8.3.2 根的判别式（学案含答案）

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第八章 一元二次方程
3 用公式法解一元二次方程
第2课时 根的判别式
列清单·划重点
知识点1 一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的情况可由 来判定.把 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示.
知识点2 利用根的判别式，判断根的情况
(1)当 时，方程有 的实数根， .
(2)当 时，方程有 的实数根，即
(3)当 时， 无意义，所以方程 .
明考点·识方法
考点1 不解方程，判断方程根的情况
典例1 不解方程，判断下列方程根的情况：
思路导析 首先要将方程化成一般形式，然后求 的值；当 时，方程有两个不相等的实数根，当 时，方程有两个相等的实数根时；当 时，方程无实数根.
变式1 关于x的一元二次方程 的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
变式2 不解方程，判断下列方程根的情况：
考点2 不解方程，根据方程根的情况确定字母的值(或范围)
典例2 已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根.
(1)求实数m的取值范围；
(2)若m为满足条件的最大整数，求此时方程的根.
思路导析 (1)根据一元二次方程有两个不相等的实数根可知根的判别式大于0，从而列出关于m的不等式，解不等式即可；(2)根据(1)中所求m的取值范围，求出m，再代入方程，然后求出方程的根即可.
变式 关于x的方程 有实数根.
(1)求m 的取值范围；
(2)若m为正整数，求此时方程的根.
考点3 不解方程，根据判别式证明方程根的情况
典例3 已知关于x的一元二次方程.
(1)若该方程有一个根是x=2，求m的值；
(2)求证：无论 m 取什么值，该方程总有两个不相等的实数根.
思路导析 (1)根据一元二次方程解的定义把x=2代入原方程求出 m的值即可；
(2)求出. 即可证明结论.
变式 已知关于 x 的一元二次方程
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC 的两边AB,AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为5，当△ABC 是直角三角形时，求k的值.
当堂测·夯基础
1.一元二次方程 2=0根的情况为 ( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.不能判定
2.下列方程中，有两个相等实数根的是 ( )
3.关于x的一元二次方程 有两个实数根，则m的取值范围是 ( )
4.若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为 .
5.关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则c的值为 .
6.不解方程，判断下列方程根的情况：
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1
知识点2 (1)两个不相等 (2)两个相等 (3)无实根
【明考点·识方法】
典例1
解:0，∴方程有两个相等的实数根；
(2)方程 化为 3=0,
∴方程没有实数根；
(3)由原方程得： ∴方程有两个不相等的实数根.
变式1 A
变式2
解:( ∴方程有两个不相等的实数根；
(2)方程化为一般式为
∴方程有两个相等的实数根；
(3)方程化为一般式为
∴方程没有实数根.
典例2
解：(1)∵关于x的一元二次方程. m-1=0有两个不相等的实数根，
(2)∵m为满足条件的最大整数，,∴原方程为. 解得
变式
解:(1)∵关于x的方程. 有实数根，
∴m≤1;
(2)∵m≤1,m是正整数,∴m=1,∴方程为
典例3
解:(1)把x=2代入中得解得m=1;
(2)证明：由题意得 ∴无论m取什么值，该方程总有两个不相等的实数根.
变式
解:(1)证明:∵∴方程有两个不相等的实数根；
解得
当BC为直角边时， 解得 k=12;
当 BC为斜边时， 解得 (不合题意，舍去).
答:k的值为12 或3.
【当堂测·夯基础】
1. A 2. B 3. D 4.2 5.
6.解:，∴方程没有实数根；
0，∴方程有两个不相等的实数根；
(3)由原方程得到
∴方程有两个相等的实数根；
∴方程有两个实数根.
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