福建省泉州市2024-2025学年高一（上）期末数学试卷（PDF版，含答案）

福建省泉州市 2024-2025 学年高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 1,0,1,2,3}， = { |0 < ≤ 3}，则 ∩ =( )
A. { 1,0,1,2,3} B. {0,1,2,3} C. {1,2,3} D. {1,2}
2.已知集合 = { |2 ≥ 8}， = { | 2 > 0}，则“ ∈ ”是“ ∈ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.下列函数中，既是奇函数又在[0, ]上单调递增的是( )
2
A. = | | B. = sin C. = cos D. = tan
4.已知 > 0， > 0，2 + = 1，则 的最大值是( )
2 1 1 1
A. B. C. D.
25 12 9 8
5.函数 ( ) = log ( + )( > 0且 ≠ 1)的图象如图所示，则必有( )
A. > 1，1 < < 2 B. 0 < < 1，1 < < 2
C. > 1， 2 < < 1 D. 0 < < 1， 2 < < 1
6.《九章算术》在卷一《方田》题[三五]中提到弧田面积的计算问题.弧田是由圆弧和弦所围成的弓形部分(
如图阴影部分所示).有一弧田的弧长为10，且所在的扇形圆心角为2，则该弧田的面积约为( )(参考数据：
sin1 ≈ 0.8)
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A. 10 B. 12.5 C. 13 D. 26
2 4
7.已知 ∈ ( , )，sin( ) = ，则tan( + ) =( )
3 6 5 3
4 3 4 3
A. B. C. D.
3 4 3 4
log ( + 2), 2 < < 2,
8.若函数 ( ) = { 22 的值域为 ，则 的取值范围是( ) 2 , ≥ 2
1 1
A. [ , 2) B. ( ∞, 2) C. [ , +∞) D. [2, +∞)
2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的是( )
A. 若 > ，则 + > + B. 若 < < 0，则 <
1 1
C. 若 > > 0，则 2 > 2 D. 若 < < 0，则 <

1
10.已知函数 ( ) = sin(2 )，则( )
2 3
A. ( )的最小正周期为

B. ( )在区间(0, )上单调递增
2
√ 3 1
C. ( )在区间(0, )上的取值范围为( , ]
2 4 2
1 3
D. 使得 ( ) ≥ 成立的 的取值集合为{ | + ≤ ≤ + , ∈ }
4 12 4
11.已知函数 ( )对任意 ∈ 都有 ( + 4) + ( ) = (2)，若 = ( 1)的图象关于直线 = 1对称，且
对任意 ， ∈ [ 4,0]，当 ≠ 时，都有 ( ) + ( ) > ( ) + ( )，则( )
A. ( 2) = 0
B. (8) < (12)
C. 直线 = 2是函数 ( ( ))的一条对称轴
D. 若 ( ) = | 4| ( ) 1在区间[ 20,28]上有8个零点，则所有零点的和为32
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.使得 ( ) = + √ 有意义的 的取值集合为 ．

13.写出同时满足下列条件的一个函数的解析式 ( ) = ． ① ( )为幂函数; ② ( )为偶函数; ③ ( )
在区间(0, +∞)上单调递减．
14.在平面直角坐标系 中，已知角 为第一象限角，其终边和单位圆⊙ 的交点 与点 (cos( +
4 4 3
), sin( + ))关于直线 = 对称，则sin( ) = ．
5 5 5
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)计算：lg2 + lg5 ln√ ;
1
(2)计算：273 + 0 4log23;
(3)已知2 = 9，3 = 16，求 的值．
16.(本小题15分)
已知集合 = { | ≥ }，集合 = { |( 1)( 2 ) ≤ 0}．
(1)若 = 1，求 和 ;
(2)若 ∪ = ，求实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
2
已知函数 ( ) = ( ∈ )为奇函数． 3 +1
(1)求实数 ，判断并根据定义证明 ( )的单调性;
(2)求不等式 ( 2 2 ) + ( 2) < 0的解集．
18.(本小题17分)
cos , 0 ,
5
已知函数 ( ) = { 5 其中 ∈ (0, ).
sin + 1, < , 2
2

