人教版九年级数学下册 28.2.2 应用举例 （含详解）
文档属性
| 名称 | 人教版九年级数学下册 28.2.2 应用举例 （含详解） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 744.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-07 16:45:27 | ||
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文档简介
28.2.2 应用举例
一、单选题
1．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高为（ ）．
A．3 B．5 C．2 D．4
2．如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为，看这栋楼底部C处的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，若坡角，则斜坡的坡度为（ ）
A． B． C． D．2
4．如图，某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡与水平方向的夹角为，地下停车场层高米，则在停车场的入口处，可通过汽车的最大高度是（ ）
A．3 B． C． D．
5．如图，从点观测点的仰角是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（ ）
A．12海里 B．6海里 C．12海里 D．24海里
7．如图，岛位于岛的正西方，两岛间的距离为海里，由岛分别测得船位于南偏东和南偏西方向上，则船到岛的距离为（ ）
A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里
8．如图所示，AB为斜坡，D是斜坡AB上一点，斜坡AB的坡度为i，坡角为，于点C，下面错误的有（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，已知楼房高为，铁塔塔基距楼房基间的水平距离为，塔高为，则下面结论中正确的是（ ）
A．由楼顶望塔顶角为 B．由楼顶望塔基俯角为
C．由楼顶望塔顶仰角为 D．由楼顶望塔基俯角为
10.马路边上有一棵树，树底距离护路坡的底端有3米，斜坡的坡角为60度，小明发现，下午2点时太阳光下该树的影子恰好为，同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的部分影子落在斜坡上的处，且，如图所示，线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
11．【多选】数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘隔开的两棵树，的距离，他们设计了如图的测量方案：从树沿着垂直于的方向走到，再从沿着垂直于的方向走到，为上一点，其中4位同学分别测得四组数据：其中能根据所测数据求出，两树距离的有( )
A．， B．，，
C．，， D．，，
二、填空题
12.已知某斜坡的坡度，则斜坡的坡角的大小为
13.科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇游玩，到达地后导航显示车辆应沿北偏西方向行驶至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇，小明发现古镇恰好在地的正北方向，两地的距离是 km
14.如图，土坡是一个梯形，，斜坡长130米，坡度是，沿走上平台，可以坐电梯直达矩形观景台顶部，在点观察坡底点，俯角是，则观景台的垂直高度为 米．
15.如图，小明在P处测得A处的俯角为，B处的俯角为，，，若斜面AB坡度为，则HF的长为 m．
16.如图是某地滑雪运动场大跳台简化成的示意图．其中段是助滑坡，倾斜角，段是水平起跳台，段是着陆坡，倾斜角，，．若整个赛道长度（包括、、段）为，平台的长度是，整个赛道的垂直落差是，则段的长度大约是 ．
三、解答题
17.图①是一个倾斜角为的斜坡的横截面，斜坡顶端与斜坡底端的水平距离为6米，为了对这个斜坡的绿地进行喷灌，在斜坡底端处安装了一个喷头，喷头喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与喷头所在水平面的距离），水珠与喷头的水平距离为（单位：米），与的之间近似满足二次函数关系，图②记录了与的相关数据，为抛物线的顶点．
(1)求与的函数关系式；
(2)求斜坡的坡度．
18.为倡导健康出行，某市道路运输管理局向市民提供一种公共自行车作为代步工具，如图（1）所示是一辆自行车的实物图．车架档与的长分别为，，且它们互相垂直，，，如图（2）．（结果精确到．参考数据：，，，，）
(1)求车架档的长；
(2)求车链横档的长．
19.在学校的数学学科周上，李老师指导学生测量学校旗杆的高度．在旗杆附近有一个斜坡，坡长米，坡度，小华在处测得旗杆顶端的仰角为，在处测得旗杆顶端的仰角为．求旗杆的高度．（点，，，在同一平面内，，在同一水平线上，结果保留根号）
20.如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东方向上，且A，P之间的距离为32海里．
(1)若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？
(2)如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东度方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围．
答案
