有理数的运算 归纳练 2025年中考数学一轮复习备考
文档属性
| 名称 | 有理数的运算 归纳练 2025年中考数学一轮复习备考 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 458.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-07 17:56:20 | ||
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文档简介
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有理数的运算 归纳练 2025年中考数学一轮复习备考
一、单选题
1．北京时间2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，代表着此次载人飞行任务取得圆满成功，神舟十三号飞船的飞行速度每小时约为28440000米，将数据28440000科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．计算得到的结果是（ ）
A． B． C．1 D．2
3．手机移动支付给生活带来便捷，如图是张老师2021年9月18日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是（ ）
A．收入19元 B．支出8元 C．支出5元 D．收入6元
4．计算的结果是（ ）
A．20 B． C．14 D．
5．的个位数是（ ）．
A．2 B．4 C．6 D．8
6．下列各式的计算结果与 互为倒数的是（ ）
A． B． C． D．
7．如果，，，那么下列关系式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知有理数满足：，下列式子中结果最大的是（ ）
A． B． C． D．
10．若a，b互为相反数，c的倒数是2，则的值为（ ）
A． B． C． D．16
11．乘积的末两位数字是（ ）
A．25 B．45 C．75 D．95
12．某大学毕业生为自主创业于2021年8月初向银行贷款360000元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2021年9月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为，现因经营状况良好，准备向银行申请提前还款，计划于2026年8月初将剩余贷款全部一次还清，则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少（ ）（注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成．一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数；另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．1年按12个月计算）
A．18300元 B．22450元 C．27450元 D．28300元
二、填空题
13．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则 0.（填“＞”或“＜”）
14．用“”定义新运算，对于任意有理数，都有，例如：3，那么2 ．
15．甲地海拔高度是，乙地海拔高度是，那么甲地比乙地高 ．
16．的相反数是 ，是的倒数是 ．
17．已知关于x、y的方程组，则代数式2x+y＝ ．
18．某旅游局统计，“五一”黄金周出入某市旅游境的人数为820000人，用科学记数法表示为 人．
三、解答题
19．计算：．
20．计算：
(1)计算：；
(2)化简：
21．先化简，再求值：，其中x，y互为相反数，且x是倒数是它本身的自然数．
22．有一个数学游戏，如图，一个实数从A，B，C三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置． 例如：将3按照 (或) 的顺序进行运算，是将数据3经过“乘以”的运算得出结果．
(1)将 按照 的顺序进行运算， 列出算式并求出运算结果；
(2)将一个大于3的数按照 的顺序进行运算，发现运算结果总小于 1． 请验证这个结论．
23．中秋节来临前夕，某蛋糕店购进一种品牌月饼，每盒进价是元，蛋糕店规定每盒售价不得少于元，根据以往销售经验发现：当售价定为每盒元时，每天可卖出盒，每盒售价每提高元时，每天要少卖出盒，请解答下列问题：
(1)若每盒月饼售价提高元，求每天可卖出多少盒，销售利润为多少元；
(2)设每天的销售利润为元，每盒售价提高元（为整数），求出与之间的函数解析式；
(3)当每盒售价定为多少元时，每天销售的总利润最大？最大利润是多少？
参考答案
1．C
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：28440000=2.844×107．
故选：C．
2．D
根据有理数的减法运算计算，即可求解．
解：，
故选：D．
3．D
根据有理数的加法运算求解即可．
根据题意，有：（元），
即张老师当天微信收支的最终结果是收入6元，
故选：D．
4．C
原式先计算乘法运算，再计算加减运算即可得到结果．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
解：
，
故选：C．
5．C
本题考查乘方运算性质，涉及乘方运算幂的结果个位数情况，根据乘方运算，结合个位数变化规律求解即可得到答案，熟练掌握乘方运算结果个位数规律是解决问题的关键．
解：，
个位数是3；个位数是9；个位数是7；个位数是1；
