北师大版八下1.4.1角平分线（1） 课件

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第一章 三角形的证明
1.4.1角平分线（1）
北师大版 数学 八年级 下册
学习目标
1. 能够证明角平分线的性质定理、判定定理及其相关结论.
2. 角的平分线相关定理的推理证明及对知识的综合应用.
情景导入
1.线段垂直平分线的性质？
2.线段垂直平分线的判定定理？
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
情景导入
3、什么是角平分线的定义？
A
O
B
P
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相等的角，这条射线就叫这个角的角平分线.
4、角平分线的性质是什么？
角平分线上的点到角两边的距离相等
核心知识点一：
角平分线的性质
观察视频中角平分线上的点有什么性质吗？
探索新知
猜想：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
点与点—两点之间的距离
点与线—垂线段
注意：
请你尝试证明这一性质，并与同伴交流.
探索新知
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E.
求证：PD＝PE.
证明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
∵∠1＝∠2, OP＝OP
∴△PDO≌△PEO ( AAS ).
∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).
探索新知
归纳总结
几何语言：
∵OP平分∠AOB，
PD⊥ OA于点D，PE⊥OB于点E,
∴PD＝PE.
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
探索新知
归纳总结
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
(1)角的平分线；
(2)点在该平分线上；
(3)垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
探索新知
例：如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上， AD＝10，DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，DE＝DF，求DE的长.
探索新知
解：∵DE丄AB, DF丄AC，垂足分分别为E，F,且DE＝DF，
∴AD平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°.
在 Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10，
∴DE＝　AD＝ ×10＝5 (在直角三角形中，如果一个锐角等于30°. 那么它所对的直角边等于斜边的一半).
探索新知
核心知识点二：
角平分线的判定
想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上.
这个命题是真的吗？如果是假的，怎么修改能成为真的呢？
探索新知
假命题。在角的外部，也存在到角两边距离相等的点，但是这个点不在这个角的平分线上．
探索新知
角平分线的判定
一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
探索新知
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE．
求证：OP平分∠AOB.
证明：∵PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E，
∴∠ODP＝∠OEP＝90°，
∵PD＝PE，OP＝OP，
∴Rt△DOP≌ Rt△EOP ( HL ).
∴∠1＝∠2 (全等三角形的对应角相等).
∴OP平分∠AOB.
探索新知
归纳总结
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
几何语言：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
角平分线的判定
探索新知
归纳总结
角平分线的判定所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：
判断点是否在角平分线上.
探索新知
例：已知：如图，已知BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.
求证：AD平分∠BAC.
探索新知
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS)．
∴DE＝DF.
又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴AD平分∠BAC.
探索新知
当堂检测
1．如图，AD 是∠BAC 的平分线，EF∥AC 交AB 于点E ，交AD 于点F，∠1＝30°，则∠BAD 的度数为( )
A．20° B．30° C．60° D．120°
B
当堂检测
2.如图，点C，D 分别在∠AOB 的边OA，OB上，若在线段CD上求一点P，使它到OA，OB 的距离相等，则P 点是( )
A．线段CD 的中点
B．OA与OB 的中垂线的交点
C．OA与CD 的中垂线的交点
D．CD与∠AOB 的平分线的交点
D
当堂检测
3．如图，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D，若BC＝5 cm，BD＝3 cm则点D 到AB 的距离为( )
A．5 cm B．3 cm C．2 cm D．不能确定
C
当堂检测
4．如图，△ABC 的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是( )
A．BP 平分∠APC
B．BP平分∠ABC
C．BA＝BC
D．PA＝PC
B
当堂检测
5.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB于点E，
△ACD的面积为6 cm2，DE＝3 cm，则AC 的长为 cm.
4
当堂检测
6．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝AE，DE⊥AB，若∠BDE＝46°，则∠DAE＝ ．
7．如图，已知△ABC 的面积是26，BO，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC 于D，且OD＝2，则△ABC 的周长是 ．
23°
26
当堂检测
8.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∴AD平分∠BAC.
当堂检测
9.如图，已知AD∥BC，∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，过点P作EF⊥AD，交AD于点E，交BC于点F，EF＝4 cm，AB＝5 cm，求△APB的面积.
解：过点P作PG⊥AB于点G.
∵AP平分∠BAD，EF⊥AD，
∴PE＝PG.
∵AD∥BC，
∴PF⊥BC.
∵BP平分∠ABC，
∴PG＝PF，
∴PG＝PE＝PF＝EF＝2 cm，
∴S△APB＝AB·PG＝×5×2＝5（cm2）.
角的平分线的性质与判定定理的关系：
(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．
(2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距
离相等．　
(3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距
离就一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离
相等的点，都应在角的平分线上．
感谢收看