有理数 归纳练 2025年中考数学一轮复习备考

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有理数 归纳练 2025年中考数学一轮复习备考
一、单选题
1．《九章算术》记载的余和不足等概念体现了中国是最早采用正负数表示相反意义量的国家，若收入10元记作元，则支出136元记作（ ）
A．元 B．元 C．0元 D．元
2．下列各数中，属于有理数的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列选项中，比小的数是（ ）
A． B．0 C． D．
4．方程组的解x，y的值互为相反数，则a的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
5．数轴上点A表示的数是-2，将点A在数轴上移动6个单位长度得到点B，则点B表示的数是（　　）
A．4 B．-4或8 C．-8 D．4或-8
6．下列各数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．
7．有理数a，b在数轴上对应点如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．下列说法中，正确的是（　　）
A．“顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形”是必然事件
B．“在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是必然事件
C．“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心A”是不可能事件
D．可能性是的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生
9．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应、3，作腰长为4的等腰，连接，以O为圆心，长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为（　　）
A． B．4 C． D．2.5
10．点M，N在数轴上的位置如图所示，点M，N表示的有理数为a，b．如果，那么下列描述数轴原点的位置说法正确的是（ ）
A．原点O在点M左侧 B．原点O在点N的右侧
C．原点O在点M、N之间，且 D．原点O在点M、N之间，且
11．请你用描点法画出的图象，给出下列结论：①当时，y随x的增大而减小；②此函数有最大值，最大值为7；③不等式的解集为或；④若二次函数与y的图象至多有一个交点，则．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2；②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．计算 ．
14．如果，那么 ．
15．在中，若，则∠C的度数是
16．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，．现定义，例如，则 ．
17．已知方程，既有正根又有负根，则的取值范围是 ．
18．若与互为相反数，则 ．
三、解答题
19．计算：．
20．计算：．
21．计算：
22．在平面直角坐标系中，点且m，n满足，，