个位是1，个位是9；
，
个位数是4；个位数是6；
个位是4，
，
的个位数是是6，
故选：C．
6．A
根据分式混合运算化简后，结合倒数定义验证即可得到答案．
解：
，
的倒数为，
A、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：A．
7．D
先确定的符号与绝对值，进而判断4个数的大小即可．
解：∵，
，
，
∴负数的绝对值较大，
故选：D．
8．B
整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断B选项；根据含乘方的有理数的混合运算法则，先计算乘方，再计算乘法，可判断C选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断D选项．
本题主要考查了同底数幂的乘法、有理数混合运算法则（含乘方）；合并同类项法则及幂的乘方运算．熟练掌握运算法则是解题的关键．
解：A、，不是同类项，无法进行合并同类项，故A选项不符合题意；
B、，故B选项符合题意；
C、，故C选项不符合题意；
D、故D选项不符合题意．
故答案为：B．
9．D
本题考查的是有理数的大小比较，有理数的乘方运算，不等式的性质，由条件可得，可得，而，，可得，从而可得答案．
解：∵，
∴，
∴，
∴；
又，
∴，，
∴．
故选D．
10．C
根据a，b互为相反数，可得，c的倒数是2，可得 ，代入即可求解．
∵a，b互为相反数，
∴，
∵c的倒数是2，
∴，
∴，
故选：C．
11．A
本题考查了有理数乘法的应用，数字规律问题，掌握数字规律探索的方法是解答本题的关键．通过计算，，，，的结果的末两位数字，归纳得到当算式的最后一个数的尾数是5时，乘积结果的末两位数字为25，即可得到答案．
计算的末两位数字是45，
的末两位数字是95，
的末两位数字是35，
的末两位数字是25，
的末两位数字是25，
的末两位数字是75，
的末两位数字是75，
的末两位数字是25，
的末两位数字是25，
的末两位数字是75，
的末两位数字是75，
依次类推，可知当算式的最后一个数的尾数是5时，乘积结果的末两位数字为25，
所以乘积的末两位数字是25．
故选A．
12．C
截止2026年8月，两种还款方式最终所还本金相同，且两种还款方式所还利息也相同．所以按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少的部分为：按原计划还款时，自2026年9月起至原计划结束时所还的利息，即共计60个月的利息．根据“等额本金还款法”，算出2026年9月起每个月的利息，然后进行求和就可得后60个月的总利息，从而得出答案．
∵每月应还本金为，
2026年8月还完后本金还剩，
2026年9月应还利息为：；
2026年10月应还利息为：；
2026年11月应还利息为：；……，
最后一次应还利息为：；
∴后60个月的利息合计为：
．
即该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少27450元．
故选：C．
13．
根据实数a、b在数轴上对应点的位置，判定出a、b符号，然后根据有理数加法法则进行判断即可．
解：由实数a、b在数轴上对应点的位置可知：，，
∴，
故答案为：．
14．21
本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确列式计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
解：对于任意有理数，都有，
，
2，
2，
故答案为：．
15．280
根据有理数减法的运算方法，用甲地的海拔高度减去乙地的海拔高度，求出甲地比乙地高多少即可．
解：由题意，得，
∴甲地比乙地高．
故答案为：280．
16． /
根据相反数和倒数的定义即可解答．
解：的相反数是，
∵，
∴是的倒数是，
故答案为：，．
17．8
首先根据方程组得到x+y＝3，然后将代数式变形后代入即可求值．
解：
(1)+(2)，得3x+3y＝9，
∴x+y=3，
∴2x+y＝23＝8．
故答案为：8．
18．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
解：，
故答案为：．
19．
本题考查有理数的混合运算，根据混合运算的法则，进行计算即可．
解：原式．
20．(1)
(2)
（1）分别计算乘方、绝对值、零次幂，再进行加减计算；
（2）先利用单项式乘多项式法则、完全平方公式计算，再合并同类项．
（1）解：
（2）解：
21．，1
首先根据整式乘法运算法则化简，然后求出x，y的值，代入求解即可．
解：原式
由x，y互为相反数，且x是倒数是它本身的自然数
可得，．
把，代入原式得：
．
22．(1)， 原式
(2)见解析
本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，不等式的性质，列代数式，根据题意列出算式并准确计算成为解题的关键．
（1）根据列出算式，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可；
（2）先根据的运算顺序列出代数式，然后根据不等式的性质进行解答即可．
（1）解：列式为：
．
（2）解：设这个数为x，
则．
∵，
∴，
∴．
23．(1)每天可卖出盒，销售利润为元
(2)
(3)每盒售价定为或元时，每天销售的利润最大，最大利润是元
（1）根据当售价定为每盒元时，每天可卖出盒，每盒售价每提高元时，每天要少卖出盒，当每盒月饼售价提高元时，每天少卖出盒得出结论；
（2）根据利润盒月饼所获得的利润×销售量写出函数关系式，
（3）根据二次函数性质求出利润最大时的取值，从而得出结论．
