人教A版数学（2019）选修二全册综合题（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版数学（2019）选修二全册综合题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 350.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-08 14:11:18 | ||
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文档简介
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人教A版数学（2019）选修二全册综合题
一、单选题
1．（2023高三上·湖北期末）若复数z满足（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（ ）
A．z的实部是
B．z的虚部是
C．复数在复平面内对应的点在第一象限
D．
2．（2024高一下·柳州期末） “”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高二下·湛江月考）用反证法证明命题：“若 ，且 ，则a，b全为0”时，要做的假设是（ ）
A． 且 B．a，b不全为0
C．a，b中至少有一个为0 D．a，b中只有一个为0
4．（2023高二上·南昌期中）已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（ ）
A． B．1 C． D．2
5．（2024高二上·汉寿月考）已知圆锥（为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心）的轴截面是等边三角形，为底面圆周上的三点，且为底面圆的直径，为的中点．若三棱锥的外接球的表面积为，则圆锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·德阳期末）函数的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024高二上·珠海期中）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·临潼模拟）在R上定义运算，若关于x的不等式的解集是集合的子集，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·泰安期中）函数在区间的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023高二上·吉林月考）如图，已知正四面体ABCD中，，，则异面直线DE和BF所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高三下·郧阳月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．3
12．（2024高二下·嘉兴期末）已知函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2024高二下·重庆市月考）已知函数，则曲线在点处的切线方程是 ．
14．（2024高二下·保定开学考）在正方体中，分别在棱上，，平面与棱交于点，则直线与所成角的余弦值为 ．
15．（2020高二下·新余期末）已知 是函数 的导函数，定义 为 的导函数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的拐点，经研究发现，所有的三次函数 都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设 ，若点 是函数 的“拐点”也是函数 图像上的点，则 .
16．（2024高一下·重庆市期中）在60°二面角的一个面内有一个点，若它到二面角的棱的距离是10，则该点到另一个面的距离是 .
三、解答题
17．（2024高一上·石家庄月考）已知命题：关于的方程有实数根， 命题．
（1）若命题是真命题， 求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件， 求实数的取值范围．
18．（2023·黄浦模拟）三个互不相同的函数与在区间D上恒有或恒有，则称为与在区间D上的“分割函数”．
（1）设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；
（2）求所有的二次函数，使得该函数是与在区间上的“分割函数”；
（3）若，且存在实数k，b，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值．
19．（2024·金华模拟） 如图，在三棱台中，上下底面分别是边长为2和4的正三角形，平面.设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足.
（1）证明：平面；
（2）若直线和平面所成角的正弦值为，求该三棱台的高.
20．（2024高二下·北京市月考）已知函数在点处的切线方程为．
（1）求、的值：
（2）求函数的单调区间；
（3）令，若函数的极小值小于，求的取值范围．
21．（2024高三上·广州开学考）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若直线BD的斜率为0，求t的值．
22．（2024高二下·高州月考）已知函数，其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算；复数的模
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的标准方程
3．【答案】B
【知识点】反证法
4．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
5．【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
6．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
7．【答案】B
【知识点】类比推理；平面的法向量
8．【答案】C
【知识点】归纳推理
9．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
10．【答案】A
【知识点】异面直线所成的角
11．【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；解三角形
12．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
13．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
14．【答案】
【知识点】共面向量定理；用空间向量求直线间的夹角、距离
15．【答案】
【知识点】定积分的简单应用
16．【答案】
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；二面角及二面角的平面角
17．【答案】（1）解：因为命题是真命题，所以命题是假命题．
所以方程无实根，
所以．
即，即，解得或，
所以实数a的取值范围是．
（2）解：由（1）可知：，
记，，
因为是的必要不充分条件，所以，所以（等号不同时取得），
解得，所以实数的取值范围是．
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
18．【答案】（1）解：因为恒成立，且恒成立，
所以当时，恒成立，
故是与在上的“分割函数”.
又因为，当与时，其值分别为与，
所以与在上都不恒成立，
故不是与在上的“分割函数”.
