点A向左移后所对应的数为，
你若是我现在这么大，可看做点A移动到点B，此时点B向右移后所对应的数为，
设年龄差为x岁，
得：，
解得，
∴玲玲的年龄即点A的值为：岁，爷爷的年龄即点B的值为：岁，
故玲玲现在的年龄为15岁，爷爷现在的年龄为70岁．
18．【答案】（1）①8x+10 4x-10
②解：由题意，得(8x+10)÷14=(4x-10)÷2，
解得x=4，
∴(4x-10)÷2=3。
答：1个乒乓球的质量为4g，1个一次性纸杯的质量为3g
（2）8；4
【知识点】一元一次方程的其他应用；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）①由题意可得：
记录1中的纸杯的总质量为(8x+10)g
记录2中的纸杯的总质量为(4x-10)g
故答案为：8x+10；4x-10
（2）设纸杯的个数为m，则乒乓球的个数为2m
由题意可得：4×2m=3m+2×10
解得：m=4
∴2m=8
即天平左边放8个乒乓球，天平右边放4个纸杯
故答案为：8；4
【分析】（1）①根据表格信息即可求出答案.
②根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设纸杯的个数为m，则乒乓球的个数为2m，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
19．【答案】（1）2.5
（2）
【知识点】一元一次方程的其他应用；列一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）设支点到木杆左边挂重物处的距离为xcm，
根据题意可得：6×x=1×15，
解得：x=2.5，
故答案为：2.5；
（2）设支点到木杆左边挂重物处的距离为xcm，则点到木杆右边挂重物处的距离为（l-x）cm，
根据题意可得：x×n=×l，
即，
故答案为：.
【分析】（1）设支点到木杆左边挂重物处的距离为xcm，再利用“木杆左边挂重物个数×支点到木杆左边挂重物处的距离＝支点到木杆右端挂重物处的距离×木杆右端挂重物个数”列式计算即可；
（2）设支点到木杆左边挂重物处的距离为xcm，则点到木杆右边挂重物处的距离为（l-x）cm，再利用“木杆左边挂重物个数×支点到木杆左边挂重物处的距离＝支点到木杆右端挂重物处的距离×木杆右端挂重物个数”列式计算即可；
20．【答案】（1）(x+2)；18
（2）解：设AF=x米，如题图1，DE=(x+2)米，EF=10-(x+2)-x=(8-2x)米，由题意得x+2=2(8-2x)，解得 即 米；如题图2，DE=(x+2)米，EF=(7-x)米，由题意得7-x=2(x+2)，解得x=1，即AF=1米.
（3）解：由任务二知图1中 米，
(米)，I (米)，
∴面积为 (平方米)，
∴费用为 (元)；图2中AF=1米，∴DE=3米，EF=6米，∴面积为3×6=18(平方米)，∴费用为18×25=450(元).∴符合要求的方案为图1，此时所需费用为288元.
【知识点】矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵DE=BF， AB=2，BC=6，
∴DE=BF=AB+AF=（x+2）（米），
则长方形 BFED的周长为AB+BC+10=2+6+10=18（米）；
故答案为：（x+2）；18.
【分析】（1）根据长方形的性质及线段的和、差即可得出答案；
（2）根据图形，分别表示出DE，EF的长，由长：宽=2：1，列出方程分别求解即可；
（3）根据（2）即可知符合要求的方案，代入数据计算即可.
21．【答案】解：任务1，根据题意，设上下两个长方形的宽度和为，根据牛奶盒身的宽与上下两个长方形的宽度和之比为3：1，可求得牛奶盒身的宽为，
，
解得，
，
答：牛奶盒身的宽是．
任务2，设①号长方形的宽为xcm；②号长方形的宽为，依题意得：
，
解得，
∴②号长方形的宽为，
∴牛奶盒子的容积是，
答：牛奶盒子的容积是，
任务三：设长方形框长为，宽为，
解得：，
，
答：长方形框之间的间距为．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查一元一次方程的应用．
任务，设上下两个长方形的宽度和为，根据牛奶盒身的宽与上下两个长方形的宽度和之比为3：1，可求得牛奶盒身的宽为，根据题意可列出方程，解方程可求出x的值，再进行检验，据此可求出答案；
任务，设①号长方形的宽为；②号长方形的宽为，四个长方形的宽的和为，据此可列出方程，解方程可求出x的值，进而可求出②号长方形的宽，利用长方体的体积计算公式可求出牛奶盒子的容积；
任务，设长方形框长为，宽为，长方形框的上下、左右间距都一样，据此可列出方程，解方程可求出x的值，进而可求出长方形框之间的间距.
