7.5 正态分布 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
7.5 正态分布
1.通过误差模型,知道服从正态分布的随机变量是连续型.
2.通过具体实例等,了解正态分布的特征.
3.识别参数对密度曲线的影响,并能解决简单的实际问题.
正态曲线与正态分布的历史渊源
早在1734 年，法国数学家棣莫弗（A.DeMoivre，1667～1754）在研究二项概率的近似计算时，已提出了正态密度函数的形式，但当时只是作为一个数学表达式.
直到德国数学家高斯（C.F.Gauss，1777～1855）提出“正态误差"的理论后，正态密度函数才取得“概率分布”的身份．因此，人们也称正态分布为高斯分布.
法国数学家棣莫弗(1667~1754) 德国数学家高斯(1777~1855)
现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.
离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述：
两点分布、超几何分布、二项分布等
连续型随机变量的概率分布规律用什么来描述？
人的身高、体重、肺活量；电视机的寿命；小麦的株高、穗长、单位面积产量；零件的尺寸；某地每年7月的平均气温、降水量；居民的月均用水量……
问题 自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g. 由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量). 用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量. 检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X (单位: g) 的观测值如下:
-0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.1 4.4 0.9
-2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2
0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.6 -1.9 1.7 2.6 0.4
2.6 -2.0 -0.2 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1
2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.3 -1.8 0.0 2.5
3.5 -4.2 -1.0 -0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 -0.6
-4.4 -1.1 3.9 -1.0 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7
-0.5 -0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6
2.2 0.3 4.8 -0.8 -3.5 -2.7 3.8 1.4 -3.5 -0.9
-2.2 -0.7 -1.3 1.5 -1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7 -0.9
(1)如何描述这100个样本误差数据的分布？
根据已学的统计知识，可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布。
（1）求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)
（2）决定组距与组数（将数据分组）
（3）将数据分组
画频率分布直方图的一般步骤为:
（4）列出频率分布表.(填写频率/组距一栏)
（5）画出频率分布直方图.
组距：指每个小组的两个端点的距离，
组数：将数据分组，当数据在100个以内时， 按数据多少常分5-12组.
(1)如何描述这100个样本误差数据的分布？
可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如图所示.
观察图形可知：误差观测值有正有负，并大致对称地分布在X=0的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁.
随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线.
频率分布折线图
光滑的钟形曲线
其中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，
所有小矩形的面积之和为1.
(2)如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布？
随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线，如图(3)所示.
频率/组距
X
-6
0
-4
-2
0
0.15
0.05
图 (2)
0.10
0.20
4
2
6
根据频率与概率的关系，可用图(3)中的钟形曲线(曲线与水平轴之间的区域的面积为1)来描述袋装食盐质量误差的概率分布.
例如，任意抽取一袋食盐，误差落在[-2, -1]内的概率，可用图中黄色阴影部分的面积表示.
P
X
-6
0
-4
-2
0
0.15
0.05
图 (3)
0.10
0.20
4
2
6
思考1：由函数知识可知，图(3)中的钟形曲线是一个函数. 那么，这个函数是否存在解析式呢
在数学家的不懈努力下，找到了以下刻画随机误差分布的解析式:
其中μ∈R，σ>0为参数.
其中（E（X）= m ， D（X）= s 2）
P
X
-6
0
-4
-2
0
0.15
0.05
图 (3)
0.10
0.20
4
2
6
正态分布
P
X
-6
0
-4
-2
0
0.15
0.05
图 (3)
0.10
0.20
4
2
6
其中μ∈R，σ>0为参数.
显然，对任意的x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.
特别地，当μ=0, σ=1时，称随机变量X
服从标准正态分布.
y
0
1
2
-1
-2
x
-3
3
μ=0
σ=1
我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X
服从正态分布，记为X~N(μ, σ2).
100个数据(食盐质量误差)
100个数据的频率分布直方图轮廓
n(n>>100)个数据的频率分布直方图轮廓
接近一条光滑的钟型曲线
正态密度曲线
思考2：正态分布曲线是如何刻画随机变量的概率分布的呢？
若X~N(μ，σ2)，则如右图所示，
面积即为概率！
X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，
而P(a≤X≤b)为区域B的面积.
f (x)
x
μ
a
A
图 (4)
B
x
b
O
思考3： 观察正态曲线及相应的密度函数,你能发现正态曲线的哪些特点
f (x)
x
μ
a
A
图 (4)
B
x
b
O
其中μ∈R，σ>0为参数.
由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线有以下特点:
①曲线在轴上方，当||无限增大时，曲线无限接近x轴；
②曲线是单峰的，关于直线对称.
③曲线在处达到峰值为.
④曲线与轴间的区域面积为1 P(<)=P(≥)=0.5.
思考4：一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响 它们反映正态分布的哪些特征
(1).当参数取定值时，观察对正态分布的曲线。
3
1
2
σ=0.5
μ=-1
μ=0　
μ=1
由于正态曲线关于x=μ对称，因此，当参数σ固定时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，
故μ称为位置参数
所以参数μ反映了正态分布的集中位置，可以用均值来估计，故有E(X)=μ.
