7.3.2 离散型随机变量的方差 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
7.3.2 离散型随机变量的方差
学习目标
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.
3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．
1. 离散型随机变量的均值：
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称
为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望.
2. 均值的性质：
3. 随机变量X服从两点分布，则有
4.求离散型随机变量均值的步骤：
(1)确定随机变量取值
(2)求概率
(3)写分布列
(4)求均值
期望反映了随机变量取值的平均水平或分布的 “集中趋势”．
复习引入
公司 极好 好 一般
x 3 500 3 000 2 200
y 3 900 2 950 2 500
z 4 000 3 000 2 500
探究
从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如表所示．
X 6 7 8 9 10 Y 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
如何评价这两名同学的射击水平？应该派哪位同学参加比赛？
经过计算，E(X)= 8 ;E(Y)=8，因为两个均值相等，所以均值不能区分这两名同学的射击水平。
怎么区别两名同学的射击水平？
思考
新知引入
思路点拨
评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度．
比较 X 和 Y 的概率分布图，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定．
O
6
7
8
10
9
P
0.1
0.2
0.3
0.4
O
6
7
8
10
9
P
0.1
0.2
0.3
0.4
怎么从数据上反映乙同学射击成绩更稳定？
思考
知识点拨
探究
怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度
方差
样本的方差 ：
随机变量的方差
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
离散型随机变量
的分布列如表所示
知识点拨
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称
为随机变量 X 的方差， 有时也记为Var(X)，并称 为随机变量 X 的标准差，记为σ(X).
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
新知引入
新知学习
探究
如果离散型随机变量X 服从两点分布，则 D(X)=？
一般地，如果随机变量服从两点分布， 那么
所以 D(X) = (0 - p)2 (1 - p) + (1 - p)2 p = p (1 - p)
新知引入
新知引入
公司 极好 好 一般
x 3 500 3 000 2 200
y 3 900 2 950 2 500
z 4 000 3 000 2 500
探究
从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如表所示．
X 6 7 8 9 10 Y 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
如何评价这两名同学的射击水平？应该派哪位同学参加比赛？
已知：E(X)= 8 ；E(Y)=8
所以 D(X)=(6-8)2×0.09+(7-8)2×0.24+(8-8)2×0.32+(9-8)2×0.28+（10-8)2×0.07 = 1.16
D(Y)=(6-8)2×0.07+(7-8)2×0.22+(8-8)2×0.38+(9-8)2×0.30+（10-8)2×0.03 = 0.92
D(X)>D(Y)
结合随机变量X、Y的概率分布图，可得随机变量Y的取值相对更集中即乙同学的射击成绩相对更稳定.
新知引入
新知学习
探究
方差的大小如何反映离散型随机变量取值的离散程度
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.
方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论.
证明：
新知引入
新知学习
探究
如果X是一个离散型随机变量，X 加一个常数或乘一个常数后，其方差会怎样变化 即 D(X＋b) 和 D(aX) (其中a, b为常数)分别与D(X)有怎样的关系 它们和期望的性质有什么不同？
离散型随机变量加上一个常数， 其均值也相应加上常数 ，故不改变与其均值的离散程度， 方差保持不变.
D(X+b)=D(X)
新知引入
新知学习
探究
如果X是一个离散型随机变量，X 加一个常数或乘一个常数后，其方差会怎样变化 即 D(X＋b) 和 D(aX) (其中a, b为常数)分别与D(X)有怎样的关系 它们和期望的性质有什么不同？
而离散型随机变量X乘以一个常数 , 其方差变为原方差的倍
方差的性质：
一般地，可以证明下面的结论成立：
D(aX)=a2D(X)
知识说明
2.标准差和随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方；
1.随机变量 X 的方差 D(X) 是数值，是随机变量的一个重要特征数；
　　3. (xi－E(X) )2 描述了xi (i=1，2，…，n)相对于均值E(X) 的偏离程度，而 D (X) 是上述
偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量X与其均值E(X) 的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于平均值的平方程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即方差或标准差越小数据越集中．
知识说明
　　4.随机变量方差和样本方差的区别和联系
　　①区别：随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量.
　　②联系：对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差，因此，我们常用样本的方差来估计总体的方差.
5.离散型随机变量的方差的性质
　　若X，Y是两个随机变量，且Y=aX+b，a，b为常数，方差为D(X)，则
　　(1) 当a=0时， D(Y)=0．
　　(2)当a=1时， D(Y)= D(X+b)= D(X)．
　　(3)当b=0时， D(Y)= D(aX)=a2D(X) ．
　　(4)方差公式的变形： D(X)= E(X2) –[E(X) ]2 ．
练一练
　1.已知X的分布列如表:
　　(1)求 X2 的分布列；
　　(2)计算 X 的方差；
　　(3)若 Y=4X+3,求Y的均值和方差.
X ﹣1 0 1
P a
解：（1）由分布列的性质知，故.