22．【答案】（1）122.13
（2）解：0.568-0.28m
（3）解：①超过第一档，小江家 谷时用电量与月用电量的比值为0.2，
则处在第一档的1度电的电费为0.568-0.28×0.2=0.512（元）；
0.512×281=143.872＜154.55，
即小江家的年用电量超过第一档；
②设小江家用电量为x度，
0.2×（x-281）×0.338+0.8×（x-281）×0.618=154.55-143.872，
解得，x=300，
300-275=25（度）
答：小江家用电量多，多了25度.
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】解：（1）0.538×227≈122.13（元）；
（2）用电量为1度，则谷时用电量为m，峰时用电量1-m，
；
故答案为：（1）122.13；
（2）0.568-0.28m；
【分析】（1）根据普通电费计费可得电费=单价×度数，即可求得；
（2）计算一度电中谷时电费与峰时电费之和即可；
（3）①m=0.2代入（2）中所求的代数式求出一度电的电费，再计算出剩余281度的电费，与电费154.55比较，即可判断；
②设小江家用电量为x度，根据处于二档的电费列出一元一次方程，求解后再与小北家的电量求差即可.
23．【答案】（1）200，240
（2）解：设小明购买x根，则小红购买根．
根据题意，得，
解方程，得
所以，小明购买了9根，共付 (元)，小红购买了11根，共付 (元)．
故这种情况有可能．
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】（1）解：购买8根跳绳需（元），
购买12根跳绳需（元）
故答案为：200，240．
【分析】（1）根据总价=单价×数量解题．
（2）设小明购买x根，则小红购买根．根据“ 小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元 ”列一元一次方程解题即可．
（1）解：购买8根跳绳需（元），
购买12根跳绳需（元）
故答案为：200，240．
（2）解：设小明购买x根，则小红购买根．
根据题意，得，
解方程，得
所以，小明购买了9根，共付 (元)，小红购买了11根，共付 (元)．
故这种情况有可能．
24．【答案】解：（1）∵，，∴，，
∵，
∴或，
则或．
（2）∵，
∴，，或，，
当，时，，
当，时，．
（3）根据题意可知幻方和为．
∴，，
∴，．
【知识点】有理数的乘法法则；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；绝对值的概念与意义；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据绝对值的意义，以及，求得或，然后分别代入代数式，计算求值，即可得到答案．
（2）根据有理数乘法的意义，得出，，或，，然后分类讨论，代入所求代数式，化简绝对值，进行求解，即可得到答案．
（3）先根据幻方最右侧一列得出幻方和为12，再根据它的每行，每列，每条对角线上的三个数之和都相等，列出关于x，y的一元一次方程，求得方程的解，即可得出答案．
1 / 1人教版数学七年级上学期专项复习：一元一次方程新题型
一、选择题
1．（2020七上·莲湖月考）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着 ， ， ，0，且任意相邻四个台阶上的数的和都相等，则前37个台阶上的数的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：-3-2-1+0=-2-1+0+x，
解得x=-3，
∴可得台阶上的数字每4个一循环，
-3-2-1+0=-6，
∵37÷4=9……1，
∴9×（-6）+（-3）=-57，
∴前37个台阶上的数的和是-57，
故答案为：C.
【分析】先求出x，然后根据台阶上的数字是每4个一循环，根据规律可得结论.
2．（2022七上·华容期末）如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形长与宽的差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；等式的基本性质；根据数量关系列方程；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：，即，
整理得：，
则小长方形的长与宽的差是，
故选：D．
【分析】本题考查了列方程、整式的加减、以及等式的性质，设小长方形的长为x，宽为y，根据大长方形的长不变，得到，再求出，即得到长与宽的差．
3．（【全效核心素养评估卷】浙教版数学七（上）综合核心素养评估卷(二））等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是( )
A．如果a=b，那么2a=2b B．如果a=b，那么
C．如果a=b，那么a+c=b+c D．如果a=b，那么
【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵天平左右各多放置一个小砝码
即在等式两边加上同一个数或式子
∴应为： 如果a=b，那么a+c=b+c
故答案为：C.
【分析】根据天平的变化即为等式的变化，在等式两边加上同一个数或式子，等式仍成立可得答案.
4．设“●”“▲”“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称了两次，称得情况如图所示，则下列选项的天平图中，正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：设“●”，“▲”，“■”的质量分别为a、b、c．
根据题意，得3a＝a+b，b＝c．
根据等式的基本性质得2a＝b，∴b＝c＝2a．
A．天平左边的质量是a+b，右边的质量是2b＝4a，∵a+2a＝3a，2b＝4a，故选项A不符合题意；B．天平左边的质量是2a，右边的质量是c，∵c＝2a，故选项B符合题意；
C．天平左边的质量是2c，右边的质量是b+c，∵2c＝4a，b+c＝4a，故C不符合题意；
D．天平左边的质量是a，右边的质量是c，∵c＝2a，∴a＜2a，故选项D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据天平平衡时，天平两边的质量相等，设“●”，“▲”，“■”的质量分别为a、b、c，根据题意写出等式3a＝a+b，b＝c，根据等式的基本性质得到b、c分别与a之间的数量关系，再据此逐项判断即可.
