人教版七年级数学下册 10.4 三元一次方程组的解法 同步练习（含详解）

10.4 三元一次方程组的解法
一、单选题
1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
3．解方程组时，为转化为二元一次方程组，最恰当的方法是（ ）
A．由②③消去z B．由②③消去y C．由①②消去z D．由①③消去x
4．解方程组，以下解法不正确的是（ ）
A．由①，②消去z，再由①，③消去z B．由①，③消去z，再由②，③消去z
C．由①，③消去y，再由①，②消去y D．由①，②消去z，再由①，③消去y
5．运用加减消元法解方程组，较简单的方法是（ ）
A．先消去x，再解
B．先消去z，再解
C．先消去y，再解
D．三个方程相加得8x-2y+42＝11再解
6．已知如果x与y互为相反数，那么（ ）
A． B． C． D．
7．已知是方程组的解，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
8．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元；现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）元
A．33 B．34 C．35 D．36
9．一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是（ ）
A．325 B．217 C．433 D．541
10．购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元；购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元，则购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
二、填空题
11．若是一个三元一次方程，那么_______， ________．
12．方程组的解为________．
13．把三元一次方程组化为关于x、y的二元一次方程组_______．
14．在等式中，当时，；当时，；当与时，的值相等，则______．
15．如果三元一次方程组为，那么x+y+z＝______．
16．若三元一次方程组的解使，则的值是__________．
17．已知x，y，z满足，且，则____________．
18．有甲、乙、丙三种商品，买甲3件，乙7件，丙1件，共需32元，买甲4件，乙10件，丙1件，共需43元，则甲、乙、丙各买1件需________元钱？
三、解答题
19．解方程组：
(1) (2) (3) (4)
20.已知且当时，，当时，；当时，，求，，的值．
21.下面所示为教材中三元一次方程组的解题过程，请根据教材提供的做法和有关信息解决问题．
例1 解方程组： 解 由方程②，得．……步骤一④ 将④分别代入方程①和③，得 ……步骤二 整理，得 解这个二元一次方程组，得 代入④，得． 所以原方程组的解是
(1)其中的步骤二通过______法消去未知数，将三元一次方程组转化成了______．
(2)仿照以上思路解方程组，消去字母后得到的二元一次方程组为______．
22．林芳、向民、艳君三位同学去商店买文具用品，林芳说：“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文本共用了19元.”向民说：“我买了2支水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元，”艳君说：“我买了12本练习本，8本作文本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！”请根据以上内容，求出笔记本，水笔，练习本的价格．
23．在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求的值．
解：①得：③
②③得：
∴的值为2．
(1)已知，求的值；
(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元．通过还价，班委购买了本笔记本、支签字笔、支记号笔，只花了元，请问比原价购买节省了多少钱？
24．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 300 400 500
(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(2)为了节约运费，该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
(3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．
答案
一、单选题
1．C
【分析】方程组含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程组叫做三元一次方程组．利用三元一次方程组的定义判断即可．
【详解】解：由三元一次方程组的定义得
是三元一次方程组，
故选：C．
2．C
【分析】根据代入消元法解三元一次方程组即可求解．
【详解】解：，
由①得④，由②得⑤，
将④⑤代入③得，，
解得，
将代入④得，
将代入⑤得，
原方程组的解为．
故选C．
3．B
【分析】根据解三元一次方程组的步骤先消去一个未知数，得到一个二元一次方程组，从而得出答案．
【详解】解：由②3+③得：11x+10z=35，
∴转化为二元一次方程组为，
故选：B．
4．D
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：解方程组，
以下解法不正确的是由①，②消去z，再由①，③消去y．
故选：D．
5．C
【分析】观察方程组，发现第一个方程不含有未知数y，因此，可将第二、第三个方程联立，首先消去y．
【详解】解：，
②×3＋③，得11x＋7z＝29④，
④与①组成二元一次方程组
．
故选：C．
6．D
【分析】先用含k的代数式表示x、y，即解关于x、y的方程组，再代入含k的方程中即得．
【详解】由题意得 ，
②+③，得 ，
代入①，得 ，
故选：D
7．A
【分析】把代入方程组，然后把三个方程相加，即可求出答案
【详解】解：根据题意，
把代入方程组，得，
由①+②+③，得，
∴；
故选：A
8．B
【分析】设购甲每件元，购乙每件元，购丙每件元．列方程组得：，然后求得的值．
【详解】解：设购甲每件元，购乙每件元，购丙每件元．
列方程组得：，
①②得：．
故选：B．
9．B
【分析】此题首先要掌握数字的表示方法，每个数位上的数字乘以位数再相加，设个位、十位、百位上的数字为，则原来的三位数表示为：，新数表示为：,故根据题意列三元一次方程组即可求得．
【详解】解：设个位、十位、百位上的数字为
依题意得：
,
解得
原来的三位数字是217
故选：B
10．B
【分析】设铅笔的单价是元，作业本的单价是元，圆珠笔的单价是元．购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元，然后根据题意列方程组求出的值即可．
【详解】解：设铅笔的单价是元，作业本的单价是元，圆珠笔的单价是元．购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元．
则由题意得
由得
由得
由得
．
故选：B．
二、填空题
11. -1 0
【分析】根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，未知数的次数都是1的方程，由此可得，解出即可得出答案．
【详解】由题意得：，
解得：．
故答案为：-1，0．
12.