一、单选题
1.C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是根据题意可得：在中，，从而可得，进行计算即可解答．
【详解】解：滑坡的坡度是，
在中，，，
，
故选：C．
2．A
【分析】过点A作，分别解直角三角形，求出，即可得出结果．
【详解】解：过点A作，由题意，得：120m，，
∴，
∴；
即：楼高为；
故选A．
3．B
【分析】本题考查了坡度的定义，根据坡度是坡角的正切值，即可求解．
【详解】解：坡角，则斜坡的坡度为，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点C作，利用求解即可，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．
【详解】解：过点C作，如图，
∴，
∵，
∴，
∵米，
∴，
∴米，
故选：D．
5．B
【分析】本题主要考查了仰角的识别，仰角是向上看的视线与水平线的夹角，根据仰角的定义进行解答便可．熟记仰角的定义是解题的关键．
【详解】解：从点观测点的视线是，水平线是，
从点观测点的仰角是．
故选：B．
6．B
【分析】过点作，利用，结合锐角三角函数，列式计算即可．
【详解】解：如图，过点作，
由题意，得：，
在中，，
在中，，
∴，
∴；
故选B
7．A
【分析】要求的长，需要构造直角三角形，作辅助线，然后根据题目中的条件利用特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：如图，作于点，
海里,，，，
，，，
，
解得：海里，
海里，
故选：A．
8．A
【分析】根据坡度的定义解答即可．
【详解】交于点，交于点，
，
，，
，
，
∴BCD正确．
故选： A．
9．D
【分析】过点A作AE⊥CD于点E，则AE=BD=，DE=AB=，可得 ，从而得到 ，即由楼顶望塔顶角为；在 中，利用锐角三角函数，即可得到 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，则AE=BD=，DE=AB=，
∵塔高为，
∴ ，
∴AE=CE，
在 中，
，
∴ ，
即由楼顶望塔顶角为；
在 中，AE=，DE= ，
∴ ，
∴ ，
即由楼顶望塔基俯角为，
故选：D．
10.A
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，求出，延长，交于点，根据30度角的直角三角形即可求出结果．
【详解】解：同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，米，
树的高度是6米；
延长，交于点，
，
，
，
米，
米，
米，
线段的长度为，
故选：A．
11.AC
【分析】直接解直角三角形即可对各选项逐一判断，从而可得答案．
【详解】解：∵已知的度数和的长，
∴利用的正切可求出的长，故A选项能求得A，B两树距离；
∵，
∴，
∴
∴已知，，，不知，不能求出，故B选项不能求得A，B两树距离，
设，
∴， ，A ；
∵已知，，，
∴可求出x，然后可得出，故C选项能求得A，B两树距离，
已知，，不能求得A，B两树距离，故D选项不能求得A，B两树距离，
综上所述：求得A，B两树距离的有，
故选．
二、填空题
12.
【分析】本题考查解直角三角形的应用．根据坡度等于坡角的正切值，结合特殊角的三角函数值，即可得出结果．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：．
13.
【分析】本题主要考查方位角与勾股定理的综合，理解方位角，掌握勾股定理的计算方法是解题的关键．
如图所示，过点作于点，在中根据含角的直角三角形的性质可求出的长，再在中根据等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点
∵，
∴在中，，
∴，则，
∴，
∵从地沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇，
∴，且，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
∴两地的距离是，
故答案为：．
14.70
【分析】此题考查解直角三角形的应用，勾股定理，以及平行线的性质：根据正切定理设，勾股定理求出，由平行线的性质得出，求出米，即可得到答案．
【详解】解：如图，
∵斜坡长130米，坡度是，
∴，
设，
∵，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（米）．
故答案为：70．
15.
【分析】根据三角函数的定义得到，根据已知条件得到，∠，求得，进而可得为等腰直角三角形，再利用解直角三角形求出与即可．
【详解】解：如图：
过P的水平线为，
∵斜面坡度为，
，
，
∵在P处进行观测，测得A处的俯角为，B处的俯角为，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16./110米
【分析】过点C作于F，设AB长为，解，求得，，则，又由矩形，得，再解，求得，然后，根据，，即，求解得出x值即可得出答案．
【详解】解：过点C作于F，如图，
由题意，得，
设长为，
在中，，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，即
∴，
∵，，
∴
解得：，
∴段的长度大约是．
故答案为：．
三、解答题
17.（1）设二次函数的表达式为，
将代入，得，，
与的函数关系式为：，
即：；
（2）当时，，
，
在中，．
18.（1）解：，且，
∴；
（2）过点作, 垂足为, 则
∵,，
，
∵,
∴,
，
设, 则，
,
则 ，
解得：
，
，
答: 车链横档的长约为.
