北师大版八下1.4.2角平分线（2） 课件

(共27张PPT)
第一章 三角形的证明
1.4.2角平分线（2）
北师大版 数学 八年级 下册
学习目标
1.推理论证“三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等”这一性质.
2.利用三角形三边的垂直平分线的性质解决问题.
情景导入
性质定理
角平分线
判定定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
情景导入
某校园内有一块由三条路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭给师生小憩，使小亭中心到三条路的距离相等，请你确定小亭中心的位置.
你能解决这个问题吗？
核心知识点一：
三角形的内角平分线
做一做：分别作出△ABC的三条角平分线
问题（1）观察三个三角形的形状？它们分别代表什么三角形？
问题（2）观察三条角平分线，你发现了什么？
问题（3）通过观察思考，你能得出什么结论？
探索新知
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
该点在三角形的内部，这点是三角形的内心
你发现了什么？
探索新知
过内心向三角形三边作垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？
过内心作三角形三边的垂线段都相等.
探索新知
拿出任意剪的一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？
怎么证明结论呢？
猜想：三角形三个角的平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等
探索新知
已知：如图 1-25，在 △ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别是 D，E，F.
求证：∠ A 的平分线经过点 P，
且 PD = PE = PF.
探索新知
证明：∵ BM 是 △ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，
∴ PD = PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
同理，PE = PF. ∴ PD = PE = PF.
∴ 点 P 在 ∠ A 的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即 ∠ A 的平分线经过点 P.
直角和钝角的三条角平分线也具有同样的性质
探索新知
归纳总结
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
A
B
C
F
N
D
M
E
P
H
几何语言：在△ABC 中，
∵ BM，CN，AH分别是△ABC的三条角平分线， 且PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，
∴BM，CN，AH相交于一点P，
且PD=PE=PF.
探索新知
归纳总结
三角形三条内角平分线的交点到三边的距离相等是三角形的一个重要特征，该交点与三角形三个顶点的连线形成三个等高的小三角形，利用三个小三角形的面积之和等于原三角形的面积，求角平分线交点到三边距离或者求三角形的面积，体现等面积法的运用.
探索新知
例：如图 ，在△ABC 中，AC=BC，∠C=90 ° ，AD是△ABC的
角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
（1）已知CD=4 cm，求AC的长；
解析：求AC的长可转化为求BC的长，而BC=CD+DB，CD=4 cm，求出DB的长即可。要证AB=AC+CD，转化为证明AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE.
探索新知
（1）解：∵ AD是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为 E，
∴ DE=CD=4 cm，
∵ AC=BC，∴ ∠B=∠BAC（等边对等角）.
∵ ∠C= 90 ° ，∴ ∠B= ×90 °=45 ° .
∴ ∠BDE = 90 °- 45 °= 45 ° .
∴ BE=DE（等角对等边）.
在等腰直角三角形 BDE 中，
BD = = cm（勾股定理）.
∴ AC = BC = CD + BD =（4 + ）cm.
探索新知
例：如图 ，在△ABC 中，AC=BC，∠C=90 ° ，AD是△ABC的
角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
（2）求证：AB=AC+CD.
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED（HL）.
∴ AC = AE（全等三角形的对应边相等）.
∵ BE = DE = CD，
∴ AB = AE + BE = AC + CD.
探索新知
当堂检测
1．如图，AB∥CD，EF 交AB 于点G，交CD 于点F，FH 平分∠EFD，交AB于点H，∠AGE＝50°，则∠BHF 的度数为( ).
A．115°
B．65°
C．50°
D．130°
A
当堂检测
2.如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，AD 平分∠BAC，DE 垂直平分AC，若AB＝2，则DE 的值为( ).
A.
B.
C．1
D.
D
当堂检测
3．如图，△ABC 中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC，在证明该结论时，只添加一条辅助线：①作∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D；②过点A作AD⊥BC 于点D；③取BC 中点D，连接AD；④作BC 的垂直平分线AD.其中作法正确的个数是( )．
A．1 B．2
C．3 D．4
B
当堂检测
4．如图，△ABC 的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO 等于( ).
A．1∶1∶1
B．1∶2∶3
C．2∶3∶4
D．3∶4∶5
C
当堂检测
5.如图，在△ABC 中，∠ACB＝2∠B，下列尺规作图，不能得到∠ADC＝2∠B 的是( )．
D
当堂检测
6．如图，在△ABC 中，∠ABC＝50°，三角形的两个外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E，则∠ABE＝ 度.
25
当堂检测
7．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，AD 平分∠CAB，且AD 交BC于点D，DE⊥AB 于点E .若AB＝6 cm，△DEB 的周长是 cm.
6
当堂检测
8.如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O到AB，BC，AC三边的距离相等，求∠AOC的度数.
解：∵点O到AB，BC，AC三边的距离相等，
∴AO平分∠BAC，CO平分∠ACB，
∴∠OAC＝∠BAC，∠OCA＝∠BCA.
∵∠B＝90°，
∴∠BAC＋∠ACB＝90°，
∴∠OAC＋∠OCA＝（∠BAC＋∠ACB）＝45°，
∴∠AOC＝180°－（∠OAC＋∠OCA）＝135°.
当堂检测
9.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足是E，AC＝DE＋DB.
（1）求∠BAD的度数；
解：（1）∵AD平分∠CAE，DC⊥AC，DE⊥AE，
∴DC＝DE.
∵AC＝DE＋DB＝DC＋DB＝BC，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∴∠BAD＝∠CAB＝22.5°.
当堂检测
（2）若△DBE的周长为4 cm，求AB的长.
解：（2）易证Rt△ADC≌△Rt△ADE，
∴AC＝AE.
由（1）知AC＝BC，
∴BC＝AE.
∵△DBE的周长为4 cm，
∴DE＋DB＋EB＝CD＋DB＋EB＝BC＋EB
＝AE＋EB＝AB＝4 cm.
本节课我们利用角平分线的性质定理和判定定理证明了三角形的三条角平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等.
并综合运用我们前面学过的定理解决几何中的计算和证明问题.
感谢收看