7.2 正弦、余弦（第2课时） 同步课件(共34张PPT)2024-2025学年九年级数学下册（苏科版）

(共34张PPT)
7.2 正弦、余弦（2）
第2课时　用正弦、余弦解决问题
学习目标
1. 会利用直角三角形的三边关系求直角三角形中锐角的正弦、余弦值；
2.理解直角三角形中两个锐角的正弦、余弦之间的关系；
3.能利用三角函数解决简单的直角三角形问题.
知识回顾
如何表示直角三角形中一个锐角的正弦和余弦？
锐角的正弦值、余弦值随锐角的变化是如何变化的？
知识回顾
三
角
函
数
正弦
正切
余弦
sinA＝＝
cosA＝＝
tanA＝＝
A
B
C
斜边c
对边a
邻边b
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5. 求sinA、cosA、sinB、cosB的值.
B
A
C
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AB＝＝＝13.
根据正弦、余弦的定义，得
sinA＝＝，cosA＝＝，
sinB＝＝，cosB＝＝.
例题讲解
观察与思考
在Rt△ABC(∠C＝90°)中，sinA与cosB、cosA与sinB的值有什么关系
归纳与总结
∵ sinA＝＝ ，cosA＝＝ ，
sinB＝＝ ，cosB＝＝ .
∴ sinA＝cosB， cosA＝sinB.
A
B
C
斜边c
对边a
邻边b
在Rt△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则sinA＝cosB，cosA＝sinB.
例题讲解
例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，求cosA和tanA的值.
解：在Rt△ABC中，sinA＝，
设BC＝2a，则AB＝3a，
根据勾股定理，得
AC＝＝ .
根据余弦、正切的定义，得
cosA＝＝＝，tanA＝＝.
拓展与延伸
1. sinA与cosA有什么关系？
sin2A＋cos2A＝＋＝＝＝1.
2. tanA与sinA、cosA有什么关系？
tanA＝＝ ＝.
A
B
C
斜边c
对边a
邻边b
归纳与总结
同一锐角的三角函数之间的关系：
（1）sin2A＋cos2A＝1；
（2）tanA＝ .
A
B
C
斜边c
对边a
邻边b
新知巩固
（1） sinα＝，则cosα＝____，tanα＝____，
（2） cosα＝，则sinα＝____，tanα＝____，
（3） tanα＝，则sinα＝____，cosα＝____.
1. 已知α为锐角：
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，则sinB=______，cosB＝____，tanB＝____，sin2Bcos2B＝_____.
B
A
C
2
4
2
2
1
新知巩固
例3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，BC＝6. 求AB的长（精确到0.01）.
解：由题意知，sinA＝，
则AB＝＝ .
用计算器计算，得AB≈23.18.
例题讲解
新知巩固
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AB＝＝＝10.
根据正弦、余弦的定义，得
sinA＝＝，cosA＝＝，
sinB＝＝，cosB＝＝.
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6. 求sinA、cosA、sinB、cosB的值.
新知巩固
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝68°，AB＝4. 求BC、AC的长
（精确到0.01）.
解：由题意知，sinA＝，cosA＝，
用计算器计算，得
BC＝AB×sinA＝4×sin68°＝4×sin68°≈3.71，
AC＝AB×cosA＝4×cos68°＝4×cos68°≈1.50.
新知巩固
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC. 求
(1) cosA；
B
A
C
解：(1)设AC＝BC＝k.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AB＝＝＝k.
cosA＝＝＝.
新知巩固
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC. 求
(2) 当AB＝4时，求BC的长.
B
A
C
解：(2) 由(1)得cosA＝＝，
∵AB＝4，
∴AC＝4×＝2，
∴BC＝＝ .
新知巩固
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果cosA＝，求sinA.
解：在Rt△ABC中，cosA＝，
设AC＝3a，则AB＝5a，
根据勾股定理，得
BC＝＝ 4a.
根据正弦的定义，得
sinA＝＝＝.
