人教A版（2019）必修二期末数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）必修二期末数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 463.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-08 14:08:20 | ||
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文档简介
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人教A版（2019）必修二期末数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高一下·彭山月考）下列说法错误的是（ ）
A．棱台侧棱的延长线必相交于一点
B．正四棱锥的侧面可以是等边三角形
C．棱柱的侧面都是平行四边形
D．矩形旋转一周一定能形成一个圆柱
2．（2024高一上·丰城月考）当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024高一下·房山期末）在空间中，下列命题正确的是（ ）
A．平行于同一条直线的两个平面平行
B．平行于同一个平面的两条直线平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行
D．过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行
4．（2024高一下·江门期末）已知，是第三象限角，则 （ ）
A． B． C．7 D．
5．（2023高三上·通州月考）设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024高二上·威宁月考）如图，在空间四边形中，点是的中点，点在上，设，则（ ）
A． B． C． D．1
7．（2023高二上·双鸭山开学考）“治国之道，富民为始.”共同富裕是社会主义的本质要求，是中国式现代化的重要特征，是人民群众的共同期盼.共同富裕是全体人民通过辛勤劳动和相互帮助最终达到丰衣足食的生活水平，是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕.请你运用数学学习中所学的统计知识加以分析，下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（ ）
A．平均数大，方差大 B．平均数大，方差小
C．平均数小，方差大 D．平均数小，方差小
8．（2024高一下·湖北期末）在中，已知.点是边上靠近的三等分点.的长等于边上的高，则（ ）
A．3 B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024·广西壮族自治区模拟）某地教师招聘考试，有3200人参加笔试，满分为100分，笔试成绩前（含）的考生有资格参加面试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如频率分布直方图和扇形统计图所示，则（ ）
A．90后考生比00后考生多150人
B．笔试成绩的分位数为80
C．参加面试的考生的笔试成绩最低为86分
D．笔试成绩的平均分为76分（同一组中的数据用该组区间的中点的值为代表）
10．（2024高一下·潮州期末）下列命题正确的是（ ）
A．若向量、满足，则或
B．若向量、满足，则向量、的夹角为钝角
C．若，，则向量在向量方向上的投影向量为
D．设、是同一平面内两个不共线的向量，若，，则、可作为该平面的一个基底
11．（2024高一下·湖北期末）在矩形中，，点是的中点，将沿翻折到，连接得到四棱锥，在翻折到的过程中，二面角的大小为，下列说法正确的是（ ）
A．当四棱锥体积为最大值时，
B．当时，三棱锥的外接球表面积为
C．若是的中点，则存在使与平面不平行
D．当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高一下·重庆市期中） 复数与分别表示向量与，则向量表示的复数是 ．
13．（2024高一下·湖北期末）如图，所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高.现有一拟柱体，上下底面均为正六边形，下底面边长为且上底面各顶点在下底面的射影点为下底面各边的中点，高为，则该拟柱体的表面积为 .
14．（2023·上饶模拟）已知平面向量，满足，它们的夹角为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出相应文字说明、证明过程或演算步骤
15．（2024高一下·湖北期末）如图，单位圆与轴交于A，B两点，为圆上一动点，.
（1）若，设点为线段OA上的动点，求的最小值：
（2）若，向量，.求的最大值及对应的值.
16．（2024高一下·浙江月考）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
（1）求角A；
（2）若点M在边上BC满足，且，求面积的最大值.
17．（2024高一下·湖南期中） 如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求直线与平面所成角的大小.
18．（2024高一下·新余期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求样本成绩的第百分位数；
（3）已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差．
19．（2023·曲靖模拟） 小红同学利用计算机动画演示圆柱的形成过程，将正方形绕直线逆时针旋转弧度时，到达的位置，得到如图所示的几何体.