（2）解：设是与在上的“分割函数”，
则对一切实数恒成立，由，
当时，它的值为，可知的图象在处的切线为直线，
它也是的图象在处的切线，
所以，可得
所以对一切实数恒成立，
即且对一切实数恒成立，
可得且，即，
又时与为相同函数，不合题意，
故所求的函数为.
（3）解：关于函数，令，可得，
当与时，；当与时，.
可知是函数极小值点，0是极大值点，
该函数与的图象如图所示.
由为与在区间，上的“分割函数”，
故存在使得且直线与的图象相切，
并且切点横坐标∪，此时切线方程为，
即，
设直线与的图象交于点，
则由可得，
所以
，
令，
(仅当时，)，
所以严格减，故的最大值为，可知的最大值为，
所以的最大值为.
【知识点】归纳推理；直线与圆锥曲线的综合问题
19．【答案】（1）证明：由三棱台知，平面，
因为平面，且平面平面，所以，
又，所以l，
因为，所以，
又，且平面平面，
所以平面.
（2）解：以为原点建立空间直角坐标系如图所示：
设三棱台的高为，
则，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的一个法向量，
易得平面的一个法向量，
设与平面夹角为，由（1）知，
所以由已知得，
解得，所以三棱台的高为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
20．【答案】（1）解：函数，，
因为函数在点处的切线方程为，所以，
即，解得，则，；
（2）解：由（1）可得函数定义域为，
，
当时，解得，当时，解得，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）解：易知函数定义域为，
，
当，即时，恒成立，则在定义域上单调递增，不符合题意；
对于方程，当，即时恒成立，
所以恒成立，所以在定义域上单调递增，不符合题意；
当，则时，方程有两个不相等的正实数根、，
不妨设，则，且，
当时，解得或时，当时，解得，
则函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，
此时在处取得极大值，在处取得极小值，
则，
令，，则，
所以在上单调递减，所以，
即，所以.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
21．【答案】（1）由题意，从而，
所以椭圆方程为，离心率为；
（2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾，
从而设，，
联立，化简并整理得，
由题意，即应满足，
所以，
若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，
所以，在直线方程中令，
得，
所以，
此时应满足，即应满足或，
综上所述，满足题意，此时或.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
22．【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
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人教A版数学（2019）选修二全册综合题
一、单选题
1．（2023高三上·湖北期末）若复数z满足（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（ ）
A．z的实部是
B．z的虚部是
C．复数在复平面内对应的点在第一象限
D．
2．（2024高一下·柳州期末） “”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高二下·湛江月考）用反证法证明命题：“若 ，且 ，则a，b全为0”时，要做的假设是（ ）
A． 且 B．a，b不全为0
C．a，b中至少有一个为0 D．a，b中只有一个为0
4．（2023高二上·南昌期中）已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（ ）
A． B．1 C． D．2
5．（2024高二上·汉寿月考）已知圆锥（为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心）的轴截面是等边三角形，为底面圆周上的三点，且为底面圆的直径，为的中点．若三棱锥的外接球的表面积为，则圆锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·德阳期末）函数的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024高二上·珠海期中）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·临潼模拟）在R上定义运算，若关于x的不等式的解集是集合的子集，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·泰安期中）函数在区间的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023高二上·吉林月考）如图，已知正四面体ABCD中，，，则异面直线DE和BF所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高三下·郧阳月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．3
12．（2024高二下·嘉兴期末）已知函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2024高二下·重庆市月考）已知函数，则曲线在点处的切线方程是 ．
14．（2024高二下·保定开学考）在正方体中，分别在棱上，，平面与棱交于点，则直线与所成角的余弦值为 ．
15．（2020高二下·新余期末）已知 是函数 的导函数，定义 为 的导函数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的拐点，经研究发现，所有的三次函数 都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设 ，若点 是函数 的“拐点”也是函数 图像上的点，则 .
16．（2024高一下·重庆市期中）在60°二面角的一个面内有一个点，若它到二面角的棱的距离是10，则该点到另一个面的距离是 .
