8.1 一元二次方程（学案含答案）
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第八章 一元二次方程
1 一元二次方程
列清单·划重点
知识点1 一元二次方程的定义
只含有 未知数x的整式方程，并且都可以化为 (a，b，c为常数，a 0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
注意
(1)一元二次方程的概念有三个要点：①方程是整式方程 ②“一元”指的是只含有一个未知数③“二次”指的是未知数的最高次数是2.
(2)判断一个方程是一元二次方程，必须看整理后的方程要同时满足整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2(二次项系数不为0).这三个条件缺一不可.
知识点2 一元二次方程的一般形式
1.一元二次方程的一般形式：
我们把 (a,b,c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式.其中分别称为 、一次项和 ，a，b分别称为 系数和 系数.
2.一元二次方程的特殊形式：
识点3 一元二次方程解的估算
能使一元二次方程左右两边都 的未知数的值，称为一元二次方程的解.
估计一元二次方程的精确解或近似解，通常采用列表的方式.首先根据具体的实际问题确定出解的适当范围，然后通过对x的取值进行逼近使得方程中的 的值无限接近于0，这时x的值就是方程的精确解或近似解.
一般地，一个一元二次方程如果有解，那么它有 解，这两个解可能 ，也可能不相等.
明考点·识方法
考点1 一元二次方程的定义
典例 1 判断下列方程哪些是一元二次方程.
思路导析 根据一元二次方程的定义进行逐项判断.
方法技巧
判别一元二次方程的“三个技巧”：
(1)先把方程化简变形为一般形式后再判断；
(2)分母或被开方数中含有未知数的方程一定不是一元二次方程；
(3)二次项系数中含有字母时，若字母的取值不明确，不一定是一元二次方程.
变式 已知关于x的方程( 试问：
(1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程
(2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程
考点2 一元二次方程的一般形式
典例2 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
思路导析 首先去括号、移项、合并同类项，进而整理为一元二次方程的一般形式得出各项系数.
变式 把下列关于x的一元二次方程化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项.
考点3 利用一元二次方程的解求字母或代数式的值
典例3 已知一元二次方程 的一个根为1,则.
思路导析将x=1代入原方程，列出关于m的方程，然后解方程即可.
变式 已知a是一元二次方程 的根.求代数式的值.
考点4 估算一元二次方程的解
典例4 用估算的方法确定一元二次方程 的近似解.(精确到个位)
思路导析 方程近似解的求法可通过列表，使代数式 的值等于0或接近0.
变式 如表所示是某同学求代数式 的值的情况，根据表格可知方程 的根是 ( )
x … -2 -1 0 1 2 3
x -3x 10 4 0 -2 -2 0
当堂测·夯基础
1.下列方程中，一定是关于x 的一元二次方程的是 ( )
2.若关于x的一元二次方程 的一个根是x=0,则a的值为 ( )
3.已知m是方程 的一个根,则的值为 .
4.已知一元二次方程 的一个根为 则 的值为 .
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 一个 ≠
知识点2
1.二次项 常数项 二次项 一次项
2.(1)ax + bx (2)ax +c (3)ax
知识点3 相等 两个 相等
【明考点·识方法】
典例1
解：方程 符合一元二次方程的定义，故正确；
方程 不符合一元二次方程的定义，故错误；
方程 ，不符合一元二次方程的定义，故错误；
方程 符合一元二次方程定义，故正确；
方程(5)x(5x-1)=x(x+3)+4x 经化简为4x=0，该方程为一元一次方程，故错误故一元二次方程为(1)(4).
变式
解：(1)要使关于x的方程 x=2是一元一次方程，分3种情况：
解得m=± ，该方程是一元一次方程；
②m+1=0,解得m=-1,该方程是一元一次方程；
解得m=±1，该方程是一元一次方程；
所以当 或m=±1时，该方程是关于x的一元一次方程；
(2)要使关于x的方程 是一元二次方程，必须 且m+1≠0,解得m=± ,都满足m+1≠0,所以 时，该方程是关于x的一元二次方程.
典例2
解：(1)一元二次方程的一般形式是 二次项系数是1、一次项系数是-10，常数项是-11;
(2)一元二次方程的一般形式是 二次项系数3、一次项系数是 1，常数项是-2.
变式
解：(1)去括号，得移项，得
合并同类项，得
二次项系数为3，一次项系数为4，常数项为5;
(2)去括号，得
移项，合并同类项，得二次项系数为2a-1，一次项系数为 2a，常数项为0.
典例3 2
变式
解:
∵a是一元二次方程 的根，即
∴原式=3(a -3a)-9=3×5-9=6.
典例4
解：列表计算：
x -2 -1 0 1 2 3 4
x -2x-4 4 -1 -4 -5 -4 -1 4
所以.
进一步列表计算：
x --1.4 -1.3 -1.2 3.2 3.3 3.4
x -2x-4 0.76 0.29 -0.16 -0.16 0.29 0.76
所以x≈1或x≈3.