5．（【教与学课程同步讲练】浙教版数学七年级上册5.5一元一次方程的应用(四)）如图，每个圆形纸片的面积都是 30，圆形纸片A与B，B与C，C与A的重叠面积分别为6，8，5，三个圆形纸片覆盖的总面积为73，则图中阴影部分的面积为 ( )
A．54 B．56 C．58 D．69
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设三个圆纸片重叠部分的面积为x，
则30+(30-5)+(30-6-8+x)=73
解得x=2，
∴三个圆纸片重叠部分的面积为2，
图中阴影部分的面积为73-(6+8+5-2×2)=58，
故答案为：C.
【分析】根据图形可知：三个圆纸片覆盖的总面积+A与B的重叠面积+B与C的重叠面积+C与A的重叠面积-A、B、C共同重叠面积×2=每个圆纸片的面积×3，由此等量关系列方程求出A.B、C共同重叠面积，从而求出图中阴影部分面积.
6． “曹冲称象”是流传很广的故事，如图，按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出.然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置.已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是 （ ）
A．依题意3×120=x-120
B．依题意20x+3×120=（20+1）x+120
C．该象的重量是5040斤
D．每块条形石的重量是260斤
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设每块条形石的重量是x斤，
根据题意，得： 20x+3×120=（20+1）x+120 ，
解之得：x=240
所以A选项不正确，B选项正确，D选项不正确；
大象的体重：240x20+360=5160斤，
所以C选项不正确；
故答案为：B.
【分析】设每块条形石的重量是x斤，根据等量关系20块条形石的重量+3个搬运工的体重=21块条形石的重量+1个搬运工的体重可列方程20x+3×120=（20+1）x+120 ，解之可得每块条形质量，再求出大象的质量，逐项判断可得答案。
二、填空题
7．如图，在天平上放若干个苹果和香蕉（每个苹果和每个香蕉的质量分别相等），其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码 克.
【答案】250
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：设苹果的质量为a克，香蕉的质量为b克，
根据题意可得 2a+b=350， a+2b=400，
则b=350-2a，a=400-2b，
a+b=350-2a+400-2b，
3(a+b)=750
(a+b)=250
故答案为：250.
【分析】设苹果的质量为a克，香蕉的质量为b克，根据题意可得 2a+b=350， a+2b=400，根据等式的性质1可得b=350-2a，a=400-2b，a+b=350-2a+400-2b，(a+b)=750，根据等式的性质2可得(a+b)=250。
8．请品赏方程3（x-1）+1-x=2的两种解法：
解法一：3x-3+1-x=2. 2x=2+3-1. 2x=4. 所以x=2. 解法二：3（x-1）-（x-1）=2. 2（x-1）=2. x-1=1. 所以x=2.
请从解题方法的角度简要阐述你的评析： .
【答案】解法一根据解方程的基本步骤解答；解法二根据整体思想解答(答案合理即可)
【知识点】解含括号的一元一次方程；整体思想
【解析】【解答】解：解法一：去括号，得 3x-3+1-x=2.
移项，得 2x=2+3-1.
合并同类项，得 2x=4.
两边同除以2，得 x=2.
解法二：整理，得3（x-1）-（x-1）=2.
合并同类项，得 2（x-1）=2.
两边同除以2，得 x-1=1.
移项，得 x=2.
解法一根据解方程的基本步骤解答；解法二根据整体思想解答
故答案为：解法一根据解方程的基本步骤解答；解法二根据整体思想解答.
【分析】解法一根据解一元一次方程的基本步骤，先去括号，再移项合并同类项，最后化系数为1解答；解法二将（x-1）看做整体，先合并同类项，再移项解答。
三、阅读理解题
9．【阅读与探究】“曹冲称象”是流传很广的故事.按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入 1 块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置。已知每个搬运工的体重均为60千克，求大象的体重。请将下列解答过程补充完整：
解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重=21块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重。
①因为已知每个搬运工的体重均为 60千克，设每块条形石的重量是x千克，则可列方程 。
②解这个方程得，x= 。
③实际上由题也可直接得到，一块条形石的重量= 个搬运工的体重。
④最终可求得，大象的体重为 kg。
【答案】20x+x+60=20x+3×60；120；2；2580
【知识点】一元一次方程的其他应用；列一元一次方程
【解析】【解答】解：①已知搬运工体重均为60斤，设每块条形石的重量是x斤，则可列方程为：20x+x+60=20x+3×60.
