北师大版八下1.3.2线段的垂直平分线（2） 课件

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第一章 三角形的证明
1.3.2线段的垂直平分线（2）
北师大版 数学 八年级 下册
学习目标
1、理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质.
2、能够运用三角形三边的垂直平分线的性质解决实际问题.
3、能够利用尺规作已知底边及底边上的高的等腰三角形.
情景导入
1.线段的垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
2.线段的垂直平分线的判定定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
情景导入
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
·
·
·
A
B
C
猜想：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。
核心知识点一：
三角形三边的垂直平分线的性质
分别作出△ABC的三边的垂直平分线.观察这三条垂直平分线,你发现了什么
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三角形三条边的垂直平分线相交于一点.
内部
斜边中点
外部
探索新知
证明结论：三角形三边的垂直平分线交于一点.
已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P.
求证：P点在AC的垂直平分线上．
探索新知
证明：连接AP，BP，CP．
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点
到线段两个端点的距离相等)．
同理PB=PC．∴PA=PC．
∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个
端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)．
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P.
探索新知
证明结论：三角形三边的垂直平分线交于一点.
已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P.
求证：P点在AC的垂直平分线上．
PA=PB=PC
探索新知
证明：
∵ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，
∴ PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）.
同理，PB=PC.
∴ PA=PB=PC.
求证： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
探索新知
归纳总结
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
几何语言：
在△ABC中，
∵a，b，c分别是BC，AC，AB的垂直平分线，
∴a，b，c相交于点P，且PA=PB=PC.
点P称为三角形的外心
探索新知
例.在联欢晚会上，三名同学站在一个非等边三角形的三个顶点A，B，C位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子(用点P表示)应放在哪个位置？请用尺规作图找出点P.
解：如图，点P放在AB，BC垂直平分线交点处
探索新知
核心知识点二：
尺规作图
思考：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高， 你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？
能作出无数个，所作出的三角形不全等
探索新知
(2) 已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗 能作几个
能作出2个。
在底边的两侧所作出的三角形全等。
h
h
探索新知
例：已知一个等腰三角形的底边及底边上的高， 求作这个等腰三角形.
已知：如图，线段a，h.
求作： △ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD= h.
作法：（1）作线段BC=a.
（2）作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D.
（3）在l上作线段DA，使DA= h.
（4）连接AB，AC.
△ABC为所求作的等腰三角形.
a
h
A
B
C
D
注意：点A关于BC的对称点A′也符合题意.
探索新知
已知直线l和l上一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P .
如果点P在直线l外呢？
m
m
探索新知
当堂检测
1．三角形三边的垂直平分线的交点(　 　)
A．到三角形三边的距离相等
B．到三角形的三个顶点的距离相等
C．到三角形三个顶点与三条边的距离相等
D．不能确定
B
当堂检测
2．如图，在△ABC中，BC＝8 cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于18 cm，则AC的长等于(　 　)
A．6 cm
B．8 cm
C．10 cm
D．12 cm
C
当堂检测
3．如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在(　 　)
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B平分线的交点处
C
当堂检测
4．如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为(　 　)
A．30° B．40°
C．50° D．60°
C
当堂检测
5．如图，在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在点E的左侧，△ADE的周长10 cm，则BC＝____cm.


6．如图，在锐角三角形△ABC中，∠A＝50°，AC，BC两边的垂直平分线交于点O，则∠BOC＝_______.
10
100°
当堂检测
7．如图，在△ABC中，∠B＝35°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，则∠C＝______.
75°
当堂检测
8.如图，在△ABC中，D是边AC，AB的垂直平分线的交点.若∠DCA＝30°，∠DAB＝50°，求∠DCB的度数.
解：∵D是边AC，AB的垂直平分线的交点，
∴CD＝AD＝BD.
∴∠DAC＝∠DCA＝30°，∠DBA＝∠DAB＝50°，∠DCB＝∠DBC.
又∵∠DCA＋∠DAC＋∠DBA＋∠DAB＋∠DCB＋∠DBC＝180°，
∴∠DCB＝×（180°－30°×2－50°×2）＝10°.
当堂检测
9.如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为M，N.
（1）若△ADE的周长为6，求BC的长；
解：（1）∵DM垂直平分AB，EN垂直平分AC，
∴AD＝BD，AE＝CE.
∵△ADE的周长为6，∴AD＋DE＋AE＝6，
∴BD＋DE＋CE＝6，即BC＝6.
当堂检测
（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数.
解：（2）由（1）知AD＝BD，AE＝EC，
∴∠DAM＝∠B，∠EAN＝∠C.
在△ABC中，∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝80°，
∴∠DAM＋∠EAN＝∠B＋∠C＝80°，
∴∠DAE＝∠BAC－（∠DAM＋∠EAN）
＝100°－80°＝20°.
线段的垂直平分线
三角形三边的垂直平分线的性质
尺规作图
三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等
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