2024-2025学年广东省佛山市高二上学期1月期末教学质量检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省佛山市高二上学期1月期末教学质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，在斜率为的直线上，则
A. B. C. D.
2.抛物线的焦点到准线的距离为
A. B. C. D.
3.已知双曲线的一条渐近线方程是，虚轴的一个端点坐标为，则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
4.下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是
A. B. C. D.
5.已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
6.甲乙两名同学参加羽毛球单打比赛，比赛规则是局胜制．现通过设计模拟实验估算概率，用，，表示一局比赛甲获胜，用，表示一局比赛乙获胜．利用计算机产生组随机数：


由此估计甲赢得比赛的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知圆和圆都和轴正半轴相切，且圆心都在直线上，半径之差为，则
A. B. C. D.
8.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，则的最小值为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件“第一次正面朝上”，事件“第二次反面朝上”，则
A. 与互斥 B. 与相互独立 C. 与相等 D.
10.如图，为的直径，为上异于，的动点，平面，为的中点，且，，则
A. 的长等于点到直线的距离
B. 为二面角的平面角
C. 当时，与平面所成角为
D. 过作平面平面，则平面与交点的轨迹为椭圆
11.已知抛物线：和椭圆：有相同的焦点，且交于，两点，的准线与交于，两点，则
A. 存在，使为等边三角形
B. 存在，使四边形为正方形
C. 任意，点总在圆：外
D. 任意，椭圆上任一点总在圆：外
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，平面的法向量，点在内，则原点到的距离为__________．
13.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过作斜率为的直线与的右支交于点，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为__________．
14.已知点关于直线的对称点在圆：上，则__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，是圆上的三点，．
判断，，，四点是否共圆，并说明理由；
过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
16.本小题分
如图，在多面体中，平面是边长为的菱形，，，平面，，．
求证：平面；
求平面与平面夹角的大小．
17.本小题分
甲同学参加立定投篮训练活动．规则如下：每投中一球得分，投不进得分．已知甲每次的投篮命中率为，前次投篮全部命中，各次投篮结果相互独立．
求甲投完第次球后得分依旧为分的概率．
若甲最多有次投篮机会，得分不少于分则为优秀．为了使获得优秀的概率最大，甲选择的投篮次数应该是多少次？
18.本小题分
已知抛物线的焦点为，直线：，其中，直线与抛物线有且只有一个公共点，直线交抛物线于另一个点．
当时，求的值；
求面积的取值范围．
19.本小题分
已知长为的线段的两个端点、分别在轴和轴上滑动，且．
求动点的轨迹方程；
记，动点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于、两点，分别过点、作轴和轴的垂线交于点，求证直线恒过定点，并求该定点坐标．
参考答案
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15.解：设圆的方程为，
将，，三点的坐标代入，得
解得
所以圆的方程为，
将代入得，
所以点在圆上，
所以，，，四点共圆；
由知圆的方程为，圆心，半径，
设直线被圆截得的弦长为，则，
即，
所以，
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，满足题意
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，解得，
所以直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
16.证明：由题意，，
所以．
因为平面是边长为的菱形，，
所以是的中点，
所以，
在梯形中，因为平面，
平面，所以，
因为，，
，，
得，，，
所以，
所以，
因为，，在平面内，
所以平面；
解：以为坐标原点，为轴，为轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
所以，得，
取，可得，
同理可得平面的一个法向量为，
所以，，
故平面与平面的夹角为．

17.解：依题意，记“接下来第次投中”，，，，，
“甲投完第次球后甲得分为分”，
则，且与互斥，
根据概率的加法公式和事件独立性定义，
得
记“甲再投一次优秀”，则，故，
记“甲再投两次优秀”，则，
故，
记“甲再投三次优秀”，则，
则
，
记“甲再投四次优秀”，
则
，
，
故，
因此应该选择投篮次或次．
18.解：当时，由：，与联立，
消去，整理可得，
因为直线与抛物线有且只有一个公共点，
所以，解得．
因为，所以，得．
注意到点坐标为，所以轴，点坐标为，
故弦长．
由：，与联立，
消去，整理可得，
因为直线与抛物线有且只有一个公共点，
所以，
所以，
当时，
则直线的方程为，即，
与联立，
消去，整理可得，
设的坐标为，
则，所以，
所以的纵坐标为，
所以面积为，
因为，且，故，
从而
所以面积的取值范围为．
当时，由得，，
所以．
19.解：由题可设，，，
因为，所以，则，
解得，，
又，可得，即，化简得，
所以动点的轨迹方程为．
当直线不垂直轴时，
由题可设直线的方程为，，，
联立消去得，，整理可得．
则，可得或，
由韦达定理可得，．
因为，，过作轴垂线，过作轴垂线交于点，所以，
则直线的方程为，
由对称性可得，若恒过定点，则可猜想定点在轴上，
令，则，可得，
又，所以，
由，，可得，
则，
可得．
所以直线恒过定点．
当直线垂直轴时，直线过定点．
综上所述，直线恒过定点．
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