19.解：过点D作，垂足为，过点D作，垂足为，
依据题意得：，，
坡长米，坡度，
，
设米，则米，
在 中，
(米)，
，解得：，
米，则米，
设米，
米，
在 中，，
(米)，
在 中，，
米，
，
，
解得：，
(米)，
旗杆的高度为米．
20．（1）解：过点P作轮船航线于B，则的长是A沿方向距离P点的最短距离，
由题意得，，
∴在中，，
∴，
∴，
∵，
答：若轮船继续向正东方向航行有触礁危险．
（2）解：设轮船沿南偏东航向是射线，过点P作于D，
当时，角的度数最大，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴沿南偏东最大角度为方向航行确保安全通过这一海域，
即时，轮船能安全通过这一区域．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是如何构造直角三角形并知道求哪一条线段的长．
一、单选题
1．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高为（ ）．
A．3 B．5 C．2 D．4
2．如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为，看这栋楼底部C处的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，若坡角，则斜坡的坡度为（ ）
A． B． C． D．2
4．如图，某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡与水平方向的夹角为，地下停车场层高米，则在停车场的入口处，可通过汽车的最大高度是（ ）
A．3 B． C． D．
5．如图，从点观测点的仰角是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（ ）
A．12海里 B．6海里 C．12海里 D．24海里
7．如图，岛位于岛的正西方，两岛间的距离为海里，由岛分别测得船位于南偏东和南偏西方向上，则船到岛的距离为（ ）
A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里
8．如图所示，AB为斜坡，D是斜坡AB上一点，斜坡AB的坡度为i，坡角为，于点C，下面错误的有（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，已知楼房高为，铁塔塔基距楼房基间的水平距离为，塔高为，则下面结论中正确的是（ ）
A．由楼顶望塔顶角为 B．由楼顶望塔基俯角为
C．由楼顶望塔顶仰角为 D．由楼顶望塔基俯角为
10.马路边上有一棵树，树底距离护路坡的底端有3米，斜坡的坡角为60度，小明发现，下午2点时太阳光下该树的影子恰好为，同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的部分影子落在斜坡上的处，且，如图所示，线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
11．【多选】数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘隔开的两棵树，的距离，他们设计了如图的测量方案：从树沿着垂直于的方向走到，再从沿着垂直于的方向走到，为上一点，其中4位同学分别测得四组数据：其中能根据所测数据求出，两树距离的有( )
A．， B．，，
C．，， D．，，
二、填空题
12.已知某斜坡的坡度，则斜坡的坡角的大小为
13.科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇游玩，到达地后导航显示车辆应沿北偏西方向行驶至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇，小明发现古镇恰好在地的正北方向，两地的距离是 km
14.如图，土坡是一个梯形，，斜坡长130米，坡度是，沿走上平台，可以坐电梯直达矩形观景台顶部，在点观察坡底点，俯角是，则观景台的垂直高度为 米．
15.如图，小明在P处测得A处的俯角为，B处的俯角为，，，若斜面AB坡度为，则HF的长为 m．
16.如图是某地滑雪运动场大跳台简化成的示意图．其中段是助滑坡，倾斜角，段是水平起跳台，段是着陆坡，倾斜角，，．若整个赛道长度（包括、、段）为，平台的长度是，整个赛道的垂直落差是，则段的长度大约是 ．
三、解答题
17.图①是一个倾斜角为的斜坡的横截面，斜坡顶端与斜坡底端的水平距离为6米，为了对这个斜坡的绿地进行喷灌，在斜坡底端处安装了一个喷头，喷头喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与喷头所在水平面的距离），水珠与喷头的水平距离为（单位：米），与的之间近似满足二次函数关系，图②记录了与的相关数据，为抛物线的顶点．
(1)求与的函数关系式；
(2)求斜坡的坡度．
18.为倡导健康出行，某市道路运输管理局向市民提供一种公共自行车作为代步工具，如图（1）所示是一辆自行车的实物图．车架档与的长分别为，，且它们互相垂直，，，如图（2）．（结果精确到．参考数据：，，，，）
(1)求车架档的长；
(2)求车链横档的长．
19.在学校的数学学科周上，李老师指导学生测量学校旗杆的高度．在旗杆附近有一个斜坡，坡长米，坡度，小华在处测得旗杆顶端的仰角为，在处测得旗杆顶端的仰角为．求旗杆的高度．（点，，，在同一平面内，，在同一水平线上，结果保留根号）
20.如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东方向上，且A，P之间的距离为32海里．
(1)若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？
(2)如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东度方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围．
答案
一、单选题
1.C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是根据题意可得：在中，，从而可得，进行计算即可解答．
【详解】解：滑坡的坡度是，
在中，，，
，
故选：C．
2．A