利用直角三角形的三边关系求正弦、余弦值
正弦、余弦的简单应用
课堂总结
互余两角的正弦和余弦的关系
当堂检测
基础过关
1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝h，∠A＝α，则AB的长为 (　　)
A. h·cosα　　 B.
C. h·sinα　 D.
D
B
A
C
h
α
当堂检测
基础过关
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式子一定成立的是(　　)A．sinA＝sinB B．cosA＝cosBC．tanA＝tanB D．sinA＝cosB
D
当堂检测
基础过关
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝13，sinA＝，则BC＝____.
5
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝0.6. 则BC＝____.
A
B
C
D
8
当堂检测
基础过关
5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，AB＝5. 求BC、AC的长
（精确到0.01）.
解：由题意知，sinA＝，cosA＝，
用计算器计算，得
BC＝AB×sinA＝5×sin50°＝5×sin50°≈3.83，
AC＝AB×cosA＝5×cos50°＝5×cos50°≈3.21.
当堂检测
基础过关
6. 如图：在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6. 求：sinB，cosB，tanB.
A
B
C
D
由题意知，BD＝BC＝×6＝3.
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD＝＝4.
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D.
sinB＝＝，
cosB＝＝，
tanB＝＝.
当堂检测
能力提升
7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D. 若 AD＝6，AC＝8. 求sinB的值.
解: ∵ ∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠B∠A＝90°， ∠ACD∠A＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∴ sinB＝sin∠ACD＝＝＝.
A
B
C
D
6
8
当堂检测
能力提升
8. 如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，求∠ECM的正切值、正弦值及余弦值.
解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，
∴EC＝＝5x，EM＝＝x，
CM＝＝2x，
∴EM2CM2＝CE2，
∴△CEM是直角三角形，∠CME＝90°，
∴tan∠ECM＝＝＝，
sin∠ECM＝＝=，
cos∠ECM＝==.
A
B
C
D
M
E
当堂检测
能力提升
1. 在△ABC中，∠C＝90°，给出下列结论：
①sinA＝cosB；②cosA＝sinB；③sin2A＋cos2A＝1；④tanA＝.
其中正确的有(　　)A.1个　　 B.2个　　　 C.3个　　　 D.4个
D
当堂检测
能力提升
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则cosA＝ (　　)
A. 　　 B.
C. 　 D.
B
当堂检测
能力提升
3. 已知sin23°48′≈0.4035，若cosα＝0.4035，则锐角α的度数大约为
_______.
66°12′
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA·cosA的值为_____.
当堂检测
能力提升
5. 如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA＝____.
A
B
C
当堂检测
能力提升
6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，求sinB的值.
A
B
C
D
解：∵AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，∴CD＝3.
在Rt△ACD中，
∵AD＝5，CD＝3，
∴AC＝＝＝4.
在Rt△ACB中，
∵AC＝4，BC＝5，
∴AB＝＝＝，
∴sinB＝＝＝.
D
当堂检测
能力提升
7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sinB＝. 求sinA的值.
A
B
C
解：如图，过点C作CD⊥AB，
在Rt△CDB中，
∵sinB＝＝，
设CD＝4x，BC＝5x，则BD＝3x，
∴AD＝10－3x，
在Rt△CDA中，由勾股定理得，AC2＝AD2＋CD2，
即102＝(10－3x)2＋(4x)2，
整理得25x2－60x＝0，解得x＝2.4或x＝0(舍去)，
∴CD＝4x＝9.6.
在Rt△CDA中，sinA＝＝＝.
当堂检测
能力提升
8. 如图，在△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线.
(1)求AC的长；
C
A
B
D
F
解：(1)∵AC⊥BD，∴∠ACB＝90°.
在Rt△ACB中，
∵cos∠ABC＝＝，BC＝8，∴AB＝10，
∴AC＝＝＝6，
即AC的长为6.
E
当堂检测
能力提升
8. 如图，在△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线.
(2)求tan∠FBD的值.
C
A
B
D
F
解：(2)如图，过点F作BD的垂线，垂足为E，
∵AC⊥BD，∴AC∥EF.
∵BF为AD边上的中线，
∴CE＝CD＝2，EF＝AC＝3，
∴tan∠FBD＝＝＝.