(2)当参数取定值时，观察对正态曲线的影响
μ=0　

=0.5
=1
=2
当μ固定时，因为正态曲线的峰值与σ成反比，而且对任意的σ>0，正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1.
σ越大，曲线越“矮胖”，
表示总体的分布越分散；
σ越小，曲线越“瘦高”，
表示总体的分布越集中.
所以σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度，可以用标准差来估计，故有D(X)=σ2.
故称为形状参数
思考4：一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响 它们反映正态分布的哪些特征
(1) 曲线在x轴的上方，与x轴不相交；
(3) 曲线与x轴之间的面积为1；
(4) 当μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
(5) 参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度.
在实际问题中，参数μ, σ可以分别用样本均值和样本标准差来估计，故有
(2) 曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，
且在x=μ处取得最大值 ；
f (x)
x
μ
a
A
B
x
b
O
正态曲线的性质：
归纳总结
1.如图所示，是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差．
例.李明上学有时坐公交车, 有时骑单车, 他各记录了50次坐公交车和骑单车所花的时间, 经数据分析得到: 坐公交车平均用时30min, 样本方差为36; 骑单车平均用时34min, 样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.
(1)估计X，Y的分布中的参数；
(2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线；
解：(1)随机变量X的样本均值为30，样本标准差为6，
随机变量Y的样本均值为34，样本标准差为2，
用样本均值估计参数μ，用样本标准差估计参数σ，
可得X~N(30，62)，Y~N(34，22).
例题讲解
例题讲解
例.李明上学有时坐公交车, 有时骑单车, 他各记录了50次坐公交车和骑单车所花的时间, 经数据分析得到: 坐公交车平均用时30min, 样本方差为36; 骑单车平均用时34min, 样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.
(1)估计X，Y的分布中的参数；
(2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线；
X和Y的分布密度曲线绘图如下：
(1)X~N(30，62)，Y~N(34，22).
若有38 min可用，则骑单车不迟到的概率大，应选择骑单车；
若只有34 min可用，则坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车.
(3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.
由图知，P(X≤38)P(Y≤34).
例题讲解
例.李明上学有时坐公交车, 有时骑单车, 他各记录了50次坐公交车和骑单车所花的时间, 经数据分析得到: 坐公交车平均用时30min, 样本方差为36; 骑单车平均用时34min, 样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.
(1)估计X，Y的分布中的参数；
(2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线；
正态曲线下的面积规律：
-x1 -x2 x2 x1

a
-a
正态曲线下对称区域的面积相等
对应的概率也相等
利用“对称法”求正态分布下随机变量在某个区间的概率
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
4
μ=1
0.5
1-a
a
1-a
1-2a
1. 若X～N(2, 32)，则E(X)=______，D(X)=_______.
2
9
3
2
2. X～N(μ, σ2)，若E(X)=3， σ(X)=2，则μ=______， σ=______.
3.若X～N(1, σ2)，且P(X<0)=a，则
(1) P(X>1)=_______；
(2) P(X>0)=______；
(3) P(X>2)=______；
(4) P(X<2)=______；
(5) P(0(6) P(00.5-a
正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.
在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.例如，某些物理量的测量误差，某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等，一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量，自动流水线生产的各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容)，某地每年7月的平均气温、平均湿度、降水量等，一般都近似服从正态分布.
正态曲线的应用
假设X~N(μ, σ2)，可以证明: 对给定的k∈N*，P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.
由此看到，尽管正态变量的取值范围是(-∞, +∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ-3σ, μ+3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中, 通常认为服从于正态分布N(μ, σ2)的随机变量X只取[μ-3σ, μ+3σ]中的值, 这在统计学中称为3σ原则.
3σ原则
1.设随机变量X～N(0,1)，则X的密度函数为_______________,
P(X≤0)=_________，P(|X|≤1)=________,
P(X<1)=_________，P(X>1)=________.(精确到0.0001.)
0.5
0.6827
0.8414
0.1586
方法：把普通的待求区间向(μ σ，μ+σ)，(μ 2σ，μ+2σ)，(μ 3σ，μ+3σ)这三个区间进行转化，然后利用3个特殊概率、0.5、1等求出相应概率.
正态曲线和3σ原则的应用
(1)利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的区域的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与μ, σ进行对比联系，确定它们属于[μ－σ, μ＋σ]，[μ－2σ, μ＋2σ]，[μ－3σ, μ＋3σ]中的哪一个.　
正态分布下两类常见的概率计算
归纳总结
2.某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170,5 )，随机选择一名本市高二年级的男生，求下列事件的概率：
(1)P(165(2)P(X≤165)=__________
(3)P(X>175)=__________
0.6827
0.15865
0.15865
3.袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格.假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4，请你估计这批袋装食盐的合格率.
解：误差X~N(0,2 ),则食盐的合格率为P(≤4)=P(-4≤X≤4)=95.45%
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ, σ2). 特别地，当μ=0, σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.
1. 正态分布：
正态密度函数：
2.特殊区间的概率：