（1）求证：平面平面；
（2）若是的中点，求二面角的正弦值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
2．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
3．【答案】C
【知识点】平行公理
4．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
6．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
7．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
8．【答案】C
【知识点】三角函数的化简求值；三角函数恒等式的证明；三角函数诱导公式二~六；三角函数模型的其他应用；三角函数诱导公式一
9．【答案】B,D
【知识点】频率分布表；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布；用样本估计总体的百分位数
10．【答案】C,D
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
11．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体；直线与平面平行的判定
12．【答案】
【知识点】平面向量加、减运算的坐标表示；复数运算的几何意义
13．【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
14．【答案】1
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
15．【答案】（1）依题意，，设，，
则，
当时，，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值.
（2）依题意，，而，
于是
，由，得，
当或，即或时，，，
所以的最大值为，此时或.
【知识点】向量的模；平面向量数量积定义与物理意义；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
16．【答案】（1）解：由，根据正弦定理可得，
即，所以，则.
（2）解：由M在边BC上满足，可得，
两边平方可得，
所以，所以，
当且仅当时取“＝”，
所以，所以.
【知识点】基本不等式；向量在几何中的应用；正弦定理；余弦定理
17．【答案】（1）如图，
取中点，连接，
由于分别为的中点，故，且，
又，可得，且，
故四边形为平行四边形，
所以，又因为平面平面，
所以平面.
（2）因为为的中点，所以，
因为底面，所以，
即.
（3）因为底面底面，
又平面，
平面.
又平面.
为的中点，
，
又 平面，平面，
直线在平面内的射影为直线，
故为直线与平面所成的角，
由底面底面可得，，
为等腰直角三角形，且平分，
，
所以直线与平面所成的角为.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
18．【答案】（1）解：由，解得；
（2）解：成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第百分位数为，由，
得，故第百分位数为；
（3）解：由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故，
设成绩在中人的分数分别为，，，，；成绩在中人的分数分别为，，，，，
则由题意可得，，，
即，，
则，
所以两组市民成绩的总平均数是，总方差是．
【知识点】频率分布直方图；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
19．【答案】（1）证明：平面，
平面，平面，，
是正方形，.
又平面，
平面，
又平面平面平面
（2）解：由（1）知：两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，
，不妨设，
则，
，
设是平面的一个法向量，
则，取得.
同理可得平面的一个法向量为.
，
即二面角的余弦值的绝对值为
二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
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人教A版（2019）必修二期末数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高一下·彭山月考）下列说法错误的是（ ）
A．棱台侧棱的延长线必相交于一点
B．正四棱锥的侧面可以是等边三角形
C．棱柱的侧面都是平行四边形
D．矩形旋转一周一定能形成一个圆柱
2．（2024高一上·丰城月考）当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024高一下·房山期末）在空间中，下列命题正确的是（ ）
A．平行于同一条直线的两个平面平行
B．平行于同一个平面的两条直线平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行
D．过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行
4．（2024高一下·江门期末）已知，是第三象限角，则 （ ）
A． B． C．7 D．
5．（2023高三上·通州月考）设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024高二上·威宁月考）如图，在空间四边形中，点是的中点，点在上，设，则（ ）
A． B． C． D．1
7．（2023高二上·双鸭山开学考）“治国之道，富民为始.”共同富裕是社会主义的本质要求，是中国式现代化的重要特征，是人民群众的共同期盼.共同富裕是全体人民通过辛勤劳动和相互帮助最终达到丰衣足食的生活水平，是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕.请你运用数学学习中所学的统计知识加以分析，下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（ ）
A．平均数大，方差大 B．平均数大，方差小
C．平均数小，方差大 D．平均数小，方差小
8．（2024高一下·湖北期末）在中，已知.点是边上靠近的三等分点.的长等于边上的高，则（ ）
A．3 B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024·广西壮族自治区模拟）某地教师招聘考试，有3200人参加笔试，满分为100分，笔试成绩前（含）的考生有资格参加面试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如频率分布直方图和扇形统计图所示，则（ ）
A．90后考生比00后考生多150人
B．笔试成绩的分位数为80
C．参加面试的考生的笔试成绩最低为86分
D．笔试成绩的平均分为76分（同一组中的数据用该组区间的中点的值为代表）
10．（2024高一下·潮州期末）下列命题正确的是（ ）
A．若向量、满足，则或
B．若向量、满足，则向量、的夹角为钝角
C．若，，则向量在向量方向上的投影向量为
D．设、是同一平面内两个不共线的向量，若，，则、可作为该平面的一个基底
11．（2024高一下·湖北期末）在矩形中，，点是的中点，将沿翻折到，连接得到四棱锥，在翻折到的过程中，二面角的大小为，下列说法正确的是（ ）
A．当四棱锥体积为最大值时，
B．当时，三棱锥的外接球表面积为
C．若是的中点，则存在使与平面不平行
D．当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高一下·重庆市期中） 复数与分别表示向量与，则向量表示的复数是 ．
13．（2024高一下·湖北期末）如图，所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高.现有一拟柱体，上下底面均为正六边形，下底面边长为且上底面各顶点在下底面的射影点为下底面各边的中点，高为，则该拟柱体的表面积为 .
