高中数学人教A版（2019）选择性必修二 第五章 一元函数的导数及其应用章末测验 二（含答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修二 第五章 一元函数的导数及其应用章末测验 二（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 162.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-08 14:10:34 | ||
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文档简介
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高中数学人教A版（2019）选择性必修二
第五章 一元函数的导数及其应用
一、单选题
1．（2022·广东模拟）如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法，在处连续是在处可导的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·淮南模拟）已知命题：“且”是“”的充要条件；命题：，曲线在点处的切线斜率为，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021高三上·河南月考）已知为常数，函数有两个极值点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021高二上·延庆期末）函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2021高二上·延庆期末）函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（同步练习册数学选择性必修 周周清8【xm】）曲线f(x)=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
7．（2021高二上·嘉兴期末）若函数 ，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·吕梁模拟）函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．（2021高二上·宁波期末）若函数 ，则（ ）
A．函数 的值域为R
B．函数 有三个单调区间
C．方程 有且仅有一个根
D．函数 有且仅有一个零点
10．（2022高三上·广州月考）对于函数，，下列说法正确的是（ ）
A．存在c，d使得函数的图像关于原点对称
B．是单调函数的充要条件是
C．若，为函数的两个极值点，则
D．若，则过点作曲线的切线有且仅有2条
11．（2021高二下·云浮期末）下列求导正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
12．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.2.2导数的四则运算法则）给出定义：若函数 在 上可导，即 存在，且导函数 在 上也可导，则称 在 上存在二阶导函数，记 ，若 在 上恒成立，则称 在 上为凸函数．以下四个函数在 上不是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2021·武汉模拟）已知函数 的导函数为 ，且 （其中e为自然对数的底数），则 ．
14．（2021高二下·成都期中）函数 在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到 ，然后两边同时求导得 ，
于是 ，用此法探求 的导数 .
15．（2021高三上·河南月考）已知函数的图象在点处的切线方程为，则函数的零点个数为 .
16．（2022·桂林模拟）已知函数与的图象在公共点处有共同的切线，则实数的值为 ．
四、解答题
17．（2021高三上·静海月考）已知函数
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；
（2）若对于都有成立，试求a的取值范围；
（3）记，当时，函数在区间上有两个零点，求实数b的取值范围．
18．（2021高三上·湖北月考）已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若，，，为的两个极值点，证明：.
19．（2021高三上·玉林开学考）已知函数f（x）＝x3﹣3ax+2，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为
3x+y+m＝0．
（Ⅰ）求实数a，m的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[1，2]上的最值．
20．（2021高二下·温州期中）已知函数 ，在 处的切线方程为 .
（1）求函数 的解析式；
（2）若 对定义域内 恒成立，求 的取值范围.
21．（2021高二下·讷河月考）求下列函数的导数：
（1） ；
（2） ；
（3） .
22．（2022高三上·怀仁期末）已知函数．
(Ⅰ)当时，讨论函数的单调区间；
(Ⅱ)若对任意的和恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的连续性；导数的几何意义
2．【答案】D
【知识点】复合命题的真假；导数的几何意义；不等式的基本性质
3．【答案】A
【知识点】导数的几何意义
4．【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率
5．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；直线的斜截式方程
6．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；平面内点到直线的距离公式
7．【答案】A
【知识点】导数的四则运算
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
9．【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
10．【答案】B,C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
11．【答案】B,C
【知识点】简单复合函数求导法则
12．【答案】A,D
【知识点】函数的概念及其构成要素；导数的四则运算
13．【答案】-2
【知识点】函数的值；导数的四则运算
14．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；导数的四则运算
15．【答案】3
【知识点】函数单调性的性质；导数的几何意义
16．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；有理数指数幂的运算性质；利用导数研究曲线上某点切线方程
17．【答案】（1）解：直线的斜率为1．函数的定义域为，
因为，所以，所以．
所以．．
由解得；由解得．
所以的单调增区间是，单调减区间是
（2）解：，
由解得；由解得．
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以当时，函数取得最小值，．
因为对于都有成立，所以即可．
则．由解得．
所以a的取值范围是．
（3）解：依题得，则．
由解得；由解得．
所以函数在区间为减函数，在区间为增函数．
又因为函数在区间上有两个零点，所以
解得．所以b的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
18．【答案】（1）解：由题意，函数的定义域为，
且，
当时，在上恒成立，所以的单调增区间是；
当时，令，解得；令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：，
可得，
当或时，，单调递增；
当时，，函数单调递减，
不妨设，则，，
由
令（），则，令，
可得，即在上单调递减，
且，，
故存在使得，即.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
故当时，
取得最大值.