三、解答题
17．（2024高一上·石家庄月考）已知命题：关于的方程有实数根， 命题．
（1）若命题是真命题， 求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件， 求实数的取值范围．
18．（2023·黄浦模拟）三个互不相同的函数与在区间D上恒有或恒有，则称为与在区间D上的“分割函数”．
（1）设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；
（2）求所有的二次函数，使得该函数是与在区间上的“分割函数”；
（3）若，且存在实数k，b，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值．
19．（2024·金华模拟） 如图，在三棱台中，上下底面分别是边长为2和4的正三角形，平面.设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足.
（1）证明：平面；
（2）若直线和平面所成角的正弦值为，求该三棱台的高.
20．（2024高二下·北京市月考）已知函数在点处的切线方程为．
（1）求、的值：
（2）求函数的单调区间；
（3）令，若函数的极小值小于，求的取值范围．
21．（2024高三上·广州开学考）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若直线BD的斜率为0，求t的值．
22．（2024高二下·高州月考）已知函数，其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算；复数的模
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的标准方程
3．【答案】B
【知识点】反证法
4．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
5．【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
6．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
7．【答案】B
【知识点】类比推理；平面的法向量
8．【答案】C
【知识点】归纳推理
9．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
10．【答案】A
【知识点】异面直线所成的角
11．【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；解三角形
12．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
13．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
14．【答案】
【知识点】共面向量定理；用空间向量求直线间的夹角、距离
15．【答案】
【知识点】定积分的简单应用
16．【答案】
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；二面角及二面角的平面角
17．【答案】（1）解：因为命题是真命题，所以命题是假命题．
所以方程无实根，
所以．
即，即，解得或，
所以实数a的取值范围是．
（2）解：由（1）可知：，
记，，
因为是的必要不充分条件，所以，所以（等号不同时取得），
解得，所以实数的取值范围是．
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
18．【答案】（1）解：因为恒成立，且恒成立，
所以当时，恒成立，
故是与在上的“分割函数”.
又因为，当与时，其值分别为与，
所以与在上都不恒成立，
故不是与在上的“分割函数”.
（2）解：设是与在上的“分割函数”，
则对一切实数恒成立，由，
当时，它的值为，可知的图象在处的切线为直线，
它也是的图象在处的切线，
所以，可得
所以对一切实数恒成立，
即且对一切实数恒成立，
可得且，即，
又时与为相同函数，不合题意，
故所求的函数为.
（3）解：关于函数，令，可得，
当与时，；当与时，.
可知是函数极小值点，0是极大值点，
该函数与的图象如图所示.
由为与在区间，上的“分割函数”，
故存在使得且直线与的图象相切，
并且切点横坐标∪，此时切线方程为，
即，
设直线与的图象交于点，
则由可得，
所以
，
令，
(仅当时，)，
所以严格减，故的最大值为，可知的最大值为，
所以的最大值为.
【知识点】归纳推理；直线与圆锥曲线的综合问题
19．【答案】（1）证明：由三棱台知，平面，
因为平面，且平面平面，所以，
又，所以l，
因为，所以，
又，且平面平面，
所以平面.
（2）解：以为原点建立空间直角坐标系如图所示：
设三棱台的高为，
则，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的一个法向量，
易得平面的一个法向量，
设与平面夹角为，由（1）知，
所以由已知得，
解得，所以三棱台的高为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
20．【答案】（1）解：函数，，
因为函数在点处的切线方程为，所以，
即，解得，则，；
（2）解：由（1）可得函数定义域为，
，
当时，解得，当时，解得，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）解：易知函数定义域为，
，
当，即时，恒成立，则在定义域上单调递增，不符合题意；
对于方程，当，即时恒成立，
所以恒成立，所以在定义域上单调递增，不符合题意；
当，则时，方程有两个不相等的正实数根、，
不妨设，则，且，
当时，解得或时，当时，解得，
则函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，
此时在处取得极大值，在处取得极小值，
则，
令，，则，
所以在上单调递减，所以，
即，所以.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
21．【答案】（1）由题意，从而，
所以椭圆方程为，离心率为；
（2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾，
从而设，，
联立，化简并整理得，
由题意，即应满足，
所以，
若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，
所以，在直线方程中令，
得，
所以，
此时应满足，即应满足或，
综上所述，满足题意，此时或.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
22．【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
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