安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

安徽省合肥市第一中学 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 3 ≤ ≤ 3}， = { | = √ 1 }，则 ∩ =( )
A. [0,1] B. [ 3,1] C. [ 3, +∞) D. [1,3]
2( + 1), < 22.已知函数 ( ) = { ，则 (3) =( )
( 1), ≥ 2
A. 1 B. log23 C. 0 D. 2

3.已知关于 的不等式 2 + 2 > 0的解集为{ |1 < < 2}，则不等式 < 0的解集是( )

1 1
A. { | 1 < < } B. { | < < 1}
2 2
C. { | 3 < < 1} D. { | 1 < < 3}
4.已知 = 0.1
1
, = ln , = 2025，则 ， ， 的大小关系是( )
3
A. > > B. > > C. > > D. > >
5.函数 = log ( 3) + 2( > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点 ，若点 在幂函数 ( )的图象上，则幂函数 ( )
的图象大致是( )
A. B.
C. D.
√ 5
6.已知角 的终边经过点( 1, )，且 = ，则 2 =( )
5
4 1 4 1
A. B. C. D.
3 2 3 2

7.已知 = , = 2，则cos( + )的值为( )
3
√ 3+1 √ 3 1 √ 3+1 √ 3 1
A. B. C. D.
2 2 4 4
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8.已知函数 ( )， ( )分别为定义在 上的偶函数和奇函数，且 ( ) + ( ) = + ，若函数 ( ) =
3| 2025| ( 2025) 2 2有唯一零点，则实数 的值为( )
1 1
A. 1或 B. 1或 C. 2或1 D. 1或2
2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. “ > 2且 > 3”是“ + > 5”的充要条件
B. 弧长和面积均为 的扇形的半径为2
C. “ > 1，2 + 1 ≥ 5”的否定是“ > 1，2 + 1 < 5”
D. 函数 = 的零点是(1,0)

10.已知函数 ( ) = ( + ) + ( > 0, > 0, | | < )2 的部分图象如所
示，则( )

A. ( ) = 3 (4 + ) + 1
6

B. ( , 1)是 ( )的一个对称中心
16
5
C. ( )的单调递增区间为[ + , + ]( ∈ )
16 2 16 2
5
D. 若实数 1， 2满足 ( 1) = ( 2) = ，则| 1 2|的最小值为 2 6
11.已知函数 ( ) = | 2 |，则下列说法正确的是( )
A. ( )的最小正周期为

B. ( )关于直线 = 对称
2
C. ( )的值域为[0,2]
D. ( ) = 1在区间[0,2 ]上恰有7个不同的实数根
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.写出函数 ( ) = 3 5 取得最大值时的 的取值集合：______．
13.已知正实数 ， 满足2 + = ，则 + 的最小值是______．
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22 , < 2
14.已知函数 ( ) = 2 4 + 5 ，函数 ( ) = { ，若对任意的实数 ∈ [0,2]，总存在
3( + 1), ≥ 2
1
实数 2 ∈ ，使得 ( 1) = ( 2)成立，则实数 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合 = { | < < 2 + 1}且 ≠ ，集合 = { | 2 5 + 4 < 0}，命题 ： ∈ ，命题 ： ∈ ．
5
(1)若 = ，求( ) ∩ ； 4
(2)若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
sin( )cos( 4 )tan(2 )
(1)已知角 以 轴的非负半轴为始边， (1,3)为终边上一点.求 的值；
cos( )cos(3 )
2
3 5
(2)已知 ， 都是锐角， = , sin( ) = ，求 的值．
5 13
17.(本小题15分)
3 √ 3 1
已知函数 ( ) = 2 √ 3cos2 + ．
2 2
(1)求函数 = ( )的单调递增区间及对称中心；
1
(2)将函数 = ( )的图象向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到函数 = ( )的图象，求函
12 2

