高中数学人教A版（2019） 必修二 第六章 平面向量及其应用（含答案）

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高中数学人教A版（2019） 必修二 第六章 平面向量及其应用
一、单选题
1．（2024高一下·达州月考）判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段.其中假命题的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023高二上·辉南月考）设 ，向量 且 ，则 （　　）
A． B． C．3 D．4
3．（2023高二上·农安期中）已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于 ，点 分别是 的中点，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023高二下·虹口期末） 下列说法正确的是（　　）
A．若，则与的长度相等且方向相同或相反；
B．若，且与的方向相同，则
C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；
D．若，则与方向相同或相反
5．（2023高一下·平阳月考）已知向量 ， ，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．8
6．（2024高一下·潮阳月考）已知向量，满足，，且，的夹角为30°，则（　　）
A． B．7 C． D．3
7．已知向量，，且，则向量与的夹角等于（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·南宁期末）下列各组向量中，可以作为基底的是
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2024高一下·衡水期中）在中，下列命题正确的是(　　)
A．若，则
B．若，则定为等腰三角形
C．若，则定为直角三角形
D．若三角形的三边的比是：：，则此三角形的最大角为钝角
10．（2024高一下·广安月考）设向量，满足，且，则以下结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．向量夹角为60°
11．（2023·蚌埠模拟）关于平面向量，下列说法不正确的是（　　）
A．若，则
B．
C．若，则
D．
12．（2024高一下·邯郸月考）下面给出的关系式中，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．（2024·上海）已知，，，，则k的值为　 　.
14．（2023高二下·安康月考）在中，点D在边上（不含端点），，，，的最小值为　 　.
15．（2024高三下·南宁月考）在中，，点Q满足，则的最大值为　 　.
16．（2023高三上·深圳月考）如果平面向量，那么向量在上的投影向量为　 　.
四、解答题
17．（2024高一下·珠海期中）如图，斜坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，且的夹角为，定义向量在斜坐标系中的坐标为有序数对.记为.在斜坐标系中完成下列问题：
（1）若，，求；
（2）若，求.
18．（2023高一下·浙江期中）已知向量，，．
（1）若向量，能构成一组基底，求实数m的范围；
（2）若，且，求向量与的夹角大小．
19．（2024高一下·浙江月考）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
（1）求角A；
（2）若点M在边上BC满足，且，求面积的最大值.
20．（2024高一下·贵阳期末）在中，角的对边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）求的面积.
21．（2024高一下·河北期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值和的面积．
22．（2024高一下·十堰期末）记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】向量的物理背景与基本概念；零向量；共线（平行）向量
2．【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
3．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
4．【答案】B
【知识点】向量的模；零向量；单位向量；共线（平行）向量；相等向量与相反向量
5．【答案】C
【知识点】向量的模；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量数量积坐标表示的应用
6．【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
7．【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
8．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
9．【答案】A,C,D
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算；三角形的形状判断
10．【答案】A,C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
11．【答案】A,C,D
【知识点】相等向量与相反向量；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
12．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
13．【答案】15
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
14．【答案】
【知识点】基本不等式；余弦定理
15．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
16．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量加法运算；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
17．【答案】（1）解：由题设，，，
所以.
（2）解：由已知，则，
所以.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
18．【答案】（1）解：若向量，能构成一组基底，
则向量，不共线，
则，解得且；
（2）解：因为，所以，
即，解得，
所以，，
则，
又因为，所以，
即向量与的夹角为.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
19．【答案】（1）解：由，根据正弦定理可得，
即，所以，则.
（2）解：由M在边BC上满足，可得，
两边平方可得，
所以，所以，
当且仅当时取“＝”，
所以，所以.
【知识点】基本不等式；向量在几何中的应用；正弦定理；余弦定理
20．【答案】（1）
（2）
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
21．【答案】（1）解：因为向量，，且
所以，由正弦定理得，
又，则，显然，
则，又，所以.
（2）解：由余弦定理得，
整理得，解得或（舍），
所以的面积.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；正弦定理的应用；余弦定理的应用
22．【答案】（1）由余弦定理知，又，
∴2bccosA=2cosA
.
（2）在三角形中有
由正弦定理知，
，即，
，即，
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用
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