北师大版八下1.2.1 直角三角形（1） 课件

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第一章 三角形的证明
1.2.1 直角三角形（1）
北师大版 数学 八年级 下册
学习目标
1 能够证明直角三角形的性质定理和判定定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；
2 体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．
情景导入
直角三角形的定义：
有一个角是直角的三角形是直角三角形
在前面我们已经学习了等腰三角形，你知道等腰三角形有哪些性质？怎样判定一个三角形是等腰三角形呢？
今天我们要学习的直角三角形作为一种特殊的三角形，是如何定义的呢？除了具有一般三角形的性质外，它还具有哪些特殊性质呢？
C
A
B
情景导入
直角三角形有哪些性质？怎样判定一个三角形是直角三角形呢？
性质 判定
定理1：
直角三角形的两个锐角互余
定理2：
有两个角互余的三角形是直角三角形；
定理3：
（勾股定理）
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
定理4：
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
核心知识点一：
直角三角形的性质与判定
你能证明这两个结论吗？
想一想：
(1) 直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形
是直角三角形吗？为 什么？
探索新知
定理1　　角三角形的两个锐角互余.
定理2　　两个角互余的三角形是直角三角形.
知识点：三角形内角和，你能行的
你来给出完整的证明过程吧，试一试
探索新知
证明一个命题的一般步骤：
1.弄清楚条件（直角三角形）和结论（两个锐角互余）；
2.根据题意画出相应的图形；
3.由条件和结论，写出已知和求证；
4.分析证明思路，写出证明过程。
探索新知
已知：如图，在Rt△ABC,∠C=90°
求证：∠A+∠B=90°
证明：在△ABC中，
∠A+∠B+∠C=180°
∵∠C=90°
∴∠A+∠B=180°-∠C
=180°-90°=90°
定理1：直角三角形两锐角互余
几何语言：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°
∴∠A+∠B=90°
探索新知
已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°
求证：△ABC是直角三角形。
证明：在△ABC中，
∠A+∠B+∠C=180°
又∵∠A+∠B=90°
∴∠C=180°-(∠A+∠B)
=180°-90°=90°
∴这个三角形是直角三角形
定理2：有两锐角互余的三角形是直角三角形
几何语言：
∵在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°
∴△ABC是直角三角形
探索新知
例1：如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC于点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
探索新知
解：由题意可知，
∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°.
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠BAE＝ ∠BAC＝40°.
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.
∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°.
∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.
探索新知
核心知识点二：
勾股定理与逆定理
你还记得勾股定理的内容吗？
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
如果将勾股定理反过来，怎么叙述呢？
即a2+b2=c2.
探索新知
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
我们曾用度量的办法得出这个结论.
思考：这个命题是真命题吗？为什么？
是否还有其他方法？
探索新知
已知：如图，在△ABC中，AC2+AB2=BC2.
求证:△ABC是直角三角形．
证明：如图，作 Rt△A′B′C′，
使∠A′=90°，A′B′=AB，A′C′=AC，
则 A′B′2+A′C′2=B′C′2（勾股定理）.
∵ AB2+AC2=BC2，∴ BC2=B′C′2.
∴ BC=B′C′. ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.
∴ ∠A=∠A′=90°（全等三角形的对应角相等）.
因此，△ABC 是直角三角形.
探索新知
定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
几何语言：
∵a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形
a
c
b
探索新知
例2 ：已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边上的中线AD＝12cm.
求证：AB＝AC.
探索新知
解：如图，因为AD是BC边上的中线，
所以BD＝ BC＝ ×10＝5(cm)．
在△ABD中，∵AB＝13 cm，AD＝12 cm，BD＝5 cm，
∴AB2＝AD2＋BD2.
∴△ABD为直角三角形．所以AD⊥BC.
在Rt△ADC中，AC＝ ＝13(cm)，
所以AB＝AC.
探索新知
核心知识点三：
互逆命题与互逆定理
定理4： 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
定理3：直角三角形两条直角边的平方和等于
斜边的平方。
定理1：直角三角形的两个锐角互余.
定理2：有两个锐角互余的三角形是直角三角形.
观察：这两组定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？
如果A，那么B.
如果B，那么A.
条件和结论互换
探索新知
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等。
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
观察以下三组命题，每组中两个命题的条件和结论也有类似这样的关系吗？
在两个命题中，如果一个命题的______和______分别是另一个命题的______和_______，那么这两个命题称为___________，其中一个命题称为另一个命题的______________。
条件
结论
结论
条件
互逆命题
逆命题
如果两个角是对顶角，那么他们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
探索新知
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为_____________，其中一个定理称为另一个定理的________。
一个命题是真命题，它的逆命题却__________是真命题。
不一定
互逆定理
逆定理
假
真
真
真
假
假
以下三组命题，都是真命题吗？
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等。
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
如果两个角是对顶角，那么他们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
探索新知
当堂检测
1.一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( ) .
D
A．5 B． C． D．5或
2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三
角形的是( ) .
B
A． ， ， B．1， ，
C．6，7，8 D．2，3，4
当堂检测
3.在 中， 所对的边为 ， 所对的边为 ， 所对的边
为 ，下列选项中不能判定 为直角三角形的是( ) .
D
A． B．
C． ， ， D．
4.在 中， ， ，则 ( ) .
D
A．8 B．16或64 C．4 D．4或16
当堂检测
5.满足下列条件的 是直角三角形的是( ) .
D
A． B．
C． D． , ,
6.三角形的三边长分别为 ， ， ，则下面四种情况，不能判断此
三角形为直角三角形的是( ) .
D
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
当堂检测
7．在△ABC 中，三边长a，b，c 满足(a＋c )(a－c )＝b 2，则
△ABC 的形状是( )．
A．以a 为斜边长的直角三角形
B．以b 为斜边长的直角三角形
C．以c 为斜边长的直角三角形
D．不是直角三角形
A
当堂检测
8.如图，在 中， ，过点 作 ， 平分 ，若 ，则 的度数为_____.
当堂检测
9.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，AE平分∠BAC.
（1）求∠BAE的度数；
（1）解：∵∠B＝30°，∠C＝62°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝88°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝×88°＝44°.
当堂检测
（2）若AD⊥BC于点D，∠ADF＝74°，求证：△ADF是直角三角形.
（2）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°－∠B＝60°.
由（1）知∠BAE＝44°，
∴∠EAD＝∠BAD－∠BAE＝16°，
∴∠ADF＋∠EAD＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴△ADF是直角三角形.
直角三角形
角的性质
边的性质
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
定理1：直角三角形的两个锐角互余；
定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形
互逆定理（均真）
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