因为，结合二次函数的性质可知，，
所以，即.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
19．【答案】解：解：（Ⅰ）f'（x）＝3x2﹣3a，
∵曲线f（x）＝x2﹣3ax+2在x＝1处的切线方程为3x+y+m＝0，
∴ ，解得a＝2，m＝0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝x3﹣6x+2．
f′（x）＝3x2﹣6，令f（x）＝0，得x＝ ．
∴f（x）在[1， ]上单调递减，在（ ，2]单调递增．
又f（1）＝﹣3，f（ ）＝2﹣4 ．f（2）＝8﹣12+2＝﹣2，
∴f（x）在区间[1，2]上的最大值为﹣2，最小值为2﹣4 ．
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
20．【答案】（1）由题可知，
解得 ， ∴
（2） 对定义域内 恒成立 对任意 恒成立
即求 的最大值不大于
∵ 且
又由 在 单调递减
∴ 在 上单调递增， 上单调递减
∴
当 时， 对定义域内的 恒成立
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
21．【答案】（1）解：y′=6x-sinx
（2）解：y′= = =
（3）解：y′= =lnx+
故答案为6x-sinx； ；lnx+
【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则
22．【答案】解：(Ⅰ)当时，，
当时，在上恒成立，函数在上单调递减；
当时，由得：；由得：．
∴当时，函数的单调递减区间是，无单调递增区间：
当时，函数的单调递减区间是，函数的单调递增区间是．
(Ⅱ)对任意的和，恒成立等价于：
，，恒成立．
即，，恒成立．
令：，，，
则得，
由此可得：在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴当时，，即
又∵，
∴实数的取值范围是：
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
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第五章 一元函数的导数及其应用
一、单选题
1．（2022·广东模拟）如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法，在处连续是在处可导的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·淮南模拟）已知命题：“且”是“”的充要条件；命题：，曲线在点处的切线斜率为，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021高三上·河南月考）已知为常数，函数有两个极值点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021高二上·延庆期末）函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2021高二上·延庆期末）函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（同步练习册数学选择性必修 周周清8【xm】）曲线f(x)=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
7．（2021高二上·嘉兴期末）若函数 ，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·吕梁模拟）函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．（2021高二上·宁波期末）若函数 ，则（ ）
A．函数 的值域为R
B．函数 有三个单调区间
C．方程 有且仅有一个根
D．函数 有且仅有一个零点
10．（2022高三上·广州月考）对于函数，，下列说法正确的是（ ）
A．存在c，d使得函数的图像关于原点对称
B．是单调函数的充要条件是
C．若，为函数的两个极值点，则
D．若，则过点作曲线的切线有且仅有2条
11．（2021高二下·云浮期末）下列求导正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
12．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.2.2导数的四则运算法则）给出定义：若函数 在 上可导，即 存在，且导函数 在 上也可导，则称 在 上存在二阶导函数，记 ，若 在 上恒成立，则称 在 上为凸函数．以下四个函数在 上不是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2021·武汉模拟）已知函数 的导函数为 ，且 （其中e为自然对数的底数），则 ．
14．（2021高二下·成都期中）函数 在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到 ，然后两边同时求导得 ，
于是 ，用此法探求 的导数 .
15．（2021高三上·河南月考）已知函数的图象在点处的切线方程为，则函数的零点个数为 .
16．（2022·桂林模拟）已知函数与的图象在公共点处有共同的切线，则实数的值为 ．
四、解答题
17．（2021高三上·静海月考）已知函数
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；
（2）若对于都有成立，试求a的取值范围；
（3）记，当时，函数在区间上有两个零点，求实数b的取值范围．
18．（2021高三上·湖北月考）已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若，，，为的两个极值点，证明：.