从而 X 2 的分布列为
X 0 1
P
练一练
　1.已知X的分布列如表:
　　(1)求 X2 的分布列；
　　(2)计算 X 的方差；
　　(3)若 Y=4X+3,求Y的均值和方差.
X ﹣1 0 1
P a
　　解：(2) 方法一：由(1)知　　，所以X的数学期望E(X) = .
故D(X) = .
　解：(2) 方法二：由(1)知 　　， 所以X的数学期望E(X) = .
故 X2的数学期望E(X2) = ，
所以X的方差D(X) = E(X2) –[ E(X) ]2 = .
练一练
　1.已知X的分布列如表:
　　(1)求 X2 的分布列；
　　(2)计算 X 的方差；
　　(3)若 Y=4X+3,求Y的均值和方差.
X ﹣1 0 1
P a
　　解：(3)因为随机变量Y=4X+3，
所以 E(Y )=4E(X)+3=2，D(Y )= 42 D(X )=11.
解：随机变量X 的分布列为
例1
拋掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数 X 的方差．
典例解析
解2：随机变量X的分布列为
(1)写分布列
(2)求均值E(X)
(3)求方差D(X)
说明: 方差的计算需要一定的运算能力，在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式
D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失为一种比较实用的方法．
例1
拋掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数 X 的方差．
典例解析
练习1
两封信随机投入三个空邮箱中，则邮箱的信件数的方差.
解：的所有可能取值为 0，1，2，
所以
所以，
.
解题技巧
求离散型随机变量的方差的一般步骤
(1)理解的意义，明确其可能取值；
(2)判定是否服从特殊分布(如两点分布等)，若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；
若不服从特殊发布则继续下面步骤；
(3)写取每个值的概率；
(4)写出的分布列，并利用分布列性质检验；
(5)根据方差定义求.
例2
投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示.
股票A收益的分布列
股票B收益的分布列
收益X /元 －1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
收益Y /元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
投资哪种股票的期望收益大 (2) 投资哪种股票的风险较高
思路点拨
股票投资收益是随机变量，期望收益就是随机变量的均值．投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下，可以用收益的方差来度量它们的投
资风险高低，方差越大风险越高，方差越小风险越低．
典例解析
新知学习
∵E(X)>E(Y), ∴投资股票A的期望收益较大.
解：(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为
E(X)=(-1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1,
E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1.
因为 E(X) 和 E(Y) 相差不大，且 D(X)>D(Y), 所以投资股票A比投资股票B的风险高.
(2)股票A和股票B投资收益的方差分别为
D(X)=(-1)2×0.1+02×0.3+22×0.6 1.12=1.29,
D(Y)=02×0.3+12×0.4+22×0.3 12=0.6.
在实际中，可以选择
适当的比例投资两种股
票，使期望收益最大或风
险最小．
在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，使期望收益最大或风险最小．
练习2
甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差X和Y(单位: cm)的分布列如下:
甲班的目测误差分布列
X －2 －1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断.
乙班的目测误差分布列
Y －2 －1 0 1 2
P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05
解：
∴ X的分布离散程度较大.
知识解读
随机变量的方差是一个重要的数字特征,它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度,或者说反映随机变量取值的离散程度.
在不同的实际问题背景中,方差可以有不同的解释----
（1）如果随机变量是某项技能的测试成绩,那么方差的大小反映了技能的稳定性;
（2）如果随机变量是加工某种产品的误差,那么方差的大小反映了加工的精度;
（3）如果随机变量是风险投资的收益,那么方差的大小大小反映了投资风险的高低.
决策问题
课堂小结
1.离散型随机变量的方差：
2.方差与标准差的性质：
标准差: ，记为σ(X).
方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
3.若 X 服从两点分布，则
4.求离散型随机变量X 的方差、标准差的一般步骤：
①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值;
②求X取各个值的概率，写出分布列；
③根据分布列，由期望的定义求出 E(X )；
④根据方差、标准差的定义求出 、
随堂练习
B
D
随堂练习
3.甲()、乙()两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别如下表：
试评定这两个保护区的管理水平.
解：甲保护区违规次数的数学期望和方差为，，
乙保护区违规次数的数学期望和方差为，，
因为，，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定.
3
课时作业
作业
1.《选择性必修第三册》 P70“练习” 1,2,3；
2.《选择性必修第三册》 P71“综合运用” 7；
*3.设E(X)=u，a 是不等于u的常数，探究X相对于u 的偏离程度与X相对于a的偏离程度的大小关系，并说明结论的意义.
课时作业
解：由，得
因为，所以
说明当用 作为随机变量 X 相对于a 偏离程度的度量时，随机变量 X 相对于其均值的偏离程度最小.
*3.设E(X)=u，a 是不等于u的常数，探究X相对于u 的偏离程度与X相对于a的偏离程度的大小关系，并说明结论的意义.