数 = ( )在区间( , )上的值域．
3 2
18.(本小题17分)
+
已知定义域为 的函数 ( ) =

是奇函数．
+1
(1)求实数 的值；
(2)判断函数 = ( )的单调性，并证明；
(3)若不等式 ( 3 ) + (3 9 2) > 0对任意的 ≥ 0恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题17分)
设 ， 是非空实数集，如果对于集合 中的任意两个实数 ， ，按照某种确定的关系 ，在 中都有唯一确
定的数 和它对应，那么就称 ： → 为从集合 到集合 的一个二元函数，记作 = ( , )， ， ∈ ，其
中 称为二元函数 的定义域．
(1)已知 ( , ) = √ 2 + 2，若 ( 1, 1) = 1， ( 2, 2) = 2， 1 2 + 1 2 = 2，求 ( 1 + 2 , 1 + 2)；
(2)设二元函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
① ， ∈ ，都有 ( , ) ≥ ，
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② 0， 0 ∈ ，使得 ( 0, 0) = ．
那么，我们称 是二元函数 ( , )的下确界．
1 1
若 ， ∈ (0, +∞)，且 + = 1，判断函数 ( , ) = 2 + 2 8 是否存在下确界，若存在，求出此函数

的下确界，若不存在，说明理由．
(3) ( , )的定义域为 ，若 > 0，对于 ， ∈ ，都有 ( , ) ≤ ( + , + )，则称 在 上是关

于 单调递增.已知 ( , ) = 2 在[1,2]上是关于 单调递增，求实数 的取值范围． +4
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】{ | = + 2 , ( ∈ )}
13.【答案】3 + 2√ 2
1
14.【答案】[ , ]
4
5 5 7
15.【答案】解：(1)因为 = ，所以 = { | < < }，
4 4 2
5 7
故 C = { | ≤ 或 ≥ }； 4 2
又因为 = | 2 5 + 4 < 0 = { |1 < < 4}，
5 7
所以( ) ∩ = { |1 < ≤ 或 ≤ < 4}； 4 2
(2)因为 是 的充分不必要条件，故 A 是 的真子集．
又因为 = { | 2 5 + 4 < 0} = { |1 < < 4}，且 ≠ ，
< 2 + 1
所以{
3
≥ 1 (等号不同时成立)，解得1 ≤ ≤ ，
2
2 + 1 ≤ 4
3
综上所述，实数 的取值范围是[1, ].
2

16.【答案】解：(1)根据题意，可得 = = 3，

sin( )cos( 4 )tan(2 ) ( )
所以 = = = 3；
cos( )cos(3 ) sin ( cos )
2

(2)由0 < < , 0 < < ，可得 < < ，
2 2 2 2
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3 5
根据 = , sin( ) = ，
5 13
3 4 5 12
可得 = √ 1 cos2 = √ 1 ( )2 = ，cos( ) = √ 1 sin2( ) = √ 1 ( )2 = ．
5 5 13 13
3 12 4 5 56
所以 = cos[ ( )] = ( ) + ( ) = × + × = ．
5 13 5 13 65
3 1+ 2 √ 3 1
17.【答案】解：(1)根据题意，可得 ( ) = 2 √ 3 +
2 2 2
√ 3 1 1 1
= √ 3( 2 2 ) = √ 3sin(2 ) ，
2 2 2 6 2

令 + 2 ≤ 2 ≤ + 2 ( ∈ )，解得 + ≤ ≤ + 2 ( ∈ )，
2 6 2 6 3

所以 ( )的单调递增区间为( + , + 2 ]( ∈ )．
6 3

令2 = , ∈ ，解得 = + , ∈ ，
6 2 12
1
所以 ( )图象的对称中心为( + , )( ∈ )．
2 12 2
1 1
(2)将 ( )的图象向右平移 个单位长度，可得 = √ 3sin(2 ) = √ 3sin(2 ) 的图象；
12 6 6 2 3 2
1
再将所得图象向下平移 个单位长度，可得 ( ) = √ 3sin(2 ) 1的图象．
2 3
2 √ 3
当 ∈ ( , )时，2 ∈ ( , )，可得 < sin(2 ) ≤ 1．
3 2 3 3 3 2 3
1 1
所以 < √ 3sin(2 ) 1 ≤ √ 3 1，即 = ( )的值域为( , √ 3 1]．
2 3 2
+
18.【答案】解：定义域为 的函数 ( ) =