（1）解：由题意，得：盒，
元．
答：每天可卖出盒，销售利润为元；
（2）解：依题意，
，
即
（3）
，为整数，
当或时，最大，最大值为，
元或元．
每盒售价定为或元时，每天销售的利润最大，最大利润是元；
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有理数的运算 归纳练 2025年中考数学一轮复习备考
一、单选题
1．北京时间2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，代表着此次载人飞行任务取得圆满成功，神舟十三号飞船的飞行速度每小时约为28440000米，将数据28440000科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．计算得到的结果是（ ）
A． B． C．1 D．2
3．手机移动支付给生活带来便捷，如图是张老师2021年9月18日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是（ ）
A．收入19元 B．支出8元 C．支出5元 D．收入6元
4．计算的结果是（ ）
A．20 B． C．14 D．
5．的个位数是（ ）．
A．2 B．4 C．6 D．8
6．下列各式的计算结果与 互为倒数的是（ ）
A． B． C． D．
7．如果，，，那么下列关系式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知有理数满足：，下列式子中结果最大的是（ ）
A． B． C． D．
10．若a，b互为相反数，c的倒数是2，则的值为（ ）
A． B． C． D．16
11．乘积的末两位数字是（ ）
A．25 B．45 C．75 D．95
12．某大学毕业生为自主创业于2021年8月初向银行贷款360000元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2021年9月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为，现因经营状况良好，准备向银行申请提前还款，计划于2026年8月初将剩余贷款全部一次还清，则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少（ ）（注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成．一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数；另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．1年按12个月计算）
A．18300元 B．22450元 C．27450元 D．28300元
二、填空题
13．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则 0.（填“＞”或“＜”）
14．用“”定义新运算，对于任意有理数，都有，例如：3，那么2 ．
15．甲地海拔高度是，乙地海拔高度是，那么甲地比乙地高 ．
16．的相反数是 ，是的倒数是 ．
17．已知关于x、y的方程组，则代数式2x+y＝ ．
18．某旅游局统计，“五一”黄金周出入某市旅游境的人数为820000人，用科学记数法表示为 人．
三、解答题
19．计算：．
20．计算：
(1)计算：；
(2)化简：
21．先化简，再求值：，其中x，y互为相反数，且x是倒数是它本身的自然数．
22．有一个数学游戏，如图，一个实数从A，B，C三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置． 例如：将3按照 (或) 的顺序进行运算，是将数据3经过“乘以”的运算得出结果．
(1)将 按照 的顺序进行运算， 列出算式并求出运算结果；
(2)将一个大于3的数按照 的顺序进行运算，发现运算结果总小于 1． 请验证这个结论．
23．中秋节来临前夕，某蛋糕店购进一种品牌月饼，每盒进价是元，蛋糕店规定每盒售价不得少于元，根据以往销售经验发现：当售价定为每盒元时，每天可卖出盒，每盒售价每提高元时，每天要少卖出盒，请解答下列问题：
(1)若每盒月饼售价提高元，求每天可卖出多少盒，销售利润为多少元；
(2)设每天的销售利润为元，每盒售价提高元（为整数），求出与之间的函数解析式；
(3)当每盒售价定为多少元时，每天销售的总利润最大？最大利润是多少？
参考答案
1．C
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：28440000=2.844×107．
故选：C．
2．D
根据有理数的减法运算计算，即可求解．
解：，
故选：D．
3．D
根据有理数的加法运算求解即可．
根据题意，有：（元），
即张老师当天微信收支的最终结果是收入6元，
故选：D．
4．C
原式先计算乘法运算，再计算加减运算即可得到结果．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
解：
，
故选：C．
5．C
本题考查乘方运算性质，涉及乘方运算幂的结果个位数情况，根据乘方运算，结合个位数变化规律求解即可得到答案，熟练掌握乘方运算结果个位数规律是解决问题的关键．
解：，
个位数是3；个位数是9；个位数是7；个位数是1；
个位是1，个位是9；
，
个位数是4；个位数是6；
个位是4，
，
的个位数是是6，
故选：C．
6．A
根据分式混合运算化简后，结合倒数定义验证即可得到答案．
解：
，
的倒数为，
A、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：A．