变式 C
【当堂测·夯基础】
1. D 2. A 3. -4 4. 6
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第八章 一元二次方程
1 一元二次方程
列清单·划重点
知识点1 一元二次方程的定义
只含有 未知数x的整式方程，并且都可以化为 (a，b，c为常数，a 0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
注意
(1)一元二次方程的概念有三个要点：①方程是整式方程 ②“一元”指的是只含有一个未知数③“二次”指的是未知数的最高次数是2.
(2)判断一个方程是一元二次方程，必须看整理后的方程要同时满足整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2(二次项系数不为0).这三个条件缺一不可.
知识点2 一元二次方程的一般形式
1.一元二次方程的一般形式：
我们把 (a,b,c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式.其中分别称为 、一次项和 ，a，b分别称为 系数和 系数.
2.一元二次方程的特殊形式：
识点3 一元二次方程解的估算
能使一元二次方程左右两边都 的未知数的值，称为一元二次方程的解.
估计一元二次方程的精确解或近似解，通常采用列表的方式.首先根据具体的实际问题确定出解的适当范围，然后通过对x的取值进行逼近使得方程中的 的值无限接近于0，这时x的值就是方程的精确解或近似解.
一般地，一个一元二次方程如果有解，那么它有 解，这两个解可能 ，也可能不相等.
明考点·识方法
考点1 一元二次方程的定义
典例 1 判断下列方程哪些是一元二次方程.
思路导析 根据一元二次方程的定义进行逐项判断.
方法技巧
判别一元二次方程的“三个技巧”：
(1)先把方程化简变形为一般形式后再判断；
(2)分母或被开方数中含有未知数的方程一定不是一元二次方程；
(3)二次项系数中含有字母时，若字母的取值不明确，不一定是一元二次方程.
变式 已知关于x的方程( 试问：
(1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程
(2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程
考点2 一元二次方程的一般形式
典例2 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
思路导析 首先去括号、移项、合并同类项，进而整理为一元二次方程的一般形式得出各项系数.
变式 把下列关于x的一元二次方程化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项.
考点3 利用一元二次方程的解求字母或代数式的值
典例3 已知一元二次方程 的一个根为1,则.
思路导析将x=1代入原方程，列出关于m的方程，然后解方程即可.
变式 已知a是一元二次方程 的根.求代数式的值.
考点4 估算一元二次方程的解
典例4 用估算的方法确定一元二次方程 的近似解.(精确到个位)
思路导析 方程近似解的求法可通过列表，使代数式 的值等于0或接近0.
变式 如表所示是某同学求代数式 的值的情况，根据表格可知方程 的根是 ( )
x … -2 -1 0 1 2 3
x -3x 10 4 0 -2 -2 0
当堂测·夯基础
1.下列方程中，一定是关于x 的一元二次方程的是 ( )
2.若关于x的一元二次方程 的一个根是x=0,则a的值为 ( )
3.已知m是方程 的一个根,则的值为 .
4.已知一元二次方程 的一个根为 则 的值为 .
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 一个 ≠
知识点2
1.二次项 常数项 二次项 一次项
2.(1)ax + bx (2)ax +c (3)ax
知识点3 相等 两个 相等
【明考点·识方法】
典例1
解：方程 符合一元二次方程的定义，故正确；
方程 不符合一元二次方程的定义，故错误；
方程 ，不符合一元二次方程的定义，故错误；
方程 符合一元二次方程定义，故正确；
方程(5)x(5x-1)=x(x+3)+4x 经化简为4x=0，该方程为一元一次方程，故错误故一元二次方程为(1)(4).
变式
解：(1)要使关于x的方程 x=2是一元一次方程，分3种情况：
解得m=± ，该方程是一元一次方程；
②m+1=0,解得m=-1,该方程是一元一次方程；
解得m=±1，该方程是一元一次方程；
所以当 或m=±1时，该方程是关于x的一元一次方程；
(2)要使关于x的方程 是一元二次方程，必须 且m+1≠0,解得m=± ,都满足m+1≠0,所以 时，该方程是关于x的一元二次方程.
典例2
解：(1)一元二次方程的一般形式是 二次项系数是1、一次项系数是-10，常数项是-11;
(2)一元二次方程的一般形式是 二次项系数3、一次项系数是 1，常数项是-2.
变式
解：(1)去括号，得移项，得
合并同类项，得
二次项系数为3，一次项系数为4，常数项为5;
(2)去括号，得
移项，合并同类项，得二次项系数为2a-1，一次项系数为 2a，常数项为0.
典例3 2
变式
解:
∵a是一元二次方程 的根，即
∴原式=3(a -3a)-9=3×5-9=6.
典例4
解：列表计算：
x -2 -1 0 1 2 3 4
x -2x-4 4 -1 -4 -5 -4 -1 4
所以.
进一步列表计算：
x --1.4 -1.3 -1.2 3.2 3.3 3.4
x -2x-4 0.76 0.29 -0.16 -0.16 0.29 0.76
所以x≈1或x≈3.
变式 C
【当堂测·夯基础】
1. D 2. A 3. -4 4. 6
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