( )
(1)当 = 时，
(ⅰ)按关键点列表，并画出函数 ( )的简图;
(ⅱ)写出 ( )的单调区间;
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(2)是否存在实数 ，使得 ( )( ≠ )的图象是中心对称图形 若存在，写出 的值并对图象的对称性加以证
明;若不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
函数 ( )和 ( )的定义域分别为 ， ，如果对于 中的任意一个数 ，按照 ( ) = ( )的对应关系，在
中都有且仅有 个确定的数 与之对应，则称 ( )为 ( )的“ 函数”.例如： ( ) = ， = [2,4]， ( ) =
2， = ，则 ( )为 ( )的“2 函数”．
(1)设 ( ) = ， ( ) = 3， = = [1,2]，判断以下两种说法是否正确，并说明理由：
① ( )是 ( )的“1 函数”;
② ( )是 ( )的“1 函数”;
1 1
(2)设 ( ) = + ， = [ , 2]， ( ) = 3sin2 ， = [0,2 ]，判断 ( )是否为 ( )的“ 函数”，若是， 2
求 ;若不是，请说明理由;
1 1 1 6
(3)设 ( ) = + ， = [ , 2]， ( ) = 2 6 + + ， = (0, +∞)，若 ( )为 ( )的“4 函数”，
2 2
求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】{ | > 0}或(0, +∞)
13.【答案】 2(答案不唯一)
√ 2
14.【答案】
2
1 1 1
15.【答案】(1)解：原式= lg(2 × 5) ln 2 = 1 = ；
2 2
(2)解：原式= 3 + 1 22log23 = 4 2log2 9 = 4 9 = 5；
(3)解：由2 = 9，3 = 16，可得 = log29， = log316，
所以 = log29 × log
2 4
316 = log23 × log32 = 2 × 4 × log23 × log32 = 8．
16.【答案】解：(1)当 = 1时， = { |( 1)( 2 ) ≤ 0} = { |( 1)( 2) ≤ 0}，
由( 1)( 2) ≤ 0，解得1 ≤ ≤ 2，
所以 = { |1 ≤ ≤ 2}，
= { | < 1或 > 2};
(2)由 ∪ = 得 ，
( )当2 > 1时， = { |1 ≤ ≤ 2 }，
1 1
因为 ，所以{ ，解得 < ≤ 1；
2 > 1 2
( )当2 = 1时， = { | = 1}，
1 1
因为 ，所以{ ，解得 = ，
2 = 1 2
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( )当2 < 1时， = { |2 ≤ ≤ 1}，
≤ 2 , 1
因为 ，所以{ ，解得0 ≤ < ，
2 < 1. 2
1 1 1
综上所述，实数 的取值范围为即{ |0 < 或 = 或 < 1} = { |0 ≤ ≤ 1}．
2 2 2
2
17.【答案】解：解法一：(1)函数 ( ) =
3
( ∈ )的定义域为 ，因为 ( )为奇函数，
+1
所以 ( ) = ( )，
2 2
所以 = ( )， 3 +1 3 +1
2 2 2 3 2
所以2 =
3
+ = + = 2， +1 3 +1 1+3 3 +1
解得 = 1；
以下用定义证明 ( )是增函数：
任取 1， 2 ∈ ，且 1 < 2，
2 2 2 2 2(3 1 3 2)
则 ( 1) ( 2) = (1 ) (1 ) = 3 1+1 3 2+1 3 2+1 3
= ，
1+1 (3 1+1)(3 2+1)
又因为 = 3 在 上单调递增，且 1 < 2，
所以3 1 < 3 2，故3 1 3 2 < 0，
又(3 1 + 1)(3 2 + 1) > 0，
所以 ( 1) < ( 2)，
所以函数 ( )在 上单调递增；
(2)由 ( 2 2 ) + ( 2) < 0，可得 ( 2 2 ) < ( 2)，
又因为 ( )为奇函数，
所以 ( ) = ( )，
所以 ( 2 2 ) < (2 )，
又函数 ( )在 上单调递增，
所以 2 2 < 2 ，即 2 2 < 0，即( 2)( + 1) < 0，
解得 1 < < 2，
所以不等式 ( 2 2 ) + ( 2) < 0的解集为( 1,2)．
2
解法二：(1)由 (0) = 0即 0 = 0， 3 +1
2 3 1
解得 = 1，此时 ( ) = 1
3
=
+1 3
，
+1
3 1 1 3 3 1
因为 ( ) = =
3 +1 1+3
= = ( )，
3 +1
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所以 ( )为奇函数．
余下同解法一．
18.【答案】解：
(1)(ⅰ)当 = 时，列表如下：
，
描点如图：
；
3 5 3
(ⅱ)由上图可知：单调递增区间为：(0, )，( , )；单调递减区间为：( , )；
2 2 2
5 5 1
(2)存在实数 = ，使得 ( )( ≠ )的图象是中心对称图形；对称中心为( , )，
4 4 2
5 5 5 5
证明：(ⅰ)对于任意 ∈ [0, )， ∈ ( , ]，
4 2 4 2
5 5
所以 ( ) + ( ) = sin( ) + 1 cos = sin( ) + 1 cos = cos + 1 cos = 1；
2 2 2
5 5 5 5
(ⅱ)对于任意 ∈ ( , ]， ∈ [0, )，
4 2 2 4
5 5
所以 ( ) + ( ) = cos( ) + sin + 1 = cos( ) + sin + 1 = sin + sin + 1 = 1，
2 2 2
5 5 1
综上所述，存在实数 = ，使得 ( )( ≠ )的图象关于( , )中心对称，
4 4 2
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如图所示．
19.【答案】解：(1) ①是正确的，因为对 ∈ = [1,2]， ( ) = ∈ [1,2]，
3
按照 ( ) = ( )的对应关系，即 ( ) = 3 = ，所以， = √ ∈ [1,2]，
所以，对 ∈ ，按照 ( ) = ( )的对应关系，
在 中都有且仅有1个确定的数 与之对应所以， ( )是 ( )的“1 函数”，所以， ①正确;
②是错误的，因为当 = 2时， ( ) = (2) = 8，
因为 ( ) = ，按照 ( ) = ( )的对应关系，
此时不存在 ∈ [1,2]，使得 ( ) = 8，所以， ( )不是 ( )的“1 函数”，所以， ②错误．
1
(2) ( ) = + ， 1， 2 ∈ (0, +∞)，且 1 < 2，
1 1 ( )(
( ) ( ) = + = 2 1 1
2 1)
2 1 2 1
，
2 1 1 2
因为 2 1 > 0， 1 2 > 0，
当 1， 2 ∈ (0,1)， 1 2 1 < 0，有 ( 2) ( 1) < 0，
所以， ( )在(0,1)上单调递减;
当 1， 2 ∈ (1, +∞)， 1 2 1 > 0，有 ( 2) ( 1) > 0，
所以， ( )在(1, +∞)上单调增减．
1 1
因为 ∈ [ , 2]，所以， ( )在[ , 1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，
2 2
1 1
所以 ∈ [ , 2]，有 ( ) ∈ [ , 2]．
2 2
因为 ( ) = 3sin2 ，所以 = ，
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问题等价于对于 中的任意一个数 ，关于 的方程 ( ) ( ) = 0在[0,2 ]内都恰有几个解的问题，
5
令 = ( )，则 ∈ [2, ]，
2
5
问题等价于判断对于 ∈ [2, ]，方程3sin2 = 0在[0,2 ]内都恰有几个解，
2
5
记 ( ) = 3sin2 ，因为 ∈ [2, ]，
2