7．D
先确定的符号与绝对值，进而判断4个数的大小即可．
解：∵，
，
，
∴负数的绝对值较大，
故选：D．
8．B
整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断B选项；根据含乘方的有理数的混合运算法则，先计算乘方，再计算乘法，可判断C选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断D选项．
本题主要考查了同底数幂的乘法、有理数混合运算法则（含乘方）；合并同类项法则及幂的乘方运算．熟练掌握运算法则是解题的关键．
解：A、，不是同类项，无法进行合并同类项，故A选项不符合题意；
B、，故B选项符合题意；
C、，故C选项不符合题意；
D、故D选项不符合题意．
故答案为：B．
9．D
本题考查的是有理数的大小比较，有理数的乘方运算，不等式的性质，由条件可得，可得，而，，可得，从而可得答案．
解：∵，
∴，
∴，
∴；
又，
∴，，
∴．
故选D．
10．C
根据a，b互为相反数，可得，c的倒数是2，可得 ，代入即可求解．
∵a，b互为相反数，
∴，
∵c的倒数是2，
∴，
∴，
故选：C．
11．A
本题考查了有理数乘法的应用，数字规律问题，掌握数字规律探索的方法是解答本题的关键．通过计算，，，，的结果的末两位数字，归纳得到当算式的最后一个数的尾数是5时，乘积结果的末两位数字为25，即可得到答案．
计算的末两位数字是45，
的末两位数字是95，
的末两位数字是35，
的末两位数字是25，
的末两位数字是25，
的末两位数字是75，
的末两位数字是75，
的末两位数字是25，
的末两位数字是25，
的末两位数字是75，
的末两位数字是75，
依次类推，可知当算式的最后一个数的尾数是5时，乘积结果的末两位数字为25，
所以乘积的末两位数字是25．
故选A．
12．C
截止2026年8月，两种还款方式最终所还本金相同，且两种还款方式所还利息也相同．所以按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少的部分为：按原计划还款时，自2026年9月起至原计划结束时所还的利息，即共计60个月的利息．根据“等额本金还款法”，算出2026年9月起每个月的利息，然后进行求和就可得后60个月的总利息，从而得出答案．
∵每月应还本金为，
2026年8月还完后本金还剩，
2026年9月应还利息为：；
2026年10月应还利息为：；
2026年11月应还利息为：；……，
最后一次应还利息为：；
∴后60个月的利息合计为：
．
即该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少27450元．
故选：C．
13．
根据实数a、b在数轴上对应点的位置，判定出a、b符号，然后根据有理数加法法则进行判断即可．
解：由实数a、b在数轴上对应点的位置可知：，，
∴，
故答案为：．
14．21
本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确列式计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
解：对于任意有理数，都有，
，
2，
2，
故答案为：．
15．280
根据有理数减法的运算方法，用甲地的海拔高度减去乙地的海拔高度，求出甲地比乙地高多少即可．
解：由题意，得，
∴甲地比乙地高．
故答案为：280．
16． /
根据相反数和倒数的定义即可解答．
解：的相反数是，
∵，
∴是的倒数是，
故答案为：，．
17．8
首先根据方程组得到x+y＝3，然后将代数式变形后代入即可求值．
解：
(1)+(2)，得3x+3y＝9，
∴x+y=3，
∴2x+y＝23＝8．
故答案为：8．
18．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
解：，
故答案为：．
19．
本题考查有理数的混合运算，根据混合运算的法则，进行计算即可．
解：原式．
20．(1)
(2)
（1）分别计算乘方、绝对值、零次幂，再进行加减计算；
（2）先利用单项式乘多项式法则、完全平方公式计算，再合并同类项．
（1）解：
（2）解：
21．，1
首先根据整式乘法运算法则化简，然后求出x，y的值，代入求解即可．
解：原式
由x，y互为相反数，且x是倒数是它本身的自然数
可得，．
把，代入原式得：
．
22．(1)， 原式
(2)见解析
本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，不等式的性质，列代数式，根据题意列出算式并准确计算成为解题的关键．
（1）根据列出算式，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可；
（2）先根据的运算顺序列出代数式，然后根据不等式的性质进行解答即可．
（1）解：列式为：
．
（2）解：设这个数为x，
则．
∵，
∴，
∴．
23．(1)每天可卖出盒，销售利润为元
(2)
(3)每盒售价定为或元时，每天销售的利润最大，最大利润是元
（1）根据当售价定为每盒元时，每天可卖出盒，每盒售价每提高元时，每天要少卖出盒，当每盒月饼售价提高元时，每天少卖出盒得出结论；
（2）根据利润盒月饼所获得的利润×销售量写出函数关系式，
（3）根据二次函数性质求出利润最大时的取值，从而得出结论．
（1）解：由题意，得：盒，
元．
答：每天可卖出盒，销售利润为元；
（2）解：依题意，
，
即
（3）
，为整数，
当或时，最大，最大值为，
元或元．
每盒售价定为或元时，每天销售的利润最大，最大利润是元；
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