(1)直接写出m，n的值；
(2)求三角形的面积；
(3)若点P从点A出发在射线上运动（点P不与点A点B重合），
①过点P作射线轴，且点E在点P的右侧，请直接写出的数量关系_______；
②若点P的速度为每秒3个单位，在点P运动的同时，点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿x负半轴运动，连接是否存在某一时刻t，使的面积是的面积的2倍．若存在，请求出t值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a）、B（﹣b，0）且a、b满足+|a﹣2b+2|＝0
(1)求证：∠OAB＝∠OBA；
(2)如图1，若BE⊥AE，求∠AEO的度数；
(3)如图2，若D是AO的中点，DEBO，F在AB的延长线上，∠EOF＝45°，连接EF，试探究OE和EF的数量和位置关系．
参考答案
1．B
此题考查了正数与负数．根据正数和负数表示相反意义的量，收入记为正，可得支出的表示方法．
解：收入10元记作元，则支出136元应记作元，
故选：B．
2．D
此题主要考查了实数概念，正确掌握相关定义是解题关键．
直接利用有理数以及无理数的定义分别分析即可得出答案．
解：A、属于无理数，故A选项不符合题意；
B、属于无理数，故B选项不符合题意；
C、属于无理数，故C选项不符合题意；
D、属于有理数，故D选项符合题意；
故选：D．
3．D
本题考查了有理数的大小比较，掌握0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小是解题的关键．
根据0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小，即可解答．
解：，
比小的数是，
故选：D．
4．D
本题考查二元一次方程组的解及其解法，先解二元一次方程组得到，再根据二元一次方程组的解以及相反数的性质得到，进而得到关于a的方程求解即可．
解：方程组
①+②得：，即，
∵x，y|的值互为相反数，
∴，
∴，解得．
故选：D．
5．D
根据数轴上点的移动：左减右加，从而可以解答本题．
解：数轴上的点A表示的数是一2，
当向右移动6个单位长度时，点B表示的数是：；
当向左移动6个单位长度时，点B表示的数是：；
故选：D．
6．C
先求出，，再根据有理数的大小比较方法比较即可．
本题考查求一个数的绝对值，有理数的大小比较．解题关键是熟练掌握有理数的大小比较方法：正数负数；两个负数相比较时，绝对值大的反而小．
解：，
∴，
∴最小的是．
故选C．
7．D
本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，根据数轴可得，据此可得推出，，，进一步可得，，据此可得答案．
解：由题意得，，
∴，，，
∴，，
∴四个选项中只有D选项中结论正确，符合题意，
故选D．
8．A
本题考查了中点四边形，随机事件，平行四边形的判定，数轴，概率的意义，根据中点四边形，随机事件，平行四边形的判定，数轴，概率的意义，逐一判断即可解答，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
解：A、“顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形”是必然事件，故选项符合题意；
B、“在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是随机事件，故选项不符合题意；
C、“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心A”是随机事件，故选项不符合题意；
D、可能性是的事件，是指这个事件发生的可能性是，故选项不符合题意；
故选：A．
9．A
先利用数轴的性质，得到，再根据等腰三角形的性质得到，，由勾股定理得到，最后利用画法得到，即可得到答案．
解：为数轴原点，A，B两点分别对应、3，
，
是腰长为4的等腰三角形，
，，
，
以O为圆心，长为半径画弧交数轴于点M，
，
点M对应的实数为，
故选A．
10．D
由可知，原点在之间，根据， ，进行判断即可．
解：∵点M，N表示的有理数为a，b ，，
∴异号，
∴原点O在点M、N之间，
∵，
∴，
故选D．
11．A
根据题意，先令得出x的值，然后得出分段函数，画出图象，根据一元二次方程根的判别式，绝对值的化简，结合图象解答即可．
本题考查了分段函数，函数的图象，用解析式表示函数，一元二次方程根的判别式，绝对值的化简，熟练掌握函数的表示方法，绝对值的化简方法，一元二次方程根的判别式，分段函数的画法是解题的关键．
解：令则
令则
∴，
作出|的图象，如图所示：
①观察图象可知，当时，y随x的增大而减小，故①符合题意；
②观察图象可知，函数有最大值，最大值是7，故②符合题意；
，
由解得：故③符合题意；
∵则判断出
，
解得：故④符合题意，
综上所述，正确的个数有共4个，
故选：A．
12．D
根据输入数据与输出结果的规则进行计算，判断①②③；只有三个数字时，当最后输入最大数时得到的结果取最大值，当最先输入最大数时得到的结果取最小值，由此通过计算判断④．
解：根据题意，依次输入1，2，3，4时，
，
，
，故①正确；
按照1，3，4，2的顺序输入时，
，
，
，为最小值，故③正确；
按照1，3，2，4的顺序输入时，
，
，
，为最大值，故②正确；
若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k， k的最大值为10，
设b为较大数字，当时，
，
解得，
故此时任意输入后得到的最小数是：
，
设b为较大数字，当时，
，
则，即
故此时任意输入后得到的最小数是：
，
综上可知，k的最小值是6，故④正确；
故选D．
13．6
分别根据有理数的乘方和有理数的绝对值计算每一项，进一步即可求出结果．
解：．
故答案为：6．
14．3
本题考查绝对值、算术平方根、平方的非负性，以及已知字母的值求代数式的值，根据绝对值、算术平方根、平方的非负数的性质得出a，b，c的值，代入代数式求解即可．
解：由题意得：，，
得，，，
则，
故答案为：3．
15．/度
根据非负性，求出，进而求出，根据三角形内角和，求出即可．
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
16．
根据题目中的新定义列出计算式解答即可．
根据题意得：，，
∴．
故答案为：．
17．
本题考查了解一元一次方程，正负数的实际应用，绝对值．分类讨论是解题的关键．
由题意知，分当时，，解得，，则，计算求解即可；当时，，解得，，则，计算求解即可，最后作答即可．
解：由题意知，当时，，
解得，，
∴，
解得，；
当时，，
解得，，
∴，
解得，；
的取值范围是，
故答案为：．
18．
本题考查相反数的性质，绝对值和平方的非负性．
由相反数的性质可得，再由非负性即可求得a，b的值，代入即可解答．
∵与互为相反数，
∴，
∵，，且，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：
19．
先计算零次幂，化简绝对值，化简二次根式，求解特殊角的正切，再合并即可．
解：
．
20．2
根据乘方的法则、绝对值的性质、零指数幂的运算法则计算即可求解．
解：
．
21．
根据有理数的乘方，立方根，特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂，实数的运算法则计算即可．
解：
．
22．(1)
(2)
(3)①；②存在，值为或，点坐标为或．
（1）根据非负数的性质：两个非负数的和为零，每一个非负数都为零求解即可；
（2）结合图形，根据点得坐标，结合三角形面积公式计算即可；
（3）①根据平行线的性质和三角形内角和直接得到结论；
②过点作于，利用的面积可求出的长，分点在线段上和延长线上两种情况，根据点、点的速度用表示出、的长，根据列方程求出值即可得答案．
（1）
（2）过点B作交x轴于点H，