②解这个方程得，x=120.
③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量=2个搬运工的体重；
④最终可求得：大象的体重为20×120+3×60=2580斤，
故答案为：20x+x+60=20x+3×60，120，2，2580.
【分析】设一块条石的重量是x斤，则大象的重量可表示为(20x+x+60)斤，也可以表示为(20x+3×60)斤，可列方程20x+x+60=20x+3×60，解方程求出x的值，再求出大象的重量即可.
四、解答题
10．现有四个整式：
（1）选择其中两个整式用等号连接，共能组成 个方程.
（2）请写出其中所有的一元一次方程.
【答案】（1）5
（2）解：所有的一元一次方程为
【知识点】一元一次方程的概念；方程的定义及分类
【解析】【解答】
解：（1）组成的方程有：，，，，，
故答案为：5.
（2）一元一次方程为：，.
故答案为：，.
【分析】（1）根据方程（有未知数，且两个整式用等号连接）的定义即可组成所有方程.
（2）根据一元一次方程（未知数的系数不为0，未知数的次数为1）的定义即可判断出所有的一元一次方程.
11．（2024七上·迁安期末）我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和谐方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和谐方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于的一元一次方程是“和谐方程”，则的值为 ．
（2）已知关于的一元一次方程是“和谐方程”，则的值为 ．
【答案】；
【知识点】一元一次方程的其他应用；估计方程的解
【解析】【解答】解：（1）依题意，方程解为，
∴代入方程，得，解得：，
故答案为：；
（2）依题意，方程解为，
又∵方程的解为，∴，∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据“和谐方程”的定义，得出，再将其代入方程计算，即可求解；
（2）根据“和谐方程”的定义，得出，结合方程的解为，求得的值，得到答案.
12．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.
（1）用含x的式子表示m，则m= .
（2）当y=-7时，求n的值.
【答案】（1）3x
（2）解：由题意可知x+2x=m，2x+3=n，
∴y=m+n=x+2x+2x+3.
当y=-7时，5x+3=-7，
解得x=-2.
∴n=2x+3=-4+3=-1.
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：(1)∵m=x+2x，
∴m=3x.
故答案为：3x.
【分析】（1）由题意可直接得m=3x.
（2）由等式性质 4：如果 a=b，b=c，那么 a=c.(传递性)求解即可.
13．列方程解应用题（填空）：一件衬衫先按进价加价 60元标价，再以8折出售，仍可获利24元，这件衬衫的进价是多少钱
审题：A：设 ▲ .
B：
进价 标价 折数 售价 利润
C：列方程： ▲ .
【答案】A：设这件衬衫的进价是x元，
进价 标价 折数 售价 利润
x元 (x+60)元 八折 0.8(x+60)元 24元
C：列方程：0.8(x+60)-x=24.
【知识点】列一元一次方程
【解析】【分析】根据题意，将数据填写到表格中，再根据表格及题中的等量关系列出方程.
14．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口。温水的温度为30℃，流速为20 mL/s；开水的温度为100℃，流速为15 mL/s。某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280 mL、温度为60℃的水(不计热损失)，分别求该学生接温水和开水的时间。
物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度。
【答案】解： 设该学生接温水的时间为x(s)。
由题意，得20x×(60-30)=(280-20x)×(100-60)，解得x=8，∴20×8=160(mL)。
∵280-160=120(mL)，∴120÷15=8(s)。
答：该学生接温水的时间为8s，接开水的时间为8s
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】设该学生接温水的时间为xs，根据接水量=流速x根据开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度，得方程20x×(60-30)=(280-20x)×(100-60)，解之得x=8，进而根据接水量=流速x接水时间求出所接开水的体积和时间。
15．如图所示为两张不同类型火车的车票（“D××××”表示动车，“G××××”表示高铁）：
（1）根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是 向而行（填“相”或“同”）.
（2）已知该列动车和高铁的平均速度分别为200 km/h，300 km/h，两列火车的长度不计.
①通过测算，如果两列火车同时出发直达终点（即中途都不停靠任何站点），那么高铁比动车将早到2 h，求甲、乙两地之间的距离.
②在①中测算的数据基础上，已知甲、乙两地之间依次设有5个站点 P3，P4，P5，且每两个相邻站点之间的路程相等，动车每个站点都停靠，高铁只停靠P2，P4两个站点，两列火车在每个停靠站点都停留5m in.求该列高铁追上动车的时刻.
【答案】（1）同
（2）解：①设甲、乙两地之间的距离为x( km).
