高中数学人教A版（2019） 选修二 第四章 数列（含答案）

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高中数学人教A版（2019） 选修二 第四章 数列
一、单选题
1．（2023·深圳模拟）将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高三下·湖南模拟）已知是等比数列，是其前项和.若，则的值为（　　）
A．2 B．4 C． D．
3．（2024高二上·海淀期中）设为等差数列的前项和.已知，，则（　　）
A．为递减数列 B．
C．有最大值 D．
4．（2023·台州模拟）已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列，则（　　）
A．2023 B．-2023 C．0 D．
5．（2023高二上·大兴期末）若等差数列满足，，则其前n项和的最小值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2023高二下·哈尔滨期末）已知各项均为正数的等比数列的公比为2，若存在两项使得，则（　　）
A．3 B．4 C．8 D．16
7．（2024高二下·抚州月考）设为等差数列的前项和，．若，则（　　）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最小值是
8．（2023高三上·浙江模拟）已知等差数列，记为数列的前项和，若，，则数列的公差（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023高三上·北海模拟）已知等比数列的公比为q，前n项和为，且，下列命题正确的是（　　）
A．若，则
B．若恒成立，则
C．若，，成等差数列，则
D．当时，不存在，使得，，成等差数列
10．（2024高二上·清远期末）已知数列满足，则下列结论成立的有（　　）
A．数列为等差数列 B．数列为递增数列
C． D．数列的前项和为
11．（2024高一上·番禺期末）若 ，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．（2023高二上·东莞月考）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（　　）
A．若点在函数（，为常数）的图象上，则为等差数列
B．若为等差数列，则为等比数列
C．若为等差数列，，，则当时，最大
D．若，则为等差数列
三、填空题
13．（2023高二上·东莞月考）使得“对于任意，是递减数列”为真命题的整数值是　 　.（写出一个符合要求的答案即可）
14．（2024·重庆模拟）记数列的前项和为，若，且，则　 　．
15．（2023·唐山模拟）已知是等比数列的前项和，，，则　 　．
16．（2024高二上·广州期末）已知数列满足，，则的通项公式　 　 ．
四、解答题
17．（2023·吉林模拟）已知等差数列 中，公差 ， ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 为数列 的前 项和，且存在 ，使得 成立，
求实数 的取值范围．
18．（2023高二上·大兴期末）已知等差数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）设是等比数列，，求数列的前n项和．
19．（2024高二下·嵩明期中）已知数列是公差不为0的等差数列，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，设数列的前项和为，求.
20．（2024高三上·邵阳模拟）已知递增的等差数列满足：成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记为数列的前项和，，求数列的前项和.
21．（2024高二下·乐平期末）已知数列满足，，数列的前项和为，且．
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前项和．
22．（2023·武威模拟）设等比数列的前项和为，已知，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：当时，.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等比数列的通项公式；数列的应用
2．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
3．【答案】B
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
4．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的性质
5．【答案】A
【知识点】二次函数的性质；等差数列的前n项和
6．【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；等比数列的通项公式；等比数列的性质
7．【答案】D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列与不等式的综合
8．【答案】D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
9．【答案】B,C,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列的性质
10．【答案】A,C,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
11．【答案】C,D
【知识点】不等式的基本性质
12．【答案】A,B
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比数列概念与表示
13．【答案】答案不唯一，写出负整数即可
【知识点】数列的函数特性；数列的通项公式
14．【答案】-4
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的递推公式；数列的前n项和
15．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
16．【答案】，
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式
17．【答案】（1）由题意可得 即
又因为 ，所以 所以 ．
（2）∵ ，
∴ ．
∵存在 ，使得 成立．
∴存在 ，使得 成立．
即存在 ，使得 成立．
∵ （当且仅当 时取等号）．
∴ ，即实数 的取值范围是 ．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等比数列的性质
18．【答案】（1）解：是等差数列且
（2）解：是等比数列，
采用分组求和即得.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
19．【答案】（1）解：设数列是公差为d，由于成等比数列，
所以.
所以
所以
（2）解：，所以
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质
20．【答案】（1）解：设.
由题意得解得或（舍去）
（2）解：由（1）可得，
则，①
可得：，②
①-②可得：，
设.③
，④
③-④可得：.
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质
21．【答案】（1）解：因为，，
所以，当时，，得，
当时，，
所以，，所以，
因为当时也满足，
所以，所以，即，
又因为也满足，所以，
因为，所以当时，，解得，
当时，，所以，
所以，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
故．
（2）解：由（1）可得，
所以，
，
两式相减得
，
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
22．【答案】（1）解：设数列的公比为，
∵，则，解得，
故.
（2）证明：由（1）知，
所以
∵在上单调递增，则数列为递增数列，
∴当时，，
故当时，.
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
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