高中数学人教A版（2019） 必修二 第八章 立体几何初步（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
高中数学人教A版（2019） 必修二 第八章 立体几何初步
一、单选题
1．（2023高一下·资阳期末）能使平面与平面平行的一个条件是（　　）
A．与都平行于同一条直线
B．一条直线l分别与和所成的角相等
C．内有无数条直线都与平行
D．内的任何一条直线都与平行
2．（2024·唐山模拟）已知长方体的一条棱长为2，体积为16，则其外接球表面积的最小值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·衢州期末）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（　　）
A．平面平面 B．平面
C．平面 D．平面平面
4．（2024高二上·北京市月考）已知圆锥的母线长为5，底面圆的半径为3，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·岳阳期末）已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列说法正确的是（　　）
A．若上有两点到平面距离相等，则
B．若，则与是异面直线
C．若，则与没有公共点
D．若，则与一定相交
6．（2024·天津）若a，b为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则与相交
7．（2024高一下·高州期中）如图，在中，点在所在平面外，点是点在平面上的射影，且点在的内部．若，，两两垂直，那么点是的（　　）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
8．（2023高三上·郫都开学考）如图，在棱长为1的正方体中，点分别在线段和上．给出下列四个结论中所有正确结论的个数有（　　）个
①的最小值为1②四面体的体积为③存在无数条直线与垂直④点为所在边中点时，四面体的外接球半径为
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．（2024高三上·湛江期中）已知直线是三条不同的直线，为两个不同的平面，则（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．（2023高二上·浙江月考）已知，为空间中不同的两条直线，，为空间中不同的两个平面，下列命题错误的是（　　）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则和为异面直线
D．若，，且，则
11．（2024高一下·深圳期中）如图，正方体 的棱长为1，动点E在线段 上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（　　）
A．
B． 平面
C．存在点E，使得平面 平面
D．三棱锥 的体积为定值
12．（2023高三上·汕头期末）在直四棱柱 中， ， ， .（　　）
A．在棱AB上存在点P，使得 平面
B．在棱BC上存在点P，使得 平面
C．若P在棱AB上移动，则
D．在棱 上存在点P，使得 平面
三、填空题
13．（2023高二上·辉南月考）如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后．某学生得出下列四个结论：；；三棱锥是正三棱锥；平面的法向量和平面的法向量互相垂直．其中正确的结论是　 　写出所有正确结论的序号
14．（2023高二下·富民期中）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若直线⊥平面，则实数的值为　 　.
15．（2024高一下·抚松期中） 在下列命题中，
①若直线平面，直线平面，且 ，则//平面；
②若直线平面，平行于平面内的一条直线，则//平面；
③直线//平面，则平行于平面内任何一条直线；
④若，是异面直线，则一定存在平面经过且与平行．
其中正确命题的序号是　 　
16．（2024高二上·上海市月考）将个边长为1的正三角形纸片，按如图方法将它拼剪成一个三棱柱，则这个三棱柱的体积为　 　.
四、解答题
17．（2023高一下·湖州期末）如图，在直三棱柱中，，D，E分别是棱BC，上的点（点D不同于点C），且，F为的中点.
求证：
（1）平面平面；
（2）直线平面ADE.
18．（2024高二上·邵东期中）如图，在正方体中.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
19．（2023高二上·郫都月考）四棱锥的底面为正方形，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若平面，证明：．
20．（2023高二上·达州月考）如图， 已知正方体 的棱长为为的中点.
（1）求证： 平面；
（2）求平面 与平面夹角的余弦值。
21．（2024高一下·梧州期末）如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，O是正方形的中心，，E是PC的中点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若二面角E-BD-C为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．
22．（2023高二上·阳江期中）如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD，E为PD中点.
（1）证明：；
（2）若F为棱PB上的点，求点F到平面ACE的距离.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】空间中平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
2．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
3．【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
4．【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；锥体的体积公式及应用
5．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
6．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质
7．【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
8．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的表面积与体积公式及应用；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
9．【答案】B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
10．【答案】A,B,C
【知识点】异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的性质
11．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
12．【答案】A,B,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
13．【答案】②③
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
14．【答案】-1
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；直线与平面垂直的性质；平面的法向量
15．【答案】②④
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
16．【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；柱体的体积公式及应用
17．【答案】（1）证明：因为是直三棱柱，所以平面ABC.
又平面ABC，所以.
又因为，，平面，，所以平面.
又平面ADE，所以平面平面.
（2）法一：因为，F为的中点，所以.
因为平面，且平面，所以.
又因为，平面，，所以平面.
由（1）知平面，所以.
又平面ADE，平面ADE，
所以平面ADE.
法二：由（1）知平面，所以，又，故D为BC的中点，
在矩形中，F，D分别为和BC的中点，故，
所以为平行四边形，所以
又平面ADE，平面ADE，
所以平面ADE.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
18．【答案】（1）证明：在正方体中，
又平面，平面，所以平面；
（2）证明：连接、，在正方体中为正方形，
所以，
又平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
19．【答案】（1）证明：设与交于点，连接，因为底面是正方形，所以为的中点，又因为为的中点，所以，因为平面平面，所以平面
（2）解：因为底面是正方形，所以，
又因为平面平面，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
20．【答案】（1）证明：根据正方体的性质可知 ，
所以四边形 是平行四边形， 所以，
由于 平面平面，
所以 平面.
（2）解：以 为原点， 建立如图所示空间直角坐标系，
则 ，
易得平面 的一个法向量为，
设平面 的法向量为， 则，
故可设 ，设平面与平面的夹角为，则 .
所以平面 与平面夹角的余弦值为
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
21．【答案】（1）连接OE，如图所示．
O，E分别为AC，PC的中点，
．
又，，
．
（2），．
在正方形ABCD中，，又，，
．
又，．
（3）取OC的中点F，连接EF，如图所示．
∵E为PC的中点，∴EF为的中位线，．
又，．
又，．
又，，．
又，．
∴∠EOF为二面角E-BD-C的平面角，
在中，，
，
，
，
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
22．【答案】（1）解：因为，E为PD中点，所以.
又，平面平面ABCD，平面平面，
所以平面PAD.又平面PAD，所以.
因为、平面PCD，，所以平面PCD，
又平面PCD，所以.
（2）解：因为ABCD是边长为2的正方形，所以，
因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
所以平面PAB，故，同理可得.
因为AB、平面ABCD，，所以平面ABCD.
连接BD与AC交于点O，连接OE，则O为BD的中点，
因为E为PD的中点，所以.
因为平面ACE，平面ACE，所以平面ACE，
所以点F和点B到平面ACE的距离相等.
又，由（1）知，易得，，
所以.设点B到平面ACE的距离为d，
则，解得，所以点F到平面ACE的距离为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2 / 11