由题意，得
解得x=1200.
答：甲、乙两地之间的距离为1200 km.
②每两个相邻站点之间的路程为 1200÷6=200( km)，
动车到每一站所花时间为200÷200×60=60( min)，
高铁到每一站所花时间为200÷300×60=40( min).
∵60÷(60-40)=3，
∴高铁在 P2站，P3站之间追上动车.
设高铁经过t(h)之后追上动车.
由题意，得 解得
∵该列高铁在7：00出发，
∴该列高铁追上动车的时刻为8：55.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由车票可以得出动车和高铁都是由A地开往B地，
所以动车和高铁是同向而行，
故答案为：同；
【分析】（1）由车票可以得出动车和高铁都是由A地开往B地，所以动车和高铁是同向而行；
（2）①高铁比动车晚出发1个小时，所以动车比高铁全程多花了2个小时，设A、B两地距离为xkm，则可列方程－=2，解出x即可；②每个相邻站点距离为：1200÷6=200km，画出动车和高铁到每一站的时间图，由此可以得出高铁在P2、P3之间追上并超过动车，设高铁经过t小时后追上动车，则解得t=.所以高铁在经过h后可以追上动车，追上的时刻为8点55分.
16．（2024七上·武江期中）将连续的偶数2，4，6，8……，排成如图所示：
（1）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？
（2）设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和；
（3）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2020吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由．
【答案】解：（1）十字框中的五个数的和为6+14+16+18+26=80=16×5，即是16的5倍；
（2）设中间的数为x，则十字框中的五个数的和为： (x﹣10)+(x+10)+(x﹣2)+(x+2)+x=5x，
所以五个数的和为5x；
（3）假设能够框出满足条件的五个数，设中间的数为x，
由（2）得5x=2020，
所以x=404，
所以这五个数分别为394、402、404、406、414，它们的和等于2020．
【知识点】有理数的减法法则；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；有理数的加法法则；有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据十字框中的数据，结合有理数的加法的运算法则，把方框中的5个数相加，得出结果与中间的数的关系，即可求解；（2）根据十字框中数字的规律，上下相邻的数相隔10，左右相邻的数相隔2表示出其余数，设中间的数为x，求得十字框中的五个数的和，即可得到答案；
（3）让（2）得到的式子的结果等于2010，求得方程的整数解，结合十字框中数字的排列规律，即可求解.
17．（2024七上·吉安月考）根据所学的数轴知识，解答下面的问题：
（1）知识呈现：在数轴上有A，B两个点，如图1所示，A点表示的数是__________；B点表示的数是__________．
（2）知识迁移，如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所应的数为40；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为7，由此可得这根木棒的长为__________；
②图中点A所表示的数是__________，点B所表示的数是__________．
（3）知识应用：由（2）中①、②的启发，请你借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，玲玲去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了．哈哈！”请问爷爷现在多少岁了？
【答案】（1）；3
（2）①11，②18，
（3）解：借助数轴，把玲玲和爷爷的年龄差看做木棒，爷爷像小明这样大时，可看做点B移动到点A，此时点A向左移后所对应的数为，你若是我现在这么大，可看做点A移动到点B，此时点B向右移后所对应的数为，
设年龄差为x岁，
得：，
解得，
∴玲玲的年龄即点A的值为：岁，爷爷的年龄即点B的值为：岁，
故玲玲现在的年龄为15岁，爷爷现在的年龄为70岁．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）解：由数轴上点的位置可知，点A表示的数是，点B表示的数是3，
故答案为：；3；
解：（2）①设木棒长度为，
由题意可得：，
解得．
故答案为：11．
②点A表示的数是：，
点B所表示的数是：，
故答案为：，；
【分析】（1）根据数轴上点的位置，得到点A表示的数是，点B表示的数是3，即可得到答案；
（2）①木棒移动2次，最左端和最右端的距离是木棒长的3倍，设木棒长度为，列出方程，求得方程的解，即可得到答案；
②根据数轴，A点在7的右侧11个单位长度，求出A点的数值为18，B点在A点右侧11个单位长度，得出B点的数值，即可得到答案．
（3）设年龄差为x岁，仿照（2），结合点A移动到点B，此时点B向右移后所对应的数为，列方程，求得方程的解，得出年龄，即可得到答案．
（1）解：由数轴上点的位置可知，点A表示的数是，点B表示的数是3，
