7.3.1 离散型随机变量的均值 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
7.3.1 离散型随机变量的均值
学习目标
1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量
的均值.
2.理解离散型随机变量均值的性质.
3.掌握两点分布的均值.
4.会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题．
新知引入
新知引入
公司 极好 好 一般
x 3 500 3 000 2 200
y 3 900 2 950 2 500
z 4 000 3 000 2 500
探究
有三家公司为大学毕业生甲提供应聘机会，按面试的时间顺序，这三家公司分别记为x，y，z，每家公司都可提供极好、好和一般三种职位．每家公司根据面试情况决定给求职者何种职位或拒绝提供职位．按规定，双方在面试后要立即做出决定提供、接受或拒绝某种职位，且不能毁约．咨询专家在为甲的学业成绩和综合素质进行评估后，认为甲获得极好、好和一般的可能性依次为0.2,0.3和0.4.
三家公司的工资承诺如表.
如果甲把工资作为首选条件，那么甲在各公司面试时，对该公司提供的各种职位应作何种选择？
新知引入
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公司 极好 好 一般
x 3 500 3 000 2 200
y 3 900 2 950 2 500
z 4 000 3 000 2 500
探究
18元/千克
24元/千克
36元/千克
方案1：按照糖果的最高价格定价，所以定价为36元/千克.
方案2：按照这三种糖果的平均价格定价，所以定价为 元/千克.
方案3：按照这三种糖果的加权平均价格定价，所以定价为
元/千克
哪种方案更合理？
思考
某商场如果把这三种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，那么如何对糖果定价才比较合理呢？
即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.
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探究
问题1：甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示：
如何比较他们射箭水平的高低呢？
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为：
甲n次射箭射中的平均环数
两组数据的比较,首先比较击中的平均环数,如果平均环数相等，再看稳定性.
当n足够大时，频率稳定于概率，所以稳定于
=7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9
同理，乙射中环数的平均值为7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65
从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
知识提炼
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称
为随机变量X的 均值 或 数学期望， 数学期望简称 期望.
权数
加权平均数
例1
在蓝球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？
思路点拨
罚球有命中和不中两种可能结果，命中时 X=1，不中时 X=0，因此随机变量 X 服从两点分布，X 的均值反映了该运动员罚球 1 次的平均得分水平.
解：因为
所以
即该运动员罚球1次的得分的均值是.
一般地，如果随机变量服从两点分布，
那么
典例解析
练习1
在一次数学竞赛中共有三道题,答对一题得1分,如果某位参赛选手做对每道题的概率均为0.6,那么他做一题得分X 的均值是多少
解（方法1）：因为
所以
即该运动员罚球1次的得分的均值是.
（方法2）：做一道题有命中和不中两种可能结果，命中时 X=1，不中时 X=0，因此随机变量 X 服从两点分布
因为 所以 即该运动员罚球1次的得分的均值是.
例2
抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为，求的均值.
思路点拨
先求出X的分布列，再根据定义计算X的均值．
解：由题意得，X 的所有取值为：1，2，3，4，5，6，则
即点数 X 的均值是3.5.
所以X 的分布列为：
X 1 2 3 4 5 6
P
典例解析
练习2
某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X 的分布列和X 的均值．
解：X 的取值分别为1,2,3,4.
X=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6.
X＝2，表明李明第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
X＝3，表明李明第一、二次考试未通过，第三次通过了，
故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，
故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
练习2
某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X 的分布列和X 的均值．
所以李明一年内参加考试次数 X 的分布列为
所以 X 的均值为 E(X )＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.
知识提炼
（1）根据随机变量 X 的实际意义，写出 X 的全部取值；
（2）求出 X 的每个值的概率；
（3）写出 X 的分布列；
（4）利用定义求出均值.
可 省 略
求离散型随机变量ξ的均值的步骤
其中第（1）（2）两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重应用概率的相关知识．
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探究
掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数 X 的均值为3.5. 随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数. 根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图(1)和(2)所示. 观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？
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①区别:随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本的不同而变化；
②联系:对于简单随机样本，随着样本容量的增加样本的平均值越来越接近于总体的均值. 因此我们常用样本的平均值估计总体的均值.
观察图(1)可以发现：在这12组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数X的均值3.5附近波动，且重复掷300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的.
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探究
如果X是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化 即E(X＋b)和E(aX)(其中a, b为常数)分别与E(X)有怎样的关系
设X的分布列为
根据随机变量均值的定义，
类似地，可以证明
一般地，结论 成立
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(2)当a=1时, E(X+b)=E(X )+b.
离散型随机变量的均值的性质：
即随机变量X 的线性函数的均值等于这个随机变量的均值E(X )的同一线性函数.
(1)当a=0时, E(b)=b.
(3)当b=0时,E(aX )=aE(X ).
若X, Y 是两个随机变量, 且Y=aX+b, 则有
E(Y )=aE(X )+b,
练一练
判断正误.
(1)随机变量的数学期望是个变量，其随的变化而变化.( )
(2)随机变量的均值与样本的平均值相同.( )
(3)随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近总体平均值.( )
(4)若随机变量的数学期望，则.( )
(5)若随机变量的数学期望，则.( )
√
√
√
×
×
规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值．
例3
猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示
规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值．
思路点拨
根据规则，公益基金总额X的可能取值有四种情况：
猜错A，获得0元基金； 猜对A而猜错B，获得1000元基金；
猜对A和B而猜错C，获得3000元基金； A，B，C全部猜对，获得6000元基金．
因此X是一个离散型随机变量．利用独立条件下的乘法公式可求分布列．
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金额/元 1000 2000 3000
典例解析
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解：分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，则A，B，C相互独立．
X的分布列如表所示．
X 0 1000 3000 6000
P 0.2 0.32 0.288 0.192
如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？
练习3
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三、等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为
(1)求的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
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解(1)：的所有可能取值有6，2，1，-2，
故的分布列为：
6 2 1 -2
0.63 0.25 0.1 0.02
(2)：(万元).