【分析】根据三元一次方程组的解法求解即可．
【详解】解：
由①得：④，
由③得：⑤，
把④和⑤代入到②得：，解得，
把代入④得：，
把代入⑤得：，
∴方程组的解为，
故答案为：．
13.
【分析】利用加减消元法消掉未知数化成关于x、y的二元一次方程组．
【详解】解：，
①②得：，
②③得：，
方程组为：，
故答案为：．
14.31
【分析】将x与y的三对值代入计算求出a，b，c的值，再代入求解即可．
【详解】解：根据题意得：
，
解得：a=6，b=-11，c=3．
∴a-2b+c=31．
故答案为：31．
15.9
【分析】三个方程相加可得结论．
【详解】解：将三元一次方程组中的三个方程相加得2x+2y+2z＝18，
∴x+y+z＝9．
故答案为：9．
16.
【分析】先将三元一次方程组解得，代入即可求得的值．
【详解】解：，
得：，
得：，解得，
把代入得，，
把代入得：，
三元一次方程组的解为：，
把代入得，，
解得：，
故答案为：．
17.14
【分析】设，则整理得出，，，代入求得t，进一步代入求得x的值．
【详解】解：设，
则，，，
代入得：
解得：，
，
故答案为：14．
18.10
【分析】设购买甲、乙、丙各一件分别需要元，根据题意列出方程组，利用整理思想进行解题即可．
【详解】解：设购买甲、乙、丙各一件分别需要元，
由题意得： ，
②－①得：，
代入①得：，
∴；
∴甲、乙、丙各买1件需10元钱；
故答案为：10．
三、解答题
19.（1）解：，
①②得：
④，
把③代入④得：
，
解得：，
把代入③得：
，
把，代入①得：
，
解得：，
原方程组的解为：；
（2）解：
得：
，
∴，
由②得：④，
将④代入①得：
，
解得：，
将，代入④得：
，
∴原方程组的解为：；
（3）解：，
由①得 ④，
由②得 ⑤，
把④、⑤代入③得：，
解得 ，
把代入④得 ，
把代入⑤得，
∴；
（4）解：
，得，
，得，
解方程组 ，
解得，
把代入①，得，
所以原方程组的解为 ．
20.解：把，；，；，代入得：
，
，得：
，
解得：，，
将、的值代入得：，
则，，的值分别为：，，．
21.（1）解方程组：
由方程②，得
将④分别代入方程①和③，得
整理，得
故答案为：代入消元（代入） 二元一次方程组
（2）解方程组：
由方程②+①，得3x+3y=9
由方程①+③，得4x+6y=14
由方程③-②得x+3y=5
由x+y=3 （3x+3y=9）， 2x+3y=7（4x+6y=14） ， x+3y=5中 任意两个组合得到均可
故答案为： 或 或等，答案不唯一
22.设笔记本每本的价格是x元，水笔每支y元，练习本或作文本每本的价格为z元，
由题意得
解得
答：笔记本每本的价格是4元，水笔每支1.5元，练习本每本0.5元.
【点睛】本题考查了列三元一次方程组解实际问题的运用，三元一次方程组的解法的运用，解答时找准等量关系建立方程是关键．
23．（1）解：（1），
①②得：，
则；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，
根据题意得：，
∴，
（元），
则比原价购买节省了元．
24．（1）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据题意，得：
，
解得：，
答：需甲车型8辆，需车型10辆；
（2）解：甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，根据题意，得：
，
消去z得5x+2y=60，
∴x=12-y，
因x，y是非负整数，且不大于18，得y=0，5，10，15，
则x=12，10，8，6；
又z是非负整数，解得z=6，3，0，
∴或或，
∴共有三种运送方案：
方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆；
方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆；
方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆；
（3）解：方案一的运费是：300×12+400×0+500×6=6600(元)．
方案二的运费是：300×10+400×5+500×3=6500(元)．
方案三的运费是：300×8+400×10+500×0=6400(元)．
∵6600元>6500元>6400元，
∴ 方案三的运费最省，最省是6400元．
答：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆，运费最省，最省是6400元．