故答案为：；3；
（2）解：①设木棒长度为，
由题意可得：，
解得．
故答案为：11．
②点A表示的数是：，
点B所表示的数是：，
故答案为：，；
（3）解：借助数轴，把玲玲和爷爷的年龄差看做木棒，爷爷像小明这样大时，可看做点B移动到点A，此时点A向左移后所对应的数为，
你若是我现在这么大，可看做点A移动到点B，此时点B向右移后所对应的数为，
设年龄差为x岁，
得：，
解得，
∴玲玲的年龄即点A的值为：岁，爷爷的年龄即点B的值为：岁，
故玲玲现在的年龄为15岁，爷爷现在的年龄为70岁．
五、实践探究题
18．【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和一个10g的砝码，如何称出1个乒乓球和1个一次性纸杯的质量
【操作探究】下面是“智慧小组”的探究过程：
准备物品：①若干个大小相同的乒乓球(质量相同)；②若干个大小相同的一次性纸杯(质量相同)。
探究过程：设每个乒乓球的质量是x(g)。
天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球的总质量 一次性纸杯的总质量
记录1 8个乒乓球和1个10g的砝码 14个一次性纸杯 平衡 8x
记录2 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10g的砝码 平衡 4x
（1）【解决问题】
①将表格补充完整。
②分别求1个乒乓球的质量和1个一次性纸杯的质量。
（2）【拓展设计】
“创新小组”根据“智慧小组”的探究过程提出这样一个问题：
请你举出一种情况，使得乒乓球的个数为一次性纸杯个数的2倍，并填入下表：
天平左边 天平右边 天平状态
记录3 乒乓球 个 一次性纸杯 个和2个10g的砝码 平衡
【答案】（1）①8x+10 4x-10
②解：由题意，得(8x+10)÷14=(4x-10)÷2，
解得x=4，
∴(4x-10)÷2=3。
答：1个乒乓球的质量为4g，1个一次性纸杯的质量为3g
（2）8；4
【知识点】一元一次方程的其他应用；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）①由题意可得：
记录1中的纸杯的总质量为(8x+10)g
记录2中的纸杯的总质量为(4x-10)g
故答案为：8x+10；4x-10
（2）设纸杯的个数为m，则乒乓球的个数为2m
由题意可得：4×2m=3m+2×10
解得：m=4
∴2m=8
即天平左边放8个乒乓球，天平右边放4个纸杯
故答案为：8；4
【分析】（1）①根据表格信息即可求出答案.
②根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设纸杯的个数为m，则乒乓球的个数为2m，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
19．（2024七上·金湾期末）综合与实践
如图1，用一根质地均匀的的木杆和一些等重量的小物体做下列实验，并记录每一次支点到木杆左右两边挂重物的距离：
①在木杆中间处栓绳作为支点，将木杆吊起来并使左右平衡；
②在木杆两端各悬挂一重物，看左右是否保持平衡；
③在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡；
④在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录如下：
图1 图2
木杆左边挂 重物个数 支点到木杆左边挂 重物的距离 木杆右端挂 重物个数 支点到木杆右端挂 重物的距离
1 1
2 1
3 1
…… …… 1
…… 1
（1）根据以上的实验记录数据规律，在右端重物个数不变的情况下，若木杆左边悬挂6个重物时，左边重物到支点距离为 .
（2）如图2，在木杆右端挂一重物，支点左边挂个重物，并使左右平衡.设木杆长为，支点到木杆左边挂重物处的距离为，把，作为已知数，列出关于的一元一次方程 .
【答案】（1）2.5
（2）
【知识点】一元一次方程的其他应用；列一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）设支点到木杆左边挂重物处的距离为xcm，
根据题意可得：6×x=1×15，
解得：x=2.5，
故答案为：2.5；
（2）设支点到木杆左边挂重物处的距离为xcm，则点到木杆右边挂重物处的距离为（l-x）cm，
根据题意可得：x×n=×l，
即，
故答案为：.
【分析】（1）设支点到木杆左边挂重物处的距离为xcm，再利用“木杆左边挂重物个数×支点到木杆左边挂重物处的距离＝支点到木杆右端挂重物处的距离×木杆右端挂重物个数”列式计算即可；
（2）设支点到木杆左边挂重物处的距离为xcm，则点到木杆右边挂重物处的距离为（l-x）cm，再利用“木杆左边挂重物个数×支点到木杆左边挂重物处的距离＝支点到木杆右端挂重物处的距离×木杆右端挂重物个数”列式计算即可；
20．根据以下素材，回答问题.
问题背景 某学校决定在校内建造劳动实践基地，现向全校师生征集实践基地的设计方案.学校项目化学习小组根据学校要求完成了初步设计，请跟随小组成员共同完成以下任务.
素材一 项目化学习小组通过初步研讨，计划利用学校现成的一堵“L”形墙面和栅栏围成长方形的劳动实践基地BFED，其中粗线AB，BC表示墙面，已知AB⊥BC，AB=2米，BC=6米.初步设计方案有两种：如图1，点D 在线段BC 上；如图2，点D 在线段BC 的延长线上(包括点 C).