当 ∈ [0, ]， (0) ( ) = (3 ) < 0，
4 4

又 ( ) = 3sin2 在[0, ]单调递增，
4

所以，3sin2 = 在(0, )都恰有1个解;
4

当 ∈ [ , ]， ( ) ( ) = (3 ) < 0，
4 2 4 2

又 ( ) = 3sin2 在[ , ]单调递减，所以，3sin2 = 在( , )都恰有1个解;
4 2 4 2

当 ∈ [ , ]，2 ∈ [ , 2 ]， ( ) = 3sin2 ≤ 0，此时方程 ( ) = 没有解，
2
所以，方程 ( ) = 在 ∈ [0, ]内恰有2个解，
即一个周期内方程都恰有2个解．
所以，方程 ( ) = 在[0,2 ]内恰有4个解，
所以对于 中的任意一个数 ，按照 ( ) = ( )的对应关系，在 中都有且仅有4个确定的数 与之对应，
即 ( )为 ( )的“4 函数”，所以 = 4．
1 5
(3)由(2)可知 ∈ [ , 2]有 ( ) ∈ [2, ].
2 2
2 1 6 1 1 ( ) = 6 + 2 + = ( + )
2 6( + ) + 2，

因为 ( )为 ( )的“4 函数”，即对于 中的任意一个数 ，
按照 ( ) = ( )的对应关系，在 中都有且仅有4个确定的数 与之对应，
1 1 1
即对于 ∈ [ , 2]，关于 的方程( + )2 6( + ) + 2 = ( )都恰有4个解．
2
5 5
令 = ( )，则 ∈ [2, ]，此时问题等价于对于 ∈ [2, ]，
2 2
1 1
关于 的方程( + )2 6( + ) + 2 = 0在(0, +∞)上都恰有4个解，

1
令 = + ，由(2)可知 ≥ 2，

1 1
要使( + )2 6( + ) + 2 = 0在(0, +∞)上都恰有4个解，

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则关于 的方程 2 6 + 2 = 0在(2, +∞)必有2个不同的解，
记 ( ) = 2 6 + 2，
因为 = ( )的对称轴 = 3，
所以，关于 的方程 2 6 + 2 = 0的两根应满足2 < 1 < 3 < 2，
(2) > 0 10 > 0
所以，{ ，即{ ,
(3) < 0 11 < 0
> + 10
即{ ,
< + 11
5
因为 ∈ [2, ]，
2
25
> ( + 10)
所以，{ max
=
2 ,
< ( + 11)min = 13
25
所以 ∈ ( , 13)．
2
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