北师大版八下1.3.1 线段的垂直平分线（1） 课件

(共26张PPT)
第一章 三角形的证明
1.3.1 线段的垂直平分线（1）
北师大版 数学 八年级 下册
学习目标
1.经历利用逻辑推理验证线段垂直平分线的性质及判定的过程，使学生理解逻辑证明的重要性。
2.利用线段垂直平分线的性质及判定解决实际问题，培养学生解决问题的能力。
情景导入
（1）线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
（2）什么叫线段的垂直平分线？
情景导入
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置
P
N
M
点P是码头的位置
核心知识点一：
线段垂直平分线的性质
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
A
B
l
P1
P2
P3
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
探索新知
猜想：
点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
由此你能得到什么结论？
你能验证这一结论吗？
探索新知
已知：如图，直线MN⊥AB。垂足为C，且AC=BC，P是直线MN上任意一点。
求证：PA=PB
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°，
∵AC=BC，PC=PC。
∴△PCA≌△PCB（SAS）
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）
思考：
当点P与点C重合时，上面结论成立吗？
如果点P与点C重合，那么结论显然成立
探索新知
归纳总结
线段垂直平分线的性质定理：
P
A
B
M
C
N
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
条件：点在线段的垂直平分线上；
结论：这个点到线段两端点的距离相等．
几何语言：∵MN⊥AB，AC＝BC，点P在MN上，
∴PA＝PB.
作用：可用来证明两线段相等．
探索新知
解：AB=AC=CE，AB+BD=DE.
理由如下：
∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AB=AC.
∵点C在AE的垂直平分线上,
∴AC=CE.
∴AB=AC=CE，AB+BD=CE+DC=DE，即AB+BD=DE.
例：如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上,
AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系
C
B
D
A
E
探索新知
核心知识点二：
线段垂直平分线的判定
1.经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线。
2.
思考：线段的垂直平分线有哪些判定方法？
（定义判定）
你能写出垂直平分线性质定理的逆命题吗？
？
性质定理的逆命题
？
探索新知
性质定理（原命题）：
如果一个点是线段垂直平分线上的点，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等。
逆命题：
如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上。
这个逆命题是真命题吗？你能证明它吗？
探索新知
已知：线段AB和点P，PA=PB，
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：①若点P在线段AB上，
则点P为线段AB中点，结论显然成立.
②若点P不在AB上，取AB中点M，连接PM .
∵PA=PB，AM=BM，
∴PM⊥AB（等腰三角形三线合一）.
综上所述，原命题成立.
探索新知
归纳总结
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
线段垂直平分线的判定定理：
条件：点到线段两端点距离相等；
结论：点在线段垂直平分线上．
几何语言：∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
作用：①作线段的垂直平分线的依据；
②可用来证线段垂直、相等．
探索新知
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
定理：到一条条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
互为
逆定理
综上：线段的垂直平分线是到线段两个端点距离相等的所有点的集合.
探索新知
例2：已知：如图△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵AB=AC，
∴A在线段BC的垂直平分线（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点O在线段BC的垂直平分线.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.
还有其他方法吗？
探索新知
例2：已知：如图△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：延长AO交BC于点D，
∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC ，
∴△ABO≌△ACO（SSS）.
∴∠BAO=∠CAO，
∵AB=AC，
∴AO⊥BC．
∵OB＝OC ，OD＝OD ，
∴RT△DBO≌RT△DCO（HL）.
∴BD＝CD.
∴直线AO垂直平分线段BC.
探索新知
当堂检测
1．已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠B交AC于点D，则点D(　 　)
A．是AC的中点 B．在AB的垂直平分线上
C．是AB的中点 D．不能确定
B
当堂检测
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则EF的长是(　 　)
A．3
B．2
C．
D．1
B
当堂检测
3．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接CP，若∠A＝75°，∠ACP＝12°，则∠ABP的度数为(　 　)
A．12° 　 B．31°　
C．53°　 D．75°
B
当堂检测
4．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，分别交BC于D、E，若∠DAE＝50°，则∠BAC＝_____度，若△ADE的周长为19 cm，则BC＝____cm.
5．如图，在 Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝4，
AC的垂直平分线交AB于点M，交AC于N，则BM的值为___.
115
19
3
当堂检测
6．如图，点C为线段AB上一点，且CB＝2，分别以AC，BC为边，在AB的同一侧作等边△ACD和等边△CBE，连接DE，AE，∠CDE＝30°，则△ADE的面积为_____.
当堂检测
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数.
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°－∠A）＝70°.
∵MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝30°.
当堂检测
8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E.
（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；
（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠BAC＝25°.
∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，
∴∠EDA＝90°－∠EAD＝65°.
当堂检测
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线.
（2）证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°＝∠ACB.
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC.
∵AD＝AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE＝AC，DE＝DC，
∴直线AD是线段CE的垂直平分线.
1.经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线。
2.到一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上。
1.垂直、平分
2.线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等。
线段的
垂直平分线
性质
判定
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