8.5 一元二次方程的根与系数的关系（学案含答案）

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第八章 一元二次方程
5 一元二次方程的根与系数的关系
列清单·划重点
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程 的两根分别为x 和 x ，则方程的根与系数间的关系是 .此关系也称韦达定理.
注意
一元二次方程 的根与系数的关系成立的前提条件：判别式
知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的知识拓展
有关根与系数的关系的三个重要推论：
1.以x ，x 为实数根的一元二次方程(二次项系数为1)的表达式是 x+ =0.
2.如果方程的两个实数根是x ,x ,那么
3.与两根有关的几个代数式的变形：
①两根倒数和：
②两根平方和：
③两根差的平方：
④两根平方的倒数的和：
明考点·识方法
考点1 不解方程，求方程的两根之和与两根之积
典例1 利用根与系数的关系，求下列方程两根的和与两根的积：
思路导析 先整理成一般形式确定a，b，c，再利用 和 求两根之和与两根之积.
变式 若是一元二次方程 6=0的两个根，则
.
考点2 利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值
典例2 设x ,x 是方程 的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：
思路导析 根据一元二次方程根与系数的关系， 可以求得方程两根的和与两根的积，把要求的各式子都整理成两根的和与两根的积的形式，再把两根的和与两根的积的值代入即可求解.
变式1 已知x ,x 是方程 的两个实数根，则代数式 的值为 .
变式2 已知实数a,b满足 则 的值为 .
考点3 利用一元二次方程根与系数的关系求方程的根及参数
典例3 已知关于x的一元二次方程.若该方程有一根为1，求m 的值和该方程的另一个根.
思路导析 设一元二次方程 另一个根为α，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，即可解得答案.
变式 已知关于x的一元二次方程.
(1)求证：无论 m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为x ，x ，且 求m的值.
当堂测·夯基础
1.一元二次方程 1=0的两根为x ,x ,则 的值为( )
A. B. -3 C. 3
2.已知关于x的方程 的两实数根为x ，x ，若 则m的值为 ( )
A. -3 B. -1 C. -3或1 D. -1或3
3.已知方程 的一个根为-2，则方程的另一个根为 .
4.若一元二次方程 4x-1=0的两根为m,n,则 n 的值为 .
参考答案
【列清单·划重点】
知识点
知识点2 2.
【明考点·识方法】
典例1
解：
∴方程有两个相等的实数根.
整理，得
∵a=2,b=3,c=0,
∴方程有两个不相等的实数根.
变式 5 6
典例2
解：由题意，得
(1)原式 (-2)+1=-2.5;
(2) 原式
(3) 原式
变式1 4049
变式2 或2
典例3
解:把x=1代入原方程得.∴原方程就是
设方程的另一个根为α，由根与系数的关系得1+α=4，∴α=3,
答：m的值是2，该方程的另一个根为3.
变式
解:(1)证明: 这里a=1,b=-(m+2),c=m-1,
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设方程x -(m+2)x+m-1=0的两个实数根为x ,x ,
则
即
整理，得
∴,解得 ∴m的值为-2或1.
【当堂测·夯基础】
1. C 2. A 3. 4 4. 6
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