素材二 通过查询学校现有物资信息，学校仓库可提供栅栏的总长度为 10 米.项目化学习小组决定将这10米栅栏全部用于建造劳动实践基地.
素材三 经过市场调查，建造劳动实践基地的人工和材料费合计为25元/平方米.
（1）【任务一】根据图1的设计，若设AF=x米，则在图1中DE= 米(请用含x的代数式表示).在图2中，长方形 BFED的周长为 米.
（2）【任务二】根据学校要求，劳动实践基地的长：宽=2：1，请分别求出这两种不同方案下 AF的长.
（3）【任务三】在任务二的条件下，为了节省学校的开支，请你帮助小组成员确定符合要求的方案：_▲_(填图 1或图 2)，并求出此时所需的费用.
【答案】（1）(x+2)；18
（2）解：设AF=x米，如题图1，DE=(x+2)米，EF=10-(x+2)-x=(8-2x)米，由题意得x+2=2(8-2x)，解得 即 米；如题图2，DE=(x+2)米，EF=(7-x)米，由题意得7-x=2(x+2)，解得x=1，即AF=1米.
（3）解：由任务二知图1中 米，
(米)，I (米)，
∴面积为 (平方米)，
∴费用为 (元)；图2中AF=1米，∴DE=3米，EF=6米，∴面积为3×6=18(平方米)，∴费用为18×25=450(元).∴符合要求的方案为图1，此时所需费用为288元.
【知识点】矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵DE=BF， AB=2，BC=6，
∴DE=BF=AB+AF=（x+2）（米），
则长方形 BFED的周长为AB+BC+10=2+6+10=18（米）；
故答案为：（x+2）；18.
【分析】（1）根据长方形的性质及线段的和、差即可得出答案；
（2）根据图形，分别表示出DE，EF的长，由长：宽=2：1，列出方程分别求解即可；
（3）根据（2）即可知符合要求的方案，代入数据计算即可.
21．（2024七上·莲都期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计牛奶盒子？
素材1 如图1所示是长为，宽为的长方形包装纸，现要自制牛奶盒子． （1）上下各留宽度相同的一个长方形，中间剩余部分用于制作牛奶盒身； （2）牛奶盒身的宽与上下两个长方形的宽度和之比为3：1．
素材2 如图2，将牛奶盒身分成四块长方形，其中①③长方形大小相同，②④长方形大小也相同，且②号长方形的宽比①号多．
素材3 如图3，在②号长方形上设计四个大小一样、长宽之比为的长方形框，且长方形框的上下、左右间距都一样．
问题解决
任务1 分析数量关系 求图1中牛奶盒身的宽(规定：较长的边为长，较短的边为宽)．
任务2 确定盒子容积 把图1中的包装纸折成图2中的牛奶盒子，求牛奶盒子的容积．
任务3 确定间距大小 求出图3中②号长方形上设计的长方形框之间的间距．
【答案】解：任务1，根据题意，设上下两个长方形的宽度和为，根据牛奶盒身的宽与上下两个长方形的宽度和之比为3：1，可求得牛奶盒身的宽为，
，
解得，
，
答：牛奶盒身的宽是．
任务2，设①号长方形的宽为xcm；②号长方形的宽为，依题意得：
，
解得，
∴②号长方形的宽为，
∴牛奶盒子的容积是，
答：牛奶盒子的容积是，
任务三：设长方形框长为，宽为，
解得：，
，
答：长方形框之间的间距为．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查一元一次方程的应用．
任务，设上下两个长方形的宽度和为，根据牛奶盒身的宽与上下两个长方形的宽度和之比为3：1，可求得牛奶盒身的宽为，根据题意可列出方程，解方程可求出x的值，再进行检验，据此可求出答案；
任务，设①号长方形的宽为；②号长方形的宽为，四个长方形的宽的和为，据此可列出方程，解方程可求出x的值，进而可求出②号长方形的宽，利用长方体的体积计算公式可求出牛奶盒子的容积；
任务，设长方形框长为，宽为，长方形框的上下、左右间距都一样，据此可列出方程，解方程可求出x的值，进而可求出长方形框之间的间距.
22．小江同学注意到妈妈手机中的电费短信（如图1），对其中的数据产生了浓厚的兴趣，谷85 度是什么意思 电费是如何计算的 第一档与第二档又有什么关系
【浙江电力】【电费通知】尊敬的客户，户号*，户名*，地址*.（2024.09.01-2024.09.30）电量227度（其中谷85度），电费105.14元，当前用电处于第一档，剩余581度.