∵，
∴，
，
（3）（3）①，理由如下：
如图：

∴，
，
．
②如图，过点作于，
∵，，
∴，
解得：，

当点在线段上时，
∵点的速度为每秒3个单位，点的速度为每秒2个单位，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵点在轴负半轴上，
∴点坐标为，
如图，当点在延长线上时，

∵点的速度为每秒3个单位，点的速度为每秒2个单位，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴点坐标为，
综上所述：存在某一时刻t，使的面积是的面积的2倍，值为或，点坐标为或．
23．(1)见解析
(2)45°
(3)FE＝EO且FE⊥EO
（1）利用非负数的性质求出a、b即可解决问题；
（2）如图1中，过点O作OK⊥OE交AE于点K，设OB交AE于J．证明△AOK≌△BOE（ASA），即可得到结论．
（3）过点F作FG⊥OF交OE的延长线于G，过点F作FH⊥FB交x轴于H，延长DE交HG于I，利用已知条件证明△HFG≌△BFO（SAS），得到GH＝OB＝OA，再证明△EIG≌△EDO（AAS）得到EG＝EO，进而FE＝EO且FE⊥EO（三线合一）．
（1）解：∵+|a﹣2b+2|＝0，
又∵≥0，|a﹣2b+2|≥0，
∴，解得，
∴A（0，2），B（﹣2，0），
∴OA＝OB＝2，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°；
（2）解：如图1中，过点O作OK⊥OE交AE于点K，设OB交AE于J．
∵AE⊥BE，
∴∠AOJ＝∠BEI＝90°，
∵∠AJO＝∠BJE，
∴∠EBO＝∠KAO，
∵∠AOB＝∠EOK＝90°，
∴∠AOK＝∠BOE，
∵OA＝OB，
∴△AOK≌△BOE（ASA），
∴OK＝OE，
∴∠AEO＝∠OKE＝45°．
（3）证明：过点F作FG⊥OF交OE的延长线于G，过点F作FH⊥FB交x轴于H，延长DE交HG于I，
∵∠EOF＝45°，∠HBF＝∠ABO＝45°，
∴△OFG、△HFB为等腰直角三角形，
∵∠HFG+∠GFB＝90°，∠BFO+∠GFB＝90°，
∴∠HFG＝∠BFO，
∵FG＝FO．FH＝FB，
∴△HFG≌△BFO（SAS），
∴GH＝OB＝OA，
又∵∠GHF＝∠OBF＝135°，
∴∠GHO＝90°，
∴HI＝OD＝IG，
∴△EIG≌△EDO（AAS），
∴EG＝EO，
∴FE＝EO且FE⊥EO（三线合一）．
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