19．（2021高三上·玉林开学考）已知函数f（x）＝x3﹣3ax+2，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为
3x+y+m＝0．
（Ⅰ）求实数a，m的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[1，2]上的最值．
20．（2021高二下·温州期中）已知函数 ，在 处的切线方程为 .
（1）求函数 的解析式；
（2）若 对定义域内 恒成立，求 的取值范围.
21．（2021高二下·讷河月考）求下列函数的导数：
（1） ；
（2） ；
（3） .
22．（2022高三上·怀仁期末）已知函数．
(Ⅰ)当时，讨论函数的单调区间；
(Ⅱ)若对任意的和恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的连续性；导数的几何意义
2．【答案】D
【知识点】复合命题的真假；导数的几何意义；不等式的基本性质
3．【答案】A
【知识点】导数的几何意义
4．【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率
5．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；直线的斜截式方程
6．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；平面内点到直线的距离公式
7．【答案】A
【知识点】导数的四则运算
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
9．【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
10．【答案】B,C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
11．【答案】B,C
【知识点】简单复合函数求导法则
12．【答案】A,D
【知识点】函数的概念及其构成要素；导数的四则运算
13．【答案】-2
【知识点】函数的值；导数的四则运算
14．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；导数的四则运算
15．【答案】3
【知识点】函数单调性的性质；导数的几何意义
16．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；有理数指数幂的运算性质；利用导数研究曲线上某点切线方程
17．【答案】（1）解：直线的斜率为1．函数的定义域为，
因为，所以，所以．
所以．．
由解得；由解得．
所以的单调增区间是，单调减区间是
（2）解：，
由解得；由解得．
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以当时，函数取得最小值，．
因为对于都有成立，所以即可．
则．由解得．
所以a的取值范围是．
（3）解：依题得，则．
由解得；由解得．
所以函数在区间为减函数，在区间为增函数．
又因为函数在区间上有两个零点，所以
解得．所以b的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
18．【答案】（1）解：由题意，函数的定义域为，
且，
当时，在上恒成立，所以的单调增区间是；
当时，令，解得；令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：，
可得，
当或时，，单调递增；
当时，，函数单调递减，
不妨设，则，，
由
令（），则，令，
可得，即在上单调递减，
且，，
故存在使得，即.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
故当时，
取得最大值.
因为，结合二次函数的性质可知，，
所以，即.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
19．【答案】解：解：（Ⅰ）f'（x）＝3x2﹣3a，
∵曲线f（x）＝x2﹣3ax+2在x＝1处的切线方程为3x+y+m＝0，
∴ ，解得a＝2，m＝0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝x3﹣6x+2．
f′（x）＝3x2﹣6，令f（x）＝0，得x＝ ．
∴f（x）在[1， ]上单调递减，在（ ，2]单调递增．
又f（1）＝﹣3，f（ ）＝2﹣4 ．f（2）＝8﹣12+2＝﹣2，
∴f（x）在区间[1，2]上的最大值为﹣2，最小值为2﹣4 ．
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
20．【答案】（1）由题可知，
解得 ， ∴
（2） 对定义域内 恒成立 对任意 恒成立
即求 的最大值不大于
∵ 且
又由 在 单调递减
∴ 在 上单调递增， 上单调递减
∴
当 时， 对定义域内的 恒成立
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
21．【答案】（1）解：y′=6x-sinx
（2）解：y′= = =
（3）解：y′= =lnx+
故答案为6x-sinx； ；lnx+
【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则
22．【答案】解：(Ⅰ)当时，，
当时，在上恒成立，函数在上单调递减；
当时，由得：；由得：．
∴当时，函数的单调递减区间是，无单调递增区间：
当时，函数的单调递减区间是，函数的单调递增区间是．
(Ⅱ)对任意的和，恒成立等价于：
，，恒成立．
即，，恒成立．
令：，，，
则得，
由此可得：在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴当时，，即
又∵，
∴实数的取值范围是：
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
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