通过互联网查询后获得该市居民生活用电标准（如下表，部分修改）.
电价等级 普通电价
（元/度） 峰谷电价（元/度）
峰时电价 谷时电价
第一档 年用电量不超过2 760度的部分 0.538 0.568 0.288
第二档 年 用 电 量 超 过2 760度但不超过4 800度的部分 0.588 0.618 0.338
第三档 年 用 电 量 超 过4 800度的部分 0.838 0.868 0.588
【解读信息】
小江家采用峰谷电价计费，谷时用电量为85度，那么峰时用电量就是227-85=142（度），由于小江家年用电量处在第一档，故9 月份电费为：0.568×142+0.288×85=105.136≈105.14（元）.
【解决问题】
（1）若采用普通电价计费，小江家九月份的电费为 元（精确到0.01）.
（2）若采用峰谷电价计费，某月谷时用电量与月用电量的比值为m，那么处在第一档的1度电的电费可以表示成 元（用含 m 的代数式表示）.
（3）如图2，12月份，小江家谷时用电量与月用电量的比值为0.2.请根据对话解答下列问题：
①通过计算判断：截至12月底，小江家的年用电量是否仍处于第一档
②12月份谁家的用电量多 多了多少
【答案】（1）122.13
（2）解：0.568-0.28m
（3）解：①超过第一档，小江家 谷时用电量与月用电量的比值为0.2，
则处在第一档的1度电的电费为0.568-0.28×0.2=0.512（元）；
0.512×281=143.872＜154.55，
即小江家的年用电量超过第一档；
②设小江家用电量为x度，
0.2×（x-281）×0.338+0.8×（x-281）×0.618=154.55-143.872，
解得，x=300，
300-275=25（度）
答：小江家用电量多，多了25度.
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】解：（1）0.538×227≈122.13（元）；
（2）用电量为1度，则谷时用电量为m，峰时用电量1-m，
；
故答案为：（1）122.13；
（2）0.568-0.28m；
【分析】（1）根据普通电费计费可得电费=单价×度数，即可求得；
（2）计算一度电中谷时电费与峰时电费之和即可；
（3）①m=0.2代入（2）中所求的代数式求出一度电的电费，再计算出剩余281度的电费，与电费154.55比较，即可判断；
②设小江家用电量为x度，根据处于二档的电费列出一元一次方程，求解后再与小北家的电量求差即可.
六、综合题
23．（2024七上·红花岗期末）列方程解应用题：根据图中情景，解答下列问题：
她付的钱怎么比我还少？ 收银台 “元旦”大酬宾 跳绳每根25元，超过10根，享受八折优惠．
（1）购买8根跳绳需 元；购买12根跳绳需 元；
（2）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为这种情况有可能吗？请利用方程知识说明理由．
【答案】（1）200，240
（2）解：设小明购买x根，则小红购买根．
根据题意，得，
解方程，得
所以，小明购买了9根，共付 (元)，小红购买了11根，共付 (元)．
故这种情况有可能．
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】（1）解：购买8根跳绳需（元），
购买12根跳绳需（元）
故答案为：200，240．
【分析】（1）根据总价=单价×数量解题．
（2）设小明购买x根，则小红购买根．根据“ 小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元 ”列一元一次方程解题即可．
（1）解：购买8根跳绳需（元），
购买12根跳绳需（元）
故答案为：200，240．
（2）解：设小明购买x根，则小红购买根．
根据题意，得，
解方程，得
所以，小明购买了9根，共付 (元)，小红购买了11根，共付 (元)．
故这种情况有可能．
24．（2024七上·夷陵期中）（1）若，，，则的值
（2）若．求
（3）材料：幻方起源于中国，如左图是中国文化中最古老的事物之一——“洛书”，将图中的各处点数顺次填到右图的正方形方格中，就得到一个幻方．它的每行，每列，每条对角线上的三个数之和都相等，这个和称为幻方和，右图的幻方和是15．如图1，写出图中x，y值以及幻方和；
【答案】解：（1）∵，，∴，，
∵，
∴或，
则或．
（2）∵，
∴，，或，，
当，时，，
当，时，．
（3）根据题意可知幻方和为．
∴，，
∴，．
【知识点】有理数的乘法法则；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；绝对值的概念与意义；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据绝对值的意义，以及，求得或，然后分别代入代数式，计算求值，即可得到答案．
（2）根据有理数乘法的意义，得出，，或，，然后分类讨论，代入所求代数式，化简绝对值，进行求解，即可得到答案．
（3）先根据幻方最右侧一列得出幻方和为12，再根据它的每行，每列，每条对角线上的三个数之和都相等，列出关于x，y的一元一次方程，求得方程的解，即可得出答案．
1 / 1