(3)：设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为
，
依题意，，即，解得，所以三等品率最多是.
规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值．
例4
根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：
方案1 运走设备，搬运费为3800元；
方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；
方案3 不采取措施．
工地的领导该如何决策呢？
典例解析
思路点拨
决策目标为总损失（投入费用与设备损失之和）越小越好．根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如表所示．
天气状况 大洪水 小洪水 没有洪水
概率 0.01 0.25 0.74
总损失/元 方案1 3800 3800 3800
方案2 62000 2000 2000
方案3 60000 10000 0
方案2和方案3的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案．
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解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为.
采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元.因此，
于是，，，
.
因此，从期望损失最小的角度，应采取方案 2.
采用方案2，遇到大洪水时，总损失为元；没有大洪水时，总的损失为元. 因此，，.
采用方案3，，
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值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的.
一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”：如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到最小.
不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的.
练习4
体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病.已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且各体检人是否患有该疾病互相独立.现有5位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案：
方案甲：逐个检查每位体检人的血液；
方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束.
(1)哪种化验方案更好？
(2)如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用.
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解(1)：方案甲中，化验的次数一定为5次.方案乙中，若记化验次数为，则的取值范围是.因为5人都不患病的概率为，所以
，.从而.
这就是说，方案乙的平均检查次数不到5次，因此方案乙更好.
(2)：若记方案乙中，检查费用为元，则，从而可知
.
即方案乙的平均化验费用为元.
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公司 极好 好 一般
x 3 500 3 000 2 200
y 3 900 2 950 2 500
z 4 000 3 000 2 500
探究
有三家公司为大学毕业生甲提供应聘机会，按面试的时间顺序，这三家公司分别记为x，y，z，每家公司都可提供极好、好和一般三种职位．每家公司根据面试情况决定给求职者何种职位或拒绝提供职位．按规定，双方在面试后要立即做出决定提供、接受或拒绝某种职位，且不能毁约．咨询专家在为甲的学业成绩和综合素质进行评估后，认为甲获得极好、好和一般的可能性依次为0.2,0.3和0.4.
三家公司的工资承诺如表.
如果甲把工资作为首选条件，那么甲在各公司面试时，对该公司提供的各种职位应作何种选择？
新知引入
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解：设公司 x、公司 y、公司 z 的工资期望分别为.
公司 x，
因此，从工资的角度，甲应选择公司 z.
公司 y,，
公司 z,，
课堂小结
1. 离散型随机变量的均值：
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称
为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望.
2. 均值的性质：
3. 随机变量X服从两点分布，则有
4.求离散型随机变量均值的步骤：
(1)确定随机变量取值
(2)求概率
(3)写分布列
(4)求均值
随堂练习
1. 已知离散型随机变量X的分布列如表，则X的数学期望E(X)=( )
A. 1 B. 1.5 C. 2.5 D. 1.7
D
X 1 2 3
P 0.4 0.5 0.1
2．已知Y＝5X＋1，E(Y)＝6，则E(X)的值为（ ）
A．1.2 B．5 C．1 D．31
C
3．某船队若出海后天气好，可获得5000元；若出海后天气坏，将损失2000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是(　　)
A．2 000元 B．2 200元 C．2 400元 D．2 600元
B
随堂练习
4．某运动员射击一次所得环数X的分布列如表，现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为Y．
（1）求该运动员两次命中的环数相同的概率；
（2）求Y的分布列和数学期望EY．
X 8 9 10
P 0.4 0.4 0.2
解：（1）两次都命中8环的概率为P1=0.4 x 0.4 = 0.16；两次都命中9环的概率为P2=0.4 x 0.4 = 0.16；两次都命中10环的概率为P3=0.2 x 0.2 = 0.04，则该运动员两次命中的环数相同的概率为P=P1+P2+P3=0.16+0.16+0.04=0.36.
（2）Y的可能取值为8，9，10 ，则P(Y=8)=0.4 x 0.4 = 0.16
P(Y=9)=2 x 0.4 x 0.4 + 0.4 x 0.4 = 0.48
P(Y=10)=1-P(Y=8)-P(Y=9)=0.36 ，则Y的分布列为：
Y 8 9 10
P 0.16 0.48 0.36
E(Y)=8 x 0.16 + 9 x 0.48 + 10 x 0.36 = 9.2
课时作业
作业
1.《选择性必修第三册》 P67“练习” 3；
2.《选择性必修第三册》 P71“复习巩固” 1，2，3；
*3.从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球，2个黄球的箱中随机地取出2个球，规定每取出1个北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，已知每位参加笔试的人员测试能否合格是相互独立的.若甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题.求：
（1）甲、乙两人至多一人测试合格的概率；
（2）甲答对的试题数X的分布列和数学期望.
课时作业
*3.北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，已知每位参加笔试的人员测试能否合格是相互独立的.若甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题.求：
（1）甲、乙两人至多一人测试合格的概率；
（2）甲答对的试题数X的分布列和数学期望.
课时作业
解:（1）根据题意，甲测试合格的概率为 ，
乙测试合格的概率为 ，
故甲、乙两人都测试合格的概率为 ，
则甲、乙两人至多一人测试合格的概率为 ．
（2）由题可知，甲答对的试题数 的所有可能取值为0， ， ， ，
，
，
课时作业
，
，
故 的分布列为
0 1 2 3

则 的数学期望 ．