是奇函数，
+1
(1)由题意可得， ( ) = ( )，
( ) 1+ ( 1)( +1)
可得 ( ) + ( ) = + = + = = = 1 = 0， +1 +1 ( +1) +1 +1 +1
解得 = 1；
故 ( )在 上是递减函数；
1 2
(2) ( ) = = 1单调递减，证明如下：
1+ 1+
证明：任取 1、 2 ∈ ，且 1 < 2，则
1 < 2，
2 2 2( 1 2)
则 ( 1) ( 2) = 1 + +1 + 1 = > 0， 1 2+1 ( 1+1)( 2+1)
即 ( 1) > ( 2)，
故 ( )是定义在 上的递减函数；
(3) ∵ ( 3 ) + (3 9 2) > 0，∴ ( 3 ) > (3 9 2)，
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又 ( )是 上的奇函数，∴ ( 3 ) > ( 3 + 9 + 2)，
∵ ( )是 上的递减函数，∴ 3 < 3 + 9 + 2，
3 +9 +2
∴ < = 1 + 3
2
+ 对任意的 ≥ 0恒成立，
3 3
2
设 = 3 ，且 ( ) = + 1，即 < ( ) ，

2 2 2
： ≥ 0，∴ = 3 ≥ 1，∴ ( ) = + 1 ≥ 2√ 1 = 2√ 2 1，当且仅当 = 即 = √ 2时等号成立，

∴ < 2√ 2 1，
故 的范围为{ | < 2√ 2 1}.
19.【答案】解：(1)由 ( 1 , 1) = 1，可得
2
1 +
2
1 = 1，
由 ( 2 22 , 2) = 2，可得 2 + 2 = 4，
由定义可得 ( 1 + 2 , 1 + 2) = √ ( 1 +
2 2 2 2
2) + ( 1 + 2) = √ 1 + 2 + 2 1 2 +
2 + 21 2 + 2 1 2 =
√ 5 + 2( 1 2 + 1 2)，
又 1 2 + 1 2 = 2，
所以 ( 1 + 2 , 1 + 2) = 3；
(2)存在，下确界为 25，理由如下：
1 1
由 + = 1，可得 + = ，

又因为 ， ∈ (0, +∞)，
所以 + = ≥ 2√ ，当且仅当 = 时，等号成立，
即 ≥ 2√ ，平方得 ≥ 4，
( , ) = 2 + 2 8 = ( + )2 10 = ( )2 10 = ( 5)2 25 ≥ 25，
5+√ 5 5 √ 5 5 √ 5 5+√ 5
当且仅当 = 5，即 = ， = 或 = ， = 时取等号．
2 2 2 2
所以函数 ( , ) = 2 + 2 8 存在下确界，为 25；

(3)因为 ( , ) = 2 在[1,2]上是关于 单调递增， +4
所以 ( , ) ≤ ( + , + )，
( + )
即存在 > 0，对于任意的 ， ∈ [1,2]，都有 2 ≤ ( + ) 2 ， +4 ( + ) +4
( + )
即
2
≤ ，
+4 2( + ) +4
( + )
化简可得 +
2
≥ 0，
+4 2( + ) +4
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( 2+ 4)
即 + 2 ≥ 0，
[( + ) +4] [ 2+4]
( 2+ 4)
下面求函数 ( ) = 2 的最小值，
[( + ) +4] [ 2+4]
设 2 + 4 = ， ∈ [ 3,2 ]，
( 2+ 4)
2 = = 2 ，
[( + ) +4] [ 2+4] 2+16 +4 2+64 4 +64 + +16


所以函数 ( ) = 2 在[ 3,2 ]递增， 4 +64
+ +16

2 3
( ) = ( 3) = ， 5( 2+2 +5)
2 3
即存在 > 0，使得 +
5( 2
≥ 0，
+2 +5)
2 3
设 ( ) = 2 ， > 0， +2 +5
2 3
①当0 < ≤ 3时， ( ) = 2 ≤ 0， +2 +5
2 3 5( +1)
②当 > 3时， ( ) = = 1 ，
2+2 +5 2+2 +5
+1 1 1
设 = + 1 > 4， 2 = = ∈ (0, )， +2 +5 2+4 4 + 5

2 3
所以 ( ) = 2 ∈ (0,1)， +2 +5
1
综上， + ≥ 0，
5
1
所以 的取值范围是[ , +∞)．
5
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