【分析】过点A作，分别解直角三角形，求出，即可得出结果．
【详解】解：过点A作，由题意，得：120m，，
∴，
∴；
即：楼高为；
故选A．
3．B
【分析】本题考查了坡度的定义，根据坡度是坡角的正切值，即可求解．
【详解】解：坡角，则斜坡的坡度为，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点C作，利用求解即可，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．
【详解】解：过点C作，如图，
∴，
∵，
∴，
∵米，
∴，
∴米，
故选：D．
5．B
【分析】本题主要考查了仰角的识别，仰角是向上看的视线与水平线的夹角，根据仰角的定义进行解答便可．熟记仰角的定义是解题的关键．
【详解】解：从点观测点的视线是，水平线是，
从点观测点的仰角是．
故选：B．
6．B
【分析】过点作，利用，结合锐角三角函数，列式计算即可．
【详解】解：如图，过点作，
由题意，得：，
在中，，
在中，，
∴，
∴；
故选B
7．A
【分析】要求的长，需要构造直角三角形，作辅助线，然后根据题目中的条件利用特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：如图，作于点，
海里,，，，
，，，
，
解得：海里，
海里，
故选：A．
8．A
【分析】根据坡度的定义解答即可．
【详解】交于点，交于点，
，
，，
，
，
∴BCD正确．
故选： A．
9．D
【分析】过点A作AE⊥CD于点E，则AE=BD=，DE=AB=，可得 ，从而得到 ，即由楼顶望塔顶角为；在 中，利用锐角三角函数，即可得到 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，则AE=BD=，DE=AB=，
∵塔高为，
∴ ，
∴AE=CE，
在 中，
，
∴ ，
即由楼顶望塔顶角为；
在 中，AE=，DE= ，
∴ ，
∴ ，
即由楼顶望塔基俯角为，
故选：D．
10.A
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，求出，延长，交于点，根据30度角的直角三角形即可求出结果．
【详解】解：同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，米，
树的高度是6米；
延长，交于点，
，
，
，
米，
米，
米，
线段的长度为，
故选：A．
11.AC
【分析】直接解直角三角形即可对各选项逐一判断，从而可得答案．
【详解】解：∵已知的度数和的长，
∴利用的正切可求出的长，故A选项能求得A，B两树距离；
∵，
∴，
∴
∴已知，，，不知，不能求出，故B选项不能求得A，B两树距离，
设，
∴， ，A ；
∵已知，，，
∴可求出x，然后可得出，故C选项能求得A，B两树距离，
已知，，不能求得A，B两树距离，故D选项不能求得A，B两树距离，
综上所述：求得A，B两树距离的有，
故选．
二、填空题
12.
【分析】本题考查解直角三角形的应用．根据坡度等于坡角的正切值，结合特殊角的三角函数值，即可得出结果．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：．
13.
【分析】本题主要考查方位角与勾股定理的综合，理解方位角，掌握勾股定理的计算方法是解题的关键．
如图所示，过点作于点，在中根据含角的直角三角形的性质可求出的长，再在中根据等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点
∵，
∴在中，，
∴，则，
∴，
∵从地沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇，
∴，且，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
∴两地的距离是，
故答案为：．
14.70
【分析】此题考查解直角三角形的应用，勾股定理，以及平行线的性质：根据正切定理设，勾股定理求出，由平行线的性质得出，求出米，即可得到答案．
【详解】解：如图，
∵斜坡长130米，坡度是，
∴，
设，
∵，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（米）．
故答案为：70．
15.
【分析】根据三角函数的定义得到，根据已知条件得到，∠，求得，进而可得为等腰直角三角形，再利用解直角三角形求出与即可．
【详解】解：如图：
过P的水平线为，
∵斜面坡度为，
，
，
∵在P处进行观测，测得A处的俯角为，B处的俯角为，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16./110米
【分析】过点C作于F，设AB长为，解，求得，，则，又由矩形，得，再解，求得，然后，根据，，即，求解得出x值即可得出答案．
【详解】解：过点C作于F，如图，
由题意，得，
设长为，
在中，，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，即
∴，
∵，，
∴
解得：，
∴段的长度大约是．
故答案为：．
三、解答题
17.（1）设二次函数的表达式为，
将代入，得，，
与的函数关系式为：，
即：；
（2）当时，，
，
在中，．
18.（1）解：，且，
∴；
（2）过点作, 垂足为, 则
∵,，
，
∵,
∴,
，
设, 则，
,
则 ，
解得：
，
，
答: 车链横档的长约为.
19.解：过点D作，垂足为，过点D作，垂足为，
依据题意得：，，
坡长米，坡度，
，
设米，则米，
在 中，
(米)，
，解得：，
米，则米，
设米，
米，
在 中，，
(米)，
在 中，，
米，
，
，
解得：，
(米)，
旗杆的高度为米．
20．（1）解：过点P作轮船航线于B，则的长是A沿方向距离P点的最短距离，
由题意得，，
∴在中，，
∴，
∴，
∵，
答：若轮船继续向正东方向航行有触礁危险．
（2）解：设轮船沿南偏东航向是射线，过点P作于D，
当时，角的度数最大，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴沿南偏东最大角度为方向航行确保安全通过这一海域，
即时，轮船能安全通过这一区域．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是如何构造直角三角形并知道求哪一条线段的长．