14．（2023·上饶模拟）已知平面向量，满足，它们的夹角为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出相应文字说明、证明过程或演算步骤
15．（2024高一下·湖北期末）如图，单位圆与轴交于A，B两点，为圆上一动点，.
（1）若，设点为线段OA上的动点，求的最小值：
（2）若，向量，.求的最大值及对应的值.
16．（2024高一下·浙江月考）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
（1）求角A；
（2）若点M在边上BC满足，且，求面积的最大值.
17．（2024高一下·湖南期中） 如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求直线与平面所成角的大小.
18．（2024高一下·新余期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求样本成绩的第百分位数；
（3）已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差．
19．（2023·曲靖模拟） 小红同学利用计算机动画演示圆柱的形成过程，将正方形绕直线逆时针旋转弧度时，到达的位置，得到如图所示的几何体.
（1）求证：平面平面；
（2）若是的中点，求二面角的正弦值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
2．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
3．【答案】C
【知识点】平行公理
4．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
6．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
7．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
8．【答案】C
【知识点】三角函数的化简求值；三角函数恒等式的证明；三角函数诱导公式二~六；三角函数模型的其他应用；三角函数诱导公式一
9．【答案】B,D
【知识点】频率分布表；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布；用样本估计总体的百分位数
10．【答案】C,D
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
11．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体；直线与平面平行的判定
12．【答案】
【知识点】平面向量加、减运算的坐标表示；复数运算的几何意义
13．【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
14．【答案】1
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
15．【答案】（1）依题意，，设，，
则，
当时，，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值.
（2）依题意，，而，
于是
，由，得，
当或，即或时，，，
所以的最大值为，此时或.
【知识点】向量的模；平面向量数量积定义与物理意义；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
16．【答案】（1）解：由，根据正弦定理可得，
即，所以，则.
（2）解：由M在边BC上满足，可得，
两边平方可得，
所以，所以，
当且仅当时取“＝”，
所以，所以.
【知识点】基本不等式；向量在几何中的应用；正弦定理；余弦定理
17．【答案】（1）如图，
取中点，连接，
由于分别为的中点，故，且，
又，可得，且，
故四边形为平行四边形，
所以，又因为平面平面，
所以平面.
（2）因为为的中点，所以，
因为底面，所以，
即.
（3）因为底面底面，
又平面，
平面.
又平面.
为的中点，
，
又 平面，平面，
直线在平面内的射影为直线，
故为直线与平面所成的角，
由底面底面可得，，
为等腰直角三角形，且平分，
，
所以直线与平面所成的角为.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
18．【答案】（1）解：由，解得；
（2）解：成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第百分位数为，由，
得，故第百分位数为；
（3）解：由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故，
设成绩在中人的分数分别为，，，，；成绩在中人的分数分别为，，，，，
则由题意可得，，，
即，，
则，
所以两组市民成绩的总平均数是，总方差是．
【知识点】频率分布直方图；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
19．【答案】（1）证明：平面，
平面，平面，，
是正方形，.
又平面，
平面，
又平面平面平面
（2）解：由（1）知：两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，
，不妨设，
则，
，
设是平面的一个法向量，
则，取得.
同理可得平面的一个法向量为.
，
即二面角的余弦值的绝对值为
二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
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